Fundamentos de geometría

Fundamentos de la geometría es el estudio de las geometrías como sistemas axiomáticos . Hay varios conjuntos de axiomas que dan lugar a la geometría euclidiana o a geometrías no euclidianas . Estos son fundamentales para el estudio y de importancia histórica, pero hay una gran cantidad de geometrías modernas que no son euclidianas que pueden estudiarse desde este punto de vista. El término geometría axiomática se puede aplicar a cualquier geometría que se desarrolle a partir de un sistema axiomático, pero a menudo se usa para referirse a la geometría euclidiana estudiada desde este punto de vista. La completitud e independencia de los sistemas axiomáticos generales son consideraciones matemáticas importantes, pero también hay cuestiones relacionadas con la enseñanza de la geometría que entran en juego.

Basado en los métodos de la antigua Grecia, un sistema axiomático es una descripción formal de una manera de establecer la verdad matemática que surge de un conjunto fijo de suposiciones. Aunque se puede aplicar a cualquier área de las matemáticas, la geometría es la rama de las matemáticas elementales en la que este método se ha aplicado con mayor éxito. ^[1]

Hay varios componentes de un sistema axiomático. ^[2]

1. Los primitivos (términos indefinidos) son las ideas más básicas. Por lo general, incluyen objetos y relaciones. En geometría, los objetos son cosas como puntos , líneas y planos, mientras que una relación fundamental es la de incidencia : un objeto que se encuentra o se une con otro. Los términos en sí mismos no están definidos. Hilbert señaló una vez que, en lugar de puntos, líneas y planos, uno podría hablar de mesas, sillas y jarras de cerveza. ^[3] Su argumento es que los términos primitivos son solo cáscaras vacías, marcadores de posición, por así decirlo, y no tienen propiedades intrínsecas.
2. Los axiomas (o postulados) son afirmaciones sobre estos primitivos; por ejemplo, dos puntos cualesquiera inciden juntos en una sola línea (es decir, que para dos puntos cualesquiera hay una sola línea que pasa por ambos). Los axiomas se suponen verdaderos, pero no se prueban. Son los componentes básicos de los conceptos geométricos, ya que especifican las propiedades que tienen los primitivos.
3. Las leyes de la lógica .
4. Los teoremas ^[4] son ​​las consecuencias lógicas de los axiomas, es decir, los enunciados que pueden obtenerse de los axiomas utilizando las leyes de la lógica deductiva.

Una interpretación de un sistema axiomático es una forma particular de dar un significado concreto a los primitivos de ese sistema. Si esta asociación de significados hace que los axiomas del sistema sean enunciados verdaderos, entonces la interpretación se denomina modelo del sistema. ^[5] En un modelo, todos los teoremas del sistema son automáticamente enunciados verdaderos.

Al discutir los sistemas axiomáticos, a menudo se hace hincapié en varias propiedades: ^[6]

• Se dice que los axiomas de un sistema axiomático son consistentes si no se puede derivar de ellos ninguna contradicción lógica. Excepto en los sistemas más simples, la consistencia es una propiedad difícil de establecer en un sistema axiomático. Por otra parte, si existe un modelo para el sistema axiomático, entonces cualquier contradicción derivable en el sistema también lo es en el modelo, y el sistema axiomático es tan consistente como cualquier sistema al que pertenezca el modelo. Esta propiedad (tener un modelo) se conoce como consistencia relativa o consistencia del modelo .
• Un axioma se denomina independiente si no puede probarse ni refutarse a partir de los demás axiomas del sistema axiomático. Se dice que un sistema axiomático es independiente si cada uno de sus axiomas es independiente. Si un enunciado verdadero es una consecuencia lógica de un sistema axiomático, entonces será un enunciado verdadero en cada modelo de ese sistema. Para demostrar que un axioma es independiente de los demás axiomas del sistema, es suficiente encontrar dos modelos de los axiomas restantes, para los cuales el axioma sea un enunciado verdadero en uno y un enunciado falso en el otro. La independencia no siempre es una propiedad deseable desde un punto de vista pedagógico.
• Un sistema axiomático se considera completo si cada enunciado expresable en los términos del sistema es demostrable o tiene una negación demostrable. Otra forma de decirlo es que no se puede añadir ningún enunciado independiente a un sistema axiomático completo que sea coherente con los axiomas de ese sistema.
• Un sistema axiomático es categórico si dos modelos cualesquiera del sistema son isomorfos (esencialmente, solo hay un modelo para el sistema). Un sistema categórico es necesariamente completo, pero la completitud no implica categoricidad. En algunas situaciones, la categoricidad no es una propiedad deseable, ya que los sistemas axiomáticos categóricos no se pueden generalizar. Por ejemplo, el valor del sistema axiomático para la teoría de grupos es que no es categórico, por lo que probar un resultado en la teoría de grupos significa que el resultado es válido en todos los diferentes modelos de teoría de grupos y uno no tiene que refutar el resultado en cada uno de los modelos no isomorfos.

La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides , que describió (aunque de forma no rigurosa según los estándares modernos) en su libro de texto sobre geometría : los Elementos . El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) a partir de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclides habían sido enunciados por matemáticos anteriores, ^{[7] Euclides fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podían encajar en un} sistema lógico y deductivo integral . ^[8] Los Elementos comienza con la geometría plana, que todavía se enseña en la escuela secundaria como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de prueba formal . Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos enuncia resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico. ^[7]

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido ningún otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado de las paralelas ) que cualquier teorema que se demostrase a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Sin embargo, hoy en día se conocen muchas otras geometrías que no son euclidianas, las primeras descubiertas a principios del siglo XIX.

Los Elementos de Euclides es un tratado matemático y geométrico que consta de 13 libros escritos por el matemático griego antiguo Euclides en Alejandría c. 300 a. C. Es una colección de definiciones, postulados ( axiomas ), proposiciones ( teoremas y construcciones ) y pruebas matemáticas de las proposiciones. Los trece libros cubren la geometría euclidiana y la versión griega antigua de la teoría elemental de números . Con la excepción de Sobre la esfera en movimiento de Autólico , los Elementos es uno de los tratados matemáticos griegos existentes más antiguos, ^[9] y es el tratamiento axiomático deductivo más antiguo existente de las matemáticas . Ha demostrado ser fundamental en el desarrollo de la lógica y la ciencia moderna .

