Función generadora

Es posible que este artículo sea demasiado largo para leerlo y navegar con comodidad . Considere dividir el contenido en subartículos, condensarlo o agregar subtítulos . Discuta este tema en la página de discusión del artículo . ( Julio de 2022 )

En matemáticas , una función generadora es una representación de una secuencia infinita de números como los coeficientes de una serie de potencias formal . Las funciones generadoras suelen expresarse en forma cerrada (en lugar de como una serie), mediante alguna expresión que implica operaciones sobre la serie formal.

Existen varios tipos de funciones generadoras, entre ellas las funciones generadoras ordinarias , las funciones generadoras exponenciales , las series de Lambert , las series de Bell y las series de Dirichlet . En principio, cada secuencia tiene una función generadora de cada tipo (excepto que las series de Lambert y Dirichlet requieren que los índices comiencen en 1 en lugar de 0), pero la facilidad con la que se pueden manejar puede variar considerablemente. La función generadora particular, si la hay, que sea más útil en un contexto determinado dependerá de la naturaleza de la secuencia y de los detalles del problema que se aborde.

Las funciones generadoras a veces se denominan series generadoras , ^[1] ya que se puede decir que una serie de términos es el generador de su secuencia de coeficientes de términos.

Las funciones generadoras fueron introducidas por primera vez por Abraham de Moivre en 1730, para resolver el problema general de recurrencia lineal. ^[2]

George Pólya escribe en Matemáticas y razonamiento plausible :

El nombre de "función generadora" se debe a Laplace . Sin embargo, sin darle un nombre, Euler utilizó el recurso de las funciones generadoras mucho antes que Laplace [...]. Aplicó esta herramienta matemática a varios problemas del análisis combinatorio y la teoría de números .

Una función generadora es un dispositivo similar a una bolsa. En lugar de llevar muchos objetos pequeños de forma separada, lo que podría resultar embarazoso, los colocamos todos en una bolsa y, de ese modo, solo tenemos un objeto para llevar: la bolsa.

—  George Pólya , Matemáticas y razonamiento plausible (1954)

Una función generadora es un tendedero en el que colgamos una secuencia de números para mostrarlos.

—  Herbert Wilf , Función generadora (1994)

A diferencia de una serie ordinaria, no se requiere que la serie de potencias formales converja : de hecho, la función generadora no se considera realmente una función , y la "variable" sigue siendo una indeterminada . Se puede generalizar a series de potencias formales en más de una indeterminada, para codificar información sobre matrices multidimensionales infinitas de números. Por lo tanto, las funciones generadoras no son funciones en el sentido formal de una aplicación de un dominio a un codominio .

Estas expresiones en términos de la indeterminada  x pueden implicar operaciones aritméticas, diferenciación con respecto a  x y composición con (es decir, sustitución en) otras funciones generadoras; dado que estas operaciones también están definidas para funciones, el resultado parece una función de  x . De hecho, la expresión en forma cerrada a menudo se puede interpretar como una función que se puede evaluar en valores concretos (suficientemente pequeños) de x , y que tiene la serie formal como su expansión en serie ; esto explica la designación de "funciones generadoras". Sin embargo, no se requiere que dicha interpretación sea posible, porque no se requiere que las series formales den una serie convergente cuando se sustituye  x por un valor numérico distinto de cero .

No todas las expresiones que tienen significado como funciones de  x tienen significado como expresiones que designan series formales; por ejemplo, las potencias negativas y fraccionarias de  x son ejemplos de funciones que no tienen una serie de potencias formales correspondiente.

Cuando se utiliza el término función generadora sin calificación, generalmente se entiende que significa una función generadora ordinaria. La función generadora ordinaria de una secuencia a _n es: Si a _n es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta , entonces su función generadora ordinaria se denomina función generadora de probabilidad .$${\displaystyle G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

La función generadora exponencial de una secuencia a _n es$${\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

Las funciones generadoras exponenciales son generalmente más convenientes que las funciones generadoras ordinarias para problemas de enumeración combinatoria que involucran objetos etiquetados. ^[3]

Otro beneficio de las funciones generadoras exponenciales es que son útiles para transferir relaciones de recurrencia lineal al ámbito de las ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, tomemos la secuencia de Fibonacci { f _n } que satisface la relación de recurrencia lineal f _{n +2} = f _{n +1} + f _n . La función generadora exponencial correspondiente tiene la forma$${\displaystyle \operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}}$$

y se puede demostrar fácilmente que sus derivadas satisfacen la ecuación diferencial EF″( x ) = EF ′ ( x ) + EF( x ) como un análogo directo con la relación de recurrencia anterior. En este punto de vista, el término factorial n ! es simplemente un contratérmino para normalizar el operador de derivada que actúa sobre x ⁿ .

