Cuantificación existencial

Cuantificación existencial

Tipo	Cuantificador
Campo	Lógica matemática
Declaración	${\displaystyle \existe xP(x)}$es verdadero cuando es verdadero para al menos un valor de .${\estilo de visualización P(x)}$${\estilo de visualización x}$
Declaración simbólica	${\displaystyle \existe xP(x)}$

En lógica de predicados , una cuantificación existencial es un tipo de cuantificador , una constante lógica que se interpreta como "existe", "hay al menos uno" o "para alguno". Generalmente se denota con el símbolo del operador lógico ∃, que, cuando se usa junto con una variable de predicado, se denomina cuantificador existencial (" ∃ x " o " ∃( x ) " o " (∃ x )" ^[1] ). La cuantificación existencial es distinta de la cuantificación universal ("para todos"), que afirma que la propiedad o relación se cumple para todos los miembros del dominio. ^{[2] [3]} Algunas fuentes usan el término existencialización para referirse a la cuantificación existencial. ^[4]

La cuantificación en general se trata en el artículo sobre cuantificación (lógica) . El cuantificador existencial se codifica como U+2203 ∃ THERE EXISTS en Unicode y también \existsen LaTeX y editores de fórmulas relacionados.

Considere la oración formal

Para algún número natural , .${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n\times n=25}$

Se trata de una afirmación única que utiliza la cuantificación existencial. Es aproximadamente análoga a la oración informal “O bien , o bien , o bien... y así sucesivamente”, pero más precisa, porque no necesita que infiramos el significado de la frase “y así sucesivamente”. (En particular, la oración especifica explícitamente que su dominio del discurso son los números naturales, no, por ejemplo, los números reales ).${\displaystyle 0\times 0=25}$${\displaystyle 1\times 1=25}$${\displaystyle 2\times 2=25}$

Este ejemplo en particular es cierto, porque 5 es un número natural y cuando sustituimos 5 por n , obtenemos la afirmación verdadera . No importa que " " sea verdadera solo para ese único número natural, 5; la existencia de una única solución es suficiente para demostrar que esta cuantificación existencial es verdadera.${\displaystyle 5\times 5=25}$${\displaystyle n\times n=25}$

Por el contrario, "Para algún número par , " es falso, porque no hay soluciones pares. El dominio del discurso , que especifica los valores que la variable n puede tomar, es por lo tanto crítico para la veracidad o falsedad de un enunciado. Las conjunciones lógicas se utilizan para restringir el dominio del discurso para cumplir un predicado dado. Por ejemplo, la oración${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n\times n=25}$

Para algún número impar positivo ,${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n\times n=25}$

es lógicamente equivalente a la oración

Para algún número natural , es impar y .${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n\times n=25}$

La prueba matemática de una afirmación existencial acerca de "algún" objeto puede lograrse mediante una prueba constructiva , que exhibe un objeto que satisface la afirmación "algún", o mediante una prueba no constructiva , que muestra que debe existir tal objeto sin exhibirlo concretamente.

En lógica simbólica , se utiliza "∃" (una letra " E " girada en una fuente sans-serif , Unicode U+2203) para indicar cuantificación existencial. Por ejemplo, la notación representa la afirmación (verdadera)${\displaystyle \existe {n}{\en }\mathbb {N} :n\times n=25}$

Existe algún en el conjunto de números naturales tal que .${\estilo de visualización n}$${\displaystyle n\times n=25}$

Se cree que el primer uso del símbolo lo hizo Giuseppe Peano en Formulario mathematico (1896). Posteriormente, Bertrand Russell popularizó su uso como cuantificador existencial. A través de su investigación en teoría de conjuntos, Peano también introdujo los símbolos y para denotar respectivamente la intersección y la unión de conjuntos. ^[5]${\displaystyle \cap}$${\displaystyle \taza}$

Una función proposicional cuantificada es un enunciado; por lo tanto, al igual que los enunciados, las funciones cuantificadas pueden ser negadas. El símbolo se utiliza para denotar la negación.${\displaystyle \lno \ }$

Por ejemplo, si P ( x ) es el predicado " x es mayor que 0 y menor que 1", entonces, para un dominio de discurso X de todos los números naturales, la cuantificación existencial "Existe un número natural x que es mayor que 0 y menor que 1" puede enunciarse simbólicamente como:

${\displaystyle \existe {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

Se puede demostrar que esto es falso. En verdad, hay que decir: "No es cierto que exista un número natural x que sea mayor que 0 y menor que 1", o, simbólicamente:

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$.

Si no hay ningún elemento del dominio del discurso para el cual el enunciado sea verdadero, entonces debe ser falso para todos esos elementos. Es decir, la negación de

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

es lógicamente equivalente a "Para cualquier número natural x , x no es mayor que 0 ni menor que 1", o:

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

En general, entonces, la negación de la cuantificación existencial de una función proposicional es una cuantificación universal de la negación de esa función proposicional; simbólicamente,

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

(Ésta es una generalización de las leyes de De Morgan a la lógica de predicados).

Un error común es afirmar "no todas las personas están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada"), cuando lo que se pretende decir es "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada"):

${\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$

La negación también se puede expresar mediante la afirmación "por ningún motivo", en contraposición a "por algunos":

${\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

A diferencia del cuantificador universal, el cuantificador existencial distribuye sobre disyunciones lógicas:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}$

Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico desde la hipótesis hasta la conclusión. Existen varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador existencial.

La introducción existencial (∃I) concluye que, si se sabe que la función proposicional es verdadera para un elemento particular del dominio del discurso, entonces debe ser verdadero que existe un elemento para el cual la función proposicional es verdadera. Simbólicamente,

${\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$

La instanciación existencial , cuando se lleva a cabo en una deducción al estilo Fitch, procede ingresando una nueva subderivación mientras se sustituye una variable cuantificada existencialmente por un sujeto, que no aparece dentro de ninguna subderivación activa. Si se puede llegar a una conclusión dentro de esta subderivación en la que el sujeto sustituido no aparece, entonces se puede salir de esa subderivación con esa conclusión. El razonamiento detrás de la eliminación existencial (∃E) es el siguiente: si se da que existe un elemento para el cual la función de proposición es verdadera, y si se puede llegar a una conclusión dándole a ese elemento un nombre arbitrario, esa conclusión es necesariamente verdadera , siempre que no contenga el nombre. Simbólicamente, para una c arbitraria y para una proposición Q en la que c no aparece:

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}$

${\displaystyle P(c)\to \ Q}$debe ser verdadera para todos los valores de c en el mismo dominio X ; de lo contrario, la lógica no se sigue: si c no es arbitrario, y es en cambio un elemento específico del dominio del discurso, entonces afirmar P ( c ) podría dar injustificadamente más información sobre ese objeto.

La fórmula siempre es falsa, independientemente de P ( x ). Esto se debe a que denota el conjunto vacío y no existe ningún x de ninguna descripción (y mucho menos un x que cumpla un predicado dado P ( x )) en el conjunto vacío. Véase también Verdad vacía para obtener más información.${\displaystyle \exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)}$${\displaystyle \varnothing }$

En la teoría de categorías y la teoría de topos elementales , el cuantificador existencial puede entenderse como el adjunto izquierdo de un funtor entre conjuntos potencia , el funtor imagen inversa de una función entre conjuntos; asimismo, el cuantificador universal es el adjunto derecho . ^[6]

• Cláusula existencial
• Teorema de existencia
• Lógica de primer orden
• Cuantificador de Lindström
• Lista de símbolos lógicos – para el símbolo Unicode ∃
• Varianza del cuantificador
• Cuantificación de unicidad