Los Elementos de Euclides han sido considerados el libro de texto más exitoso ^{[10] [11]} e influyente ^[12] jamás escrito. Fue impreso por primera vez en Venecia en 1482 y es una de las primeras obras matemáticas que se imprimieron después de la invención de la imprenta . Carl Benjamin Boyer estimó que era el segundo libro de texto matemático más publicado, después de la Biblia ^[12], con una cifra que superaba con creces el millar ^[13] . Durante siglos, cuando el quadrivium se incluyó en el plan de estudios de todos los estudiantes universitarios, se exigía a todos los estudiantes el conocimiento de al menos una parte de los Elementos de Euclides. No fue hasta el siglo XX, cuando su contenido se enseñaba universalmente a través de otros libros de texto escolares, que dejó de considerarse algo que todas las personas educadas habían leído ^{[14] .}

Los Elementos son principalmente una sistematización de conocimientos anteriores sobre geometría. Se supone que se reconoció su superioridad sobre los tratamientos anteriores, con la consecuencia de que hubo poco interés en preservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos.

Los libros I a IV y VI tratan de la geometría plana. Se demuestran muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados subtendidos por los ángulos son iguales. Se demuestra el teorema de Pitágoras . ^[15]

Los libros V y VII a X tratan la teoría de números, tratándolos geométricamente a través de su representación como segmentos de línea con distintas longitudes. Se introducen nociones como los números primos y los números racionales e irracionales . Se demuestra la infinitud de los números primos.

Los libros XI a XIII tratan de geometría de cuerpos sólidos. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base.

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, enunciados en términos de construcciones (según la traducción de Thomas Heath): ^[16]

"Sea postulado lo siguiente":

1. "Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto."
2. "Producir [extender] una línea recta finita de forma continua en una línea recta".
3. "Para describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio]".
4. "Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí."
5. Postulado de las paralelas : "Si una recta que cae sobre dos rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en el lado cuyos ángulos son menores que los dos rectos".

Aunque el enunciado de los postulados de Euclides sólo afirma explícitamente la existencia de las construcciones, también se supone que éstas producen objetos únicos.

El éxito de los Elementos se debe principalmente a su presentación lógica de la mayor parte del conocimiento matemático disponible para Euclides. Gran parte del material no es original de él, aunque muchas de las pruebas son supuestamente suyas. El desarrollo sistemático de Euclides de su tema, desde un pequeño conjunto de axiomas hasta resultados profundos, y la coherencia de su enfoque a lo largo de los Elementos , alentaron su uso como libro de texto durante unos 2000 años. Los Elementos todavía influyen en los libros de geometría modernos. Además, su enfoque axiomático lógico y sus pruebas rigurosas siguen siendo la piedra angular de las matemáticas.

Los estándares de rigor matemático han cambiado desde que Euclides escribió los Elementos . ^[17] Las actitudes modernas hacia un sistema axiomático y los puntos de vista sobre él pueden hacer que parezca que Euclides fue de alguna manera descuidado o descuidado en su enfoque del tema, pero esto es una ilusión ahistórica. Fue sólo después de que los fundamentos fueron examinados cuidadosamente en respuesta a la introducción de la geometría no euclidiana que lo que ahora consideramos fallas comenzaron a surgir. El matemático e historiador WW Rouse Ball puso estas críticas en perspectiva, señalando que "el hecho de que durante dos mil años [los Elementos ] fuera el libro de texto habitual sobre el tema plantea una fuerte presunción de que no es inadecuado para ese propósito". ^[18]

Algunos de los principales problemas con la presentación de Euclides son:

• Falta de reconocimiento del concepto de términos primitivos , objetos y nociones que deben dejarse sin definir en el desarrollo de un sistema axiomático. ^[19]
• El uso de la superposición en algunas pruebas sin que exista una justificación axiomática de este método. ^[20]
• Falta de un concepto de continuidad, necesario para demostrar la existencia de algunos puntos y líneas que construye Euclides. ^[20]
• Falta de claridad sobre si una línea recta es infinita o sin límites en el segundo postulado. ^[21]
• Falta del concepto de intermediación utilizado, entre otras cosas, para distinguir entre el interior y el exterior de diversas figuras. ^[22]

La lista de axiomas de Euclides en los Elementos no era exhaustiva, sino que representaba los principios que parecían ser los más importantes. Sus pruebas a menudo invocan nociones axiomáticas que no estaban originalmente presentadas en su lista de axiomas. ^[23] No se equivoca por ello y prueba cosas erróneas, ya que está haciendo uso de supuestos implícitos cuya validez parece justificarse por los diagramas que acompañan a sus pruebas. Matemáticos posteriores han incorporado los supuestos axiomáticos implícitos de Euclides en la lista de axiomas formales, ampliando así en gran medida esa lista. ^[24]

Por ejemplo, en la primera construcción del Libro 1, Euclides utilizó una premisa que no fue postulada ni demostrada: que dos círculos con centros a la distancia de sus radios se intersectarán en dos puntos. ^[25] Más tarde, en la cuarta construcción, utilizó la superposición (moviendo los triángulos uno sobre el otro) para demostrar que si dos lados y sus ángulos son iguales, entonces son congruentes; durante estas consideraciones, utiliza algunas propiedades de la superposición, pero estas propiedades no están descritas explícitamente en el tratado. Si la superposición se considera un método válido de prueba geométrica, toda la geometría estaría llena de tales pruebas. Por ejemplo, las proposiciones I.1 a I.3 se pueden demostrar de manera trivial utilizando la superposición. ^[26]

Para abordar estas cuestiones en la obra de Euclides, autores posteriores han intentado llenar los vacíos en la presentación de Euclides –el más notable de estos intentos se debe a D. Hilbert– o bien organizar el sistema de axiomas en torno a diferentes conceptos, como lo ha hecho GD Birkhoff .

El matemático alemán Moritz Pasch (1843-1930) fue el primero en lograr la tarea de poner la geometría euclidiana sobre una base axiomática firme. ^[27] En su libro, Vorlesungen über neuere Geometrie publicado en 1882, Pasch sentó las bases del método axiomático moderno. Originó el concepto de noción primitiva (que llamó Kernbegriffe ) y junto con los axiomas ( Kernsätzen ) construyó un sistema formal que está libre de cualquier influencia intuitiva. Según Pasch, el único lugar donde la intuición debería jugar un papel es al decidir cuáles deberían ser las nociones primitivas y los axiomas. Así, para Pasch, el punto es una noción primitiva pero la línea (línea recta) no lo es, ya que tenemos una buena intuición sobre los puntos pero nadie ha visto o tenido experiencia con una línea infinita. La noción primitiva que Pasch usa en su lugar es segmento de línea .

Pasch observó que el ordenamiento de los puntos de una línea (o, equivalentemente, las propiedades de contención de los segmentos de línea) no se resuelve adecuadamente mediante los axiomas de Euclides; por lo tanto, el teorema de Pasch , que establece que si se cumplen dos relaciones de contención de segmentos de línea, también se cumple una tercera, no se puede demostrar a partir de los axiomas de Euclides. El axioma de Pasch relacionado se refiere a las propiedades de intersección de líneas y triángulos.