La función generadora de Poisson de una secuencia a _n es$${\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).}$$

La serie de Lambert de una secuencia a _n es Nótese que en una serie de Lambert el índice n comienza en 1, no en 0, ya que de lo contrario el primer término no estaría definido. $${\displaystyle \operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.}$$

Los coeficientes de la serie de Lambert en las expansiones de series de potencias para números enteros n ≥ 1 están relacionados por la suma de los divisores . El artículo principal proporciona varios ejemplos más clásicos, o al menos bien conocidos, relacionados con funciones aritméticas especiales en teoría de números . Como ejemplo de una identidad de serie de Lambert no dada en el artículo principal, podemos demostrar que para | x |, | xq | < 1 tenemos que ^[4]$${\displaystyle b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)}$$$${\displaystyle b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n^{2}}}{1-qx^{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n(n+1)}}{1-x^{n}}},}$$

donde tenemos la identidad de caso especial para la función generadora de la función divisora , d ( n ) ≡ σ ₀ ( n ) , dada por$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}}\left(1+x^{n}\right)}{1-x^{n}}}.}$$

La serie de Bell de una secuencia a _n es una expresión en términos tanto de un indeterminado x como de un primo p y está dada por: ^[5]$${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.}$$

Las series formales de Dirichlet suelen clasificarse como funciones generadoras, aunque no son estrictamente series de potencias formales. La función generadora de la serie de Dirichlet de una secuencia a _n es: ^[6]$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$$

La función generadora de series de Dirichlet es especialmente útil cuando a _n es una función multiplicativa , en cuyo caso tiene una expresión de producto de Euler ^[7] en términos de la serie de Bell de la función:$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG} _{p}(a_{n};p^{-s})\,.}$$

Si una _n es un carácter de Dirichlet , entonces su función generadora de series de Dirichlet se denomina serie L de Dirichlet . También tenemos una relación entre el par de coeficientes en las expansiones de series de Lambert anteriores y sus DGF. Es decir, podemos demostrar que: si y solo si donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann . ^[8]$${\displaystyle [x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}}$$$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{n};s)\zeta (s)=\operatorname {DG} (b_{n};s),}$$

La secuencia a _k generada por una función generadora de series de Dirichlet (DGF) correspondiente a: tiene la función generadora ordinaria:$${\displaystyle \operatorname {DG} (a_{k};s)=\zeta (s)^{m}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{k=n}a_{k}x^{k}=x+{\binom {m}{1}}\sum _{2\leq a\leq n}x^{a}+{\binom {m}{2}}{\underset {ab\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{ab}+{\binom {m}{3}}{\underset {abc\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{abc}+{\binom {m}{4}}{\underset {abcd\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }}}x^{abcd}+\cdots }$$

La idea de generar funciones se puede extender a secuencias de otros objetos. Así, por ejemplo, las secuencias polinómicas de tipo binomial se generan mediante: donde p _n ( x ) es una secuencia de polinomios y f ( t ) es una función de una forma determinada. Las secuencias de Sheffer se generan de manera similar. Consulte el artículo principal Polinomios de Appell generalizados para obtener más información.$${\displaystyle e^{xf(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}}$$

Algunos ejemplos de secuencias polinómicas generadas por funciones generadoras más complejas incluyen:

• Polinomios de Appell
• Polinomios de Chebyshev
• Polinomios diferenciales
• Polinomios de Appell generalizados
• polinomios de q -diferencia

Otras secuencias generadas por funciones generadoras más complejas incluyen:

• Funciones generadoras de exponentes dobles. Por ejemplo: Matriz de Aitken: Triángulo de números
• Productos de Hadamard de funciones generadoras y funciones generadoras diagonales, y sus correspondientes transformaciones integrales

El artículo de Knuth titulado " Polinomios de convolución " ^[9] define una clase generalizada de secuencias de polinomios de convolución por sus funciones generadoras especiales de la forma para alguna función analítica F con una expansión en serie de potencias tal que F (0) = 1 .$${\displaystyle F(z)^{x}=\exp {\bigl (}x\log F(z){\bigr )}=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)z^{n},}$$

Decimos que una familia de polinomios, f ₀ , f ₁ , f ₂ , ... , forma una familia de convolución si deg f _n ≤ n y si la siguiente condición de convolución se cumple para todo x , y y para todo n ≥ 0 :$${\displaystyle f_{n}(x+y)=f_{n}(x)f_{0}(y)+f_{n-1}(x)f_{1}(y)+\cdots +f_{1}(x)f_{n-1}(y)+f_{0}(x)f_{n}(y).}$$

Vemos que para familias de convolución no idénticamente cero, esta definición es equivalente a requerir que la secuencia tenga una función generadora ordinaria de la primera forma dada anteriormente.

