Volumen de una bola n

En geometría , una bola es una región en un espacio que comprende todos los puntos dentro de una distancia fija, llamada radio , desde un punto dado; es decir, es la región encerrada por una esfera o hiperesfera . Una n -bola es una bola en un espacio euclidiano n -dimensional . El volumen de una n -bola es la medida de Lebesgue de esta bola, que generaliza a cualquier dimensión el volumen habitual de una bola en el espacio tridimensional . El volumen de una n -bola de radio R es donde es el volumen de la n -bola unidad , la n -bola de radio 1 .${\displaystyle R^{n}V_{n},}$$Estilo de visualización V_{n}$

El número real se puede expresar mediante una relación de recurrencia bidimensional . Las expresiones de forma cerrada implican la función gamma , factorial o doble factorial . El volumen también se puede expresar en términos de , el área de la n -esfera unitaria .$Estilo de visualización V_{n}$$Estilo de visualización A_{n}$

Los primeros volúmenes son los siguientes:

Dimensión	Volumen de una bola de radio R	Radio de una bola de volumen V
0	${\estilo de visualización 1}$	(todas las bolas 0 tienen volumen 1)
1	${\estilo de visualización 2R}$	${\displaystyle {\frac {V}{2}}=0,5\times V}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}\aproximadamente 3,142\veces R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}\aproximadamente 0,564\times V^{\frac {1}{2}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}\aproximadamente 4,189\veces R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}\aproximadamente 0,620\veces V^{1/3}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}\aproximadamente 4,935\veces R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}\aproximadamente 0,671\times V^{1/4}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}\aproximadamente 5,264\veces R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}\aproximadamente 0,717\times V^{1/5}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}\approx 5.168\times R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.761\times V^{1/6}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}\approx 4.725\times R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}\approx 0.801\times V^{1/7}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}\approx 4.059\times R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.839\times V^{1/8}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}\approx 3.299\times R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}\approx 0.876\times V^{1/9}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}\approx 2.550\times R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.911\times V^{1/10}}$
11	${\displaystyle {\frac {64\pi ^{5}}{10395}}R^{11}\approx 1.884\times R^{11}}$	${\displaystyle \left({\frac {10395V}{64\pi ^{5}}}\right)^{1/11}\approx 0.944\times V^{1/11}}$
12	${\displaystyle {\frac {\pi ^{6}}{720}}R^{12}\approx 1.335\times R^{12}}$	${\displaystyle {\frac {(720V)^{1/12}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.976\times V^{1/12}}$
13	${\displaystyle {\frac {128\pi ^{6}}{135135}}R^{13}\approx 0.911\times R^{13}}$	${\displaystyle \left({\frac {135135V}{128\pi ^{6}}}\right)^{1/13}\approx 1.007\times V^{1/13}}$
14	${\displaystyle {\frac {\pi ^{7}}{5040}}R^{14}\approx 0.599\times R^{14}}$	${\displaystyle {\frac {(5040V)^{1/14}}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.037\times V^{1/14}}$
15	${\displaystyle {\frac {256\pi ^{7}}{2027025}}R^{15}\approx 0.381\times R^{15}}$	${\displaystyle \left({\frac {2027025V}{256\pi ^{7}}}\right)^{1/15}\approx 1.066\times V^{1/15}}$
norte	Vn ( R )​	Rn ( V )​

El volumen n -dimensional de una bola euclidiana de radio R en el espacio euclidiano n ^{-dimensional es: [1]}

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}R^{n},}$

donde Γ es la función gamma de Euler . La función gamma se desplaza de pero, por lo demás, extiende la función factorial a argumentos no enteros . Satisface Γ( n ) = ( n − 1)! si n es un entero positivo y Γ( n + ⁠ 1/2⁠ ) ​​= ( n − ⁠1/2⁠ ) ​​· ( n − ⁠3/2⁠ ) ​​· … · ⁠1/2· π ^1/2 si n esun entero no negativo.

