Álgebra de Clifford

En matemáticas , un álgebra de Clifford ^[a] es un álgebra generada por un espacio vectorial con una forma cuadrática , y es un álgebra asociativa unitaria con la estructura adicional de un subespacio distinguido. Como K -álgebras , generalizan los números reales , los números complejos , los cuaterniones y varios otros sistemas numéricos hipercomplejos . ^{[1] [2]} La teoría de las álgebras de Clifford está íntimamente relacionada con la teoría de las formas cuadráticas y las transformaciones ortogonales . Las álgebras de Clifford tienen aplicaciones importantes en una variedad de campos, incluyendo la geometría , la física teórica y el procesamiento de imágenes digitales . Reciben su nombre del matemático inglés William Kingdon Clifford (1845–1879).

Las álgebras de Clifford más conocidas, las álgebras de Clifford ortogonales , también se denominan álgebras de Clifford ( pseudo ) riemannianas , a diferencia de las álgebras de Clifford simplécticas . ^[b]

Un álgebra de Clifford es un álgebra asociativa unitaria que contiene y es generada por un espacio vectorial V sobre un cuerpo K , donde V está dotado de una forma cuadrática Q  : V → K . El álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es el álgebra asociativa unitaria "más libre" generada por V sujeta a la condición ^[c] donde el producto de la izquierda es el del álgebra, y el 1 es su identidad multiplicativa . La idea de ser el álgebra "más libre" o "más general" sujeta a esta identidad se puede expresar formalmente a través de la noción de una propiedad universal , como se hace a continuación. $${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ {\text{ for all }}v\in V,}$$

Cuando V es un espacio vectorial real de dimensión finita y Q es no degenerado , Cl( V , Q ) puede identificarse por la etiqueta Cl _{p , q} ( R ) , lo que indica que V tiene una base ortogonal con p elementos con e _i ² = +1 , q con e _i ² = −1 , y donde R indica que se trata de un álgebra de Clifford sobre los reales; es decir, los coeficientes de los elementos del álgebra son números reales. Esta base puede encontrarse por diagonalización ortogonal .

El álgebra libre generada por V puede escribirse como el álgebra tensorial ⨁ _{n ≥0} V ⊗ ⋯ ⊗ V , es decir, la suma directa del producto tensorial de n copias de V sobre todos los n . Por lo tanto, se obtiene un álgebra de Clifford como el cociente de esta álgebra tensorial por el ideal bilateral generado por elementos de la forma v ⊗ v − Q ( v )1 para todos los elementos v ∈ V . El producto inducido por el producto tensorial en el álgebra cociente se escribe utilizando yuxtaposición (por ejemplo, uv ). Su asociatividad se sigue de la asociatividad del producto tensorial.

El álgebra de Clifford tiene un subespacio distinguible  V , que es la imagen de la función de incrustación . En general, un subespacio de este tipo no puede determinarse de manera única si solo se da una K -álgebra que sea isomorfa al álgebra de Clifford.

Si 2 es invertible en el campo de tierra K , entonces se puede reescribir la identidad fundamental anterior en la forma donde es la forma bilineal simétrica asociada con Q , a través de la identidad de polarización .$${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,}$$$${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$$

Las formas cuadráticas y las álgebras de Clifford en característica 2 forman un caso excepcional a este respecto. En particular, si char( K ) = 2 no es cierto que una forma cuadrática determine necesariamente o de manera única una forma bilineal simétrica que satisface Q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ , ^[3] Muchas de las afirmaciones de este artículo incluyen la condición de que la característica no sea 2 y son falsas si se elimina esta condición.

Las álgebras de Clifford están estrechamente relacionadas con las álgebras exteriores . De hecho, si Q = 0 entonces el álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es simplemente el álgebra exterior ⋀ V . Siempre que 2 sea invertible en el cuerpo fundamental  K , existe un isomorfismo lineal canónico entre ⋀ V y Cl( V , Q ) . Es decir, son naturalmente isomorfos como espacios vectoriales, pero con diferentes multiplicaciones (en el caso de la característica dos, siguen siendo isomorfos como espacios vectoriales, pero no naturalmente). La multiplicación de Clifford junto con el subespacio distinguido es estrictamente más rica que el producto exterior ya que hace uso de la información adicional proporcionada por  Q .

El álgebra de Clifford es un álgebra filtrada ; el álgebra graduada asociada es el álgebra exterior.

Más precisamente, las álgebras de Clifford pueden considerarse como cuantificaciones (cf. grupo cuántico ) del álgebra exterior, de la misma manera que el álgebra de Weyl es una cuantificación del álgebra simétrica .

Las álgebras de Weyl y las álgebras de Clifford admiten una estructura adicional de una *-álgebra , y pueden unificarse como términos pares e impares de una superálgebra , como se analiza en las álgebras CCR y CAR .