El trabajo de Pasch sobre los fundamentos estableció el estándar de rigor, no sólo en geometría sino también en el contexto más amplio de las matemáticas. Sus ideas innovadoras son ahora tan comunes que es difícil recordar que tuvieron un único creador. El trabajo de Pasch influyó directamente en muchos otros matemáticos, en particular D. Hilbert y el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). El trabajo de Peano de 1889 sobre geometría, en gran parte una traducción del tratado de Pasch a la notación de lógica simbólica (que Peano inventó), utiliza las nociones primitivas de punto y punto intermedio . ^[28] Peano rompe el vínculo empírico en la elección de nociones primitivas y axiomas que Pasch requería. Para Peano, todo el sistema es puramente formal, divorciado de cualquier aportación empírica. ^[29]

El matemático italiano Mario Pieri (1860-1913) adoptó un enfoque diferente y consideró un sistema en el que solo había dos nociones primitivas, la de punto y la de movimiento . ^[30] Pasch había utilizado cuatro primitivas y Peano las había reducido a tres, pero ambos enfoques se basaban en algún concepto de intermediación que Pieri reemplazó por su formulación de movimiento . En 1905, Pieri dio el primer tratamiento axiomático de la geometría proyectiva compleja que no comenzó con la construcción de una geometría proyectiva real .

Pieri era miembro de un grupo de geómetras y lógicos italianos que Peano había reunido en torno a sí mismo en Turín. Este grupo de asistentes, colegas jóvenes y otros se dedicaron a llevar a cabo el programa lógico-geométrico de Peano de poner los fundamentos de la geometría sobre una base axiomática firme basada en el simbolismo lógico de Peano. Además de Pieri, Burali-Forti , Padoa y Fano estaban en este grupo. En 1900 se celebraron dos conferencias internacionales consecutivas en París, el Congreso Internacional de Filosofía y el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos . Este grupo de matemáticos italianos estaba muy presente en estos congresos, impulsando su agenda axiomática. ^[31] Padoa dio una charla muy bien considerada y Peano, en el período de preguntas después del famoso discurso de David Hilbert sobre problemas sin resolver , comentó que sus colegas ya habían resuelto el segundo problema de Hilbert.

En la Universidad de Göttingen, durante el semestre de invierno de 1898-1899, el eminente matemático alemán David Hilbert (1862-1943) presentó un curso de conferencias sobre los fundamentos de la geometría. A petición de Felix Klein , se le pidió al profesor Hilbert que escribiera las notas de las conferencias para este curso a tiempo para la ceremonia de inauguración del monumento a CF Gauss y Wilhelm Weber que se celebraría en la universidad en el verano de 1899. Las conferencias reorganizadas se publicaron en junio de 1899 bajo el título Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría). La influencia del libro fue inmediata. Según Eves (1963, pp. 384-5):

Al desarrollar un conjunto de postulados para la geometría euclidiana que no se aparta demasiado del espíritu de los de Euclides y al emplear un mínimo de simbolismo, Hilbert logró convencer a los matemáticos en un grado mucho mayor que Pasch y Peano de la naturaleza puramente hipotético-deductiva de la geometría. Pero la influencia de la obra de Hilbert fue mucho más allá de esto, ya que, respaldada por la gran autoridad matemática del autor, implantó firmemente el método postulacional, no sólo en el campo de la geometría, sino también en prácticamente todas las demás ramas de las matemáticas. Es difícil sobreestimar el estímulo para el desarrollo de los fundamentos de las matemáticas proporcionado por el pequeño libro de Hilbert. Al carecer del extraño simbolismo de las obras de Pasch y Peano, la obra de Hilbert puede ser leída, en gran parte, por cualquier estudiante inteligente de geometría de secundaria.

Es difícil especificar los axiomas utilizados por Hilbert sin hacer referencia al historial de publicación de los Grundlagen , ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue seguida rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert agregó V.2, el Axioma de Completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, fue realizada por EJ Townsend y registrada en 1902. ^[32] Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la 2.ª edición. Hilbert continuó realizando cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La 7.ª edición fue la última en aparecer en vida de Hilbert. Nuevas ediciones siguieron a la 7.ª, pero el texto principal esencialmente no fue revisado. Las modificaciones en estas ediciones aparecen en los apéndices y suplementos. Los cambios en el texto fueron grandes en comparación con el original y se encargó una nueva traducción al inglés a Open Court Publishers, que había publicado la traducción de Townsend. Así, la segunda edición inglesa fue traducida por Leo Unger a partir de la décima edición alemana en 1971. ^[33] Esta traducción incorpora varias revisiones y ampliaciones de las ediciones alemanas posteriores realizadas por Paul Bernays. Las diferencias entre las dos traducciones inglesas se deben no solo a Hilbert, sino también a las diferentes decisiones tomadas por los dos traductores. Lo que sigue se basará en la traducción de Unger.

El sistema de axiomas de Hilbert está construido con seis nociones primitivas : punto , línea , plano , intermediación , contención y congruencia .

Todos los puntos, líneas y planos en los siguientes axiomas son distintos a menos que se indique lo contrario.

I. Incidencia

1. Por cada dos puntos A y B existe una recta a que los contiene a ambos. Escribimos AB = a o BA = a . En lugar de “contiene”, también podemos emplear otras formas de expresión; por ejemplo, podemos decir “ A se encuentra sobre a ”, “ A es un punto de a ”, “ a pasa por A y por B ”, “ a une A con B ”, etc. Si A se encuentra sobre a y al mismo tiempo sobre otra recta b , utilizamos también la expresión: “Las rectas a y b tienen en común el punto A ”, etc.
2. Por cada dos puntos no existe más que una recta que los contenga a ambos; en consecuencia, si AB = a y AC = a , donde B ≠ C , entonces también BC = a .
3. Existen al menos dos puntos en una recta. Existen al menos tres puntos que no están en una recta.
4. Por cada tres puntos A , B , C que no están situados sobre la misma recta existe un plano α que los contiene a todos. Por cada plano existe un punto que se encuentra sobre él. Escribimos ABC = α . Empleamos también las expresiones: “ A , B , C están en α”; “A, B, C son puntos de α”, etc.
5. Por cada tres puntos A , B , C que no estén en la misma recta, no existe más que un plano que los contenga a todos.
6. Si dos puntos A , B de una recta a están en un plano α, entonces cada punto de a está en α. En este caso decimos: “La recta a está en el plano α”, etc.
7. Si dos planos α, β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.
8. Existen al menos cuatro puntos que no están en un plano.

II. Orden

1. Si un punto B se encuentra entre los puntos A y C , B también está entre C y A , y existe una línea que contiene los puntos distintos A, B, C.
2. Si A y C son dos puntos de una línea, entonces existe al menos un punto B que se encuentra entre A y C.
3. De tres puntos situados sobre una línea, no hay más de uno que esté entre los otros dos.
4. Axioma de Pasch : Sean A , B , C tres puntos que no están en la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y que no pasa por ninguno de los puntos A , B , C. Entonces, si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasará por un punto del segmento BC o por un punto del segmento AC .

III. Congruencia

1. Si A , B son dos puntos de una recta a , y si A′ es un punto de la misma recta a′ o de otra , entonces, sobre un lado dado de A′ de la recta a′ , siempre podemos hallar un punto B′ de modo que el segmento AB sea congruente con el segmento A′B′ . Indicamos esta relación escribiendo AB ≅ A′ B′ . Todo segmento es congruente consigo mismo; es decir, siempre tenemos AB ≅ AB .
   Podemos enunciar brevemente el axioma anterior diciendo que todo segmento puede extenderse sobre un lado dado de un punto dado de una recta dada de al menos una manera.
2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A′B′ y también con el segmento A″B″ , entonces el segmento A′B′ es congruente con el segmento A″B″ ; es decir, si AB ≅ A′B′ y AB ≅ A″B″ , entonces A′B′ ≅ A″B″ .
3. Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común excepto el punto B , y, además, sean A′B′ y B′C′ dos segmentos de la misma o de otra recta a′ que no tienen, asimismo, ningún punto en común excepto B′ . Entonces, si AB ≅ A′B′ y BC ≅ B′C′ , tenemos AC ≅ A′C′ .
4. Sea dado un ángulo ∠ ( h , k ) en el plano α y sea dada una recta a′ en un plano α′. Supóngase también que, en el plano α′, se asigna un lado definido de la recta a′ . Denotemos por h′ un rayo de la recta a′ que emana de un punto O′ de esta recta. Entonces en el plano α′ hay un y sólo un rayo k′ tal que el ángulo ∠ ( h , k ), o ∠ ( k , h ), es congruente con el ángulo ∠ ( h′ , k′ ) y al mismo tiempo todos los puntos interiores del ángulo ∠ ( h′ , k′ ) se encuentran sobre el lado dado de a′ . Expresamos esta relación mediante la notación ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
5. Si el ángulo ∠ ( h , k ) es congruente con el ángulo ∠ ( h′ , k′ ) y con el ángulo ∠ ( h″ , k″ ), entonces el ángulo ∠ ( h′ , k′ ) es congruente con el ángulo ∠ ( h″ , k″ ); es decir, si ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) y ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), entonces ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).

IV. Paralelismos

1. (Axioma de Euclides): ^[34] Sea a una recta cualquiera y A un punto que no está sobre ella. Entonces hay como máximo una recta en el plano, determinada por a y A , que pasa por A y no interseca a a .

V. Continuidad

1. Axioma de Arquímedes . Si AB y CD son segmentos cualesquiera, entonces existe un número n tal que n segmentos CD construidos contiguos a partir de A , a lo largo del rayo de A a B , pasarán más allá del punto B.
2. Axioma de completitud de línea . Es imposible una extensión de un conjunto de puntos de una línea con sus relaciones de orden y congruencia que preserve las relaciones existentes entre los elementos originales, así como las propiedades fundamentales de orden y congruencia de línea que se desprenden de los axiomas I–III y de V-1.

Cuando la monografía de 1899 fue traducida al francés, Hilbert añadió:

V.2 Axioma de completitud . A un sistema de puntos, rectas y planos no es posible añadir otros elementos de manera que el sistema así generalizado forme una nueva geometría que obedezca a los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si consideramos válidos los cinco grupos de axiomas.

Este axioma no es necesario para el desarrollo de la geometría euclidiana, pero sí es necesario para establecer una biyección entre los números reales y los puntos de una línea. ^[35] Este fue un ingrediente esencial en la prueba de Hilbert de la consistencia de su sistema de axiomas.

En la séptima edición de los Grundlagen , este axioma fue reemplazado por el axioma de completitud de línea dado anteriormente y el antiguo axioma V.2 se convirtió en el Teorema 32.

También se puede encontrar en la monografía de 1899 (y aparece en la traducción de Townsend):

II.4. Cualesquiera cuatro puntos A , B , C , D de una línea siempre pueden etiquetarse de modo que B esté entre A y C y también entre A y D , y, además, que C esté entre A y D y también entre B y D.

Sin embargo, EH Moore y RL Moore demostraron independientemente que este axioma es redundante, y el primero publicó este resultado en un artículo que apareció en Transactions of the American Mathematical Society en 1902. ^[36] Hilbert movió el axioma al Teorema 5 y renumeró los axiomas en consecuencia (el antiguo axioma II-5 (axioma de Pasch) ahora se convirtió en II-4).

Aunque no fueron tan dramáticos como estos cambios, la mayoría de los axiomas restantes también fueron modificados en forma y/o función a lo largo de las primeras siete ediciones.

Más allá del establecimiento de un conjunto satisfactorio de axiomas, Hilbert también demostró la consistencia de su sistema en relación con la teoría de los números reales mediante la construcción de un modelo de su sistema axiomático a partir de los números reales. Demostró la independencia de algunos de sus axiomas mediante la construcción de modelos de geometrías que satisfacen todos excepto el axioma en consideración. Así, hay ejemplos de geometrías que satisfacen todos excepto el axioma de Arquímedes V.1 (geometrías no arquimedianas), todos excepto el axioma de las paralelas IV.1 (geometrías no euclidianas), etc. Utilizando la misma técnica, también mostró cómo algunos teoremas importantes dependían de ciertos axiomas y eran independientes de otros. Algunos de sus modelos eran muy complejos y otros matemáticos intentaron simplificarlos. Por ejemplo, el modelo de Hilbert para demostrar la independencia del teorema de Desargues de ciertos axiomas llevó finalmente a Ray Moulton a descubrir el plano de Moulton no desarguesiano . Estas investigaciones de Hilbert prácticamente inauguraron el estudio moderno de la geometría abstracta en el siglo XX. ^[37]

En 1932, G. D. Birkhoff creó un conjunto de cuatro postulados de la geometría euclidiana, a veces denominados axiomas de Birkhoff . ^[38] Todos estos postulados se basan en una geometría básica que se puede verificar experimentalmente con una escala y un transportador . En un cambio radical respecto del enfoque sintético de Hilbert, Birkhoff fue el primero en construir los fundamentos de la geometría sobre el sistema de números reales . ^[39] Es esta poderosa suposición la que permite el pequeño número de axiomas en este sistema.

Birkhoff utiliza cuatro términos no definidos: punto , línea , distancia y ángulo . Sus postulados son: ^[40]

Postulado I: Postulado de la medida de la recta . Los puntos A , B , ... de cualquier recta pueden ponerse en correspondencia 1:1 con los números reales x de modo que | x _B  − x _A | = d( A, B ) para todos los puntos A y  B . 

