Proporción áurea

Proporción áurea (φ)

Representaciones
Decimal	1.618 033 988 749 894  . . .  [1]
Forma algebraica	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
Fracción continua	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}} }}$

En matemáticas , dos cantidades están en proporción áurea si su razón es la misma que la razón de su suma con la mayor de las dos cantidades. Expresado algebraicamente, para las cantidades ⁠ ⁠${\estilo de visualización a}$ y ⁠ ⁠${\estilo de visualización b}$ con ⁠ ⁠${\displaystyle a>b>0}$ , ⁠ ⁠${\estilo de visualización a}$ está en proporción áurea con ⁠ ⁠${\estilo de visualización b}$ si

$${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$

donde la letra griega phi ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ o ⁠ ⁠${\estilo de visualización \phi}$ ) denota la proporción áurea. ^[a] La constante ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ satisface la ecuación cuadrática ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$ y es un número irracional con un valor de ^[1]

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=}$1.618 033 988 749 ....

La proporción áurea fue llamada proporción extrema y media por Euclides , ^[2] y proporción divina por Luca Pacioli ; ^[3] y también tiene otros nombres. ^[b]

Los matemáticos han estudiado las propiedades de la proporción áurea desde la antigüedad. Es la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado y, por lo tanto, aparece en la construcción del dodecaedro y el icosaedro . ^[7] Un rectángulo áureo , es decir, un rectángulo con una relación de aspecto de ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ , puede cortarse en un cuadrado y un rectángulo más pequeño con la misma relación de aspecto . La proporción áurea se ha utilizado para analizar las proporciones de objetos naturales y sistemas artificiales como los mercados financieros , en algunos casos basándose en ajustes dudosos a los datos. ^[8] La proporción áurea aparece en algunos patrones de la naturaleza , incluida la disposición en espiral de las hojas y otras partes de la vegetación.

Algunos artistas y arquitectos del siglo XX , entre ellos Le Corbusier y Salvador Dalí , han proporcionado sus obras para aproximarse a la proporción áurea, creyendo que era estéticamente agradable. Estos usos suelen aparecer en forma de rectángulo áureo.

Dos cantidades ⁠ ⁠${\estilo de visualización a}$ y ⁠ ⁠${\estilo de visualización b}$ están en la proporción áurea ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ si ^[9]$${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$$

Por lo tanto, si queremos encontrar ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ , podemos usar que la definición anterior se cumple para ⁠ ⁠${\estilo de visualización b}$ arbitrario ; por lo tanto, simplemente establecemos ⁠ ⁠${\estilo de visualización b=1}$ , en cuyo caso ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi =a}$ y obtenemos la ecuación ⁠ ⁠${\displaystyle (\varphi +1)/\varphi =\varphi }$ , que se convierte en una ecuación cuadrática después de multiplicar por ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ : que se puede reorganizar a$${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$$$${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$$

La fórmula cuadrática produce dos soluciones:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033\puntos \ }$y${\displaystyle \ {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\puntos .}$

Dado que ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ es una relación entre cantidades positivas, ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ es necesariamente la raíz positiva. ^[10] La raíz negativa es, de hecho, la inversa negativa ⁠ ⁠${\displaystyle -1/\varphi}$ , que comparte muchas propiedades con la proporción áurea.

Según Mario Livio ,

Algunas de las mentes matemáticas más grandes de todas las épocas, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia , pasando por el matemático italiano medieval Leonardo de Pisa y el astrónomo renacentista Johannes Kepler , hasta figuras científicas actuales como el físico de Oxford Roger Penrose , han pasado interminables horas estudiando esta sencilla proporción y sus propiedades. ... Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos han reflexionado y debatido sobre la base de su ubicuidad y atractivo. De hecho, probablemente sea justo decir que la proporción áurea ha inspirado a pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas. ^[11]

—  La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo

Los matemáticos de la antigua Grecia estudiaron por primera vez la proporción áurea debido a su frecuente aparición en geometría ; ^[12] la división de una línea en "razón extrema y media" (la sección áurea) es importante en la geometría de pentagramas y pentágonos regulares . ^[13] Según una historia, el matemático del siglo V a. C. Hipasus descubrió que la proporción áurea no era ni un número entero ni una fracción (es irracional ), sorprendiendo a los pitagóricos . ^[14] Los Elementos de Euclides ( c. 300 a. C. ) proporcionan varias proposiciones y sus pruebas empleando la proporción áurea, ^{[15] [c]} y contiene su primera definición conocida que procede de la siguiente manera: ^[16]

Se dice que una línea recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando, como toda la línea es al segmento mayor, así es el mayor al menor. ^{[17] [d]}

La proporción áurea se estudió de forma periférica durante el siguiente milenio. Abu Kamil (c. 850–930) la empleó en sus cálculos geométricos de pentágonos y decágonos; sus escritos influyeron en los de Fibonacci (Leonardo de Pisa) (c. 1170–1250), quien utilizó la proporción en problemas de geometría relacionados, pero no observó que estuviera relacionada con los números de Fibonacci . ^[19]

Luca Pacioli tituló su libro Divina proporción ( 1509 ) en honor a la razón; el libro, en gran parte plagiado de Piero della Francesca , exploró sus propiedades, incluida su aparición en algunos de los sólidos platónicos . ^{[20] [21]} Leonardo da Vinci , quien ilustró el libro de Pacioli, llamó a la razón sectio aurea ('sección áurea'). ^[22] Aunque a menudo se dice que Pacioli abogó por la aplicación de la proporción áurea para producir proporciones agradables y armoniosas, Livio señala que la interpretación se ha rastreado hasta un error en 1799, y que Pacioli en realidad abogó por el sistema vitruviano de proporciones racionales. ^[23] Pacioli también vio un significado religioso católico en la razón, lo que llevó al título de su obra. Los matemáticos del siglo XVI como Rafael Bombelli resolvieron problemas geométricos utilizando la razón. ^[24]