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo  K , y sea Q  : V → K una forma cuadrática sobre V . En la mayoría de los casos de interés el cuerpo K es el cuerpo de números reales  R , o el cuerpo de números complejos  C , o un cuerpo finito .

Un álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es un par ( B , i ) , ^{[d] [4]} donde B es un álgebra asociativa unital sobre K e i es una función lineal i  : V → B que satisface i ( v ) ² = Q ( v )1 _B para todo v en V , definida por la siguiente propiedad universal : dada cualquier álgebra asociativa unital A sobre K y cualquier función lineal j  : V → A tal que (donde 1 _A denota la identidad multiplicativa de A ), existe un homomorfismo de álgebra único f  : B → A tal que el siguiente diagrama conmuta (es decir, tal que f ∘ i = j ): $${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ for all }}v\in V}$$

La forma cuadrática Q puede ser reemplazada por una forma bilineal (no necesariamente simétrica ^[5] ) ⟨⋅,⋅⟩ que tiene la propiedad ⟨ v , v ⟩ = Q ( v ), v ∈ V , en cuyo caso un requisito equivalente en j es $${\displaystyle j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V.}$$

Cuando la característica del campo no es 2 , esto puede reemplazarse por lo que entonces es un requisito equivalente, donde la forma bilineal puede restringirse adicionalmente a ser simétrica sin pérdida de generalidad.$${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ for all }}v,w\in V,}$$

Un álgebra de Clifford como la descrita anteriormente siempre existe y se puede construir de la siguiente manera: comience con el álgebra más general que contiene V , es decir, el álgebra tensorial T ( V ) , y luego aplique la identidad fundamental tomando un cociente adecuado. En nuestro caso, queremos tomar el ideal bilateral I _Q en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma para todos y definir Cl( V , Q ) como el álgebra del cociente$${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$$${\displaystyle v\in V}$$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.}$$

El producto de anillo heredado por este cociente a veces se denomina producto de Clifford ^[6] para distinguirlo del producto exterior y del producto escalar.

Es entonces sencillo demostrar que Cl( V , Q ) contiene a V y satisface la propiedad universal antes mencionada, de modo que Cl es único salvo un isomorfismo único; por lo tanto, se habla de "la" álgebra de Clifford Cl( V , Q ) . También se sigue de esta construcción que i es inyectiva . Por lo general, se omite la  i y se considera a V como un subespacio lineal de Cl( V , Q ) .

La caracterización universal del álgebra de Clifford muestra que la construcción de Cl( V , Q ) es de naturaleza funtorial . Es decir, Cl puede considerarse como un funtor desde la categoría de espacios vectoriales con formas cuadráticas (cuyos morfismos son aplicaciones lineales que preservan la forma cuadrática) hasta la categoría de álgebras asociativas. La propiedad universal garantiza que las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales (que preservan la forma cuadrática) se extiendan únicamente a homomorfismos algebraicos entre las álgebras de Clifford asociadas.

Como V viene dotado de una forma cuadrática  Q , en característica distinta de 2 existen bases para V que son ortogonales . Una base ortogonal es aquella tal que para una forma bilineal simétrica para , y$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$$${\displaystyle i\neq j}$$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).}$$

La identidad fundamental de Clifford implica que para una base ortogonal para , y$${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$$${\displaystyle i\neq j}$$${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i}).}$$

Esto hace que la manipulación de vectores de base ortogonales sea bastante sencilla. Dado un producto de vectores de base ortogonales distintos de V , se los puede poner en un orden estándar mientras se incluye un signo general determinado por la cantidad de intercambios por pares necesarios para hacerlo (es decir, la firma de la permutación de ordenamiento ).${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$

Si la dimensión de V sobre K es n y { e ₁ , ..., e _n } es una base ortogonal de ( V , Q ) , entonces Cl( V , Q ) es libre sobre K con una base$${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}.}$$

El producto vacío ( k = 0 ) se define como el elemento identidad multiplicativo . Para cada valor de k hay n elementos base, por lo que la dimensión total del álgebra de Clifford es$${\displaystyle \dim \operatorname {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}.}$$

Las álgebras de Clifford más importantes son aquellas sobre espacios vectoriales reales y complejos equipados con formas cuadráticas no degeneradas .

Cada una de las álgebras Cl _{p , q} ( R ) y Cl _n ( C ) es isomorfa a A o A ⊕ A , donde A es un anillo matricial completo con entradas de R , C o  H . Para una clasificación completa de estas álgebras, consulte Clasificación de las álgebras de Clifford .

Las álgebras de Clifford también se denominan a veces álgebras geométricas , generalmente sobre números reales.

Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real de dimensión finita es equivalente a la forma diagonal estándar: donde n = p + q es la dimensión del espacio vectorial. El par de números enteros ( p , q ) se denomina firma de la forma cuadrática. El espacio vectorial real con esta forma cuadrática se denota a menudo R ^{p , q} . El álgebra de Clifford en R ^{p , q} se denota Cl _{p , q} ( R ). El símbolo Cl _n ( R ) significa Cl _{n ,0} ( R ) o Cl _{0, n} ( R ) , dependiendo de si el autor prefiere espacios definidos positivos o definidos negativos.$${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$

Una base estándar { e ₁ , ..., e _n } para R ^{p , q} consiste en n = p + q vectores mutuamente ortogonales, p de los cuales eleva al cuadrado +1 y q de los cuales eleva al cuadrado  −1 . De una base de este tipo, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) tendrá por tanto p vectores que elevan al cuadrado +1 y q vectores que elevan al cuadrado  −1 .

Algunos casos de baja dimensión son:

• Cl _0,0 ( R ) es naturalmente isomorfo a R ya que no hay vectores distintos de cero.
• Cl _0,1 ( R ) es un álgebra bidimensional generada por e ₁ que eleva al cuadrado −1 , y es álgebra-isomorfa a C , el campo de los números complejos .
• Cl _0,2 ( R ) es un álgebra de cuatro dimensiones abarcada por {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ } . Los últimos tres elementos son todos cuadrados a −1 y anticonmutan, por lo que el álgebra es isomorfa a los cuaterniones  H .
• Cl _0,3 ( R ) es un álgebra de 8 dimensiones isomorfa a la suma directa H ⊕ H , los biquaterniones divididos .

También se pueden estudiar álgebras de Clifford sobre espacios vectoriales complejos. Toda forma cuadrática no degenerada sobre un espacio vectorial complejo de dimensión n es equivalente a la forma diagonal estándar. Por lo tanto, para cada dimensión n , salvo isomorfismo, sólo existe una álgebra de Clifford de un espacio vectorial complejo con forma cuadrática no degenerada. Denotaremos el álgebra de Clifford sobre C ⁿ con la forma cuadrática estándar por Cl _n ( C ) .$${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$

En los primeros casos se encuentra que

• Cl ₀ ( C ) ≅ C , los números complejos
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , los números bicomplejos
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ) , los biquaterniones

donde M _n ( C ) denota el álgebra de matrices n × n sobre C .

En esta sección, los cuaterniones de Hamilton se construyen como el subálgebra par del álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) .

Sea el espacio vectorial V el espacio tridimensional real  R ³ y la forma cuadrática la forma cuadrática usual. Entonces, para v , w en R ³ tenemos la forma bilineal (o producto escalar) Ahora introduzcamos el producto de Clifford de los vectores v y w dado por$${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$$${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

Denotemos un conjunto de vectores unitarios ortogonales de R ³ como { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , entonces el producto de Clifford produce las relaciones y El elemento general del álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) está dado por$${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$$${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$$${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

La combinación lineal de los elementos de grado par de Cl _3,0 ( R ) define la subálgebra par Cl^[0]
_3,0( R ) con el elemento general Los elementos base se pueden identificar con los elementos base del cuaternión i , j , k como lo que muestra que la subálgebra par Cl$${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$^[0]
_3,0( R ) es el álgebra de cuaterniones real de Hamilton .

Para ver esto, calcule y Finalmente,$${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$$${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$$${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

En esta sección, los cuaterniones duales se construyen como el subálgebra par de un álgebra de Clifford de un espacio real de cuatro dimensiones con una forma cuadrática degenerada. ^{[7] [8]}

Sea el espacio vectorial V el espacio real de cuatro dimensiones R ⁴ , y sea la forma cuadrática Q una forma degenerada derivada de la métrica euclidiana en R ³ . Para v , w en R ⁴ introduzca la forma bilineal degenerada Este producto escalar degenerado proyecta las medidas de distancia en R ⁴ sobre el hiperplano R ³ .$${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$

El producto de Clifford de los vectores v y w se da por Nótese que el signo negativo se introduce para simplificar la correspondencia con los cuaterniones.$${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$

Denotemos un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales de R ⁴ como { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ } , entonces el producto de Clifford produce las relaciones y$${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$$${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

El elemento general del álgebra de Clifford Cl( R ⁴ , d ) tiene 16 componentes. La combinación lineal de los elementos de grado par define la subálgebra par Cl ^[0] ( R ⁴ , d ) con el elemento general$${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

Los elementos base se pueden identificar con los elementos base del cuaternión i , j , k y la unidad dual ε como Esto proporciona la correspondencia de Cl$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$^[0]
_0,3,1( R ) con álgebra de cuaterniones duales .

Para ver esto, calcule y Los intercambios de e ₁ y e ₄ alternan signos un número par de veces, y muestre que la unidad dual ε conmuta con los elementos base del cuaternión i , j , k .$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$$${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$

Sea K cualquier campo de característica distinta de 2 .

Para dim V = 1 , si Q tiene diagonalización diag( a ) , es decir que hay un vector x distinto de cero tal que Q ( x ) = a , entonces Cl( V , Q ) es isomorfo algebraico a un K -álgebra generada por un elemento x que satisface x ² = a , el álgebra cuadrática K [ X ] / ( X ² − a ) .

En particular, si a = 0 (es decir, Q es la forma cuadrática cero) entonces Cl( V , Q ) es isomorfo al álgebra de números duales sobre K .

Si a es un cuadrado distinto de cero en K , entonces Cl( V , Q ) ≃ K ⊕ K .

De lo contrario, Cl( V , Q ) es isomorfo a la extensión de campo cuadrático K ( √ a ) de K .

Para dim V = 2 , si Q tiene diagonalización diag( a , b ) con a y b distintos de cero (lo cual siempre existe si Q no es degenerado), entonces Cl( V , Q ) es isomorfo a un K -álgebra generada por los elementos x e y que satisface x ² = a , y ² = b y xy = − yx .

Por lo tanto, Cl( V , Q ) es isomorfo al álgebra de cuaterniones (generalizada) ( a , b ) _K . Recuperamos los cuaterniones de Hamilton cuando a = b = −1 , ya que H = (−1, −1) _R .

Como caso especial, si alguna x en V satisface Q ( x ) = 1 , entonces Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K ) .

Dado un espacio vectorial  V , se puede construir el álgebra exterior ⋀ V , cuya definición es independiente de cualquier forma cuadrática en V . Resulta que si K no tiene característica 2 entonces hay un isomorfismo natural entre ⋀ V y Cl( V , Q ) considerados como espacios vectoriales (y existe un isomorfismo en característica dos, que puede no ser natural). Este es un isomorfismo de álgebra si y solo si Q = 0 . Por lo tanto, se puede considerar el álgebra de Clifford Cl( V , Q ) como un enriquecimiento (o más precisamente, una cuantización, cf. la Introducción) del álgebra exterior en V con una multiplicación que depende de  Q (aún se puede definir el producto exterior independientemente de  Q ).

La forma más fácil de establecer el isomorfismo es elegir una base ortogonal { e ₁ , ..., e _n } para V y extenderla a una base para Cl( V , Q ) como se describió anteriormente. La función Cl( V , Q ) → ⋀ V está determinada por Nótese que esto funciona solo si la base { e ₁ , ..., e _n } es ortogonal. Se puede demostrar que esta función es independiente de la elección de la base ortogonal y, por lo tanto, da un isomorfismo natural.$${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$

Si la característica de K es 0 , también se puede establecer el isomorfismo por antisimetrización. Definir funciones f _k  : V × ⋯ × V → Cl( V , Q ) por donde la suma se toma sobre el grupo simétrico en k elementos, S _k . Como f _k es alternante , induce una función lineal única ⋀ ^k V → Cl( V , Q ) . La suma directa de estas funciones da una función lineal entre ⋀ V y Cl( V , Q ) . Se puede demostrar que esta función es un isomorfismo lineal, y es natural.$${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$

Una forma más sofisticada de ver la relación es construir una filtración en Cl( V , Q ) . Recordemos que el álgebra tensorial T ( V ) tiene una filtración natural: F ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ⋯ , donde F ^k contiene sumas de tensores con orden ≤ k . Proyectando esto hacia el álgebra de Clifford obtenemos una filtración en Cl( V , Q ) . El álgebra graduada asociada es naturalmente isomorfa al álgebra exterior ⋀ V . Puesto que el álgebra graduada asociada de un álgebra filtrada es siempre isomorfa al álgebra filtrada como espacios vectoriales filtrados (eligiendo complementos de F ^k en F ^{k +1} para todo  k ), esto proporciona un isomorfismo (aunque no natural) en cualquier característica, incluso dos.$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$

En lo siguiente, supongamos que la característica no es  2. ^[e ]

Las álgebras de Clifford son álgebras graduadas Z ₂ (también conocidas como superálgebras ). De hecho, la función lineal en V definida por v ↦ − v ( reflexión a través del origen ) conserva la forma cuadrática Q y, por lo tanto, por la propiedad universal de las álgebras de Clifford, se extiende a un automorfismo de álgebra.$${\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}$$

Dado que α es una involución (es decir, eleva al cuadrado la identidad ) se puede descomponer Cl( V , Q ) en espacios propios positivos y negativos de  α donde $${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

Como α es un automorfismo se sigue que: donde los superíndices entre corchetes se leen módulo 2. Esto da a Cl( V , Q ) la estructura de un álgebra graduada Z 2 _. El subespacio Cl ^[0] ( V , Q ) forma un subálgebra de Cl( V , Q ) , llamada subálgebra par . El subespacio Cl ^[1] ( V , Q ) se llama la parte impar de Cl( V , Q ) (no es un subálgebra). Esta gradación Z ₂ juega un papel importante en el análisis y la aplicación de las álgebras de Clifford. El automorfismo α se llama involución principal o involución de grado . Los elementos que son puros en esta gradación Z ₂ simplemente se dice que son pares o impares.$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$

Observación . El álgebra de Clifford no es un álgebra graduada en Z , sino filtrada en Z , donde Cl ^{≤ i} ( V , Q ) es el subespacio abarcado por todos los productos de como máximo i elementos de  V .$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

El grado de un número de Clifford generalmente se refiere al grado en la clasificación Z.

