Teoría de categorías

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La teoría de categorías es una teoría general de las estructuras matemáticas y sus relaciones. Fue introducida por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane a mediados del siglo XX en su trabajo fundacional sobre topología algebraica . ^[1] La teoría de categorías se utiliza en casi todas las áreas de las matemáticas. En particular, muchas construcciones de nuevos objetos matemáticos a partir de otros anteriores que aparecen de forma similar en varios contextos se expresan y unifican convenientemente en términos de categorías. Los ejemplos incluyen espacios cocientes , productos directos , completitud y dualidad .

Muchas áreas de la informática también se basan en la teoría de categorías, como la programación funcional y la semántica .

Una categoría está formada por dos tipos de objetos : los objetos de la categoría y los morfismos , que relacionan dos objetos llamados fuente y destino del morfismo. Metafóricamente, un morfismo es una flecha que asigna su fuente a su destino. Los morfismos pueden estar compuestos si el destino del primer morfismo es igual a la fuente del segundo. La composición de morfismos tiene propiedades similares a la composición de funciones ( asociatividad y existencia de un morfismo identidad para cada objeto). Los morfismos suelen ser algún tipo de funciones , pero este no es siempre el caso. Por ejemplo, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto, cuyos morfismos son los elementos del monoide.

El segundo concepto fundamental de la teoría de categorías es el concepto de funtor , que desempeña el papel de un morfismo entre dos categorías y : mapea objetos de a objetos de y morfismos de a morfismos de de tal manera que las fuentes se mapean a fuentes, y los objetivos se mapean a objetivos (o, en el caso de un funtor contravariante , las fuentes se mapean a objetivos y viceversa ). Un tercer concepto fundamental es una transformación natural que puede verse como un morfismo de funtores.${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$

Una categoría consta de las siguientes tres entidades matemáticas:${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Una clase , cuyos elementos se llaman objetos ;${\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}$
• Una clase cuyos elementos se denominan morfismos , mapas o flechas . Cada morfismo tiene un objeto de origen y un objeto de destino .${\displaystyle {\text{hom}}({\mathcal {C}})}$
  ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$

La expresión se podría expresar verbalmente como " es un morfismo de a a b ".${\displaystyle f:a\mapsto b}$${\estilo de visualización f}$

La expresión –expresada alternativamente como , , o – denota la clase hom de todos los morfismos desde hasta .${\displaystyle {\text{hom}}(a,b)}$${\displaystyle {\text{hom}}_{\mathcal {C}}(a,b)}$${\displaystyle {\text{mor}}(a,b)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$

• Una operación binaria , llamada composición de morfismos , tal que${\estilo de visualización \circ}$

Para tres objetos cualesquiera a , b y c , tenemos

${\displaystyle \circ :{\text{hom}}(b,c)\times {\text{hom}}(a,b)\mapsto {\text{hom}}(a,c)}$

La composición de y se escribe como o , ^[a] gobernada por dos axiomas:${\displaystyle f:a\mapsto b}$${\displaystyle g:b\mapsto c}$${\estilo de visualización g\circ f}$${\estilo de visualización gf}$

1. Asociatividad : Si , , y entonces${\displaystyle f:a\mapsto b}$${\displaystyle g:b\mapsto c}$${\displaystyle h:c\mapsto d}$

${\displaystyle h\circ(g\circf)=(h\circ g)\circ f}$

2. Identidad : Para cada objeto x , existe un morfismo (también denotado como ) llamado morfismo identidad para x , tal que para cada morfismo , tenemos${\displaystyle 1_{x}:x\mapsto x}$${\displaystyle {\text{id}}_{x}}$${\displaystyle f:a\mapsto b}$

${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$

A partir de los axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo identidad para cada objeto.