El matemático alemán Simon Jacob (fallecido en 1564) observó que los números consecutivos de Fibonacci convergen hacia la proporción áurea; ^[25] esto fue redescubierto por Johannes Kepler en 1608. ^[26] La primera aproximación decimal conocida de la proporción áurea (inversa) fue enunciada como "aproximadamente ⁠ ⁠${\estilo de visualización 0,6180340}$ " en 1597 por Michael Maestlin de la Universidad de Tubinga en una carta a Kepler, su antiguo alumno. ^[27] El mismo año, Kepler le escribió a Maestlin sobre el triángulo de Kepler , que combina la proporción áurea con el teorema de Pitágoras . Kepler dijo sobre estos:

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, el otro la división de una línea en razones extremas y medias. El primero lo podemos comparar con una masa de oro, el segundo lo podemos llamar una joya preciosa. ^[28]

Los matemáticos del siglo XVIII Abraham de Moivre , Nicolaus I Bernoulli y Leonhard Euler utilizaron una fórmula basada en la proporción áurea que encuentra el valor de un número de Fibonacci en función de su ubicación en la secuencia; en 1843, esta fórmula fue redescubierta por Jacques Philippe Marie Binet , por quien se la denominó "fórmula de Binet". ^[29] Martin Ohm utilizó por primera vez el término alemán goldener Schnitt ('sección áurea') para describir la proporción en 1835. ^[30] James Sully utilizó el término inglés equivalente en 1875. ^[31]

En 1910, el inventor Mark Barr comenzó a utilizar la letra griega phi ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ ) como símbolo de la proporción áurea. ^{[32] [e]} También se ha representado con tau ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización \tau}$ ), la primera letra del griego antiguo τομή ('corte' o 'sección'). ^[35]

El sistema de construcción zome , desarrollado por Steve Baer a finales de los años 1960, se basa en el sistema de simetría del icosaedro / dodecaedro y utiliza la proporción áurea de forma ubicua. Entre 1973 y 1974, Roger Penrose desarrolló el teselado de Penrose , un patrón relacionado con la proporción áurea tanto en la relación de áreas de sus dos teselas rómbicas como en su frecuencia relativa dentro del patrón. ^[36] Esto ganó interés después del descubrimiento de Dan Shechtman, ganador del Nobel en 1982, de cuasicristales con simetría icosaédrica, que poco después se explicaron a través de analogías con el teselado de Penrose. ^[37]

La proporción áurea es un número irracional . A continuación se presentan dos breves pruebas de su irracionalidad:

Esta es una demostración por descendencia infinita . Recordemos que:

Si llamamos al todo ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ y a la parte más larga ⁠ ⁠${\estilo de visualización m}$ , entonces la segunda afirmación anterior se convierte en

⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ es como ⁠ ⁠ es .​​${\estilo de visualización m}$​​${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización nm}$

Decir que la proporción áurea es racional${\estilo de visualización \varphi}$ significa que es${\estilo de visualización \varphi}$ una fracción donde y ${\estilo de visualización n/m}$son ${\estilo de visualización n}$números enteros ${\estilo de visualización m}$. Podemos tomar que ${\estilo de visualización n/m}$está en términos mínimos y y como positivos ${\estilo de visualización n}$. Pero si está en términos mínimos , entonces el igualmente valorado está en términos aún más bajos . Esa es una contradicción que se sigue del supuesto de que es racional .${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n/m}$${\displaystyle m/(nm)}$${\estilo de visualización \varphi}$

Otra prueba breve –quizás más conocida– de la irracionalidad de la proporción áurea hace uso de la clausura de los números racionales bajo la adición y la multiplicación. Si se supone que ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ es racional, entonces ⁠ ⁠${\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}}$ , la raíz cuadrada de ⁠ ⁠${\estilo de visualización 5}$ , también debe ser racional. Esto es una contradicción ya que las raíces cuadradas de todos los números naturales no cuadrados son irracionales. ^[f]

La proporción áurea es también un número algebraico e incluso un entero algebraico . Tiene un polinomio mínimo .$${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$

Este polinomio cuadrático tiene dos raíces , ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$ .

La proporción áurea también está estrechamente relacionada con el polinomio ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$ , que tiene raíces ⁠ ⁠${\estilo de visualización -\varphi}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$ . Como raíz de un polinomio cuadrático, la proporción áurea es un número construible . ^[38]

La raíz conjugada del polinomio mínimo${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$ es

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

El valor absoluto de esta cantidad ( ⁠ ⁠${\displaystyle 0.618\ldots}$ ) corresponde a la relación de longitudes tomada en orden inverso (longitud del segmento más corto sobre la longitud del segmento más largo, ⁠ ⁠${\estilo de visualización b/a}$ ).

Esto ilustra la propiedad única de la proporción áurea entre los números positivos, que$${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

o su inversa,$${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

La relación polinomial cuadrática conjugada y definitoria conduce a valores decimales que tienen su parte fraccionaria en común con ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033 \puntos .\end{aligned}}}$$

La secuencia de potencias de ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ contiene estos valores ⁠ ⁠${\displaystyle 0.618033\ldots}$ , ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1.0}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1.618033\ldots}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 2.618033\ldots}$ ; de manera más general, cualquier potencia de ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ es igual a la suma de las dos potencias inmediatamente anteriores:$${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n -1}.}$$

Como resultado, se puede descomponer fácilmente cualquier potencia de ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ en un múltiplo de ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ y una constante. El múltiplo y la constante son siempre números de Fibonacci adyacentes. Esto conduce a otra propiedad de las potencias positivas de ⁠ ⁠${\estilo de visualización \varphi}$ :

Si ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl \lfloor} {\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor}=m}$ , entonces:$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\ varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

La fórmula ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi = 1+1/\varphi}$ se puede expandir recursivamente para obtener una fracción continua simple para la proporción áurea: ^[39]$${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

De hecho, es la forma más simple de una fracción continua, junto con su forma recíproca:$${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

Los convergentes de estas fracciones continuas, ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... o ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$ , ... ,${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$ son cocientes de${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ números de Fibonacci${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$ sucesivos . Los términos consistentemente pequeños en su fracción continua explican por qué ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$los aproximantes convergen tan lentamente . Esto hace que la proporción áurea sea un caso extremo de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas , que establece que para cada irracional ⁠ ⁠ , hay infinitas fracciones distintas ⁠ ⁠ tales que,${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle p/q}$$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

Esto significa que la constante ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ no se puede mejorar sin excluir la proporción áurea. Es, de hecho, el número más pequeño que debe excluirse para generar aproximaciones más cercanas de dichos números de Lagrange . ^[40]

Se puede obtener una forma de raíz cuadrada continua para ⁠ ⁠ de ${\displaystyle \varphi }$⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$ , dando como resultado: ^[41]$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

Los números de Fibonacci y los números de Lucas tienen una relación intrincada con la proporción áurea. En la secuencia de Fibonacci, cada número es igual a la suma de los dos anteriores, comenzando con la secuencia base :${\displaystyle 0,1}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 5,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 8,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 13,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 21,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 34,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 55,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 89,}$ ⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$ ( OEIS : A000045 ).