La subálgebra par Cl ^[0] ( V , Q ) de un álgebra de Clifford es en sí misma isomorfa a un álgebra de Clifford. ^{[f] [g]} Si V es la suma directa ortogonal de un vector a de norma distinta de cero Q ( a ) y un subespacio U , entonces Cl ^[0] ( V , Q ) es isomorfa a Cl( U , − Q ( a ) Q | _U ) , donde Q | _U es la forma Q restringida a U . En particular sobre los reales esto implica que:$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

En el caso negativo definido esto da una inclusión Cl _{0, n −1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) , que extiende la secuencia

Del mismo modo, en el caso complejo, se puede demostrar que el subálgebra par de Cl _n ( C ) es isomorfa a Cl _{n −1} ( C ) .

Además del automorfismo α , hay dos antiautomorfismos que juegan un papel importante en el análisis de las álgebras de Clifford. Recordemos que el álgebra tensorial T ( V ) viene con un antiautomorfismo que invierte el orden en todos los productos de vectores: Dado que el ideal I _Q es invariante bajo esta inversión, esta operación desciende a un antiautomorfismo de Cl( V , Q ) llamado operación de transposición o inversión , denotada por x ^t . La transposición es un antiautomorfismo: ( xy ) ^t = y ^t x ^t . La operación de transposición no hace uso de la gradación Z ₂ , por lo que definimos un segundo antiautomorfismo componiendo α y la transpuesta. Llamamos a esta operación conjugación de Clifford denotada De los dos antiautomorfismos, la transposición es el más fundamental. ^[h]$${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$$${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$

Nótese que todas estas operaciones son involuciones . Se puede demostrar que actúan como ±1 en elementos que son puros en la clasificación Z. De hecho, las tres operaciones dependen únicamente del grado módulo  4. Es decir, si x es puro con grado k entonces donde los signos están dados por la siguiente tabla:$${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$

k módulo 4	0	1	2	3	…
${\displaystyle \alpha (x)\,}$	+	−	+	−	(−1) k
${\displaystyle x^{\mathrm {t} }\,}$	+	+	−	−	(−1) k ( k − 1)/2
${\displaystyle {\bar {x}}}$	+	−	−	+	(−1) k ( k + 1)/2

Cuando la característica no es 2 , la forma cuadrática Q en V se puede extender a una forma cuadrática en todo Cl( V , Q ) (que también denotamos por Q ). Una definición independiente de la base de una de esas extensiones es donde ⟨ a ⟩ ₀ denota la parte escalar de a (la parte de grado 0 en la gradación Z ). Se puede demostrar que donde los v _i son elementos de V – esta identidad no es verdadera para elementos arbitrarios de Cl( V , Q ) .$${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$$${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$

La forma bilineal simétrica asociada en Cl( V , Q ) está dada por Se puede comprobar que esto se reduce a la forma bilineal original cuando se restringe a V . La forma bilineal en todos los Cl( V , Q ) es no degenerada si y solo si es no degenerada en V .$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$

El operador de multiplicación de Clifford izquierda (o derecha) por la transpuesta a ^t de un elemento a es el adjunto de la multiplicación de Clifford izquierda (o derecha) por a con respecto a este producto interno. Es decir, y$${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$$${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

En esta sección asumimos que la característica no es 2 , que el espacio vectorial V es de dimensión finita y que la forma bilineal simétrica asociada de Q es no degenerada.

Un álgebra simple central sobre K es un álgebra matricial sobre un álgebra de división (de dimensión finita) con centro K. Por ejemplo, las álgebras simples centrales sobre los números reales son álgebras matriciales sobre los números reales o los cuaterniones.

• Si V tiene dimensión par entonces Cl( V , Q ) es un álgebra central simple sobre  K .
• Si V tiene dimensión par, entonces la subálgebra par Cl ^[0] ( V , Q ) es un álgebra central simple sobre una extensión cuadrática de K o una suma de dos álgebras centrales simples isomorfas sobre  K .
• Si V tiene dimensión impar, entonces Cl( V , Q ) es un álgebra central simple sobre una extensión cuadrática de K o una suma de dos álgebras centrales simples isomorfas sobre  K .
• Si V tiene dimensión impar entonces la subálgebra par Cl ^[0] ( V , Q ) es un álgebra central simple sobre  K .