El volumen se puede calcular sin utilizar la función Gamma. Como se demuestra a continuación utilizando una doble integral de cálculo vectorial en coordenadas polares , el volumen V de una bola n de radio R se puede expresar recursivamente en términos del volumen de una bola ( n − 2) , mediante la relación de recurrencia intercalada :

${\displaystyle V_{n}(R)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\[0.5ex]2R&{\text{if }}n=1,\\[0.5ex]{\dfrac {2\pi }{n}}R^{2}\times V_{n-2}(R)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Esto permite el cálculo de V _n ( R ) en aproximadamente n / 2 pasos.

El volumen también se puede expresar en términos de una ( n − 1) -bola utilizando la relación de recurrencia unidimensional:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(R)&=1,\\V_{n}(R)&={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi }}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}R\,V_{n-1}(R).\end{aligned}}}$

Invirtiendo lo anterior, el radio de una n -bola de volumen V se puede expresar recursivamente en términos del radio de una ( n − 2) - o ( n − 1) -bola:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(V)&={\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}^{1/n}\left(\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}V\right)^{-2/(n(n-2))}R_{n-2}(V),\\R_{n}(V)&={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{1/(n-1)}}}V^{-1/(n(n-1))}R_{n-1}(V).\end{aligned}}}$

El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la función gamma en los números enteros y semienteros da como resultado fórmulas para el volumen de una pelota euclidiana en términos de factoriales . Para el número entero no negativo k , estas son:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},\\V_{2k+1}(R)&={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.\end{aligned}}}$

El volumen también se puede expresar en términos de factoriales dobles . Para un entero impar positivo 2 k + 1 , el factorial doble se define por

${\displaystyle (2k+1)!!=(2k+1)\cdot (2k-1)\dotsm 5\cdot 3\cdot 1.}$

El volumen de una bola de dimensión impar es

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2(2\pi )^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}.}$

Existen múltiples convenciones para los factoriales dobles de números enteros pares. Según la convención en la que el factorial doble satisface

${\displaystyle (2k)!!=(2k)\cdot (2k-2)\dotsm 4\cdot 2\cdot {\sqrt {2/\pi }}=2^{k}\cdot k!\cdot {\sqrt {2/\pi }},}$

El volumen de una bola n -dimensional es, independientemente de si n es par o impar,

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}}{n!!}}R^{n}.}$

En lugar de expresar el volumen V de la pelota en términos de su radio R , las fórmulas se pueden invertir para expresar el radio en función del volumen:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(V)&={\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}\\&=\left({\frac {n!!V}{2(2\pi )^{(n-1)/2}}}\right)^{1/n}\\R_{2k}(V)&={\frac {(k!V)^{1/(2k)}}{\sqrt {\pi }}},\\R_{2k+1}(V)&=\left({\frac {(2k+1)!V}{2(k!)(4\pi )^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}.\end{aligned}}}$

La aproximación de Stirling para la función gamma se puede utilizar para aproximar el volumen cuando el número de dimensiones es alto.

${\displaystyle V_{n}(R)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{n/2}R^{n}.}$

${\displaystyle R_{n}(V)\sim (\pi n)^{1/(2n)}{\sqrt {\frac {n}{2\pi e}}}V^{1/n}.}$

En particular, para cualquier valor fijo de R el volumen tiende a un valor límite de 0 cuando n tiende a infinito. El valor de n que maximiza V _n ( R ) depende del valor de R ; por ejemplo, el volumen V _n (1) aumenta para 0 ≤ n ≤ 5 , alcanza su máximo cuando n = 5 y disminuye para n ≥ 5 . ^[2]

Además, existe una fórmula asintótica para el área de superficie ^[3]$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {1}{n}}\ln A_{n-1}({\sqrt {n}})={\frac {1}{2}}(\ln(2\pi )+1)}$$

Sea A _{n − 1} ( R ) el hipervolumen de la ( n − 1) -esfera de radio R . La ( n − 1) -esfera es el límite (superficie) ( n − 1) -dimensional de la bola n -dimensional de radio R , y el hipervolumen de la esfera y el hipervolumen de la bola están relacionados por:

${\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n}(R)={\frac {n}{R}}V_{n}(R).}$

Por lo tanto, A _{n − 1} ( R ) hereda fórmulas y relaciones de recursión de V _n ( R ) , como

${\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}R^{n-1}.}$

También existen fórmulas en términos de factoriales y factoriales dobles.