Postulado II: Postulado Punto-Recta . Existe una y sólo una recta, ℓ , que contiene dos puntos distintos cualesquiera dados P y  Q .

Postulado III: Postulado de la medida de los ángulos . Los rayos { ℓ, m, n , ...} que pasan por cualquier punto O se pueden poner en correspondencia 1:1 con los números reales a  (mod 2 π ) de modo que si A y B son puntos (distintos de O ) de ℓ y m , respectivamente, la diferencia a _m  −  a _ℓ  (mod 2π) de los números asociados a las rectas ℓ y m es AOB . Además, si el punto B en m varía continuamente en una recta r que no contiene el vértice O , el número a _m varía continuamente también.${\displaystyle \ángulo}$

Postulado IV: Postulado de semejanza . Si en dos triángulos ABC y A'B'C'  y para alguna constante k  > 0, d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) y B'A'C'   = ± BAC , entonces d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA , y A'C'B'   = ± ACB .${\displaystyle \ángulo}$${\displaystyle \ángulo}$${\displaystyle \ángulo}$ ${\displaystyle \ángulo}$${\displaystyle \ángulo}$${\displaystyle \ángulo}$

La cuestión de si es o no sensato enseñar geometría euclidiana desde un punto de vista axiomático en el nivel secundario ha sido objeto de debate. Ha habido muchos intentos de hacerlo y no todos han tenido éxito. En 1904, George Bruce Halsted publicó un texto de geometría para la escuela secundaria basado en el conjunto de axiomas de Hilbert. ^[41] Las críticas lógicas a este texto condujeron a una segunda edición muy revisada. ^[42] En reacción al lanzamiento del satélite ruso Sputnik, hubo un llamado en los Estados Unidos para revisar el currículo de matemáticas escolares. De este esfuerzo surgió el programa New Math de la década de 1960. Con esto como antecedente, muchas personas y grupos se propusieron proporcionar material textual para clases de geometría basadas en un enfoque axiomático.

Saunders Mac Lane (1909-2005), matemático, ^[43] escribió un artículo en 1959 en el que proponía un conjunto de axiomas para la geometría euclidiana en el espíritu del tratamiento de Birkhoff, utilizando una función de distancia para asociar números reales con segmentos de línea. ^[44] Este no fue el primer intento de basar un tratamiento de nivel escolar en el sistema de Birkhoff; de hecho, Birkhoff y Ralph Beatley habían escrito un texto de secundaria en 1940 ^[45] que desarrollaba la geometría euclidiana a partir de cinco axiomas y la capacidad de medir segmentos de línea y ángulos. Sin embargo, para adaptar el tratamiento a una audiencia de secundaria, algunos argumentos matemáticos y lógicos fueron ignorados o pasados ​​por alto. ^[42]

En el sistema de Mac Lane hay cuatro nociones primitivas (términos no definidos): punto , distancia , línea y medida de ángulo . También hay 14 axiomas, cuatro que dan las propiedades de la función distancia, cuatro que describen propiedades de líneas, cuatro que discuten ángulos (que son ángulos dirigidos en este tratamiento), un axioma de similitud (esencialmente el mismo que el de Birkhoff) y un axioma de continuidad que puede usarse para derivar el teorema de Crossbar y su inverso. ^{[46] El mayor número de axiomas tiene la ventaja pedagógica de hacer que las primeras demostraciones en el desarrollo sean más fáciles de seguir y el uso de una} métrica familiar permite un avance rápido a través del material básico de modo que se pueda llegar antes a los aspectos más "interesantes" del tema.

En la década de 1960, el School Mathematics Study Group (SMSG) introdujo un nuevo conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, adecuado para los cursos de geometría de la escuela secundaria estadounidense, como parte de los nuevos planes de estudio de matemáticas. Este conjunto de axiomas sigue el modelo de Birkhoff de utilizar los números reales para obtener una entrada rápida en los fundamentos geométricos. Sin embargo, mientras que Birkhoff intentó minimizar el número de axiomas utilizados y la mayoría de los autores se preocuparon por la independencia de los axiomas en sus tratamientos, la lista de axiomas del SMSG se hizo intencionalmente grande y redundante por razones pedagógicas. ^[47] El SMSG solo produjo un texto mimeografiado utilizando estos axiomas, ^[48] pero Edwin E. Moise , un miembro del SMSG, escribió un texto de secundaria basado en este sistema, ^[49] y un texto de nivel universitario, Moise (1974), con parte de la redundancia eliminada y modificaciones realizadas a los axiomas para una audiencia más sofisticada. ^[50]

Hay ocho términos indefinidos: punto , línea , plano , se encuentra sobre , medida de ángulo , distancia , área y volumen . Los 22 axiomas de este sistema reciben nombres individuales para facilitar su referencia. Entre ellos se encuentran: el postulado de la regla, el postulado de la colocación de la regla, el postulado de separación de planos, el postulado de adición de ángulos, el postulado de lado-ángulo-lado (LSA), el postulado de las paralelas (en la forma de Playfair ) y el principio de Cavalieri . ^[51]

Aunque gran parte del nuevo currículo de matemáticas ha sido modificado drásticamente o abandonado, la parte de geometría se ha mantenido relativamente estable en los Estados Unidos. Los libros de texto de secundaria estadounidenses modernos utilizan sistemas de axiomas que son muy similares a los del SMSG. Por ejemplo, los textos producidos por el Proyecto de Matemáticas Escolares de la Universidad de Chicago (UCSMP) utilizan un sistema que, además de algunas actualizaciones del lenguaje, difiere principalmente del sistema SMSG en que incluye algunos conceptos de transformación bajo su "Postulado de Reflexión". ^[47]

Sólo hay tres términos indefinidos: punto , línea y plano . Hay ocho "postulados", pero la mayoría de ellos tienen varias partes (que generalmente se denominan suposiciones en este sistema). Contando estas partes, hay 32 axiomas en este sistema. Entre los postulados se pueden encontrar el postulado punto-línea-plano , el postulado de desigualdad del triángulo , postulados para la distancia, la medición de ángulos, los ángulos correspondientes, el área y el volumen, y el postulado de reflexión. El postulado de reflexión se utiliza como reemplazo del postulado SAS del sistema SMSG. ^[52]

Oswald Veblen (1880 – 1960) proporcionó un nuevo sistema axiomático en 1904 cuando reemplazó el concepto de “intermediación”, tal como lo utilizaban Hilbert y Pasch, por un nuevo concepto primitivo, orden . Esto permitió que varios términos primitivos utilizados por Hilbert se convirtieran en entidades definidas, reduciendo el número de nociones primitivas a dos, punto y orden . ^[37]

