Sistema no lineal

En matemáticas y ciencias , un sistema no lineal (o un sistema no lineal ) es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada. ^{[1] [2]} Los problemas no lineales son de interés para ingenieros , biólogos , ^{[3] [4] [5]} físicos , ^{[6] [7]} matemáticos y muchos otros científicos , ya que la mayoría de los sistemas son inherentemente no lineales por naturaleza. ^[8] Los sistemas dinámicos no lineales , que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contraintuitivos, en contraste con sistemas lineales mucho más simples .

Típicamente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema de ecuaciones no lineales , que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de ecuaciones diferenciales ) aparecen como variables de un polinomio de grado mayor que uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno. En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineales, la(s) ecuación(es) a resolver no pueden escribirse como una combinación lineal de las variables o funciones desconocidas que aparecen en ellas. Los sistemas pueden definirse como no lineales, independientemente de si aparecen funciones lineales conocidas en las ecuaciones. En particular, una ecuación diferencial es lineal si es lineal en términos de la función desconocida y sus derivadas, incluso si es no lineal en términos de las otras variables que aparecen en ella.

Como las ecuaciones dinámicas no lineales son difíciles de resolver , los sistemas no lineales se aproximan comúnmente mediante ecuaciones lineales ( linealización ). Esto funciona bien hasta cierta precisión y cierto rango para los valores de entrada, pero algunos fenómenos interesantes como los solitones , el caos ^[9] y las singularidades quedan ocultos por la linealización. De ello se deduce que algunos aspectos del comportamiento dinámico de un sistema no lineal pueden parecer contraintuitivos, impredecibles o incluso caóticos. Aunque dicho comportamiento caótico puede parecerse a un comportamiento aleatorio , de hecho no es aleatorio. Por ejemplo, algunos aspectos del clima se consideran caóticos, donde cambios simples en una parte del sistema producen efectos complejos en todo el sistema. Esta no linealidad es una de las razones por las que los pronósticos precisos a largo plazo son imposibles con la tecnología actual.

Algunos autores utilizan el término ciencia no lineal para el estudio de sistemas no lineales. Otros cuestionan este término:

Utilizar un término como ciencia no lineal es como referirse a la mayor parte de la zoología como el estudio de animales distintos de los elefantes.

—  Stanislaw Ulam ^[10]

En matemáticas , un mapa lineal (o función lineal ) es aquel que satisface ambas propiedades siguientes:${\displaystyle f(x)}$

• Principio de aditividad o superposición :${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• Homogeneidad:${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

La aditividad implica homogeneidad para cualquier α racional y, para funciones continuas , para cualquier α real . Para una α compleja , la homogeneidad no se sigue de la aditividad. Por ejemplo, una función antilineal es aditiva pero no homogénea. Las condiciones de aditividad y homogeneidad se combinan a menudo en el principio de superposición.

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$

Una ecuación escrita como

${\displaystyle f(x)=C}$

Se denomina lineal si es una función lineal (como se definió anteriormente) y no lineal en caso contrario. La ecuación se denomina homogénea si y es una función homogénea .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle f(x)}$

La definición es muy general en el sentido de que puede ser cualquier objeto matemático sensible (número, vector, función, etc.), y la función puede ser literalmente cualquier aplicación , incluida la integración o diferenciación con restricciones asociadas (como valores límite ). Si contiene diferenciación con respecto a , el resultado será una ecuación diferencial .${\displaystyle f(x)=C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

Un sistema de ecuaciones no lineal consiste en un conjunto de ecuaciones en varias variables tales que al menos una de ellas no es una ecuación lineal .

Para una sola ecuación de la forma se han diseñado muchos métodos; véase Algoritmo de búsqueda de raíces . En el caso en que f es un polinomio , se tiene una ecuación polinómica como Los algoritmos generales de búsqueda de raíces se aplican a raíces polinómicas, pero, por lo general, no encuentran todas las raíces, y cuando no logran encontrar una raíz, esto no implica que no haya raíces. Los métodos específicos para polinomios permiten encontrar todas las raíces o las raíces reales ; véase Aislamiento de raíces reales .${\displaystyle f(x)=0,}$${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

La resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas , es decir, la búsqueda de los ceros comunes de un conjunto de varios polinomios en varias variables, es un problema difícil para el cual se han diseñado algoritmos elaborados, como los algoritmos de base de Gröbner . ^[11]

Para el caso general de sistemas de ecuaciones formados al igualar a cero varias funciones diferenciables , el método principal es el de Newton y sus variantes. Generalmente pueden proporcionar una solución, pero no proporcionan información sobre el número de soluciones.

Una relación de recurrencia no lineal define términos sucesivos de una secuencia como una función no lineal de términos precedentes. Ejemplos de relaciones de recurrencia no lineal son el mapa logístico y las relaciones que definen las diversas secuencias de Hofstadter . Los modelos discretos no lineales que representan una amplia clase de relaciones de recurrencia no lineal incluyen el modelo NARMAX (promedio móvil autorregresivo no lineal con entradas exógenas) y los procedimientos relacionados de identificación y análisis de sistemas no lineales . ^[12] Estos enfoques se pueden utilizar para estudiar una amplia clase de comportamientos no lineales complejos en los dominios del tiempo, la frecuencia y el espacio-temporal.

Se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal si no es un sistema de ecuaciones lineales . Los problemas que involucran ecuaciones diferenciales no lineales son extremadamente diversos y los métodos de solución o análisis dependen del problema. Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos y las ecuaciones de Lotka-Volterra en biología.