La estructura de las álgebras de Clifford se puede calcular explícitamente utilizando el siguiente resultado. Supóngase que U tiene dimensión par y una forma bilineal no singular con discriminante d , y supóngase que V es otro espacio vectorial con una forma cuadrática. El álgebra de Clifford de U + V es isomorfa al producto tensorial de las álgebras de Clifford de U y (−1) ^{dim( U )/2} dV , que es el espacio V con su forma cuadrática multiplicada por (−1) ^{dim( U )/2} d . Sobre los números reales, esto implica en particular que Estas fórmulas se pueden utilizar para encontrar la estructura de todas las álgebras de Clifford reales y todas las álgebras de Clifford complejas; véase la clasificación de las álgebras de Clifford .$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$$

En particular, la clase de equivalencia de Morita de un álgebra de Clifford (su teoría de representación: la clase de equivalencia de la categoría de módulos sobre ella) depende únicamente de la signatura ( p − q ) mod 8 . Esta es una forma algebraica de la periodicidad de Bott .

La clase de grupos de Lipschitz ( también conocidos como ^[9] grupos de Clifford o grupos de Clifford-Lipschitz) fue descubierta por Rudolf Lipschitz . ^[10]

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y que la forma cuadrática Q es no degenerada .

Una acción sobre los elementos de un álgebra de Clifford por su grupo de unidades puede definirse en términos de una conjugación torcida: la conjugación torcida por x asigna y ↦ α ( x ) y x ⁻¹ , donde α es la involución principal definida anteriormente.

El grupo de Lipschitz Γ se define como el conjunto de elementos invertibles x que estabilizan el conjunto de vectores bajo esta acción, ^[11] lo que significa que para todo v en V tenemos:$${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\in V.}$$

Esta fórmula también define una acción del grupo de Lipschitz sobre el espacio vectorial V que conserva la forma cuadrática Q , y por lo tanto da un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo ortogonal. El grupo de Lipschitz contiene todos los elementos r de V para los cuales Q ( r ) es invertible en K , y estos actúan sobre V por las reflexiones correspondientes que llevan v a v − ( ⟨ r , v ⟩ + ⟨ v , r ⟩ ) r ‍ / ‍ Q ( r ) . (En la característica 2 estas se llaman transvecciones ortogonales en lugar de reflexiones).

Si V es un espacio vectorial real de dimensión finita con una forma cuadrática no degenerada , entonces el grupo de Lipschitz se asigna al grupo ortogonal de V con respecto a la forma (por el teorema de Cartan-Dieudonné ) y el núcleo consiste en los elementos no nulos del cuerpo  K. Esto conduce a secuencias exactas.$${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow \operatorname {O} _{V}(K)\rightarrow 1,}$$$${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow \operatorname {SO} _{V}(K)\rightarrow 1.}$$

Sobre otros campos o con formas indefinidas, la función no es en general sobreyectiva, y el fallo es capturado por la norma de espinor.

En característica arbitraria, la norma de espinor Q se define en el grupo de Lipschitz por Es un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo K ^× de elementos no nulos de K . Coincide con la forma cuadrática Q de V cuando V se identifica con un subespacio del álgebra de Clifford. Varios autores definen la norma de espinor de forma ligeramente diferente, de modo que difiere de la aquí por un factor de −1 , 2 o −2 en  Γ ¹ . La diferencia no es muy importante en característica distinta de 2.$${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$

Los elementos no nulos de K tienen norma de espinor en el grupo ( K ^​​× ) ² de cuadrados de elementos no nulos del cuerpo K . Por lo tanto, cuando V es de dimensión finita y no singular, obtenemos una función inducida del grupo ortogonal de V al grupo K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , también llamada norma de espinor. La norma de espinor de la reflexión sobre r ^⊥ , para cualquier vector r , tiene imagen Q ( r ) en K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , y esta propiedad la define de forma única en el grupo ortogonal. Esto da secuencias exactas:$${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Nótese que en la característica 2 el grupo {±1} tiene solo un elemento.

Desde el punto de vista de la cohomología de Galois de grupos algebraicos , la norma de espinor es un homomorfismo de conexión en la cohomología. Escribiendo μ ₂ para el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 (sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es aproximadamente lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial), la secuencia exacta corta produce una secuencia exacta larga en la cohomología, que comienza$${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1}$$$${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

El grupo de cohomología de Galois 0 de un grupo algebraico con coeficientes en K es simplemente el grupo de puntos con valores K : H ⁰ ( G ; K ) = G ( K ) , y H ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , que recupera la secuencia anterior donde la norma de espinor es el homomorfismo de conexión H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K ) .$${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y su forma bilineal no es singular.

El grupo pin Pin _V ( K ) es el subgrupo del grupo Lipschitz Γ de elementos de norma de espinor 1 , y de manera similar el grupo de espín Spin _V ( K ) es el subgrupo de elementos de invariante de Dickson 0 en Pin _V ( K ) . Cuando la característica no es 2 , estos son los elementos del determinante 1 . El grupo de espín usualmente tiene índice 2 en el grupo pin.