Una secuencia de polinomios de convolución definida en la notación anterior tiene las siguientes propiedades:

• La secuencia n ! · f _n ( x ) es de tipo binomial
• Los valores especiales de la secuencia incluyen f _n (1) = [ z ⁿ ] F ( z ) y f _n (0) = δ _{n ,0} , y
• Para arbitrarios (fijos) , estos polinomios satisfacen fórmulas de convolución de la forma${\displaystyle x,y,t\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(y)\\f_{n}(2x)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(x)\\xnf_{n}(x+y)&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}kf_{k}(x)f_{n-k}(y)\\{\frac {(x+y)f_{n}(x+y+tn)}{x+y+tn}}&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {xf_{k}(x+tk)}{x+tk}}{\frac {yf_{n-k}(y+t(n-k))}{y+t(n-k)}}.\end{aligned}}}$$

Para un parámetro fijo distinto de cero , hemos modificado las funciones generadoras para estas secuencias polinomiales de convolución dadas por donde 𝓕 _t ( z ) está implícitamente definida por una ecuación funcional de la forma 𝓕 _t ( z ) = F ( x 𝓕 _t ( z ) ^t ) . Además, podemos usar métodos matriciales (como en la referencia) para demostrar que dadas dos secuencias polinomiales de convolución, ⟨ f _n ( x ) ⟩ y ⟨ g _n ( x ) ⟩ , con respectivas funciones generadoras correspondientes, F ( z ) ^x y G ( z ) ^x , entonces para un t arbitrario tenemos la identidad${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=\left[z^{n}\right]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x},}$$$${\displaystyle \left[z^{n}\right]\left(G(z)F\left(zG(z)^{t}\right)\right)^{x}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}(x)G_{n-k}(x+tk).}$$

Los ejemplos de secuencias polinomiales de convolución incluyen la serie de potencias binomiales , 𝓑 _t ( z ) = 1 + z 𝓑 _t ( z ) ^t , los denominados polinomios de árbol , los números de Bell , B ( n ) , los polinomios de Laguerre y los polinomios de convolución de Stirling .

Los polinomios son un caso especial de funciones generadoras ordinarias, correspondientes a sucesiones finitas o, equivalentemente, sucesiones que se anulan después de cierto punto. Su importancia radica en que muchas sucesiones finitas pueden interpretarse de manera útil como funciones generadoras, como el polinomio de Poincaré y otros.

Una función generadora fundamental es la de la sucesión constante 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... , cuya función generadora ordinaria es la serie geométrica$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}.}$$

El lado izquierdo es la expansión en serie de Maclaurin del lado derecho. Alternativamente, la igualdad se puede justificar multiplicando la serie de potencias de la izquierda por 1 − x y comprobando que el resultado es la serie de potencias constante 1 (en otras palabras, que todos los coeficientes excepto el de x ⁰ son iguales a 0). Además, no puede haber ninguna otra serie de potencias con esta propiedad. Por tanto, el lado izquierdo designa el inverso multiplicativo de 1 − x en el anillo de series de potencias.

A partir de esta expresión se pueden derivar fácilmente expresiones para la función generadora ordinaria de otras sucesiones. Por ejemplo, la sustitución x → ax da la función generadora para la sucesión geométrica 1, a , a ² , a ³ , ... para cualquier constante a :$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.}$$

(La igualdad también se sigue directamente del hecho de que el lado izquierdo es la expansión en serie de Maclaurin del lado derecho). En particular,$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}}.}$$

También se pueden introducir huecos regulares en la secuencia reemplazando x por alguna potencia de x , así por ejemplo para la secuencia 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... (que omite x , x ³ , x ⁵ , ... ) se obtiene la función generadora$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}}.}$$

Al elevar al cuadrado la función generadora inicial, o al hallar la derivada de ambos lados con respecto a x y hacer un cambio de variable móvil n → n + 1 , se ve que los coeficientes forman la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, ... , por lo que se tiene$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{2}}},}$$

y la tercera potencia tiene como coeficientes los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... cuyo término n es el coeficiente binomial (^{n +2}
₂) , de modo que$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{3}}}.}$$

De manera más general, para cualquier entero no negativo k y valor real a distinto de cero , es cierto que$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-ax)^{k+1}}}\,.}$$

Desde$${\displaystyle 2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}+{\binom {n}{0}}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},}$$

Se puede encontrar la función generadora ordinaria para la secuencia 0, 1, 4, 9, 16, ... de números cuadrados mediante la combinación lineal de secuencias generadoras de coeficientes binomiales:$${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$$

También podemos expandir alternativamente para generar esta misma secuencia de cuadrados como una suma de derivadas de la serie geométrica en la siguiente forma:$${\displaystyle {\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}\\[4px]&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\[4px]&=x^{2}D^{2}\left[{\frac {1}{1-x}}\right]+xD\left[{\frac {1}{1-x}}\right]\\[4px]&={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}}$$

