Punto racional

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayude a mejorar este artículo añadiendo citas de fuentes fiables . El material sin fuentes puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  «Rational point» – noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( abril de 2019 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

En teoría de números y geometría algebraica , un punto racional de una variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas pertenecen a un cuerpo dado . Si no se menciona el cuerpo, generalmente se entiende que se trata del cuerpo de los números racionales . Si el cuerpo es el cuerpo de los números reales , un punto racional se denomina más comúnmente punto real .

Comprender los puntos racionales es un objetivo central de la teoría de números y la geometría diofántica . Por ejemplo, el último teorema de Fermat puede reformularse como: para n > 2 , la curva de Fermat de la ecuación no tiene otros puntos racionales que (1, 0) , (0, 1) y, si n es par, (–1, 0) y (0, –1) .${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

Dado un cuerpo k , y una extensión algebraicamente cerrada K de k , una variedad afín X sobre k es el conjunto de ceros comunes en K ⁿ de una colección de polinomios con coeficientes en k :

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{aligned}}}$

Estos ceros comunes se llaman puntos de X.

Un punto k - racional (o k - punto ) de X es un punto de X que pertenece a k ⁿ , es decir, una secuencia de n elementos de k tales que para todo j . El conjunto de puntos k -racionales de X se denota a menudo X ( k ) .${\displaystyle (a_{1},\puntos ,a_{n})}$${\displaystyle f_{j}(a_{1},\puntos ,a_{n})=0}$

A veces, cuando se entiende el campo k , o cuando k es el campo de${\displaystyle \mathbb {Q}}$ números racionales , se dice "punto racional" en lugar de " k -punto racional".

Por ejemplo, los puntos racionales del círculo unitario de la ecuación

$Estilo de visualización x^{2}+y^{2}=1$

son los pares de números racionales

${\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),}$

donde ( a, b, c ) es una terna pitagórica .

El concepto también tiene sentido en entornos más generales. Una variedad proyectiva X en el espacio proyectivo sobre un cuerpo k se puede definir mediante una colección de ecuaciones polinómicas homogéneas en variables Un punto k de escrito está dado por una secuencia de${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ n + 1 elementos de k , no todos cero , con el entendimiento de que multiplicar todos por el mismo elemento distinto de cero de k da el mismo punto en el espacio proyectivo. Entonces un punto k de X significa un punto k de en el que los polinomios dados se anulan.${\displaystyle x_{0},\puntos ,x_{n}.}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}$${\displaystyle [a_{0},\puntos ,a_{n}],}$${\displaystyle a_{0},\puntos ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En términos más generales, sea X un esquema sobre un cuerpo k . Esto significa que se da un morfismo de esquemas f : X → Spec ( k ) . Entonces, un punto k de X significa una sección de este morfismo, es decir, un morfismo a : Spec( k ) → X tal que la composición fa es la identidad sobre Spec( k ) . Esto concuerda con las definiciones anteriores cuando X es una variedad afín o proyectiva (vista como un esquema sobre k ).

Cuando X es una variedad sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , gran parte de la estructura de X está determinada por su conjunto X ( k ) de puntos k -racionales. Sin embargo, para un cuerpo general k , X ( k ) proporciona solo información parcial sobre X . En particular, para una variedad X sobre un cuerpo k y cualquier extensión de cuerpo E de k , X también determina el conjunto X ( E ) de puntos E -racionales de X , es decir, el conjunto de soluciones de las ecuaciones que definen a X con valores en E .

Ejemplo: Sea X la curva cónica en el plano afín A ² sobre los números reales ⁠ ⁠ Entonces el conjunto de puntos reales ⁠ ⁠ está vacío, porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo. Por otro lado, en la terminología de la geometría algebraica, la variedad algebraica X sobre ⁠ ⁠ no está vacía, porque el conjunto de puntos complejos ⁠ ⁠ no está vacío.${\displaystyle x^{2}+y^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

De manera más general, para un esquema X sobre un anillo conmutativo R y cualquier R - álgebra conmutativa S , el conjunto X ( S ) de S -puntos de X significa el conjunto de morfismos Spec( S ) → X sobre Spec( R ) . El esquema X está determinado hasta el isomorfismo por el funtor S ↦ X ( S ) ; esta es la filosofía de identificar un esquema con su funtor de puntos . Otra formulación es que el esquema X sobre R determina un esquema X _S sobre S por cambio de base , y los S -puntos de X (sobre R ) pueden identificarse con los S -puntos de X _S (sobre S ).