A lo largo de los años se han propuesto muchos otros sistemas axiomáticos para la geometría euclidiana. Se puede encontrar una comparación de muchos de ellos en una monografía de 1927 de Henry George Forder. ^[53] Forder también ofrece, combinando axiomas de diferentes sistemas, su propio tratamiento basado en las dos nociones primitivas de punto y orden . También proporciona un tratamiento más abstracto de uno de los sistemas de Pieri (de 1909) basado en las nociones primitivas de punto y congruencia . ^[42]

A partir de Peano, ha habido un hilo paralelo de interés entre los lógicos en relación con los fundamentos axiomáticos de la geometría euclidiana. Esto se puede ver, en parte, en la notación utilizada para describir los axiomas. Pieri afirmó que, aunque escribía en el lenguaje tradicional de la geometría, siempre estaba pensando en términos de la notación lógica introducida por Peano, y utilizó ese formalismo para ver cómo demostrar cosas. Un ejemplo típico de este tipo de notación se puede encontrar en el trabajo de EV Huntington (1874 – 1952) quien, en 1913, ^[54] produjo un tratamiento axiomático de la geometría euclidiana tridimensional basado en las nociones primitivas de esfera e inclusión (una esfera dentro de otra). ^[42] Más allá de la notación, también hay interés en la estructura lógica de la teoría de la geometría. Alfred Tarski demostró que una parte de la geometría, que llamó geometría elemental , es una teoría lógica de primer orden (ver los axiomas de Tarski ).

Los tratamientos textuales modernos de los fundamentos axiomáticos de la geometría euclidiana siguen el patrón de HG Forder y Gilbert de B. Robinson ^[55], quienes mezclan y combinan axiomas de diferentes sistemas para producir diferentes énfasis. Venema (2006) es un ejemplo moderno de este enfoque.

En vista del papel que desempeñan las matemáticas en la ciencia y las implicaciones del conocimiento científico para todas nuestras creencias, los cambios revolucionarios en la comprensión que el hombre tiene de la naturaleza de las matemáticas no podrían sino significar cambios revolucionarios en su comprensión de la ciencia, de las doctrinas filosóficas, de las creencias religiosas y éticas y, de hecho, de todas las disciplinas intelectuales. ^[56]

En la primera mitad del siglo XIX se produjo en el campo de la geometría una revolución que fue tan importante científicamente como la revolución copernicana en la astronomía y tan profunda filosóficamente como la teoría darwiniana de la evolución en su impacto sobre la manera en que pensamos. Esta fue la consecuencia del descubrimiento de la geometría no euclidiana. ^[57] Durante más de dos mil años, a partir de la época de Euclides, los postulados que fundamentaban la geometría se consideraron verdades evidentes sobre el espacio físico. Los geómetras creían que deducían de ellos otras verdades más oscuras, sin posibilidad de error. Esta visión se volvió insostenible con el desarrollo de la geometría hiperbólica. Ahora había dos sistemas de geometría incompatibles (y luego vinieron más) que eran autoconsistentes y compatibles con el mundo físico observable. "A partir de este punto, toda la discusión sobre la relación entre la geometría y el espacio físico se llevó a cabo en términos bastante diferentes" (Moise 1974, p. 388).

Para obtener una geometría no euclidiana, el postulado de las paralelas (o su equivalente) debe ser reemplazado por su negación . La negación de la forma del axioma de Playfair , ya que es un enunciado compuesto (... existe uno y sólo uno...), se puede hacer de dos maneras. O existirá más de una línea a través del punto paralelo a la línea dada o no existirán líneas a través del punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, reemplazando el postulado de las paralelas (o su equivalente) con el enunciado "En un plano, dado un punto P y una línea ℓ que no pasa por P, existen dos líneas a través de P que no cortan ℓ " y manteniendo todos los demás axiomas, se obtiene la geometría hiperbólica . ^[58] El segundo caso no se maneja tan fácilmente. Simplemente reemplazando el postulado de las paralelas con el enunciado, "En un plano, dado un punto P y una línea ℓ que no pasa por P, todas las líneas a través de P cortan ℓ ", no se obtiene un conjunto consistente de axiomas. Esto se deduce de que en la geometría absoluta existen líneas paralelas, ^[59] pero esta afirmación diría que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (bajo una forma diferente) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para que rechazaran lo que se conocía como el "caso del ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma sobre la inexistencia de líneas paralelas, es necesario modificar algunos de los otros axiomas. Los ajustes que se deben realizar dependen del sistema de axiomas que se utilice. Entre otros, estos ajustes tendrán el efecto de modificar el segundo postulado de Euclides, desde la afirmación de que los segmentos de línea pueden extenderse indefinidamente hasta la afirmación de que las líneas son ilimitadas. La geometría elíptica de Riemann surge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". ^[60] Se refería a su propio trabajo inédito, que hoy llamamos geometría hiperbólica . Varios autores aún consideran que "geometría no euclidiana" y "geometría hiperbólica" son sinónimos. En 1871, Felix Klein , al adaptar una métrica discutida por Arthur Cayley en 1852, pudo llevar las propiedades métricas a un entorno proyectivo y, por lo tanto, pudo unificar los tratamientos de la geometría hiperbólica, euclidiana y elíptica bajo el paraguas de la geometría proyectiva . ^[61] Klein es responsable de los términos "hiperbólico" y "elíptica" (en su sistema llamó a la geometría euclidiana "parabólica", un término que no ha sobrevivido la prueba del tiempo y que hoy se usa solo en unas pocas disciplinas). Su influencia ha llevado al uso común del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".

Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de diversas maneras. En otras disciplinas, sobre todo en la física matemática , donde la influencia de Klein no fue tan fuerte, el término "no euclidiano" suele interpretarse como no euclidiano.

Durante dos mil años se hicieron muchos intentos de demostrar el postulado de las paralelas utilizando los cuatro primeros postulados de Euclides. Una posible razón por la que se buscaba tanto una prueba de este tipo era que, a diferencia de los cuatro primeros postulados, el postulado de las paralelas no es evidente por sí mismo. Si el orden en que se enumeran los postulados en los Elementos fuera significativo, indicaría que Euclides incluyó este postulado solo cuando se dio cuenta de que no podía demostrarlo o proceder sin él. ^[62] Se hicieron muchos intentos de demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, muchos de ellos siendo aceptados como pruebas durante largos períodos de tiempo hasta que se encontró el error. Invariablemente, el error fue suponer alguna propiedad "obvia" que resultó ser equivalente al quinto postulado. Finalmente, se comprendió que este postulado podría no ser demostrable a partir de los otros cuatro. Según Trudeau (1987, p. 154), esta opinión sobre el postulado de las paralelas (Postulado 5) sí aparece impresa:

Al parecer, el primero en hacerlo fue GS Klügel (1739-1812), estudiante de doctorado en la Universidad de Göttingen, con el apoyo de su profesor AG Kästner, en su tesis de 1763 Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio (Revisión de los intentos más celebrados de demostrar la teoría de las paralelas). En esta obra, Klügel examinó 28 intentos de demostrar el Postulado 5 (incluido el de Saccheri), los encontró todos deficientes y ofreció la opinión de que el Postulado 5 es indemostrable y se sustenta únicamente en el juicio de nuestros sentidos.