Una de las mayores dificultades de los problemas no lineales es que, por lo general, no es posible combinar soluciones conocidas para formar nuevas soluciones. En los problemas lineales, por ejemplo, se puede utilizar una familia de soluciones linealmente independientes para construir soluciones generales mediante el principio de superposición . Un buen ejemplo de esto es el transporte de calor unidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet , cuya solución se puede escribir como una combinación lineal dependiente del tiempo de senos de diferentes frecuencias; esto hace que las soluciones sean muy flexibles. A menudo es posible encontrar varias soluciones muy específicas para ecuaciones no lineales, sin embargo, la falta de un principio de superposición impide la construcción de nuevas soluciones.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden suelen poder resolverse con exactitud mediante la separación de variables , especialmente en el caso de ecuaciones autónomas. Por ejemplo, la ecuación no lineal

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

tiene como solución general (y también la solución especial correspondiente al límite de la solución general cuando C tiende a infinito). La ecuación es no lineal porque puede escribirse como${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$${\displaystyle u=0,}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

y el lado izquierdo de la ecuación no es una función lineal de y sus derivadas. Nótese que si el término se reemplazara por , el problema sería lineal (el problema de decaimiento exponencial ).${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u}$

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y de orden superior (más generalmente, sistemas de ecuaciones no lineales) rara vez producen soluciones de forma cerrada , aunque se encuentran soluciones implícitas y soluciones que involucran integrales no elementales .

Los métodos comunes para el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales incluyen:

• Examen de cualquier cantidad conservada , especialmente en sistemas hamiltonianos
• Examen de cantidades disipativas (véase función de Lyapunov ) análogas a las cantidades conservadas
• Linealización mediante expansión de Taylor
• Cambio de variables en algo más fácil de estudiar.
• Teoría de la bifurcación
• Métodos de perturbación (también se pueden aplicar a ecuaciones algebraicas)
• Existencia de soluciones de duración finita, ^[13] que pueden ocurrir bajo condiciones específicas para algunas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

El enfoque básico más común para estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es cambiar las variables (o transformar el problema de otra manera) de modo que el problema resultante sea más simple (posiblemente lineal). A veces, la ecuación se puede transformar en una o más ecuaciones diferenciales ordinarias , como se ve en la separación de variables , lo que siempre es útil independientemente de si la ecuación o ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes son solucionables o no.

Otra táctica común (aunque menos matemática), que se suele explotar en mecánica de fluidos y de calor, es utilizar el análisis de escala para simplificar una ecuación general y natural en un determinado problema de valor límite específico . Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes (muy) no lineales se pueden simplificar en una ecuación diferencial parcial lineal en el caso de un flujo laminar transitorio y unidimensional en una tubería circular; el análisis de escala proporciona condiciones en las que el flujo es laminar y unidimensional y también produce la ecuación simplificada.

Otros métodos incluyen examinar las características y utilizar los métodos descritos anteriormente para las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Un problema no lineal clásico y ampliamente estudiado es la dinámica de un péndulo sin fricción bajo la influencia de la gravedad . Utilizando la mecánica de Lagrange , se puede demostrar ^[14] que el movimiento de un péndulo se puede describir mediante la ecuación no lineal adimensional

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

donde la gravedad apunta "hacia abajo" y es el ángulo que forma el péndulo con su posición de reposo, como se muestra en la figura de la derecha. Un enfoque para "resolver" esta ecuación es usar como factor de integración , lo que eventualmente daría${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta /dt}$

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

que es una solución implícita que implica una integral elíptica . Esta "solución" generalmente no tiene muchos usos porque la mayor parte de la naturaleza de la solución está oculta en la integral no elemental (no elemental a menos que ).${\displaystyle C_{0}=2}$

Otra forma de abordar el problema es linealizar cualquier no linealidad (el término de la función seno en este caso) en los distintos puntos de interés mediante expansiones de Taylor . Por ejemplo, la linealización en , llamada aproximación de ángulo pequeño, es${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

ya que para . Este es un oscilador armónico simple que corresponde a oscilaciones del péndulo cerca del punto más bajo de su trayectoria. Otra linealización sería en , que corresponde a que el péndulo esté en posición vertical:${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$${\displaystyle \theta \approx 0}$${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

ya que para . La solución a este problema involucra senos hiperbólicos y observe que a diferencia de la aproximación de ángulo pequeño, esta aproximación es inestable, lo que significa que generalmente crecerá sin límite, aunque son posibles soluciones acotadas. Esto corresponde a la dificultad de equilibrar un péndulo en posición vertical, es literalmente un estado inestable.${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$${\displaystyle \theta \approx \pi }$${\displaystyle |\theta |}$

Es posible otra linealización interesante alrededor de , alrededor de la cual :${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Esto corresponde a un problema de caída libre. Se puede obtener una imagen cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo juntando las piezas de estas linealizaciones, como se ve en la figura de la derecha. Se pueden utilizar otras técnicas para encontrar descripciones de fase (exactas) y períodos aproximados.

• Muerte de amplitud : cualquier oscilación presente en el sistema cesa debido a algún tipo de interacción con otro sistema o retroalimentación del mismo sistema.
• Caos : los valores de un sistema no se pueden predecir indefinidamente en el futuro y las fluctuaciones son aperiódicas.
• Multiestabilidad : la presencia de dos o más estados estables
• Solitones : ondas solitarias que se refuerzan a sí mismas
• Ciclos límite : órbitas periódicas asintóticas a las que se atraen puntos fijos desestabilizados.
• Autooscilaciones : oscilaciones de retroalimentación que tienen lugar en sistemas físicos disipativos abiertos.

• Programa de investigación de mando y control (CCRP)
• Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra: Conceptos de sistemas complejos
• Dinámica no lineal I: Caos en OpenCourseWare del MIT
• Biblioteca de modelos no lineales (en MATLAB ) una base de datos de sistemas físicos
• El Centro de Estudios No Lineales del Laboratorio Nacional de Los Álamos