Hay muchas pruebas de las fórmulas anteriores.

Un paso importante en varias demostraciones sobre volúmenes de n -bolas, y además un hecho generalmente útil, es que el volumen de la n -bola de radio R es proporcional a R ⁿ :

${\displaystyle V_{n}(R)\propto R^{n}.}$

La constante de proporcionalidad es el volumen de la bola unitaria.

Este es un caso especial de un hecho general sobre volúmenes en un espacio n -dimensional: si K es un cuerpo ( conjunto medible ) en ese espacio y RK es el cuerpo obtenido al estirarlo en todas las direcciones por el factor R, entonces el volumen de RK es igual a R ⁿ veces el volumen de K. Esta es una consecuencia directa de la fórmula del cambio de variables:

${\displaystyle V(RK)=\int _{RK}dx=\int _{K}R^{n}\,dy=R^{n}V(K)}$

donde dx = dx ₁ … dx _n y se realizó la sustitución x = Ry .

Otra prueba de la relación anterior, que evita la integración multidimensional , utiliza la inducción : el caso base es n = 0 , donde la proporcionalidad es obvia. Para el paso inductivo, suponga que la proporcionalidad es verdadera en la dimensión n − 1. Nótese que la intersección de una n -bola con un hiperplano es una ( n − 1) -bola. Cuando el volumen de la n -bola se escribe como una integral de volúmenes de ( n − 1) -bolas:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{-R}^{R}V_{n-1}\!\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)dx,}$

Es posible por la hipótesis inductiva eliminar un factor de R del radio de la bola ( n − 1) para obtener:

${\displaystyle V_{n}(R)=R^{n-1}\!\int _{-R}^{R}V_{n-1}\!\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}}}\right)dx.}$

Realizando el cambio de variables t = ⁠incógnita/R⁠ conduce a:

${\displaystyle V_{n}(R)=R^{n}\!\int _{-1}^{1}V_{n-1}\!\left({\sqrt {1-t^{2}}}\right)dt=R^{n}V_{n}(1),}$

lo que demuestra la relación de proporcionalidad en la dimensión n . Por inducción, la relación de proporcionalidad es verdadera en todas las dimensiones.

Se puede dar una prueba de la fórmula de recursión que relaciona el volumen de la bola n y una bola ( n − 2) usando la fórmula de proporcionalidad anterior y la integración en coordenadas cilíndricas . Fijemos un plano a través del centro de la bola. Sea r la distancia entre un punto en el plano y el centro de la esfera, y sea θ el acimut. Intersectando la bola n con el plano ( n − 2) -dimensional definido fijando un radio y un acimut se obtiene una bola ( n − 2) de radio √ R ² − r ² . Por lo tanto, el volumen de la bola se puede escribir como una integral iterada de los volúmenes de las bolas ( n − 2) sobre los posibles radios y acimutes:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}V_{n-2}\!\left({\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\right)r\,dr\,d\theta ,}$

La coordenada azimutal se puede integrar inmediatamente. Aplicando la relación de proporcionalidad se ve que el volumen es igual a

${\displaystyle V_{n}(R)=2\pi V_{n-2}(R)\int _{0}^{R}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{(n-2)/2}\,r\,dr.}$

La integral se puede evaluar haciendo la sustitución u = 1 − ( ⁠a/R⁠ )²
Llegar

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(R)&=2\pi V_{n-2}(R)\cdot \left[-{\frac {R^{2}}{n}}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{n/2}\right]_{r=0}^{r=R}\\&={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R),\end{aligned}}}$

que es la fórmula de recursión bidimensional.