La secuencia de números de Lucas (que no debe confundirse con las secuencias de Lucas generalizadas , de las que ésta es parte) es como la secuencia de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores, sin embargo comienza con ⁠ ⁠${\displaystyle 2,1}$ :

⁠ ⁠ ${\displaystyle 2,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 7,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 11,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 18,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 29,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 47,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 76,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 123,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 199,}$ ⁠ ⁠${\displaystyle \ldots }$ ( OEIS : A000032 ).

Excepcionalmente, la proporción áurea es igual al límite de las razones de los términos sucesivos en la secuencia de Fibonacci y la secuencia de números de Lucas: ^[42]$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

En otras palabras, si un número de Fibonacci y Lucas se divide por su predecesor inmediato en la secuencia, el cociente se aproxima a ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ . Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$y${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

Estas aproximaciones son alternativamente menores y mayores que ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ , y convergen a ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ a medida que aumentan los números de Fibonacci y Lucas.

Las expresiones de forma cerrada para las secuencias de Fibonacci y Lucas que involucran la proporción áurea son:

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}},}$$$${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

Combinando ambas fórmulas anteriores, se obtiene una fórmula para ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$ que involucra tanto los números de Fibonacci como los de Lucas:$${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

Entre los números de Fibonacci y de Lucas se puede deducir ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$ , lo que simplifica expresar el límite del cociente de los números de Lucas por los números de Fibonacci como igual a la raíz cuadrada de cinco :$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

De hecho, hay afirmaciones mucho más contundentes:$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

Estos valores describen ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ como una unidad fundamental del campo de números algebraicos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ .

Las potencias sucesivas de la proporción áurea obedecen a la recurrencia de Fibonacci , ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$ .

La reducción a una expresión lineal se puede lograr en un solo paso utilizando:$${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

Esta identidad permite reducir cualquier polinomio en ⁠ ⁠ a una expresión lineal, como en:${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

Los números consecutivos de Fibonacci también se pueden utilizar para obtener una fórmula similar para la proporción áurea, aquí por suma infinita :$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

En particular, las potencias de ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ se redondean a números de Lucas (en orden, excepto las dos primeras potencias, ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ , que están en orden inverso):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

y así sucesivamente. ^[43] Los números de Lucas también generan directamente potencias de la proporción áurea; porque ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 2}$ :$${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

En su relación de interconexión con la proporción áurea se encuentra la noción de que la suma de terceros números de Fibonacci consecutivos es igual a un número de Lucas, es decir ; y${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$ , lo que es más importante , que .${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{2n}/{F_{n}}}$

Tanto la secuencia de Fibonacci como la secuencia de números de Lucas se pueden utilizar para generar formas aproximadas de la espiral áurea (que es una forma especial de una espiral logarítmica ) utilizando cuartos de círculo con radios de estas secuencias, que difieren solo ligeramente de la verdadera espiral logarítmica áurea. Espiral de Fibonacci es generalmente el término utilizado para espirales que se aproximan a espirales áureas utilizando cuadrados y cuartos de círculo de la secuencia de números de Fibonacci.

La proporción áurea ocupa un lugar destacado en la geometría. Por ejemplo, está intrínsecamente implicada en la simetría interna del pentágono y se extiende hasta formar parte de las coordenadas de los vértices de un dodecaedro regular , así como de las de un sistema de 5 celdas . También aparece en el triángulo de Kepler y en los mosaicos de Penrose , así como en varios otros politopos .

Dividir por división interior

1. Teniendo un segmento de recta ⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ , construye una perpendicular ⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ en el punto ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ , con ⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ la mitad de la longitud de ⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ . Dibuja la hipotenusa ⁠ ⁠${\displaystyle AC}$ .
2. Dibuja un arco con centro ⁠ ⁠${\displaystyle C}$ y radio ⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ . Este arco interseca la hipotenusa ⁠ ⁠${\displaystyle AC}$ en el punto ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ .
3. Dibuja un arco con centro ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ y radio ⁠ ⁠${\displaystyle AD}$ . Este arco interseca el segmento de línea original ⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ en el punto ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ . El punto ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ divide el segmento de línea original ⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ en segmentos de línea ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle SB}$ con longitudes en la proporción áurea.

Dividir por división exterior

1. Dibuja un segmento de línea ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ y construye a partir del punto ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ un segmento ⁠ ⁠${\displaystyle SC}$ perpendicular a ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ y con la misma longitud que ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ .
2. Bisecar el segmento de línea ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ con ⁠ ⁠${\displaystyle M}$ .
3. Un arco circular alrededor de ⁠ ⁠${\displaystyle M}$ con radio ⁠ ⁠${\displaystyle MC}$ interseca en el punto ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ la línea recta que pasa por los puntos ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ (también conocida como la extensión de ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ ). La razón de ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ con el segmento construido ⁠ ⁠${\displaystyle SB}$ es la proporción áurea.

Puedes ver ejemplos de aplicación en los artículos Pentágono con una longitud de lado dada , Decágono con una circunferencia circunscrita dada y Decágono con una longitud de lado dada .

Ambos algoritmos diferentes mostrados anteriormente producen construcciones geométricas que determinan dos segmentos de línea alineados donde la relación entre el más largo y el más corto es la proporción áurea.