Recordemos de la sección anterior que existe un homomorfismo del grupo de Lipschitz sobre el grupo ortogonal. Definimos el grupo ortogonal especial como la imagen de Γ ⁰ . Si K no tiene característica 2 este es simplemente el grupo de elementos del grupo ortogonal del determinante 1 . Si K tiene característica 2 , entonces todos los elementos del grupo ortogonal tienen determinante 1 , y el grupo ortogonal especial es el conjunto de elementos del invariante de Dickson 0 .

Existe un homomorfismo del grupo pin al grupo ortogonal. La imagen consta de los elementos de norma de espinor 1 ∈ K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² . El núcleo consta de los elementos +1 y −1 , y tiene orden 2 a menos que K tenga característica 2 . De manera similar, existe un homomorfismo del grupo Spin al grupo ortogonal especial de  V .

En el caso común cuando V es un espacio definido positivo o negativo sobre los reales, el grupo de espín se mapea sobre el grupo ortogonal especial, y es simplemente conexo cuando V tiene dimensión al menos 3 . Además, el núcleo de este homomorfismo consiste en 1 y −1 . Entonces, en este caso, el grupo de espín, Spin( n ) , es una doble cobertura de SO( n ) . Nótese, sin embargo, que la simple conexidad del grupo de espín no es verdadera en general: si V es R ^{p , q} para p y q ambos al menos 2 entonces el grupo de espín no es simplemente conexo. En este caso, el grupo algebraico Spin _{p , q} es simplemente conexo como un grupo algebraico, aunque su grupo de puntos de valor real Spin _{p , q} ( R ) no es simplemente conexo. Este es un punto bastante sutil, que confundió completamente a los autores de al menos un libro estándar sobre grupos de espín. ^{[ ¿ cuál? ]}

Las álgebras de Clifford Cl _{p , q} ( C ) , con p + q = 2 n par, son álgebras matriciales que tienen una representación compleja de dimensión 2 ⁿ . Al restringir al grupo Pin _{p , q} ( R ) obtenemos una representación compleja del grupo Pin de la misma dimensión, llamada representación de espín . Si restringimos esto al grupo de espín Spin _{p , q} ( R ) entonces se descompone como la suma de dos representaciones de medio espín (o representaciones de Weyl ) de dimensión  2 ^{n −1} .

Si p + q = 2 n + 1 es impar, entonces el álgebra de Clifford Cl _{p , q} ( C ) es una suma de dos álgebras matriciales, cada una de las cuales tiene una representación de dimensión 2 ⁿ , y estas también son representaciones del grupo pin Pin _{p , q} ( R ) . Al restringirnos al grupo de espín Spin _{p , q} ( R ) , estos se vuelven isomorfos, por lo que el grupo de espín tiene una representación de espinor compleja de dimensión  2 ⁿ .

En términos más generales, los grupos de espinores y los grupos de espín sobre cualquier cuerpo tienen representaciones similares cuya estructura exacta depende de la estructura de las álgebras de Clifford correspondientes : siempre que un álgebra de Clifford tenga un factor que sea un álgebra matricial sobre alguna álgebra de división, obtenemos una representación correspondiente de los grupos de espín y de espín sobre esa álgebra de división. Para ejemplos sobre los números reales, consulte el artículo sobre espinores .

Para describir las representaciones reales del espín, uno debe saber cómo se sitúa el grupo de espín dentro de su álgebra de Clifford. El grupo pin , Pin _{p , q} es el conjunto de elementos invertibles en Cl _{p , q} que se puede escribir como un producto de vectores unitarios: En comparación con las realizaciones concretas anteriores de las álgebras de Clifford, el grupo pin corresponde a los productos de arbitrariamente muchas reflexiones: es una cobertura del grupo ortogonal completo O( p , q ) . El grupo de espín consiste en aquellos elementos de Pin _{p , q} que son productos de un número par de vectores unitarios. Así, por el teorema de Cartan-Dieudonné, Spin es una cobertura del grupo de rotaciones propias SO( p , q ) .$${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$

Sea α  : Cl → Cl el automorfismo que viene dado por la aplicación v ↦ − v que actúa sobre vectores puros. Entonces, en particular, Spin _{p , q} es el subgrupo de Pin _{p , q} cuyos elementos están fijados por α . Sea (Estos son precisamente los elementos de grado par en Cl _{p , q} .) Entonces, el grupo de espín se encuentra dentro de Cl$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$^[0]
_{p , q}.

Las representaciones irreducibles de Cl _{p , q} se limitan a dar representaciones del grupo pin. Por el contrario, dado que el grupo pin se genera mediante vectores unitarios, todas sus representaciones irreducibles se inducen de esta manera. Por lo tanto, las dos representaciones coinciden. Por las mismas razones, las representaciones irreducibles del espín coinciden con las representaciones irreducibles de Cl^[0]
_{p , q}.