La misma técnica se puede utilizar para dar una prueba inductiva de la fórmula del volumen. Los casos base de la inducción son la bola 0 y la bola 1, que se pueden comprobar directamente utilizando los hechos Γ(1) = 1 y Γ( ⁠3/2⁠ ) ​​= ⁠1/2⁠ · Γ( ⁠1/2⁠ ) ​​= ⁠√ π/2⁠ . El paso inductivo es similar al anterior, pero en lugar de aplicar proporcionalidad a los volúmenes de las ( n − 2) -bolas, se aplica la hipótesis inductiva.

La relación de proporcionalidad también se puede utilizar para demostrar la fórmula de recursión que relaciona los volúmenes de una pelota n y una pelota ( n − 1) . Al igual que en la prueba de la fórmula de proporcionalidad, el volumen de una pelota n se puede escribir como una integral sobre los volúmenes de pelotas ( n − 1) . Sin embargo, en lugar de hacer una sustitución, la relación de proporcionalidad se puede aplicar a los volúmenes de las pelotas ( n − 1) en el integrando :

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\int _{-R}^{R}\left(1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right)^{(n-1)/2}\,dx.}$

El integrando es una función par , por lo que por simetría el intervalo de integración se puede restringir a [0, R ] . En el intervalo [0, R ] , es posible aplicar la sustitución u = ( ⁠incógnita/R⁠ )²
. Esto transforma la expresión en

${\displaystyle V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \int _{0}^{1}(1-u)^{(n-1)/2}u^{-{\frac {1}{2}}}\,du}$

La integral es un valor de una función especial bien conocida llamada función beta Β( x , y ) , y el volumen en términos de la función beta es

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \mathrm {B} \left({\tfrac {n+1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right).}$

La función beta se puede expresar en términos de la función gamma de la misma manera que los factoriales se relacionan con los coeficientes binomiales . Al aplicar esta relación se obtiene

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot {\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}.}$

Usando el valor Γ( ⁠1/2⁠ ) ​​= √ π da la fórmula de recursión unidimensional:

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}V_{n-1}(R).}$

Al igual que con la fórmula recursiva bidimensional, se puede utilizar la misma técnica para dar una prueba inductiva de la fórmula del volumen.

El volumen de la bola n se puede calcular integrando el elemento de volumen en coordenadas esféricas . El sistema de coordenadas esféricas tiene una coordenada radial r y coordenadas angulares φ ₁ , …, φ _{n − 1} , donde el dominio de cada φ excepto φ _{n − 1} es [0, π ) , y el dominio de φ _{n − 1} es [0, 2 π ) . El elemento de volumen esférico es:${\displaystyle V_{n}(R)}$

${\displaystyle dV=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1},}$

y el volumen es la integral de esta cantidad sobre r entre 0 y R y todos los ángulos posibles:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{n-1}\cdots d\varphi _{1}\,dr.}$

Cada uno de los factores del integrando depende de una sola variable y, por lo tanto, la integral iterada se puede escribir como un producto de integrales:

${\displaystyle V_{n}(R)=\left(\int _{0}^{R}r^{n-1}\,dr\right)\!\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(\int _{0}^{2\pi }d\varphi _{n-1}\right).}$

La integral sobre el radio esRn^​/norte⁠ . Los intervalos de integración en las coordenadas angulares pueden, por la simetría del seno alrededor de⁠π/2⁠ , se cambiará a [0, ⁠π/2⁠ ] :

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\left(2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(4\int _{0}^{\pi /2}d\varphi _{n-1}\right).}$

Cada una de las integrales restantes es ahora un valor particular de la función beta:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {n-1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {n-2}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\cdots \mathrm {B} {\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\cdot 2\,\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

Las funciones beta se pueden reescribir en términos de funciones gamma:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\cdot {\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}\cdot {\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}-1{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}}\cdots {\frac {\Gamma (1)\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}}}\cdot 2{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma (1)}}.}$

Este producto es telescópico. Combinando esto con los valores Γ( ⁠1/2⁠ ) ​​= √ π y Γ(1) = 1 y la ecuación funcional z Γ( z ) = Γ( z + 1) conduce a

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}R^{n}}{n\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}={\frac {\pi ^{n/2}R^{n}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}.}$

La fórmula del volumen se puede demostrar directamente mediante integrales gaussianas . Consideremos la función:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\exp {\biggl (}{-{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{\biggr )}.}$