• La categoría Conjunto
  • Como clase de objetos , elegimos la clase de todos los conjuntos.${\displaystyle {\text{ob}}({\text{Set}})}$
  • Como clase de morfismos , elegimos la clase de todas las funciones . Por lo tanto, para dos objetos A y B , es decir, conjuntos, tenemos que ser la clase de todas las funciones ⁠ ⁠ tales que ⁠ ⁠ .${\displaystyle {\text{hom}}({\text{Set}})}$${\displaystyle {\text{hom}}(A,B)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:A\mapsto B}$
  • La composición de morfismos ⁠ ⁠${\displaystyle \circ }$ es simplemente la composición de funciones habitual , es decir, para dos morfismos ⁠ ⁠${\displaystyle f:A\mapsto B}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle g:B\mapsto C}$ , tenemos ⁠ ⁠${\displaystyle g\circ f:A\mapsto C}$ , que obviamente es asociativo. Además, para cada objeto A tenemos que el morfismo identidad es la función identidad , en A${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$${\displaystyle {\text{id}}_{A}}$${\displaystyle {\text{id}}_{A}:A\mapsto A}$${\displaystyle {\text{id}}_{A}(x)=x}$

Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) a menudo se representan mediante diagramas conmutativos , donde los "puntos" (esquinas) representan objetos y las "flechas" representan morfismos.

Los morfismos pueden tener cualquiera de las siguientes propiedades. Un morfismo f  : a → b es a:

• monomorfismo (o mónico ) si f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : x → a .
• epimorfismo (o épico ) si g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : b → x .
• bimorfismo si f es a la vez épico y mónico.
• isomorfismo si existe un morfismo g  : b → a tal que f ∘ g = 1 _b y g ∘ f = 1 _a . ^[b]
• endomorfismo si a = b . end( a ) denota la clase de endomorfismos de a .
• automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. aut( a ) denota la clase de automorfismos de a .
• sección si existe una inversa derecha de f , es decir si existe un morfismo g  : b → a con f ∘ g = 1 _b .
• retracción si existe una inversa izquierda de f , es decir, si existe un morfismo g  : b → a con g ∘ f = 1 _a .

Toda retractación es un epimorfismo y toda sección es un monomorfismo. Además, las tres afirmaciones siguientes son equivalentes:

• f es un monomorfismo y una retracción;
• f es un epimorfismo y una sección;
• f es un isomorfismo.

Los funtores son funciones que preservan la estructura entre categorías. Se los puede considerar como morfismos en la categoría de todas las categorías (pequeñas).

Un funtor ( covariante ) F de una categoría C a una categoría D , escrito F  : C → D , consta de:

• para cada objeto x en C , un objeto F ( x ) en D ; y
• para cada morfismo f  : x → y en C , un morfismo F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) en D ,

de modo que se cumplen las dos propiedades siguientes:

• Para cada objeto x en C , F (1 _x ) = 1 _{F ( x )} ;
• Para todos los morfismos f  : x → y y g  : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .

Un funtor contravariante F : C → D es como un funtor covariante, excepto que "invierte los morfismos" ("invierte todas las flechas"). Más específicamente, cada morfismo f  : x → y en C debe asignarse a un morfismo F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) en D . En otras palabras, un funtor contravariante actúa como un funtor covariante de la categoría opuesta C ^op a D .

Una transformación natural es una relación entre dos funtores. Los funtores suelen describir "construcciones naturales" y las transformaciones naturales describen "homomorfismos naturales" entre dos de esas construcciones. A veces, dos construcciones muy diferentes dan como resultado "el mismo" resultado; esto se expresa mediante un isomorfismo natural entre los dos funtores.

Si F y G son funtores (covariantes) entre las categorías C y D , entonces una transformación natural η de F a G asocia a cada objeto X en C un morfismo η _X  : F ( X ) → G ( X ) en D tal que para cada morfismo f  : X → Y en C , tenemos η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _X ; esto significa que el siguiente diagrama es conmutativo :

Los dos funtores F y G se denominan naturalmente isomorfos si existe una transformación natural de F a G tal que η _X es un isomorfismo para cada objeto X en C.

Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías, se pueden categorizar muchas áreas de estudio matemático. Las categorías incluyen conjuntos, grupos y topologías.

Cada categoría se distingue por propiedades que todos sus objetos tienen en común, como el conjunto vacío o el producto de dos topologías , pero en la definición de una categoría, los objetos se consideran atómicos, es decir, no sabemos si un objeto A es un conjunto, una topología o cualquier otro concepto abstracto. Por lo tanto, el desafío es definir objetos especiales sin hacer referencia a la estructura interna de esos objetos. Para definir el conjunto vacío sin hacer referencia a elementos, o la topología del producto sin hacer referencia a conjuntos abiertos, uno puede caracterizar estos objetos en términos de sus relaciones con otros objetos, como se da por los morfismos de las respectivas categorías. Por lo tanto, la tarea es encontrar propiedades universales que determinen de manera única los objetos de interés.

Numerosas construcciones importantes pueden describirse de una manera puramente categórica si el límite de la categoría puede desarrollarse y dualizarse para obtener la noción de colimite .

Es natural preguntarse: ¿bajo qué condiciones se pueden considerar dos categorías esencialmente iguales , en el sentido de que los teoremas sobre una categoría se pueden transformar fácilmente en teoremas sobre la otra categoría? La principal herramienta que se emplea para describir tal situación se llama equivalencia de categorías , que se da mediante funtores apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado numerosas aplicaciones en matemáticas.

Las definiciones de categorías y funtores proporcionan sólo los conceptos básicos del álgebra categórica; a continuación se enumeran otros temas importantes. Aunque existen fuertes interrelaciones entre todos estos temas, el orden dado puede considerarse una guía para lecturas posteriores.

• La categoría de funtores D ^C tiene como objetos los funtores de C a D y como morfismos las transformaciones naturales de dichos funtores. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de categorías; describe los funtores representables en categorías de funtores.
• Dualidad : Todo enunciado, teorema o definición en la teoría de categorías tiene un dual que se obtiene esencialmente "invirtiendo todas las flechas". Si un enunciado es verdadero en una categoría C , entonces su dual es verdadero en la categoría dual C ^op . Esta dualidad, que es transparente a nivel de la teoría de categorías, a menudo se oscurece en las aplicaciones y puede conducir a relaciones sorprendentes.
• Functores adjuntos : un funtor puede ser adjunto por la izquierda (o por la derecha) a otro funtor que se mapea en la dirección opuesta. Este par de funtores adjuntos generalmente surge de una construcción definida por una propiedad universal; esto puede verse como una visión más abstracta y poderosa de las propiedades universales.

Muchos de los conceptos anteriores, especialmente la equivalencia de categorías, los pares de funtores adjuntos y las categorías de funtores, pueden situarse en el contexto de categorías de dimensiones superiores . En resumen, si consideramos un morfismo entre dos objetos como un "proceso que nos lleva de un objeto a otro", entonces las categorías de dimensiones superiores nos permiten generalizar esto de manera provechosa al considerar "procesos de dimensiones superiores".

Por ejemplo, una 2-categoría (estricta) es una categoría junto con "morfismos entre morfismos", es decir, procesos que nos permiten transformar un morfismo en otro. Podemos entonces "componer" estos "bimorfismos" tanto horizontal como verticalmente, y requerimos que se cumpla una "ley de intercambio" bidimensional que relacione las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es Cat , la 2-categoría de todas las categorías (pequeñas), y en este ejemplo, los bimorfismos de morfismos son simplemente transformaciones naturales de morfismos en el sentido habitual. Otro ejemplo básico es considerar una 2-categoría con un solo objeto; estas son esencialmente categorías monoidales . Las bicategorías son una noción más débil de categorías bidimensionales en las que la composición de morfismos no es estrictamente asociativa, sino solo asociativa "hasta" un isomorfismo.

Este proceso se puede extender a todos los números naturales n , y estos se denominan n -categorías . Incluso existe una noción de ω-categoría correspondiente al número ordinal ω .

Las categorías de dimensiones superiores forman parte del campo matemático más amplio del álgebra de dimensiones superiores , un concepto introducido por Ronald Brown . Para una introducción conversacional a estas ideas, véase John Baez, 'A Tale of n-categories' (1996).