Para clasificar las representaciones de pin, solo hay que recurrir a la clasificación de las álgebras de Clifford . Para encontrar las representaciones de espín (que son representaciones de la subálgebra par), primero se puede hacer uso de cualquiera de los isomorfismos (ver arriba) y realizar una representación de espín en la signatura ( p , q ) como una representación de pin en la signatura ( p , q − 1) o ( q , p − 1) .$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$

Una de las principales aplicaciones del álgebra exterior es en geometría diferencial , donde se utiliza para definir el fibrado de formas diferenciales en una variedad lisa . En el caso de una variedad ( pseudo- ) riemanniana , los espacios tangentes vienen equipados con una forma cuadrática natural inducida por la métrica . Por lo tanto, se puede definir un fibrado de Clifford en analogía con el fibrado exterior . Esto tiene varias aplicaciones importantes en geometría riemanniana . Quizás más importante es el vínculo con una variedad de espín , su fibrado de espinores asociado y las variedades de espín ^c .

Las álgebras de Clifford tienen numerosas aplicaciones importantes en física. Los físicos suelen considerar que una álgebra de Clifford es una álgebra que tiene una base generada por las matrices γ ₀ , ..., γ ₃ , llamadas matrices de Dirac , que tienen la propiedad de que donde η es la matriz de una forma cuadrática de signatura (1, 3) (o (3, 1) correspondiente a las dos opciones equivalentes de signatura métrica). Estas son exactamente las relaciones definitorias para el álgebra de Clifford Cl$${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},}$$
_1,3( R ) , cuya complejización es Cl
_1,3( R ) _C , que, según la clasificación de las álgebras de Clifford , es isomorfa al álgebra de matrices complejas de 4 × 4 Cl ₄ ( C ) ≈ M ₄ ( C ) . Sin embargo, es mejor conservar la notación Cl
_1,3( R ) _C , ya que cualquier transformación que lleve la forma bilineal a la forma canónica no es una transformación de Lorentz del espacio-tiempo subyacente.

El álgebra de Clifford del espacio-tiempo utilizada en física tiene, por tanto, más estructura que Cl ₄ ( C ) . Además, tiene un conjunto de transformaciones preferidas: las transformaciones de Lorentz. Si la complejización es necesaria para empezar depende en parte de las convenciones utilizadas y en parte de cuánto se quiera incorporar directamente, pero la complejización es necesaria con mayor frecuencia en mecánica cuántica, donde la representación de espín del álgebra de Lie, por lo que (1, 3) que se encuentra dentro del álgebra de Clifford requiere convencionalmente un álgebra de Clifford compleja. Como referencia, el álgebra de Lie de espín viene dada por$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

Esto está en la convención (3, 1) , por lo tanto encaja en Cl
_3,1( R ) _C . ^[12]

Las matrices de Dirac fueron escritas por primera vez por Paul Dirac cuando intentaba escribir una ecuación de onda relativista de primer orden para el electrón y proporcionar un isomorfismo explícito del álgebra de Clifford al álgebra de matrices complejas. El resultado se utilizó para definir la ecuación de Dirac e introducir el operador de Dirac . El álgebra de Clifford completa aparece en la teoría cuántica de campos en forma de bilineales de campo de Dirac .

El uso de las álgebras de Clifford para describir la teoría cuántica ha sido propuesto, entre otros, por Mario Schönberg , ^[i] por David Hestenes en términos de cálculo geométrico , por David Bohm y Basil Hiley y colaboradores en forma de una jerarquía de álgebras de Clifford , y por Elio Conte et al. ^{[13] [14]}

Las álgebras de Clifford se han aplicado en el problema del reconocimiento y clasificación de acciones en visión por computadora . Rodríguez et al ^[15] proponen una incrustación de Clifford para generalizar los filtros MACH tradicionales a video (volumen espaciotemporal 3D) y datos con valores vectoriales como el flujo óptico . Los datos con valores vectoriales se analizan utilizando la transformada de Fourier de Clifford . Con base en estos vectores, se sintetizan filtros de acción en el dominio de Fourier de Clifford y se realiza el reconocimiento de acciones utilizando la correlación de Clifford. Los autores demuestran la efectividad de la incrustación de Clifford al reconocer acciones que se realizan típicamente en largometrajes clásicos y transmisiones televisivas de deportes.

• Si bien este artículo se centra en un álgebra de Clifford de un espacio vectorial sobre un cuerpo, la definición se extiende sin cambios a un módulo sobre cualquier anillo unitario, asociativo y conmutativo. ^[j]
• Las álgebras de Clifford pueden generalizarse a una forma de grado superior al cuadrático sobre un espacio vectorial. ^[16]

• "Álgebra de Clifford", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Entrada de Planetmath sobre las álgebras de Clifford Archivado el 15 de abril de 2005 en Wayback Machine
• Una historia de las álgebras de Clifford (sin verificar)
• John Baez sobre las álgebras de Clifford
• Álgebra de Clifford: una introducción visual
• Clifford Algebra Explorer: una herramienta pedagógica