Esta función es invariante rotacionalmente y producto de funciones de una variable cada una. Si tomamos como base el hecho de que es un producto y la fórmula de la integral gaussiana, obtenemos:

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\prod _{i=1}^{n}\left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x_{i}^{2}\right)\,dx_{i}\right)=(2\pi )^{n/2},}$

donde dV es el elemento de volumen de n dimensiones. Utilizando la invariancia rotacional, la misma integral se puede calcular en coordenadas esféricas:

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\int _{0}^{\infty }\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,dA\,dr,}$

donde S ^{n − 1} ( r ) es una ( n − 1) -esfera de radio r (siendo la superficie de una n -bola de radio r ) y dA es el elemento de área (equivalentemente, el elemento de volumen de ( n − 1) -dimensional). El área de la superficie de la esfera satisface una ecuación de proporcionalidad similar a la del volumen de una pelota: Si A _{n − 1} ( r ) es el área de la superficie de una ( n − 1) -esfera de radio r , entonces:

${\displaystyle A_{n-1}(r)=r^{n-1}A_{n-1}(1).}$

Aplicando esto a la integral anterior se obtiene la expresión

${\displaystyle (2\pi )^{n/2}=\int _{0}^{\infty }\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,dA\,dr=A_{n-1}(1)\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr.}$

Sustituyendo t = ⁠r2^​/2:​

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr=2^{(n-2)/2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{(n-2)/2}\,dt.}$

La integral de la derecha es la función gamma evaluada en ⁠norte/2⁠ .

La combinación de ambos resultados muestra que

${\displaystyle A_{n-1}(1)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}.}$

Para derivar el volumen de una n -esfera de radio R a partir de esta fórmula, integre el área de superficie de una esfera de radio r para 0 ≤ r ≤ R y aplique la ecuación funcional z Γ( z ) = Γ( z + 1) :

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}{\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}\,r^{n-1}\,dr={\frac {2\pi ^{n/2}}{n\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}R^{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}R^{n}.}$

Las relaciones y y, por lo tanto, los volúmenes de n -bolas y las áreas de n -esferas también se pueden derivar geométricamente. Como se señaló anteriormente, debido a que una bola de radio se obtiene a partir de una bola unitaria reescalando todas las direcciones en tiempos, es proporcional a , lo que implica . Además, debido a que una bola es una unión de esferas concéntricas y el aumento del radio en ε corresponde a una capa de espesor ε . Por lo tanto, ; equivalentemente, .${\displaystyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}$${\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V_{n}(R)}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle {\frac {dV_{n}(R)}{dR}}={\frac {n}{R}}V_{n}(R)}$${\displaystyle A_{n-1}(R)={\frac {dV_{n}(R)}{dR}}}$${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R}{n}}A_{n-1}(R)}$${\displaystyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}$

${\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)}$Se deduce de la existencia de una biyección que preserva el volumen entre la esfera unitaria y :${\displaystyle S_{n+1}}$${\displaystyle S_{1}\times B_{n}}$

${\displaystyle (x,y,{\vec {z}})\mapsto \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\vec {z}}\right)}$

( es una n -tupla; ; ignoramos los conjuntos de medida 0). El volumen se conserva porque en cada punto, la diferencia con la isometría es un estiramiento en el plano xy (en tiempos en la dirección de la constante ) que coincide exactamente con la compresión en la dirección del gradiente de on (siendo iguales los ángulos relevantes). Para , Arquímedes formuló originalmente un argumento similar en Sobre la esfera y el cilindro .${\displaystyle {\vec {z}}}$${\displaystyle |(x,y,{\vec {z}})|=1}$${\textstyle 1/\!{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle |{\vec {z}}|}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{2}}$

También existen expresiones explícitas para los volúmenes de bolas en normas L ^p . La norma L ^p del vector x = ( x ₁ , …, x _n ) en R ⁿ es

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{\!1/p},}$

y una bola L ^p es el conjunto de todos los vectores cuya norma L ^p es menor o igual a un número fijo llamado radio de la bola. El caso p = 2 es la función de distancia euclidiana estándar, pero otros valores de p ocurren en diversos contextos como la teoría de la información , la teoría de la codificación y la regularización dimensional .