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En primer lugar, conviene observar que todo el concepto de categoría es esencialmente auxiliar; nuestros conceptos básicos son esencialmente los de funtor y de transformación natural [...]

—  Eilenberg y Mac Lane (1945) ^[2]

Aunque Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane habían dado ejemplos específicos de funtores y transformaciones naturales en un artículo de 1942 sobre teoría de grupos , ^[3] estos conceptos se introdujeron en un sentido más general, junto con la noción adicional de categorías, en un artículo de 1945 de los mismos autores ^[2] (que analizaron las aplicaciones de la teoría de categorías en el campo de la topología algebraica ). ^[4] Su trabajo fue una parte importante de la transición de la homología intuitiva y geométrica al álgebra homológica ; Eilenberg y Mac Lane escribieron más tarde que su objetivo era comprender las transformaciones naturales, lo que primero requirió la definición de funtores y luego de categorías.

Stanislaw Ulam , y algunos escritos en su nombre, han afirmado que ideas relacionadas eran comunes a fines de la década de 1930 en Polonia. Eilenberg era polaco y estudió matemáticas en Polonia en la década de 1930. ^{[ cita requerida ]} La teoría de categorías también es, en cierto sentido, una continuación del trabajo de Emmy Noether (una de las maestras de Mac Lane) en la formalización de procesos abstractos; ^[5] Noether se dio cuenta de que comprender un tipo de estructura matemática requiere comprender los procesos que preservan esa estructura ( homomorfismos ). ^{[ cita requerida ]} Eilenberg y Mac Lane introdujeron categorías para comprender y formalizar los procesos ( funtores ) que relacionan las estructuras topológicas con las estructuras algebraicas ( invariantes topológicos ) que las caracterizan.

La teoría de categorías se introdujo originalmente para satisfacer las necesidades del álgebra homológica y se extendió ampliamente para satisfacer las necesidades de la geometría algebraica moderna ( teoría de esquemas ). La teoría de categorías puede considerarse una extensión del álgebra universal , ya que esta última estudia las estructuras algebraicas y la primera se aplica a cualquier tipo de estructura matemática y estudia también las relaciones entre estructuras de diferente naturaleza. Por esta razón, se utiliza en todas las matemáticas. Las aplicaciones a la lógica matemática y la semántica ( máquina abstracta categórica ) llegaron más tarde.

Ciertas categorías llamadas topoi (singular topos ) pueden incluso servir como una alternativa a la teoría de conjuntos axiomáticos como fundamento de las matemáticas. Un topos también puede considerarse como un tipo específico de categoría con dos axiomas topos adicionales. Estas aplicaciones fundamentales de la teoría de categorías se han elaborado en bastante detalle como base y justificación de las matemáticas constructivas . La teoría de topos es una forma de teoría abstracta de haces , con orígenes geométricos, y conduce a ideas como la topología sin sentido .

La lógica categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para lógicas intuicionistas , con aplicaciones en programación funcional y teoría de dominios , donde una categoría cartesiana cerrada se toma como una descripción no sintáctica de un cálculo lambda . Como mínimo, el lenguaje de la teoría de categorías aclara qué tienen exactamente en común estas áreas relacionadas (en algún sentido abstracto).

La teoría de categorías también se ha aplicado en otros campos, véase teoría de categorías aplicada . Por ejemplo, John Baez ha demostrado un vínculo entre los diagramas de Feynman en física y las categorías monoidales. ^[6] Otra aplicación de la teoría de categorías, más específicamente la teoría de topos, se ha realizado en la teoría matemática de la música, véase por ejemplo el libro The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance de Guerino Mazzola .

Los esfuerzos más recientes para introducir a los estudiantes universitarios a las categorías como base de las matemáticas incluyen los de William Lawvere y Rosebrugh (2003) y Lawvere y Stephen Schanuel (1997) y Mirroslav Yotov (2012).

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