La teoría de ecuaciones diofánticas tradicionalmente significaba el estudio de puntos integrales , es decir , soluciones de ecuaciones polinómicas en números enteros en lugar de racionales . Para ecuaciones polinómicas homogéneas como las dos problemas son esencialmente equivalentes, ya que cada punto racional puede escalarse para convertirse en un punto integral.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3},}$

Gran parte de la teoría de números puede considerarse como el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas, siendo un contexto conveniente las variedades proyectivas suaves . Para las curvas proyectivas suaves , el comportamiento de los puntos racionales depende en gran medida del género de la curva.

Toda curva proyectiva suave X de género cero sobre un cuerpo k es isomorfa a una curva cónica (grado 2) en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}.}$ Si X tiene un punto k -racional, entonces es isomorfa a ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ sobre k , y por lo tanto sus puntos k -racionales se entienden completamente. ^[1] Si k es el cuerpo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de números racionales (o más generalmente un cuerpo de números ), hay un algoritmo para determinar si una cónica dada tiene un punto racional, basado en el principio de Hasse : una cónica sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tiene un punto racional si y solo si tiene un punto sobre todas las terminaciones de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ es decir, sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ y todos los cuerpos p -ádicos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$

Es más difícil determinar si una curva de género 1 tiene un punto racional. El principio de Hasse falla en este caso: por ejemplo, por Ernst Selmer , la curva cúbica en ⁠ ⁠ tiene un punto sobre todas las terminaciones de ⁠ ⁠ pero ningún punto racional. ^[2] El fracaso del principio de Hasse para curvas de género 1 se mide por el grupo de Tate–Shafarevich .${\displaystyle 3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

Si X es una curva de género 1 con un punto k -racional p ₀ , entonces X se llama una curva elíptica sobre k . En este caso, X tiene la estructura de un grupo algebraico conmutativo (con p ₀ como elemento cero), y por lo tanto el conjunto X ( k ) de puntos k -racionales es un grupo abeliano . El teorema de Mordell-Weil dice que para una curva elíptica (o, más generalmente, una variedad abeliana ) X sobre un cuerpo numérico k , el grupo abeliano X ( k ) es finitamente generado . Los programas de álgebra computacional pueden determinar el grupo de Mordell-Weil X ( k ) en muchos ejemplos, pero no se sabe si hay un algoritmo que siempre tenga éxito en el cálculo de este grupo. Eso se seguiría de la conjetura de que el grupo de Tate-Shafarevich es finito, o de la conjetura relacionada de Birch-Swinnerton-Dyer . ^[3]

El teorema de Faltings (antes conjetura de Mordell) dice que para cualquier curva X de género al menos 2 sobre un cuerpo de números k , el conjunto X ( k ) es finito. ^[4]

Algunos de los grandes logros de la teoría de números consisten en determinar los puntos racionales en curvas particulares. Por ejemplo, el último teorema de Fermat (probado por Richard Taylor y Andrew Wiles ) es equivalente a la afirmación de que para un entero n mayor que 3, los únicos puntos racionales de la curva en ⁠ ⁠ sobre ⁠ ⁠ son los obvios: [0,1,1] y [1,0,1] ; [0,1,−1] y [1,0,−1] para n par; y [1,−1,0] para n impar. La curva X (como cualquier curva suave de grado n en ⁠ ⁠ ) tiene género${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.}$

No se sabe si existe un algoritmo para encontrar todos los puntos racionales en una curva arbitraria de género al menos 2 sobre un cuerpo de números. Hay un algoritmo que funciona en algunos casos. Su terminación en general se seguiría de las conjeturas de que el grupo de Tate-Shafarevich de una variedad abeliana sobre un cuerpo de números es finito y que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse, en el caso de las curvas. ^[5]