Cuando dos ángulos que forman una circunferencia completa tienen medidas en proporción áurea, el menor se llama ángulo áureo , con medida ⁠ ⁠${\displaystyle g}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

Este ángulo se presenta en los patrones de crecimiento de las plantas como el espaciamiento óptimo de los brotes de hojas alrededor de los tallos de las plantas para que las hojas sucesivas no bloqueen la luz solar de las hojas que están debajo de ellas. ^[44]

En un pentágono regular, la razón entre una diagonal y un lado es la proporción áurea, mientras que las diagonales que se cortan se seccionan entre sí en la proporción áurea. Las propiedades de la proporción áurea de un pentágono regular se pueden confirmar aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero formado al eliminar uno de sus vértices. Si el lado largo y las diagonales del cuadrilátero son ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , y los lados cortos son ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ , entonces el teorema de Ptolomeo da ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$ . Dividiendo ambos lados por ⁠ ⁠${\displaystyle ab}$ se obtiene (ver § Cálculo arriba),$${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

Los segmentos diagonales de un pentágono forman un pentagrama , o polígono estrellado de cinco puntas , cuya geometría se describe esencialmente mediante ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ . Básicamente, cada intersección de aristas secciona otras aristas en la proporción áurea. La relación entre la longitud del segmento más corto y el segmento delimitado por las dos aristas que se cruzan (es decir, un lado del pentágono invertido en el centro del pentagrama) es ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ , como lo muestra la ilustración a cuatro colores.

La geometría pentagonal y pentagrammática nos permite calcular los siguientes valores para ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ :$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

El triángulo formado por dos diagonales y un lado de un pentágono regular se llama triángulo áureo o triángulo sublime . Es un triángulo isósceles acutángulo con ángulo de vértice ⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$ y ángulos de base ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$ . ^[45] Sus dos lados iguales están en proporción áurea con respecto a su base. ^[46] El triángulo formado por dos lados y una diagonal de un pentágono regular se llama gnomon áureo . Es un triángulo isósceles obtuso con ángulo de vértice ⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$ y ángulo de base ⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$ . Su base está en proporción áurea con respecto a sus dos lados iguales. ^[46] El pentágono puede, pues, subdividirse en dos gnomones áureos y un triángulo áureo central. Las cinco puntas de un pentagrama regular son triángulos áureos, ^[46] al igual que los diez triángulos formados al conectar los vértices de un decágono regular con su punto central. ^[47]

Al dividir en dos uno de los ángulos de la base del triángulo áureo, se obtiene un triángulo áureo más pequeño y un gnomon áureo. Análogamente, cualquier triángulo isósceles acutángulo puede subdividirse en un triángulo semejante y un triángulo isósceles obtuso, pero el triángulo áureo es el único en el que esta subdivisión se realiza mediante la bisectriz del ángulo, porque es el único triángulo isósceles cuyo ángulo de la base es el doble de su ángulo del vértice. La bisectriz del ángulo del triángulo áureo subdivide el lado que se encuentra con él en la proporción áurea, y las áreas de las dos partes subdivididas también están en la proporción áurea. ^[46]

Si el ángulo del vértice del gnomon áureo se triseca , el trisector lo subdivide a su vez en un gnomon áureo más pequeño y un triángulo áureo. El trisector subdivide la base en la proporción áurea, y las dos piezas tienen áreas en la proporción áurea. Análogamente, cualquier triángulo obtuso puede subdividirse en un triángulo semejante y un triángulo isósceles acutángulo, pero el gnomon áureo es el único para el que se realiza esta subdivisión mediante el trisector del ángulo, porque es el único triángulo isósceles cuyo ángulo del vértice es tres veces su ángulo de la base. ^[46]

La proporción áurea aparece de forma destacada en el mosaico de Penrose , una familia de mosaicos aperiódicos del plano desarrollados por Roger Penrose , inspirados en la observación de Johannes Kepler de que los pentagramas, decágonos y otras formas podrían llenar los huecos que las formas pentagonales dejan por sí solas cuando se unen entre sí. ^[48] Se han estudiado varias variaciones de este mosaico, todos cuyos prototipos exhiben la proporción áurea:

• La versión original de Penrose de este mosaico utilizaba cuatro formas: pentágonos y pentagramas regulares, figuras de "barco" con tres puntas de un pentagrama y rombos con forma de "diamante". ^[49]
• El sistema de mosaicos de Penrose de cometas y dardos utiliza cometas con tres ángulos interiores de ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$ y un ángulo interior de ⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$ , y dardos, cuadriláteros cóncavos con dos ángulos interiores de ⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$ , uno de ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$ , y un ángulo no convexo de ⁠ ⁠${\displaystyle 216^{\circ }\!}$ . Unas reglas de coincidencia especiales restringen cómo pueden encontrarse las fichas en cualquier borde, lo que da como resultado siete combinaciones de fichas en cualquier vértice. Tanto las cometas como los dardos tienen lados de dos longitudes, en proporción áurea entre sí. Las áreas de estas dos formas de fichas también están en proporción áurea entre sí. ^[48]
• La cometa y el dardo pueden cortarse en sus ejes de simetría para formar un par de triángulos áureos y gnomones áureos, respectivamente. Con reglas de correspondencia adecuadas, estos triángulos, llamados en este contexto triángulos de Robinson , pueden usarse como prototipos para una forma de mosaico de Penrose. ^{[48] [50]}
• El mosaico rómbico de Penrose contiene dos tipos de rombos, un rombo delgado con ángulos de ⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$ , y un rombo grueso con ángulos de ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }\!}$ . Todas las longitudes de los lados son iguales, pero la razón entre la longitud de los lados y la diagonal corta en el rombo delgado es igual a ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$ , al igual que la razón entre los lados de y la diagonal larga del rombo grueso. Al igual que con el mosaico de cometa y dardo, las áreas de los dos rombos están en proporción áurea entre sí. Nuevamente, estos rombos se pueden descomponer en pares de triángulos de Robinson. ^[48]

George Odom encontró una construcción para un triángulo equilátero :${\displaystyle \varphi }$ si el segmento de línea que une los puntos medios de dos lados se extiende para intersecar el círculo circunscrito , entonces los dos puntos medios y el punto de intersección con el círculo están en proporción áurea. ^[51]

El triángulo de Kepler , llamado así en honor a Johannes Kepler , es el único triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica : Las longitudes de estos lados son las tres medias pitagóricas de los dos números . Los tres cuadrados de sus lados tienen áreas en progresión geométrica áurea .$${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$${\displaystyle \varphi \pm 1}$${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$

Entre los triángulos isósceles, la relación entre el radio interno y la longitud del lado se maximiza para el triángulo formado por dos copias reflejadas del triángulo de Kepler, que comparten el más largo de sus dos catetos. ^[52] El mismo triángulo isósceles maximiza la relación entre el radio de un semicírculo en su base y su perímetro . ^[53]

Para un triángulo de Kepler con la longitud lateral más pequeña ⁠ ⁠${\displaystyle s}$ , el área y los ángulos internos agudos son:$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

La proporción áurea proporciona las longitudes de los lados adyacentes de un rectángulo áureo en proporción ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$ . ^[54] Apilar rectángulos áureos produce rectángulos áureos de nuevo, y quitar o agregar cuadrados de rectángulos áureos deja rectángulos aún proporcionados en proporción ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ . Pueden generarse mediante espirales áureas , a través de sucesivos cuadrados y cuartos de círculo del tamaño de los números de Fibonacci y Lucas. Aparecen de manera prominente en el icosaedro así como en el dodecaedro (ver la sección a continuación para más detalles). ^[55]

Un rombo áureo es un rombo cuyas diagonales son proporcionales a la proporción áurea, más comúnmente ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$ . ^[56] Para un rombo de tales proporciones, su ángulo agudo y sus ángulos obtusos son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

Las longitudes de sus diagonales corta y larga ⁠ ⁠${\displaystyle d}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ , en términos de la longitud del lado ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

Su superficie, en términos de ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle d}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

Su radio interior , en términos de lado :${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

Los rombos áureos forman las caras del triacontaedro rómbico , los dos romboedros áureos , el dodecaedro de Bilinski , ^[57] y el hexecontaedro rómbico . ^[56]

Las espirales logarítmicas son espirales autosimilares donde las distancias recorridas por vuelta están en progresión geométrica . Una espiral logarítmica cuyo radio aumenta por un factor de la proporción áurea por cada cuarto de vuelta se llama espiral áurea . Estas espirales pueden aproximarse mediante cuartos de círculo que crecen según la proporción áurea, ^[59] o sus aproximaciones generadas a partir de los números de Fibonacci, ^[60] a menudo representados inscritos dentro de un patrón en espiral de cuadrados que crecen en la misma proporción. La forma espiral logarítmica exacta de la espiral áurea puede describirse mediante la ecuación polar con ⁠ ⁠${\displaystyle (r,\theta )}$ :$${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

No todas las espirales logarítmicas están conectadas a la proporción áurea, y no todas las espirales conectadas a la proporción áurea tienen la misma forma que la espiral áurea. Por ejemplo, una espiral logarítmica diferente, que encierra una secuencia anidada de triángulos isósceles áureos, crece según la proporción áurea por cada ⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$ vuelta que da, en lugar de según el ⁠ ⁠${\displaystyle 90^{\circ }}$ ángulo de giro de la espiral áurea. ^[58] Otra variación, llamada la "espiral áurea mejorada", crece según la proporción áurea por cada media vuelta, en lugar de por cada cuarto de vuelta. ^[59]

El dodecaedro regular y su poliedro dual, el icosaedro , son sólidos platónicos cuyas dimensiones están relacionadas con la proporción áurea. Un dodecaedro tiene caras pentagonales regulares, mientras que un icosaedro tiene triángulos ${\displaystyle 12}$equiláteros ; ${\displaystyle 20}$ ambos tienen aristas . ^[61]${\displaystyle 30}$

Para un dodecaedro de lado ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , el radio de una esfera circunscrita e inscrita, y el radio medio son ( ⁠ ⁠${\displaystyle r_{u}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle r_{i}}$ , y ⁠ ⁠${\displaystyle r_{m}}$ , respectivamente):

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$ ${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$y${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

Mientras que para un icosaedro de lado ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ , el radio de una esfera circunscrita e inscrita, y el radio medio son:

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$ ${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$y${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

El volumen y el área de la superficie del dodecaedro se pueden expresar en términos de :${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$y${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

Así como para el icosaedro:

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$y${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

Estos valores geométricos se pueden calcular a partir de sus coordenadas cartesianas , que también se pueden obtener mediante fórmulas que involucran ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ . Las coordenadas del dodecaedro se muestran en la figura anterior, mientras que las del icosaedro son las permutaciones cíclicas de:

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

Conjuntos de tres rectángulos áureos se intersecan perpendicularmente dentro de dodecaedros e icosaedros, formando anillos borromeos . ^{[62] [55]} En los dodecaedros, pares de vértices opuestos en rectángulos áureos se encuentran en los centros de las caras pentagonales, y en icosaedros, se encuentran en sus vértices. En total, los tres rectángulos áureos contienen vértices${\displaystyle 12}$ del icosaedro, o equivalentemente, intersecan los centros de las caras del${\displaystyle 12}$ dodecaedro. ^[61]

Un cubo puede inscribirse en un dodecaedro regular, con algunas de las diagonales de las caras pentagonales del dodecaedro sirviendo como aristas del cubo; por lo tanto, las longitudes de las aristas están en proporción áurea. El volumen del cubo es ⁠ ⁠${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$ veces el del dodecaedro. ^[63] De hecho, los rectángulos áureos dentro de un dodecaedro están en proporciones áureas con un cubo inscrito, de modo que las aristas de un cubo y las aristas largas de un rectángulo áureo están en proporción áurea .${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$ Por otro lado, el octaedro , que es el poliedro dual del cubo, puede inscribir un icosaedro, de modo que los vértices de un icosaedro toquen las${\displaystyle 12}$ aristas de un octaedro${\displaystyle 12}$ en puntos que dividen sus aristas en proporción áurea. ^[64]