El comienzo del siglo XIX finalmente sería testigo de pasos decisivos en la creación de la geometría no euclidiana. Hacia 1813, Carl Friedrich Gauss y, de forma independiente alrededor de 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart ^[63] desarrollaron las ideas germinales de la geometría no euclidiana, pero ninguno publicó ningún resultado. Luego, alrededor de 1830, el matemático húngaro János Bolyai y el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado tratados sobre lo que hoy llamamos geometría hiperbólica . En consecuencia, la geometría hiperbólica ha sido llamada geometría de Bolyai-Lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientemente uno del otro, son los autores básicos de la geometría no euclidiana. Gauss le mencionó al padre de Bolyai, cuando le mostró el trabajo del joven Bolyai, que había desarrollado tal geometría varios años antes, ^[64] aunque no lo publicó. Mientras que Lobachevsky creó una geometría no euclidiana negando el postulado de las paralelas, Bolyai elaboró ​​una geometría donde tanto la geometría euclidiana como la hiperbólica son posibles dependiendo de un parámetro k . Bolyai termina su trabajo mencionando que no es posible decidir a través del razonamiento matemático únicamente si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; esta es una tarea para las ciencias físicas. La independencia del postulado de las paralelas de los otros axiomas de Euclides fue finalmente demostrada por Eugenio Beltrami en 1868. ^[65]

Los diversos intentos de demostrar el postulado de las paralelas dieron lugar a una larga lista de teoremas que son equivalentes al postulado de las paralelas. En este caso, equivalencia significa que, en presencia de los demás axiomas de la geometría, cada uno de estos teoremas puede asumirse como verdadero y el postulado de las paralelas puede demostrarse a partir de este conjunto modificado de axiomas. Esto no es lo mismo que equivalencia lógica . ^[66] En diferentes conjuntos de axiomas para la geometría euclidiana, cualquiera de estos puede reemplazar al postulado de las paralelas euclidiana. ^[67] La ​​siguiente lista parcial indica algunos de estos teoremas que son de interés histórico. ^[68]

1. Las líneas rectas paralelas son equidistantes. (Poseidónio, siglo I a.C.)
2. Todos los puntos equidistantes de una recta dada, en un lado dado de ella, constituyen una recta. (Christoph Clavius, 1574)
3. Axioma de Playfair . En un plano, hay como máximo una línea que puede trazarse paralela a otra dada a través de un punto exterior. (Proclo, siglo V, pero popularizado por John Playfair, finales del siglo XVIII)
4. La suma de los ángulos de cada triángulo es 180° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, principios del siglo XIX)
5. Existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, principios del siglo XIX)
6. Existe un par de triángulos semejantes , pero no congruentes . (Gerolamo Saccheri, 1733)
7. Todo triángulo puede ser circunscrito . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, principios del siglo XIX)
8. Si tres ángulos de un cuadrilátero son rectos , entonces el cuarto ángulo también es recto. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
9. Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos. (Geralamo Saccheri, 1733)
10. Postulado de Wallis . Sobre una recta finita dada siempre es posible construir un triángulo semejante a un triángulo dado. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
11. No existe límite superior para el área de un triángulo. (Carl Friedrich Gauss, 1799)
12. Los ángulos de la cumbre del cuadrilátero Saccheri son de 90°. (Géralamo Saccheri, 1733)
13. Axioma de Proclo . Si una línea interseca una de dos líneas paralelas, ambas coplanares con la línea original, entonces también interseca a la otra. (Proclo, siglo V)

La geometría absoluta es una geometría basada en un sistema de axiomas que consiste en todos los axiomas que dan lugar a la geometría euclidiana excepto el postulado de las paralelas o cualquiera de sus alternativas. ^[69] El término fue introducido por János Bolyai en 1832. ^[70] A veces se la denomina geometría neutral , ^[71] ya que es neutral con respecto al postulado de las paralelas.

En los Elementos de Euclides , las primeras 28 proposiciones y la Proposición I.31 evitan el uso del postulado de las paralelas, y por lo tanto son teoremas válidos en geometría absoluta. ^[72] La Proposición I.31 prueba la existencia de líneas paralelas (por construcción). También se puede probar el teorema de Saccheri-Legendre , que establece que la suma de los ángulos de un triángulo es como máximo 180°.

Los teoremas de la geometría absoluta son válidos tanto para la geometría hiperbólica como para la geometría euclidiana . ^[73]

La geometría absoluta es incompatible con la geometría elíptica : en la geometría elíptica no existen líneas paralelas, pero en la geometría absoluta sí existen líneas paralelas. Además, en la geometría elíptica, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que 180°.

Lógicamente, los axiomas no forman una teoría completa , ya que se pueden añadir axiomas independientes adicionales sin hacer que el sistema de axiomas sea inconsistente. Se puede extender la geometría absoluta añadiendo diferentes axiomas sobre paralelismo y obtener sistemas de axiomas incompatibles pero consistentes, dando lugar a la geometría euclidiana e hiperbólica. Por lo tanto, cada teorema de la geometría absoluta es un teorema de la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana. Sin embargo, lo inverso no es cierto. Además, la geometría absoluta no es una teoría categórica , ya que tiene modelos que no son isomorfos. ^[74]

En el enfoque axiomático de la geometría hiperbólica (también denominada geometría lobachevskyiana o geometría de Bolyai-Lobachevsky), se añade un axioma adicional a los axiomas que dan la geometría absoluta . El nuevo axioma es el postulado paralelo de Lobachevsky (también conocido como el postulado característico de la geometría hiperbólica ): ^[75]

Por un punto que no está sobre una recta dada existen (en el plano determinado por este punto y esta recta) al menos dos rectas que no cortan a la recta dada.

Con esta adición, el sistema de axiomas ahora está completo.

Aunque el nuevo axioma afirma únicamente la existencia de dos líneas, se establece fácilmente que hay un número infinito de líneas que pasan por el punto dado y que no cortan la línea dada. Dada esta plenitud, hay que tener cuidado con la terminología en este contexto, ya que el término línea paralela ya no tiene el significado único que tiene en la geometría euclidiana. En concreto, sea P un punto que no está en una línea dada . Sea PA la perpendicular trazada desde P hasta (que se encuentra en el punto A ). Las líneas que pasan por P se dividen en dos clases, las que se cortan y las que no. El postulado característico de la geometría hiperbólica dice que hay al menos dos líneas del último tipo. De las líneas que no se cortan , habrá (a cada lado de PA ) una línea que forme el ángulo más pequeño con PA . A veces, estas líneas se denominan las primeras líneas que pasan por P y que no se cortan y se denominan de diversas formas líneas límite, asintóticas o paralelas (cuando se utiliza este último término, estas son las únicas líneas paralelas). Todas las demás líneas que pasan por P y no se cruzan se denominan líneas no intersecantes o ultraparalelas .${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$

Dado que tanto la geometría hiperbólica como la geometría euclidiana se basan en los axiomas de la geometría absoluta, comparten muchas propiedades y proposiciones. Sin embargo, las consecuencias de reemplazar el postulado de las paralelas de la geometría euclidiana por el postulado característico de la geometría hiperbólica pueden ser dramáticas. Por mencionar algunas de ellas:

• Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero que tiene tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, y recto si la geometría es euclidiana. Además, los rectángulos pueden existir (una afirmación equivalente al postulado de las paralelas) solo en la geometría euclidiana.
• Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero que tiene dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado base . Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se llaman ángulos de vértice y tienen la misma medida. Los ángulos de vértice de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica y rectos si la geometría es euclidiana.
• La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor que 180° si la geometría es hiperbólica, e igual a 180° si la geometría es euclidiana. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180° – suma de las medidas de los ángulos del triángulo). Este resultado también puede expresarse como: el defecto de los triángulos en la geometría hiperbólica es positivo, y el defecto de los triángulos en la geometría euclidiana es cero.
• El área de un triángulo en geometría hiperbólica está limitada, mientras que existen triángulos con áreas arbitrariamente grandes en geometría euclidiana.
• El conjunto de puntos del mismo lado e igualmente alejados de una recta dada forman una línea en geometría euclidiana, pero no en geometría hiperbólica (forman un hiperciclo ).

Los defensores de la posición de que la geometría euclidiana es la única geometría "verdadera" recibieron un revés cuando, en una memoria publicada en 1868, "Teoría fundamental de espacios de curvatura constante", ^[76] Eugenio Beltrami dio una prueba abstracta de equiconsistencia de la geometría hiperbólica y euclidiana para cualquier dimensión. Logró esto introduciendo varios modelos de geometría no euclidiana que ahora se conocen como el modelo de Beltrami-Klein , el modelo del disco de Poincaré y el modelo del semiplano de Poincaré , junto con las transformaciones que los relacionan. Para el modelo del semiplano, Beltrami citó una nota de Liouville en el tratado de Monge sobre geometría diferencial . Beltrami también demostró que la geometría euclidiana n -dimensional se realiza en una horósfera del espacio hiperbólico ( n  + 1)-dimensional , por lo que la relación lógica entre la consistencia de las geometrías euclidiana y no euclidiana es simétrica.

Otra forma de modificar el postulado euclidiano de las paralelas es suponer que no existen líneas paralelas en un plano. A diferencia de la situación con la geometría hiperbólica , donde simplemente añadimos un nuevo axioma, no podemos obtener un sistema consistente añadiendo esta afirmación como un nuevo axioma a los axiomas de la geometría absoluta . Esto se deduce de que es demostrable que existen líneas paralelas en la geometría absoluta. Se deben cambiar otros axiomas.

Comenzando con los axiomas de Hilbert, los cambios necesarios implican eliminar los cuatro axiomas de orden de Hilbert y reemplazarlos con estos siete axiomas de separación relacionados con una nueva relación indefinida. ^[77]

Existe una relación indefinida ( primitiva ) entre cuatro puntos, A , B , C y D, denotada por ( A , C | B , D ) y que se lee como " A y C separan a B y D ", ^[78] satisfaciendo estos axiomas:

1. Si ( A , B | C , D ), entonces los puntos A , B , C y D son colineales y distintos.
2. Si ( A , B | C , D ), entonces ( C , D | A , B ) y ( B , A | D , C ).
3. Si ( A , B | C , D ), entonces no ( A , C | B , D ).
4. Si los puntos A , B , C y D son colineales y distintos entonces ( A , B | C , D ) o ( A , C | B , D ) o ( A , D | B , C ).
5. Si los puntos A , B y C son colineales y distintos, entonces existe un punto D tal que ( A , B | C , D ).
6. Para cinco puntos colineales distintos A , B , C , D y E , si ( A , B | D , E ), entonces ( A , B | C , D ) o ( A , B | C , E ).
7. Las perspectivas preservan la separación.

Dado que se ha eliminado la noción de Hilbert de "intermediación", los términos que se definieron utilizando ese concepto necesitan ser redefinidos. ^[79] Por lo tanto, un segmento de línea AB definido como los puntos A y B y todos los puntos entre A y B en geometría absoluta, necesita ser reformulado. Un segmento de línea en esta nueva geometría está determinado por tres puntos colineales A , B y C y consta de esos tres puntos y todos los puntos no separados de B por A y C . Hay más consecuencias. Dado que dos puntos no determinan un segmento de línea de forma única, tres puntos no colineales no determinan un triángulo único, y la definición de triángulo tiene que ser reformulada.

Una vez redefinidas estas nociones, los demás axiomas de la geometría absoluta (incidencia, congruencia y continuidad) adquieren sentido y se dejan como están. Junto con el nuevo axioma sobre la inexistencia de líneas paralelas, tenemos un sistema consistente de axiomas que da lugar a una nueva geometría. La geometría resultante se denomina geometría elíptica (plana) .

Aunque la geometría elíptica no es una extensión de la geometría absoluta (como lo son la geometría euclidiana y la hiperbólica), existe una cierta "simetría" en las proposiciones de las tres geometrías que refleja una conexión más profunda observada por Felix Klein. Algunas de las proposiciones que exhiben esta propiedad son:

• El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es un ángulo obtuso en geometría elíptica.
• Los ángulos de la cima de un cuadrilátero de Saccheri son obtusos en geometría elíptica.
• La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que 180° si la geometría es elíptica. Es decir, el defecto de un triángulo es negativo. ^[80]
• En la geometría elíptica, todas las líneas perpendiculares a una línea dada se encuentran en un punto común, llamado polo de la línea. En la geometría hiperbólica, estas líneas no se intersecan entre sí, mientras que en la geometría euclidiana son paralelas entre sí.

Otros resultados, como el teorema del ángulo exterior , enfatizan claramente la diferencia entre la geometría elíptica y las geometrías que son extensiones de la geometría absoluta.

La geometría absoluta es una extensión de la geometría ordenada y, por lo tanto, todos los teoremas de la geometría ordenada se cumplen en la geometría absoluta. Lo inverso no es cierto. La geometría absoluta asume los primeros cuatro axiomas de Euclides (o sus equivalentes), en contraste con la geometría afín , que no asume el tercer y cuarto axiomas de Euclides. La geometría ordenada es una base común tanto de la geometría absoluta como de la afín. ^[81]

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