Por inducción, podemos demostrar de manera similar para números enteros positivos m ≥ 1 que ^{[10] [11]}$${\displaystyle n^{m}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}}{\frac {n!}{(n-j)!}},}$$

dónde {^no
_k} denotan los números de Stirling de segundo tipo y donde la función generadora$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-j)!}}\,z^{n}={\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}},}$$

de modo que podemos formar las funciones generadoras análogas sobre las potencias integrales m que generalizan el resultado en el caso cuadrado anterior. En particular, dado que podemos escribir$${\displaystyle {\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}},}$$

Podemos aplicar una identidad de suma finita bien conocida que involucra los números de Stirling para obtener que ^[12]$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m+1\\j+1\end{Bmatrix}}{\frac {(-1)^{m-j}j!}{(1-z)^{j+1}}}.}$$

La función generadora ordinaria de una secuencia puede expresarse como una función racional (la relación de dos polinomios de grado finito) si y solo si la secuencia es una secuencia recursiva lineal con coeficientes constantes; esto generaliza los ejemplos anteriores. Por el contrario, cada secuencia generada por una fracción de polinomios satisface una recurrencia lineal con coeficientes constantes; estos coeficientes son idénticos a los coeficientes del polinomio del denominador de la fracción (por lo que se pueden leer directamente). Esta observación muestra que es fácil resolver funciones generadoras de secuencias definidas por una ecuación lineal en diferencias finitas con coeficientes constantes y, por lo tanto, fórmulas explícitas en forma cerrada para los coeficientes de estas funciones generadoras. El ejemplo prototípico aquí es derivar la fórmula de Binet para los números de Fibonacci mediante técnicas de funciones generadoras.

También observamos que la clase de funciones generadoras racionales corresponde precisamente a las funciones generadoras que enumeran secuencias cuasi-polinomiales de la forma ^[13]$${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$$

donde las raíces recíprocas, , son escalares fijos y donde p _i ( n ) es un polinomio en n para todo 1 ≤ i ≤ ℓ .${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$

En general, los productos Hadamard de funciones racionales producen funciones generadoras racionales. De manera similar, si$${\displaystyle F(s,t):=\sum _{m,n\geq 0}f(m,n)w^{m}z^{n}}$$

es una función generadora racional bivariada, entonces su función generadora diagonal correspondiente ,$${\displaystyle \operatorname {diag} (F):=\sum _{n=0}^{\infty }f(n,n)z^{n},}$$

es algebraica . Por ejemplo, si dejamos ^[14]$${\displaystyle F(s,t):=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}}s^{i}t^{j}={\frac {1}{1-s-t}},}$$

Entonces, el coeficiente diagonal de la función generadora está dado por la conocida fórmula OGF.$${\displaystyle \operatorname {diag} (F)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}.}$$

Este resultado se calcula de muchas maneras, incluida la fórmula integral de Cauchy o la integración de contorno , tomando residuos complejos o mediante manipulaciones directas de series de potencias formales en dos variables.

La multiplicación de funciones generadoras ordinarias produce una convolución discreta (el producto de Cauchy ) de las secuencias. Por ejemplo, la secuencia de sumas acumulativas (compárese con la fórmula de Euler-Maclaurin ligeramente más general ) de una secuencia con función generadora ordinaria G ( a _n ; x ) tiene la función generadora porque ⁠$${\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},\ldots )}$$$${\displaystyle G(a_{n};x)\cdot {\frac {1}{1-x}}}$$1/1 − x⁠ es la función generadora ordinaria para la secuencia (1, 1, ...) . Consulte también la sección sobre convoluciones en la sección de aplicaciones de este artículo a continuación para obtener más ejemplos de resolución de problemas con convoluciones de funciones generadoras e interpretaciones.

Para números enteros m ≥ 1 , tenemos las siguientes dos identidades análogas para las funciones generadoras modificadas que enumeran las variantes de secuencia desplazadas de ⟨ g _{n − m} ⟩ y ⟨ g _{n + m} ⟩ , respectivamente:$${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\\[4px]&{\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n+m}z^{n}.\end{aligned}}}$$

Tenemos las siguientes expansiones respectivas de series de potencias para la primera derivada de una función generadora y su integral:$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)g_{n+1}z^{n}\\[4px]z\cdot G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }ng_{n}z^{n}\\[4px]\int _{0}^{z}G(t)\,dt&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n-1}}{n}}z^{n}.\end{aligned}}}$$

La operación de diferenciación-multiplicación de la segunda identidad se puede repetir k veces para multiplicar la secuencia por n ^k , pero eso requiere alternar entre diferenciación y multiplicación. Si en cambio se realizan k diferenciaciones en secuencia, el efecto es multiplicar por el k ésimo factorial descendente :$${\displaystyle z^{k}G^{(k)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{\underline {k}}g_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)\dotsb (n-k+1)g_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}$$

Usando los números de Stirling del segundo tipo , que se pueden convertir en otra fórmula para multiplicar por de la siguiente manera (ver el artículo principal sobre transformaciones de funciones generadoras ):${\displaystyle n^{k}}$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}}z^{j}F^{(j)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{k}f_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .}$$

Una inversión de orden negativo de esta fórmula de potencias de secuencia correspondiente a la operación de integración repetida se define mediante la transformación de la serie zeta y sus generalizaciones definidas como una transformación basada en derivadas de funciones generadoras o, alternativamente, mediante y realizando una transformación integral en la función generadora de secuencia. Aquí se analizan las operaciones relacionadas con la realización de la integración fraccionaria en una función generadora de secuencia .