El volumen de una bola L ^p de radio R es

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {{\Bigl (}2\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}{\Bigr )}^{n}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R^{n}.}$

Estos volúmenes satisfacen relaciones de recurrencia similares a las de p = 2 :

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {{\Bigl (}2\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}{\Bigr )}^{p}p}{n}}R^{p}\,V_{n-p}^{p}(R)}$

y

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)=2{\frac {\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p}}+1{\bigr )}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n-1}{p}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R\,V_{n-1}^{p}(R),}$

que puede escribirse de forma más concisa utilizando un coeficiente binomial generalizado ,

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {2}{\dbinom {n/p}{1/p}}}R\,V_{n-1}^{p}(R).}$

Para p = 2 , se recupera la recurrencia para el volumen de una bola euclidiana porque 2Γ( ⁠3/2⁠ ) ​​= √ π .

Por ejemplo, en los casos p = 1 ( norma de taxi ) y p = ∞ ( norma máxima ), los volúmenes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}^{1}(R)&={\frac {2^{n}}{n!}}R^{n},\\V_{n}^{\infty }(R)&=2^{n}R^{n}.\end{aligned}}}$

Estos concuerdan con los cálculos elementales de los volúmenes de politopos cruzados e hipercubos .

Para la mayoría de los valores de p , el área de superficie de una esfera L ^p de radio R (el límite de una esfera L ^p n de radio R ) no se puede calcular diferenciando el volumen de una esfera L ^p con respecto a su radio. Si bien el volumen se puede expresar como una integral sobre las áreas de superficie utilizando la fórmula de coarea , la fórmula de coarea contiene un factor de corrección que explica cómo varía la p -norma de un punto a otro. Para p = 2 y p = ∞ , este factor es uno. Sin embargo, si p = 1 , entonces el factor de corrección es √ n : el área de superficie de una esfera L ¹ de radio R en R ⁿ es √ n por la derivada del volumen de una esfera L ¹ . Esto se puede ver de forma más sencilla aplicando el teorema de divergencia al campo vectorial F (x) = x para obtener${\displaystyle A_{n-1}^{p}(R)}$

${\displaystyle nV_{n}^{1}(R)=}$${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(|x_{1}|+\cdots +|x_{n}|)\,dS}$ ${\displaystyle ={\frac {R}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \,dS}$ ${\displaystyle ={\frac {R}{\sqrt {n}}}A_{n-1}^{1}(R).}$

Para otros valores de p , la constante es una integral complicada.

La fórmula del volumen se puede generalizar aún más. Para números reales positivos p ₁ , …, p _n , definamos la bola ( p ₁ , …, p _n ) con límite L ≥ 0 como

${\displaystyle B_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(L)=\left\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}:\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}\leq L\right\}.}$

El volumen de esta bola se conoce desde la época de Dirichlet: ^[4]

${\displaystyle V{\bigl (}B_{p_{1},\ldots ,p_{n}}(L){\bigr )}={\frac {2^{n}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+1{\bigr )}\cdots \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}}L^{{\tfrac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\tfrac {1}{p_{n}}}}.}$

Utilizando la media armónica y definiendo , queda clara la similitud con la fórmula del volumen para la bola L ^p .${\displaystyle p={\frac {n}{{\frac {1}{p_{1}}}+\cdots {\frac {1}{p_{n}}}}}}$${\displaystyle R={\sqrt[{p}]{L}}}$

${\displaystyle V\left(\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}:{\sqrt[{p}]{\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}}}\leq R\right\}\right)={\frac {2^{n}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{1}}}+1{\bigr )}\cdots \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{p_{n}}}+1{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{p}}+1{\bigr )}}}R^{n}.}$

• n -esfera
• Empaquetado de esferas
• Hamming atado

• Derivación en coordenadas hiperesféricas (en francés)
• Hiperesfera en Wolfram MathWorld
• Volumen de la hiperesfera en Math Reference