Noción primitiva

Concepto que no está definido en términos de conceptos previamente definidos

En matemáticas , lógica , filosofía y sistemas formales , una noción primitiva es un concepto que no está definido en términos de conceptos previamente definidos. A menudo está motivada de manera informal, generalmente por una apelación a la intuición y la experiencia cotidiana. En una teoría axiomática , las relaciones entre nociones primitivas están restringidas por axiomas . ^[1] Algunos autores se refieren a esto último como "definir" nociones primitivas por uno o más axiomas, pero esto puede ser engañoso. Las teorías formales no pueden prescindir de las nociones primitivas, bajo pena de regresión infinita (según el problema de la regresión ).

Por ejemplo, en la geometría contemporánea, punto , línea y contiene son algunas nociones primitivas. En lugar de intentar definirlas, ^[2] su interacción está regida (en el sistema de axiomas de Hilbert ) por axiomas como "Por cada dos puntos existe una línea que los contiene a ambos". ^[3]

Detalles

Alfred Tarski explicó el papel de las nociones primitivas de la siguiente manera: ^[4]

Cuando nos proponemos construir una disciplina dada, distinguimos, en primer lugar, un pequeño grupo de expresiones de esa disciplina que nos parecen inmediatamente comprensibles; las expresiones de este grupo las llamamos TÉRMINOS PRIMITIVOS o TÉRMINOS INDEFINIDOS, y las empleamos sin explicar su significado. Al mismo tiempo adoptamos el principio de no emplear ninguna de las otras expresiones de la disciplina en cuestión, a menos que su significado haya sido determinado previamente con la ayuda de términos primitivos y de expresiones de la disciplina cuyo significado haya sido explicado previamente. La oración que determina el significado de un término de esta manera se llama DEFINICIÓN,...

Gilbert de B. Robinson explicó un regreso inevitable a nociones primitivas en la teoría del conocimiento :

A un profano en matemáticas le sorprende a menudo que sea imposible definir explícitamente todos los términos que se utilizan. No se trata de un problema superficial, sino que se encuentra en la raíz de todo conocimiento; es necesario empezar por algún sitio y, para avanzar, es necesario enunciar claramente los elementos y relaciones que no están definidos y las propiedades que se dan por sentadas. ^[5]

Ejemplos

La necesidad de nociones primitivas se ilustra en varios fundamentos axiomáticos en matemáticas:

Teoría de conjuntos : El concepto de conjunto es un ejemplo de una noción primitiva. Como escribe Mary Tiles : ^[6] [La] "definición" de "conjunto" es menos una definición que un intento de explicación de algo a lo que se le está dando el estatus de término primitivo, indefinido. Como prueba, cita a Felix Hausdorff : "Un conjunto se forma mediante la agrupación de objetos individuales en un todo. Un conjunto es una pluralidad pensada como una unidad".
Teoría de conjuntos ingenua : el conjunto vacío es una noción primitiva. Afirmar que existe sería un axioma implícito .
Aritmética de Peano : La función sucesora y el número cero son nociones primitivas. Dado que la aritmética de Peano es útil en relación con las propiedades de los números, los objetos que representan las nociones primitivas pueden no ser estrictamente importantes. ^[7]
Aritmética de números reales : Típicamente las nociones primitivas son: número real, dos operaciones binarias : suma y multiplicación , números 0 y 1, ordenación <.
Sistemas axiomáticos : las nociones primitivas dependerán del conjunto de axiomas elegidos para el sistema. Alessandro Padoa discutió esta selección en el Congreso Internacional de Filosofía en París en 1900. ^[8] Las nociones en sí mismas pueden no necesitar necesariamente ser enunciadas; Susan Haack (1978) escribe: "A veces se dice que un conjunto de axiomas da una definición implícita de sus términos primitivos". ^[9]
Geometría euclidiana : bajo el sistema de axiomas de Hilbert las nociones primitivas son punto, línea, plano, congruencia, intermediación e incidencia .
Geometría euclidiana : Bajo el sistema de axiomas de Peano las nociones primitivas son punto, segmento y movimiento .