En esta sección damos fórmulas para generar funciones que enumeran la secuencia { f _{an + b} } dada una función generadora ordinaria F ( z ) , donde a ≥ 2 , 0 ≤ b < a , y a y b son números enteros (ver el artículo principal sobre transformaciones ). Para a = 2 , esta es simplemente la descomposición familiar de una función en partes pares e impares (es decir, potencias pares e impares):$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n}z^{2n}&={\frac {F(z)+F(-z)}{2}}\\[4px]\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n+1}z^{2n+1}&={\frac {F(z)-F(-z)}{2}}.\end{aligned}}}$$

De manera más general, supongamos que a ≥ 3 y que ω _a = exp ⁠2πi​/a⁠ denota laraíz primitiva a de la unidad . Entonces, como aplicación de la transformada de Fourier discreta , tenemos la fórmula ^[15]$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}$$

Para números enteros m ≥ 1 , otra fórmula útil que proporciona progresiones aritméticas de base algo invertidas (que efectivamente repiten cada coeficiente m veces) se genera mediante la identidad ^[16]$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}$$

Se dice que una serie de potencias formal (o función) F ( z ) es holonómica si satisface una ecuación diferencial lineal de la forma ^[17]$${\displaystyle c_{0}(z)F^{(r)}(z)+c_{1}(z)F^{(r-1)}(z)+\cdots +c_{r}(z)F(z)=0,}$$

donde los coeficientes c _i ( z ) están en el campo de funciones racionales, . Equivalentemente, es holonómico si el espacio vectorial abarcado por el conjunto de todas sus derivadas es de dimensión finita.${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

Puesto que podemos despejar denominadores si es necesario en la ecuación anterior, podemos suponer que las funciones, c _i ( z ) son polinomios en z . Así, podemos ver una condición equivalente de que una función generadora es holonómica si sus coeficientes satisfacen una P -recurrencia de la forma$${\displaystyle {\widehat {c}}_{s}(n)f_{n+s}+{\widehat {c}}_{s-1}(n)f_{n+s-1}+\cdots +{\widehat {c}}_{0}(n)f_{n}=0,}$$

para todos los suficientemente grandes n ≥ n ₀ y donde los ĉ _i ( n ) son polinomios fijos de grado finito en n . En otras palabras, las propiedades de que una secuencia sea P -recursiva y tenga una función generadora holonómica son equivalentes. Las funciones holonómicas están cerradas bajo la operación de producto de Hadamard ⊙ sobre funciones generadoras.

Las funciones e ^z , log z , cos z , arcsin z , , la función dilogarítmica Li ₂ ( z ) , las funciones hipergeométricas generalizadas _p F _q (...; ...; z ) y las funciones definidas por la serie de potencias${\displaystyle {\sqrt {1+z}}}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n!)^{2}}}}$$

y los no convergentes$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\cdot z^{n}}$$

son todos holonómicos.

Ejemplos de secuencias P -recursivas con funciones generadoras holonómicas incluyen f _n ≔ ⁠1/n +1⁠ (^{2 n}
_n) y f _n ≔ ⁠2 ⁿ/n ² + 1⁠ , donde secuencias comoy log n no son P -recursivas debido a la naturaleza de las singularidades en sus funciones generadoras correspondientes. De manera similar, funciones con infinitas singularidades como tan z , sec z y Γ( z ) no sonfunciones holonómicas.${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Las herramientas para procesar y trabajar con secuencias P -recursivas en Mathematica incluyen los paquetes de software proporcionados para uso no comercial en el sitio de software de combinatoria algorítmica del RISC Combinatorics Group. A pesar de ser en su mayoría de código cerrado, las herramientas particularmente poderosas en este paquete de software son proporcionadas por el Guesspaquete para adivinar P -recurrencias para secuencias de entrada arbitrarias (útil para matemáticas experimentales y exploración) y el Sigmapaquete que es capaz de encontrar P-recurrencias para muchas sumas y resolver soluciones de forma cerrada para P -recurrencias que involucran números armónicos generalizados . ^[18] Otros paquetes enumerados en este sitio RISC en particular están destinados a trabajar específicamente con funciones generadoras holonómicas .

