Categoría posetal

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En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría posetal , o categoría delgada , ^[1] es una categoría cuyos conjuntos homólogos contienen como máximo un morfismo. ^[2] Como tal, una categoría posetal equivale a una clase preordenada (o un conjunto preordenado , si sus objetos forman un conjunto ). Como lo sugiere el nombre, el requisito adicional de que la categoría sea esquelética a menudo se asume para la definición de "posetal"; en el caso de una categoría que es posetal, ser esquelético es equivalente al requisito de que los únicos isomorfismos sean los morfismos identidad, equivalentemente que la clase preordenada satisface la antisimetría y, por lo tanto, si es un conjunto, es un poset .

Todos los diagramas conmutan en una categoría posetal. Cuando los diagramas conmutativos de una categoría se interpretan como una teoría ecuacional tipificada cuyos objetos son los tipos, una categoría posetal codiscreta corresponde a una teoría inconsistente entendida como aquella que satisface el axioma x = y en todos los tipos.

Al considerar una 2-categoría como una categoría enriquecida cuyos hom-objetos son categorías, los hom-objetos de cualquier extensión de una categoría posetal a una 2-categoría que tenga las mismas 1-celdas son monoides .

Algunas estructuras de teoría reticular se pueden definir como categorías posetales de un cierto tipo, generalmente con el supuesto más fuerte de que son esqueléticas. Por ejemplo, bajo este supuesto, un poset puede definirse como una pequeña categoría posetal, un retículo distributivo como una pequeña categoría posetal distributiva , un álgebra de Heyting como una pequeña categoría posetal finitamente co-completa cartesiana cerrada y un álgebra de Boole como una pequeña categoría posetal finitamente co-completa *-autónoma . Por el contrario, las categorías, las categorías distributivas, las categorías cartesianas cerradas finitamente co-completas y las categorías finitamente co-completas *-autónomas pueden considerarse las categorizaciones respectivas de los posets, los retículos distributivos, las álgebras de Heyting y las álgebras de Boole.