La expansión decimal de la proporción áurea se puede calcular mediante métodos de búsqueda de raíces, como el método de Newton o el método de Halley , en la ecuación ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$ o en ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$ (para calcular ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ primero). El tiempo necesario para calcular ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ dígitos de la proporción áurea utilizando el método de Newton es esencialmente ⁠ ⁠${\displaystyle O(M(n))}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle M(n)}$ es la complejidad temporal de multiplicar dos números de ⁠ ⁠ dígitos. ${\displaystyle n}$^[65] Esto es considerablemente más rápido que los algoritmos conocidos para π y e . Una alternativa fácilmente programada utilizando solo aritmética de números enteros es calcular dos grandes números de Fibonacci consecutivos y dividirlos. La relación de los números de Fibonacci ⁠ ⁠${\displaystyle F_{25001}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle F_{25000}}$ , cada uno sobre ⁠ ⁠${\displaystyle 5000}$ dígitos, produce más de ⁠ ⁠${\displaystyle 10{,}000}$ dígitos significativos de la proporción áurea. La expansión decimal de la proporción áurea ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$^[1] se ha calculado con una precisión de diez billones ( ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle 1\times 10^{13}=10{,}000{,}000{,}000{,}000}$ ) de dígitos. ^[66]

En el plano complejo , las raíces quintas de la unidad ( para${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$ un entero ) que ${\displaystyle k}$satisfacen${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$ son los vértices de un pentágono. No forman un anillo de enteros cuadráticos , sin embargo, la suma de cualquier raíz quinta de la unidad y su conjugado complejo , es un entero cuadrático, un elemento de . Específicamente ,${\displaystyle z+{\bar {z}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}$$

Esto también es válido para las décimas raíces restantes de la unidad que satisfacen ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$

Para la función gamma ,${\displaystyle \Gamma }$ las únicas soluciones de la ecuación${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$ son y ${\displaystyle z=\varphi }$.${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$

Cuando se utiliza la proporción áurea como base de un sistema numérico (véase base de la proporción áurea , a veces denominada finaria o ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$-naria ), los números enteros cuadráticos en el anillo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$ –es decir, números de la forma ⁠ ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$ para ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ en ⁠ ⁠–${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tienen representaciones terminales , pero las fracciones racionales tienen representaciones no terminales.

La proporción áurea aparece también en la geometría hiperbólica , como la distancia máxima desde un punto de un lado de un triángulo ideal hasta el más cercano de los otros dos lados: esta distancia, la longitud del lado del triángulo equilátero formado por los puntos de tangencia de un círculo inscrito dentro del triángulo ideal, es ⁠ ⁠${\displaystyle 4\log(\varphi )}$ . ^[67]

La proporción áurea aparece también en la teoría de funciones modulares . Para sea Entonces y donde ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ en la fracción continua debe evaluarse como ⁠ ⁠ . La función ⁠ ⁠ es invariante bajo ⁠ ⁠ , un subgrupo de congruencia del grupo modular . También para números reales positivos ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ tales que ⁠ ⁠ ^[68]${\displaystyle |q|<1,}$$${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$${\displaystyle \Gamma (5)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ es un número de Pisot-Vijayaraghavan . ^[69]

El arquitecto suizo Le Corbusier , famoso por sus contribuciones al estilo internacional moderno , centró su filosofía del diseño en sistemas de armonía y proporción. La fe de Le Corbusier en el orden matemático del universo estaba estrechamente ligada a la proporción áurea y a la serie de Fibonacci, que describió como «ritmos evidentes a la vista y claros en sus relaciones entre sí. Y estos ritmos están en la raíz misma de las actividades humanas. Resuenan en el hombre con una inevitabilidad orgánica, la misma inevitabilidad sutil que hace que los niños, los ancianos, los salvajes y los eruditos tracen la Sección Áurea». ^{[70] [71]}

Le Corbusier utilizó explícitamente la proporción áurea en su sistema Modulor para la escala de proporciones arquitectónicas . Consideró que este sistema era una continuación de la larga tradición de Vitruvio , el " Hombre de Vitruvio " de Leonardo da Vinci , la obra de Leon Battista Alberti y otros que utilizaban las proporciones del cuerpo humano para mejorar la apariencia y la función de la arquitectura .

Además de la proporción áurea, Le Corbusier basó el sistema en medidas humanas , números de Fibonacci y la unidad doble. Llevó la sugerencia de la proporción áurea en proporciones humanas al extremo: seccionó la altura del cuerpo humano de su modelo a la altura del ombligo con las dos secciones en proporción áurea, luego subdividió esas secciones en proporción áurea en las rodillas y la garganta; utilizó estas proporciones de proporción áurea en el sistema Modulor . La Villa Stein en Garches de Le Corbusier de 1927 ejemplificó la aplicación del sistema Modulor. La planta rectangular de la villa, la elevación y la estructura interior se aproximan mucho a los rectángulos áureos. ^[72]

Otro arquitecto suizo, Mario Botta , basa muchos de sus diseños en figuras geométricas. Varias casas privadas que diseñó en Suiza están compuestas de cuadrados y círculos, cubos y cilindros. En una casa que diseñó en Origlio , la proporción áurea es la proporción entre la sección central y las secciones laterales de la casa. ^[73]

Las ilustraciones de poliedros de Leonardo da Vinci en la Divina proporción de Pacioli han llevado a algunos a especular sobre la posibilidad de que incorporara la proporción áurea en sus pinturas. Pero la sugerencia de que su Mona Lisa , por ejemplo, emplea proporciones de proporción áurea, no está respaldada por los propios escritos de Leonardo. ^{[74] De manera similar, aunque} el Hombre de Vitruvio de Leonardo se muestra a menudo en relación con la proporción áurea, las proporciones de la figura en realidad no coinciden con ella, y el texto solo menciona proporciones de números enteros. ^{[75] [76]}

Salvador Dalí , influenciado por las obras de Matila Ghyka , ^[77] utilizó explícitamente la proporción áurea en su obra maestra, El sacramento de la Última Cena . Las dimensiones del lienzo son un rectángulo áureo. Un enorme dodecaedro, en perspectiva de modo que los bordes parecen estar en proporción áurea entre sí, está suspendido por encima y detrás de Jesús y domina la composición. ^{[74] [78]}