Cuando la serie converge absolutamente , la transformada de Fourier de tiempo discreto de la secuencia es a ₀ , a ₁ , ... .$${\displaystyle G\left(a_{n};e^{-i\omega }\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-i\omega n}}$$

En cálculo, la tasa de crecimiento de los coeficientes de una serie de potencias se puede utilizar a menudo para deducir un radio de convergencia para la serie de potencias. También puede darse el caso inverso: a menudo, el radio de convergencia de una función generadora se puede utilizar para deducir el crecimiento asintótico de la secuencia subyacente.

Por ejemplo, si una función generadora ordinaria G ( a _n ; x ) que tiene un radio de convergencia finito de r se puede escribir como$${\displaystyle G(a_{n};x)={\frac {A(x)+B(x)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }}{x^{\alpha }}}}$$

donde cada una de A ( x ) y B ( x ) es una función que es analítica a un radio de convergencia mayor que r (o es entero ), y donde B ( r ) ≠ 0 entonces usando la función gamma , un coeficiente binomial o un coeficiente multiconjunto . Nótese que se garantiza que el límite cuando n tiende a infinito de la razón de a _n a cualquiera de estas expresiones sea 1; no simplemente que a _n sea proporcional a ellas.$${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(\!\!{\binom {\beta }{n}}\!\!\right)\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\,,}$$

A menudo, este enfoque se puede iterar para generar varios términos en una serie asintótica para un _n . En particular,$${\displaystyle G\left(a_{n}-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n};x\right)=G(a_{n};x)-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }\,.}$$

El crecimiento asintótico de los coeficientes de esta función generadora se puede buscar entonces a través del hallazgo de A , B , α , β y r para describir la función generadora, como se indicó anteriormente.

Es posible un análisis asintótico similar para funciones generadoras exponenciales; con una función generadora exponencial , esun_​/¡no !⁠ que crece según estas fórmulas asintóticas. En general, si la función generadora de una secuencia menos la función generadora de una segunda secuencia tiene un radio de convergencia mayor que el radio de convergencia de las funciones generadoras individuales, entonces las dos secuencias tienen el mismo crecimiento asintótico.

Como se dedujo anteriormente, la función generadora ordinaria para la secuencia de cuadrados es:$${\displaystyle G(n^{2};x)={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$$

Con r = 1 , α = −1 , β = 3 , A ( x ) = 0 y B ( x ) = x + 1 , podemos verificar que los cuadrados crecen como se esperaba, al igual que los cuadrados:$${\displaystyle a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {1+1}{1^{-1}\,\Gamma (3)}}\,n^{3-1}\left({\frac {1}{1}}\right)^{n}=n^{2}.}$$

La función generadora ordinaria para los números catalanes es$${\displaystyle G(C_{n};x)={\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}.}$$

Con r = ⁠1/4⁠ , α = 1 , β = − ⁠1/2⁠ , A ( x ) = ⁠1/2⁠ , y B ( x ) = − ⁠1/2⁠ , podemos concluir que, para los números catalanes:$${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{\left({\frac {1}{4}}\right)^{1}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)}}\,n^{-{\frac {1}{2}}-1}\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{4}}\,}}\right)^{n}={\frac {4^{n}}{n^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}}}.}$$

La función generadora en varias variables se puede generalizar a matrices con múltiples índices. Estos ejemplos de suma doble no polinómica se denominan funciones generadoras multivariadas o funciones supergeneradoras . Para dos variables, se las suele denominar funciones generadoras bivariadas .

La función generadora ordinaria de una matriz bidimensional a _{m , n} (donde n y m son números naturales) es: Por ejemplo, dado que (1 + x ) ⁿ es la función generadora ordinaria para coeficientes binomiales para un n fijo , se puede solicitar una función generadora bivariada que genere los coeficientes binomiales ($${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}$$^no
_k) para todos los k y n . Para ello, considere (1 + x ) ⁿ como una secuencia en n , y encuentre la función generadora en y que tiene estos valores de secuencia como coeficientes. Dado que la función generadora para un ⁿ es: la función generadora para los coeficientes binomiales es: Otros ejemplos de este tipo incluyen las siguientes funciones generadoras de dos variables para los coeficientes binomiales , los números de Stirling y los números de Euler , donde ω y z denotan las dos variables: ^[19]$${\displaystyle {\frac {1}{1-ay}},}$$$${\displaystyle \sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-(1+x)y}}={\frac {1}{1-y-xy}}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{z+wz}&=\sum _{m,n\geq 0}{\binom {n}{m}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]e^{w(e^{z}-1)}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1}{(1-z)^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {e^{w}-e^{z}}{we^{z}-ze^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right\rangle {\frac {w^{m}z^{n}}{(m+n+1)!}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones generadoras multivariadas surgen en la práctica al calcular el número de tablas de contingencia de números enteros no negativos con totales de filas y columnas especificados. Supongamos que la tabla tiene r filas y c columnas; las sumas de las filas son t ₁ , t ₂ ... t _r y las sumas de las columnas son s ₁ , s ₂ ... s _c . Entonces, según IJ Good , ^[20] el número de dichas tablas es el coeficiente de: en:$${\displaystyle x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\cdots y_{c}^{s_{c}}}$$$${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.}$$