En dimensiones superiores, un objetivo unificador es la conjetura de Bombieri - Lang de que, para cualquier variedad X de tipo general sobre un cuerpo numérico k , el conjunto de puntos k -racionales de X no es denso de Zariski en X. (Es decir, los puntos k -racionales están contenidos en una unión finita de subvariedades de X de dimensión inferior ). En dimensión 1, este es exactamente el teorema de Faltings, ya que una curva es de tipo general si y solo si tiene género al menos 2. Lang también hizo conjeturas más finas que relacionaban la finitud de los puntos racionales con la hiperbolicidad de Kobayashi . ^[6]

Por ejemplo, la conjetura de Bombieri–Lang predice que una hipersuperficie suave de grado d en el espacio proyectivo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre un cuerpo de números no tiene puntos racionales densos de Zariski si d ≥ n + 2 . No se sabe mucho sobre ese caso. El resultado más fuerte conocido sobre la conjetura de Bombieri–Lang es el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas (generalizando el caso de curvas). Es decir, si X es una subvariedad de una variedad abeliana A sobre un cuerpo de números k , entonces todos los puntos k -racionales de X están contenidos en una unión finita de traducidas de subvariedades abelianas contenidas en X . ^[7] (Por lo tanto, si X no contiene subvariedades abelianas traducidas de dimensión positiva, entonces X ( k ) es finito).

En la dirección opuesta, se dice que una variedad X sobre un cuerpo numérico k tiene puntos racionales potencialmente densos si hay un cuerpo de extensión finito E de k tal que los puntos E -racionales de X son densos de Zariski en X . Frédéric Campana conjeturó que una variedad es potencialmente densa si y solo si no tiene fibración racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general. ^[8] Un caso conocido es que cada superficie cúbica en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ sobre un cuerpo numérico k tiene puntos racionales potencialmente densos, porque (más fuertemente) se vuelve racional sobre alguna extensión finita de k (a menos que sea el cono sobre una curva cúbica plana). La conjetura de Campana también implicaría que una superficie K3 X (tal como una superficie cuártica suave en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ) sobre un cuerpo numérico tiene puntos racionales potencialmente densos. Esto se conoce solo en casos especiales, por ejemplo si X tiene una fibración elíptica . ^[9]

Uno puede preguntarse cuándo una variedad tiene un punto racional sin extender el cuerpo base. En el caso de una hipersuperficie X de grado d en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre un cuerpo numérico, hay buenos resultados cuando d es mucho menor que n , a menudo basados ​​en el método del círculo de Hardy–Littlewood . Por ejemplo, el teorema de Hasse–Minkowski dice que el principio de Hasse se cumple para hipersuperficies cuadráticas sobre un cuerpo numérico (el caso d = 2 ). Christopher Hooley demostró el principio de Hasse para hipersuperficies cúbicas suaves en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ cuando n ≥ 8 . ^[10] En dimensiones superiores, es incluso más cierto: cada cúbica suave en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tiene un punto racional cuando n ≥ 9 , por Roger Heath-Brown . ^[11] De manera más general, el teorema de Birch dice que para cualquier entero positivo impar d , existe un entero N tal que para todo n ≥ N , cada hipersuperficie de grado d en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tiene un punto racional.

Para hipersuperficies de menor dimensión (en términos de su grado), las cosas pueden ser más complicadas. Por ejemplo, el principio de Hasse falla para la superficie cúbica lisa en ⁠ ⁠ over ⁠ ⁠ de Ian Cassels y Richard Guy. ^[12] Jean-Louis Colliot-Thélène ha conjeturado que la obstrucción de Brauer–Manin es la única obstrucción al principio de Hasse para superficies cúbicas. De manera más general, eso debería ser válido para cada variedad racionalmente conexa sobre un cuerpo de números. ^[13]${\displaystyle 5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

En algunos casos, se sabe que X tiene "muchos" puntos racionales siempre que tenga uno. Por ejemplo, ampliando el trabajo de Beniamino Segre y Yuri Manin , János Kollár demostró: para una hipersuperficie cúbica X de dimensión al menos 2 sobre un cuerpo perfecto k con X no un cono, X es uniracional sobre k si tiene un punto k -racional. ^[14] (En particular, para k infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de puntos k -racionales es denso de Zariski en X .) La conjetura de Manin es una afirmación más precisa que describiría la asintótica del número de puntos racionales de altura acotada en una variedad de Fano .