Los primitivos de Russell

En su libro sobre filosofía de las matemáticas , Principios de las matemáticas, Bertrand Russell utilizó las siguientes nociones: para el cálculo de clases ( teoría de conjuntos ), utilizó relaciones , tomando la pertenencia a un conjunto como una noción primitiva. Para establecer conjuntos, también establece funciones proposicionales como primitivas, así como la frase "tal que" como se usa en la notación de construcción de conjuntos . (pp 18,9) Con respecto a las relaciones, Russell toma como nociones primitivas la relación inversa y la relación complementaria de un xRy dado . Además, los productos lógicos de relaciones y los productos relativos de relaciones son primitivos. (p 25) En cuanto a la denotación de objetos por descripción, Russell reconoce que está involucrada una noción primitiva. (p 27) La tesis del libro de Russell es "Las matemáticas puras utilizan solo unas pocas nociones, y estas son constantes lógicas". (p xxi)

Véase también

Referencias

^ En términos más generales, en un sistema formal, las reglas restringen el uso de nociones primitivas. Véase, por ejemplo, el rompecabezas MU para un sistema formal no lógico.
^ Euclides (300 a. C.) todavía daba definiciones en sus Elementos , como "Una línea es longitud sin ancho".
^ Este axioma se puede formalizar en lógica de predicados como " ∀ x ₁ , x ₂∈ P . ∃ y ∈ L . C ( y , x ₁ ) ∧ C ( y , x ₂ )", donde P , L y C denotan el conjunto de puntos, de líneas y la relación "contiene", respectivamente.
^ Alfred Tarski (1946) Introducción a la lógica y la metodología de las ciencias deductivas , pág. 118, Oxford University Press .
^ Gilbert de B. Robinson (1959) Fundamentos de geometría , 4.ª ed., pág. 8, University of Toronto Press
^ Mary Tiles (2004) La filosofía de la teoría de conjuntos , pág. 99
^ Phil Scott (2008). Mecanización de los fundamentos de la geometría de Hilbert en Isabelle (véase ref. 16, re: la opinión de Hilbert) (tesis de maestría). Universidad de Edimburgo. CiteSeerX 10.1.1.218.9262 .
^ Alessandro Padoa (1900) "Introducción lógica a cualquier teoría deductiva" en Jean van Heijenoort (1967) A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press 118–23
^ Haack, Susan (1978), Filosofía de la lógica , Cambridge University Press , pág. 245, ISBN 9780521293297

[1] En términos más generales, en un sistema formal, las reglas restringen el uso de nociones primitivas. Véase, por ejemplo, el rompecabezas MU para un sistema formal no lógico.

[2] Euclides (300 a. C.) todavía daba definiciones en sus Elementos , como "Una línea es longitud sin ancho".

[3] Este axioma se puede formalizar en lógica de predicados como " ∀ x ₁ , x ₂∈ P . ∃ y ∈ L . C ( y , x ₁ ) ∧ C ( y , x ₂ )", donde P , L y C denotan el conjunto de puntos, de líneas y la relación "contiene", respectivamente.

[4] Alfred Tarski (1946) Introducción a la lógica y la metodología de las ciencias deductivas , pág. 118, Oxford University Press .

[5] Gilbert de B. Robinson (1959) Fundamentos de geometría , 4.ª ed., pág. 8, University of Toronto Press

[6] Mary Tiles (2004) La filosofía de la teoría de conjuntos , pág. 99

[7] Phil Scott (2008). Mecanización de los fundamentos de la geometría de Hilbert en Isabelle (véase ref. 16, re: la opinión de Hilbert) (tesis de maestría). Universidad de Edimburgo. CiteSeerX 10.1.1.218.9262 .

[8] Alessandro Padoa (1900) "Introducción lógica a cualquier teoría deductiva" en Jean van Heijenoort (1967) A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press 118–23

[9] Haack, Susan (1978), Filosofía de la lógica , Cambridge University Press , pág. 245, ISBN 9780521293297