Las expansiones de fracciones continuas de tipo Jacobi (formales) y de tipo Stieltjes ( fracciones J y fracciones S , respectivamente) cuyos convergentes racionales h representan 2 series de potencias precisas de orden h son otra forma de expresar las funciones generadoras ordinarias típicamente divergentes para muchas secuencias especiales de una y dos variables. La forma particular de las fracciones continuas de tipo Jacobi ( fracciones J ) se expanden como en la siguiente ecuación y tienen las siguientes expansiones de series de potencias correspondientes con respecto a z para algunas secuencias de componentes específicas y dependientes de la aplicación, {ab _i } y { c _i } , donde z ≠ 0 denota la variable formal en la segunda expansión de series de potencias que se da a continuación: ^[21]$${\displaystyle {\begin{aligned}J^{[\infty ]}(z)&={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{2}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{3}z^{2}}{\ddots }}}}}}\\[4px]&=1+c_{1}z+\left({\text{ab}}_{2}+c_{1}^{2}\right)z^{2}+\left(2{\text{ab}}_{2}c_{1}+c_{1}^{3}+{\text{ab}}_{2}c_{2}\right)z^{3}+\cdots \end{aligned}}}$$

Los coeficientes de , denotados abreviadamente por j _n ≔ [ z ⁿ ] J ^[∞] ( z ) , en las ecuaciones anteriores corresponden a soluciones matriciales de las ecuaciones:${\displaystyle z^{n}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\k_{0,3}&k_{1,3}&k_{2,3}&k_{3,3}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{0,0}&0&0&0&\cdots \\k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}&1&0&0&\cdots \\{\text{ab}}_{2}&c_{2}&1&0&\cdots \\0&{\text{ab}}_{3}&c_{3}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}},}$$

donde j ₀ ≡ k _0,0 = 1 , j _n = k _{0, n} para n ≥ 1 , k _{r , s} = 0 si r > s , y donde para todos los enteros p , q ≥ 0 , tenemos una relación de fórmula de adición dada por:$${\displaystyle j_{p+q}=k_{0,p}\cdot k_{0,q}+\sum _{i=1}^{\min(p,q)}{\text{ab}}_{2}\cdots {\text{ab}}_{i+1}\times k_{i,p}\cdot k_{i,q}.}$$

Para h ≥ 0 (aunque en la práctica cuando h ≥ 2 ), podemos definir los h ésimos convergentes racionales a la fracción J infinita, J ^[∞] ( z ) , expandida por:$${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(z):={\frac {P_{h}(z)}{Q_{h}(z)}}=j_{0}+j_{1}z+\cdots +j_{2h-1}z^{2h-1}+\sum _{n=2h}^{\infty }{\widetilde {j}}_{h,n}z^{n}}$$

componente por componente a través de las secuencias, P _h ( z ) y Q _h ( z ) , definidas recursivamente por:$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{h}(z)&=(1-c_{h}z)P_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}P_{h-2}(z)+\delta _{h,1}\\Q_{h}(z)&=(1-c_{h}z)Q_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}Q_{h-2}(z)+(1-c_{1}z)\delta _{h,1}+\delta _{0,1}.\end{aligned}}}$$

Además, la racionalidad de la función convergente Conv _h ( z ) para todo h ≥ 2 implica ecuaciones de diferencias finitas adicionales y propiedades de congruencia satisfechas por la secuencia de j _n , y para M _h ≔ ab ₂ ⋯ ab _{h + 1} si h ‖ M _h entonces tenemos la congruencia$${\displaystyle j_{n}\equiv [z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}(z){\pmod {h}},}$$

para elecciones determinadas y no simbólicas de las secuencias de parámetros {ab _i } y { c _i } cuando h ≥ 2 , es decir, cuando estas secuencias no dependen implícitamente de un parámetro auxiliar como q , x o R como en los ejemplos contenidos en la tabla siguiente.