Un estudio estadístico sobre 565 obras de arte de diferentes grandes pintores, realizado en 1999, encontró que estos artistas no habían utilizado la proporción áurea en el tamaño de sus lienzos. El estudio concluyó que la proporción media de los dos lados de las pinturas estudiadas es ⁠ ⁠${\displaystyle 1.34}$ , con promedios para artistas individuales que van desde ⁠ ⁠${\displaystyle 1.04}$ ( Goya ) a ⁠ ⁠${\displaystyle 1.46}$ ( Bellini ). ^[79] Por otro lado, Pablo Tosto enumeró más de 350 obras de artistas conocidos, incluidas más de 100 que tienen lienzos con rectángulo áureo y ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ proporciones, y otras con proporciones como ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 4}$ , y ⁠ ⁠${\displaystyle 6}$ . ^[80]

Según Jan Tschichold ,

Hubo una época en que las desviaciones de las proporciones verdaderamente hermosas de las páginas y de${\displaystyle 2\mathbin {:} 3}$ la sección áurea eran raras. Muchos libros publicados entre 1550 y 1770 muestran estas proporciones con exactitud, con una precisión de${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}}$ medio milímetro. ^[82]

Según algunas fuentes, la proporción áurea se utiliza en el diseño cotidiano, por ejemplo en las proporciones de naipes, postales, carteles, placas de interruptores de luz y televisores de pantalla ancha. ^[83]

La relación de aspecto (ancho por alto) de la bandera de Togo fue pensada para ser la proporción áurea, según su diseñador. ^[84]

Ernő Lendvai analiza las obras de Béla Bartók como si estuvieran basadas en dos sistemas opuestos, el de la proporción áurea y la escala acústica , ^[85] aunque otros estudiosos de la música rechazan ese análisis. ^[86] El compositor francés Erik Satie utilizó la proporción áurea en varias de sus piezas, incluyendo Sonneries de la Rose+Croix . La proporción áurea también es evidente en la organización de las secciones en la música de Reflets dans l'eau (Reflejos en el agua) de Debussy , de Images (1.ª serie, 1905), en la que «la secuencia de tonalidades está marcada por los intervalos 34, 21, 13 y 8, y el clímax principal se sitúa en la posición phi». ^[87]

El musicólogo Roy Howat ha observado que los límites formales de La Mer de Debussy corresponden exactamente a la sección áurea. ^[88] Trezise considera que la evidencia intrínseca es "notable", pero advierte que ninguna evidencia escrita o reportada sugiere que Debussy buscara conscientemente tales proporciones. ^[89]

Los teóricos de la música, entre ellos Hans Zender y Heinz Bohlen, han experimentado con la escala de 833 cents , una escala musical basada en el uso de la proporción áurea como intervalo musical fundamental . Cuando se mide en cents , una escala logarítmica para intervalos musicales, la proporción áurea es de aproximadamente 833,09 cents. ^[90]

Johannes Kepler escribió que «la imagen del hombre y de la mujer proviene de la proporción divina. En mi opinión, la propagación de las plantas y los actos progenitores de los animales están en la misma proporción». ^[91]

El psicólogo Adolf Zeising observó que la proporción áurea aparecía en la filotaxis y argumentó a partir de estos patrones en la naturaleza que la proporción áurea era una ley universal. ^[92] Zeising escribió en 1854 sobre una ley ortogenética universal de "lucha por la belleza y la completitud en los reinos tanto de la naturaleza como del arte". ^[93]

Sin embargo, algunos han argumentado que muchas manifestaciones aparentes de la proporción áurea en la naturaleza, especialmente en lo que respecta a las dimensiones de los animales, son ficticias. ^[94]

El ferroimán de Ising cuasi-unidimensional (niobato de cobalto) ha predicho estados de excitación (con simetría ) , que cuando se probaron con dispersión de neutrones, mostraron que sus dos más bajos estaban en proporción áurea. Específicamente, estas transiciones de fase cuántica durante la excitación de espín, que ocurren a una temperatura cercana al cero absoluto, mostraron pares de torceduras en su fase ordenada a cambios de espín en su fase paramagnética ; revelando, justo debajo de su campo crítico , una dinámica de espín con modos agudos a bajas energías que se acercan a la media áurea. ^[95] ${\textstyle {\ce {CoNb2O6}}}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle E_{8}}$

No se conoce ningún algoritmo general para disponer un número dado de nodos de manera uniforme en una esfera, para ninguna de las diversas definiciones de distribución uniforme (véase, por ejemplo, el problema de Thomson o el problema de Tammes ). Sin embargo, una aproximación útil resulta de dividir la esfera en bandas paralelas de igual área de superficie y colocar un nodo en cada banda en longitudes espaciadas por una sección áurea del círculo, es decir, ⁠ ⁠${\displaystyle 360^{\circ }~\!/\varphi \approx 222.5^{\circ }\!}$ . Este método se utilizó para disponer los ⁠ ⁠ espejos del ${\displaystyle 1500}$satélite participativo de estudiantes Starshine-3 . ^[96]

La proporción áurea también es un elemento fundamental para la búsqueda de la sección áurea .

Algunos ejemplos de observaciones controvertidas de la proporción áurea incluyen los siguientes:

• A menudo se afirma que determinadas proporciones en los cuerpos de los vertebrados (incluidos los humanos) se encuentran en proporción áurea; por ejemplo, se ha dicho que la proporción de los huesos sucesivos de las falanges y los metacarpianos (huesos de los dedos) se aproxima a la proporción áurea. Sin embargo, existe una gran variación en las medidas reales de estos elementos en individuos específicos, y la proporción en cuestión a menudo es significativamente diferente de la proporción áurea. ^{[97] [98]}
• A menudo se afirma que las conchas de moluscos como el nautilus tienen proporción áurea. ^[99] El crecimiento de las conchas de nautilus sigue una espiral logarítmica , y a veces se afirma erróneamente que cualquier espiral logarítmica está relacionada con la proporción áurea, ^[100] o a veces se afirma que cada nueva cámara tiene proporción áurea en relación con la anterior. ^[101] Sin embargo, las mediciones de las conchas de nautilus no respaldan esta afirmación. ^[102]
• El historiador John Man afirma que tanto las páginas como el área de texto de la Biblia de Gutenberg estaban "basadas en la forma de la sección áurea". Sin embargo, según sus propias mediciones, la relación entre la altura y el ancho de las páginas es ⁠ ⁠${\displaystyle 1.45}$ . ^[103]
• Los estudios de los psicólogos, comenzando por Gustav Fechner en  1876 ^[104] , se han diseñado para probar la idea de que la proporción áurea desempeña un papel en la percepción humana de la belleza . Si bien Fechner encontró una preferencia por las proporciones rectangulares centradas en la proporción áurea, los intentos posteriores de probar cuidadosamente tal hipótesis han sido, en el mejor de los casos, inconcluyentes. ^{[105] [74]}
• En el ámbito de las inversiones, algunos profesionales del análisis técnico utilizan la proporción áurea para indicar el soporte de un nivel de precio, o la resistencia a los aumentos de precio, de una acción o materia prima; después de cambios significativos de precio hacia arriba o hacia abajo, se supone que se encuentran nuevos niveles de soporte y resistencia en o cerca de los precios relacionados con el precio inicial a través de la proporción áurea. ^[106] El uso de la proporción áurea en las inversiones también está relacionado con patrones más complicados descritos por los números de Fibonacci (por ejemplo, el principio de onda de Elliott y el retroceso de Fibonacci ). Sin embargo, otros analistas de mercado han publicado análisis que sugieren que estos porcentajes y patrones no están respaldados por los datos. ^[107]

Los piramidólogos han analizado la Gran Pirámide de Giza (también conocida como la Pirámide de Keops o de Keops) como si tuviera un triángulo de Kepler doble como su sección transversal. Si esta teoría fuera cierta, la proporción áurea describiría la relación de las distancias desde el punto medio de uno de los lados de la pirámide hasta su vértice, y desde el mismo punto medio hasta el centro de la base de la pirámide. Sin embargo, la imprecisión en la medición causada en parte por la eliminación de la superficie exterior de la pirámide hace imposible distinguir esta teoría de otras teorías numéricas de las proporciones de la pirámide, basadas en pi o en proporciones de números enteros. El consenso de los eruditos modernos es que las proporciones de esta pirámide no se basan en la proporción áurea, porque tal base sería incoherente tanto con lo que se sabe sobre las matemáticas egipcias desde la época de la construcción de la pirámide, como con las teorías egipcias de la arquitectura y la proporción utilizadas en sus otras obras. ^[108]

Algunos afirman que la fachada del Partenón (c. 432 a. C.), así como algunos elementos de su fachada y de otros lugares, están circunscritos por rectángulos áureos. ^[110] Otros estudiosos niegan que los griegos tuvieran alguna asociación estética con la proporción áurea. Por ejemplo, Keith Devlin dice: "Ciertamente, la afirmación tan repetida de que el Partenón de Atenas se basa en la proporción áurea no está respaldada por mediciones reales. De hecho, toda la historia sobre los griegos y la proporción áurea parece carecer de fundamento". ^[111] Midhat J. Gazalé afirma que "no fue hasta Euclides... que se estudiaron las propiedades matemáticas de la proporción áurea". ^[112]

A partir de mediciones de 15 templos, 18 tumbas monumentales, 8 sarcófagos y 58 estelas funerarias del siglo V a. C. al siglo II d. C., un investigador concluyó que la proporción áurea estaba totalmente ausente de la arquitectura griega del siglo V a. C. clásico, y casi ausente durante los seis siglos siguientes. ^[113] Fuentes posteriores como Vitruvio (siglo I a. C.) discuten exclusivamente proporciones que pueden expresarse en números enteros, es decir, proporciones conmensurables en oposición a proporciones irracionales.

La Section d'Or ('Sección áurea') fue un colectivo de pintores , escultores, poetas y críticos asociados con el cubismo y el orfismo . ^[114] Activos desde 1911 hasta alrededor de 1914, adoptaron el nombre tanto para resaltar que el cubismo representaba la continuación de una gran tradición, en lugar de ser un movimiento aislado, como en homenaje a la armonía matemática asociada con Georges Seurat . ^[115] (Varios autores han afirmado que Seurat empleó la proporción áurea en sus pinturas, pero los escritos y pinturas de Seurat sugieren que empleó proporciones simples de números enteros y cualquier aproximación a la proporción áurea fue coincidente). ^[116] Los cubistas observaron en sus armonías, la estructuración geométrica del movimiento y la forma, "la primacía de la idea sobre la naturaleza", "una absoluta claridad científica de concepción". ^[117] Sin embargo, a pesar de este interés general en la armonía matemática, es más difícil determinar si las pinturas que se exhibieron en la célebre exposición del Salón de la Sección de Oro de ^{1912 utilizaron la proporción áurea en alguna de sus composiciones. Livio, por ejemplo, afirma que no lo hicieron, [118]} y Marcel Duchamp dijo lo mismo en una entrevista. ^[119] Por otro lado, un análisis sugiere que Juan Gris hizo uso de la proporción áurea al componer obras que probablemente, aunque no de manera definitiva, se exhibieron en la exposición. ^{[119] [120]} El historiador de arte Daniel Robbins ha argumentado que, además de hacer referencia al término matemático, el nombre de la exposición también se refiere al grupo anterior Bandeaux d'Or , con el que habían estado involucrados Albert Gleizes y otros ex miembros de la Abadía de Créteil . ^[121]

Se ha dicho que Piet Mondrian utilizó ampliamente la sección áurea en sus pinturas geométricas, ^[122] aunque otros expertos (incluido el crítico Yve-Alain Bois ) han desacreditado estas afirmaciones. ^{[74] [123]}

• Lista de obras diseñadas con la proporción áurea
• Media metálica
• Relación de plástico
• Geometría sagrada
• Proporción superáurea
• Relación de plata