Una variedad X sobre un cuerpo finito k tiene sólo un número finito de puntos k -racionales. Las conjeturas de Weil , demostradas por André Weil en dimensión 1 y por Pierre Deligne en cualquier dimensión, dan estimaciones sólidas para el número de k -puntos en términos de los números de Betti de X. Por ejemplo, si X es una curva proyectiva suave de género g sobre un cuerpo k de orden q (una potencia prima), entonces

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Para una hipersuperficie lisa X de grado d en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre un cuerpo k de orden q , el teorema de Deligne da el límite: ^[15]

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.}$

También hay resultados significativos sobre cuándo una variedad proyectiva sobre un cuerpo finito k tiene al menos un punto k -racional. Por ejemplo, el teorema de Chevalley-Warning implica que cualquier hipersuperficie X de grado d en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ sobre un cuerpo finito k tiene un punto k -racional si d ≤ n . Para X suave , esto también se sigue del teorema de Hélène Esnault que cada variedad proyectiva suave racionalmente conexa , por ejemplo cada variedad Fano, sobre un cuerpo finito k tiene un punto k -racional. ^[16]

• Dinámica aritmética
• Geometría birracional
• Functor representado por un esquema

• Campana, Frédéric (2004), "Orbifolds, variedades especiales y teoría de la clasificación" (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 54 (3): 499–630, doi :10.5802/aif.2027, MR  2097416
• Colliot-Thélène, Jean-Louis ; Kanevsky, Dimitri; Sansuc, Jean-Jacques (1987), "Arithmétique des Surfaces Cubiques Diagonales", Teoría de la trascendencia y aproximación diofántica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1290, Springer Nature , págs. 1–108, doi :10.1007/BFb0078705, ISBN 978-3-540-18597-0, Sr.  0927558
• Esnault, Hélène (2003), "Variedades sobre un cuerpo finito con un grupo de Chow trivial de ciclos 0 tienen un punto racional", Inventiones Mathematicae , 151 (1): 187–191, arXiv : math/0207022 , Bibcode :2003InMat.151..187E, doi :10.1007/s00222-002-0261-8, MR  1943746
• Hassett, Brendan (2003), "Densidad potencial de puntos racionales en variedades algebraicas", Higher Dimensional Varieties and Rational Points (Budapest, 2001) , Bolyai Society Mathematical Studies, vol. 12, Springer Nature , págs. 223–282, doi :10.1007/978-3-662-05123-8_8, ISBN 978-3-642-05644-4, Sr.  2011748
• Heath-Brown, DR (1983), "Formas cúbicas en diez variables", Actas de la London Mathematical Society , 47 (2): 225–257, doi :10.1112/plms/s3-47.2.225, MR  0703978
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Geometría diofántica: una introducción , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5, Sr.  1745599
• Hooley, Christopher (1988), "Sobre formas cúbicas nonarias", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1988 (386): 32–98, doi :10.1515/crll.1988.386.32, SEÑOR  0936992
• Katz, NM (1980), "El trabajo de Pierre Deligne" (PDF) , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Helsinki, 1978) , Helsinki: Academia Scientiarum Fennica , págs. 47-52, MR  0562594
• Kollár, János (2002), "Unirracionalidad de hipersuperficies cúbicas", Revista del Instituto Matemático de Jussieu , 1 (3): 467–476, arXiv : math/0005146 , doi :10.1017/S1474748002000117, MR  1956057
• Poonen, Bjorn (2017), Puntos racionales sobre variedades , American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-3773-2, Sr.  3729254
• Silverman, Joseph H. (2009) [1986], La aritmética de las curvas elípticas (2.ª ed.), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0, Sr.  2514094
• Skorobogatov, Alexei (2001), Torsores y puntos racionales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6, Sr.  1845760

• Colliot-Thélène, Jean-Louis (2015), Principios locales-globales para puntos racionales y ciclos cero (PDF)