La siguiente tabla proporciona ejemplos de fórmulas de forma cerrada para las secuencias de componentes encontradas computacionalmente (y posteriormente probadas correctas en las referencias citadas ^[22] ) en varios casos especiales de las secuencias prescritas, j _n , generadas por las expansiones generales de las J -fracciones definidas en la primera subsección. Aquí definimos 0 < | a |, | b |, | q | < 1 y los parámetros y x como indeterminados con respecto a estas expansiones, donde las secuencias prescritas enumeradas por las expansiones de estas J -fracciones se definen en términos del símbolo q -Pochhammer , el símbolo de Pochhammer y los coeficientes binomiales .${\displaystyle R,\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle j_{n}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{i}(i\geq 2)}$	${\displaystyle \mathrm {ab} _{i}(i\geq 2)}$
${\displaystyle q^{n^{2}}}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle q^{2h-3}\left(q^{2h}+q^{2h-2}-1\right)}$	${\displaystyle q^{6h-10}\left(q^{2h-2}-1\right)}$
${\displaystyle (a;q)_{n}}$	${\displaystyle 1-a}$	${\displaystyle q^{h-1}-aq^{h-2}\left(q^{h}+q^{h-1}-1\right)}$	${\displaystyle aq^{2h-4}\left(aq^{h-2}-1\right)\left(q^{h-1}-1\right)}$
${\displaystyle \left(zq^{-n};q\right)_{n}}$	${\displaystyle {\frac {q-z}{q}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{h}-z-qz+q^{h}z}{q^{2h-1}}}}$	${\displaystyle {\frac {\left(q^{h-1}-1\right)\left(q^{h-1}-z\right)\cdot z}{q^{4h-5}}}}$
${\displaystyle {\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}}$	${\displaystyle {\frac {1-a}{1-b}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{i-2}\left(q+abq^{2i-3}+a(1-q^{i-1}-q^{i})+b(q^{i}-q-1)\right)}{\left(1-bq^{2i-4}\right)\left(1-bq^{2i-2}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {q^{2i-4}\left(1-bq^{i-3}\right)\left(1-aq^{i-2}\right)\left(a-bq^{i-2}\right)\left(1-q^{i-1}\right)}{\left(1-bq^{2i-5}\right)\left(1-bq^{2i-4}\right)^{2}\left(1-bq^{2i-3}\right)}}}$
${\displaystyle \alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n}}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle R+2\alpha (i-1)}$	${\displaystyle (i-1)\alpha {\bigl (}R+(i-2)\alpha {\bigr )}}$
${\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x}{n}}}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -{\frac {(x+2(i-1)^{2})}{(2i-1)(2i-3)}}}$	${\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\[4px]-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}}$
${\displaystyle (-1)^{n}{\binom {x+n}{n}}}$	${\displaystyle -(x+1)}$	${\displaystyle {\frac {{\bigl (}x-2i(i-2)-1{\bigr )}}{(2i-1)(2i-3)}}}$	${\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\[4px]-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}}$

Los radios de convergencia de estas series correspondientes a la definición de las J -fracciones de tipo Jacobi dadas anteriormente son en general diferentes de los de las expansiones de series de potencias correspondientes que definen las funciones generadoras ordinarias de estas secuencias.

Las funciones generadoras para la secuencia de números cuadrados a _n = n ² son:

Función generadora de tipos	Ecuación
Función generadora ordinaria	${\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}$
Función generadora exponencial	${\displaystyle \operatorname {EG} (n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}}$
Serie de campanas	${\displaystyle \operatorname {BG} _{p}\left(n^{2};x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(p^{n}\right)^{2}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}}$
Serie de Dirichlet	${\displaystyle \operatorname {DG} \left(n^{2};s\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2)}$

donde ζ ( s) es la función zeta de Riemann .

Las funciones generadoras se utilizan para:

• Encuentre una fórmula cerrada para una secuencia dada en una relación de recurrencia, por ejemplo, los números de Fibonacci .
• Encuentre relaciones de recurrencia para secuencias: la forma de una función generadora puede sugerir una fórmula de recurrencia.
• Encontrar relaciones entre secuencias: si las funciones generadoras de dos secuencias tienen una forma similar, entonces las secuencias mismas pueden estar relacionadas.
• Explorar el comportamiento asintótico de las secuencias.
• Demostrar identidades que involucran secuencias.
• Resolver problemas de enumeración en combinatoria y codificar sus soluciones. Los polinomios de Rook son un ejemplo de aplicación en combinatoria.
• Evaluar sumas infinitas.

Las funciones generadoras nos brindan varios métodos para manipular sumas y establecer identidades entre sumas.

El caso más simple ocurre cuando s _n = Σ^nk _=
0 a _k . Entonces sabemos que S ( z ) = ⁠A ( z )/1 − z⁠ para las funciones generadoras ordinarias correspondientes.

Por ejemplo, podemos manipular donde H _k = 1 + ⁠$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}\,,}$$1/2⁠ + ⋯ + ⁠1/a⁠ son los números armónicos . Sea la función generadora ordinaria de los números armónicos. Entonces y por lo tanto$${\displaystyle H(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{H_{n}z^{n}}}$$$${\displaystyle H(z)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,,}$$$${\displaystyle S(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{s_{n}z^{n}}={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,.}$$