Mapa antilineal

En matemáticas , una función entre dos espacios vectoriales complejos se dice que es antilineal o lineal conjugada si es válida para todos los vectores y cada número complejo donde denota el conjugado complejo de${\displaystyle f:V\to W}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s.}$

Las funciones antilineales contrastan con las funciones lineales , que son funciones aditivas que son homogéneas en lugar de homogéneas conjugadas . Si los espacios vectoriales son reales , entonces la antilinealidad es lo mismo que la linealidad.

Los mapas antilineales se dan en mecánica cuántica en el estudio de la inversión del tiempo y en el cálculo de espinores, donde es habitual sustituir las barras sobre los vectores base y los componentes de los objetos geométricos por puntos colocados sobre los índices. Los mapas antilineales con valores escalares suelen surgir cuando se trabaja con productos internos complejos y espacios de Hilbert .

Una función se denomina antilineal o lineal conjugada si es aditiva y homogénea conjugada . Una función antilineal en un espacio vectorial es una función antilineal de valor escalar. ${\displaystyle V}$

Una función se llama aditiva si mientras que se llama homogénea conjugada si Por el contrario, una función lineal es una función que es aditiva y homogénea , donde se llama homogénea si${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}$$$${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Un mapa antilineal puede describirse de manera equivalente en términos del mapa lineal de al espacio vectorial conjugado complejo${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Dado un espacio vectorial complejo de rango 1, podemos construir una función dual antilineal que es una función antilineal que envía un elemento de a para algunos números reales fijos. Podemos extender esto a cualquier espacio vectorial complejo de dimensión finita, donde si escribimos la base estándar y cada elemento de la base estándar como entonces una función compleja antilineal de a tendrá la forma para${\displaystyle V}$$${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$$${\displaystyle a_{1},b_{1}.}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$$${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$$${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}$

El dual antilineal ^{[1] pg 36} de un espacio vectorial complejo es un ejemplo especial porque es isomorfo al dual real del espacio vectorial real subyacente de Esto se da por el mapa que envía un mapa antilineal a En la otra dirección, está el mapa inverso que envía un vector dual real a dando el mapa deseado.${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }$$$${\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$$

La composición de dos funciones antilineales es una función lineal . La clase de funciones semilineales generaliza la clase de funciones antilineales.

El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial se denomina espacio antidual algebraico de Si es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio vectorial de todas las funcionales antilineales continuas en denotado por se denomina espacio antidual continuo o simplemente espacio antidual de ^[2] si no puede surgir ninguna confusión. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\displaystyle X}$

Cuando es un espacio normado entonces la norma canónica en el espacio antidual (continuo) denotado por se define usando esta misma ecuación: ^[2]${\displaystyle H}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$ $${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la norma dual en el espacio dual continuo que se define por ^[2]${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

Isometría canónica entre lo dual y lo antidual

El conjugado complejo de un funcional se define enviando a Satisface para todos y cada Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por así como su inversa son isometrías antilineales y en consecuencia también homeomorfismos . ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

Si entonces y este mapa canónico se reduce al mapa identidad.${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

Espacios interiores de productos

Si es un espacio de producto interno , entonces tanto la norma canónica en como en satisfacen la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede usar para definir un producto interno canónico en y también en que este artículo denotará por las notaciones donde este producto interno forma y en espacios de Hilbert. Los productos internos y son antilineales en sus segundos argumentos. Además, la norma canónica inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por ) es consistente con la norma dual (es decir, como se define anteriormente por el supremo sobre la bola unidad); explícitamente, esto significa que lo siguiente se cumple para cada${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$$${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

Si es un espacio de producto interno , entonces los productos internos en el espacio dual y el espacio antidual denotados respectivamente por y están relacionados por y${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

• Ecuación funcional de Cauchy  – Ecuación funcional
• Conjugado complejo  – Operación fundamental sobre números complejos
• Espacio vectorial complejo conjugado  – Concepto matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema fundamental de los espacios de Hilbert
• Espacio de producto interno  : generalización del producto escalar; se utiliza para definir espacios de Hilbert
• Aplicación lineal  – Función matemática, en álgebra lineal
• Consimilitud de matrices
• Teorema de representación de Riesz  – Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Forma sesquilineal  – Generalización de una forma bilineal
• Inversión del tiempo  – Simetría de inversión del tiempo en física

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez espinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3). 
• Horn y Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (Los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6). 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .