70 (número)

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Cardenal	setenta
Ordinal	70º ; (septuagésimo)
Factorización	2 × 5 × 7
Divisores	1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
Número griego	Oh´
Número romano	LXX
Binario	1000110 2
Ternario	2121 3
Senador	154 6
Octal	106 8
Duodecimal	5A 12
Hexadecimal	46 16
hebreo	Yo
Laosiano	໗
armenio	Հ
Número babilónico	𒐕𒌋
Jeroglífico egipcio	𓎌

Número natural

70 ( setenta ) es el número natural que sigue al 69 y precede al 71 .

70 es el valor cuyo factorial es más cercano a un googol , donde . ${\estilo de visualización n}$ $70!\aproximadamente 1,1978571\ldots \times 10^{100}$

Matemáticas

Propiedades del número entero

70 es el cuarto número esfénico discreto , como el primero de la forma . ^[1] Es el número impar más pequeño , un número natural que es abundante pero no semiperfecto , ^[2] donde también es el segundo número abundante primitivo más pequeño , después de 20. 70 está en equivalencia con la suma entre el número más pequeño que es la suma de dos números abundantes, y el más grande que no lo es ( 24 , 46 ). $2\veces 5\veces r$

70 es el décimo número de Erdős–Woods , ya que es posible encontrar secuencias de setenta números enteros consecutivos tales que cada miembro interno comparta un factor con el primero o el último miembro. ^[3]^[a] También es el sexto número de Pell , que precede al décimo número primo 29 , en la secuencia . $\{0,1,2,5,12,29,\lpuntos \}$

70 es un número palindrómico en bases 9 (77 ₉ ), 13 (55 ₁₃ ) y 34 (22 ₃₄ ). ^[b]

Número feliz

70 es el decimotercer número feliz en decimal , donde 7 es el primer número mayor que 1 en base diez: la suma de los cuadrados de sus dígitos eventualmente se reduce a 1. [ ^7] Tanto para 7 como para 70, hay

49\mapsto 16+81\mapsto 97\mapsto 81+49\mapsto 130\mapsto 1+9\mapsto 10\mapsto 1.

97 , que se reduce a partir de la suma de los cuadrados de los dígitos de 49, es el único primo después de 7 en las sumas sucesivas de los cuadrados de los dígitos (7, 49, 97 , 130, 10) antes de reducirse a 1. Más específicamente, 97 es también el séptimo primo feliz en base diez. ^[8]

70 = 2 × 5 × 7 se simplifica a 7 × 10 , o el producto del primer primo feliz en decimal, y la base (10).

Secuencia de alícuotas

70 contiene una suma alícuota de 74 , en una secuencia alícuota de cuatro números compuestos (70, 74, 40 , 50 , 43 ) en el árbol de alícuotas primo 43 .

El índice compuesto de 70 es 50, ^[9] que es el primer miembro no trivial del árbol de 43 alícuotas.
40, el tociente de Euler de 100 , es el segundo miembro no trivial del árbol de 43 alícuotas.
El índice compuesto de 100 es 74 (la parte alícuota de 70), ^[9] el tercer miembro no trivial del árbol de 43 alícuotas.

La suma 43 + 50 + 40 = 133 representa el centésimo número compuesto, ^[9] donde la suma de todos los miembros de esta secuencia alícuota hasta 70 es el quincuagésimo noveno primo, 277 (este valor de índice primo representa el decimoséptimo número primo y séptimo superprimo, 59 ). ^[10]^[5]^[c]

Números figurados

70 es el séptimo número pentagonal . ^[15]
70 es también el cuarto número tridecagonal . ^[16]
70 es el quinto número pentátopo .

La suma de los primeros siete números primos excepto 7 (es decir, 2, 3, 5, 11, …, 19) es 70; los primeros cuatro primos en esta secuencia suman 21 = 3 × 7, donde la suma de los primos indexados sexto, séptimo y octavo (en la secuencia de números primos ) 13 + 17 + 19 es el séptimo número cuadrado , 49 .

Coeficiente binomial central

70 es el cuarto coeficiente binomial central , que precede a , como el número de formas de elegir 4 objetos de 8 si el orden no importa; esto es equivalente al número de valores posibles de un número binario de 8 bits para el cual la mitad de los bits están activados y la otra mitad desactivados. ^[17] ${\estilo de visualización \{1,2,6,20\}}$

Propiedades geométricas

7-símplex

En siete dimensiones, el número de celdas tetraédricas en un 7-símplex es 70. Esto hace que 70 sea el elemento central en una configuración matricial de siete por siete de un 7-símplex en un espacio de siete dimensiones:

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Aparte del 7-símplex, hay un total de setenta otros 7-politopos uniformes con simetría . El 7-símplex se puede construir como la unión de un punto y un 6-símplex , cuyo orden es 7!, donde el 6-símplex tiene un total de setenta elementos tridimensionales y bidimensionales (hay treinta y cinco celdas 3-símplex y treinta y cinco caras que son triangulares ). $\mathrm {A_ {7}}$

70 es también el quinto número pentátopo , como el número de esferas unitarias tridimensionales que se pueden empaquetar en un 4-símplex (o análogo cuatridimensional del tetraedro regular ) con una longitud de arista de 5. ^[18]

Red de sanguijuelas

La suma de los primeros 24 cuadrados a partir de 1 es 70 ² = 4900, es decir, un número piramidal cuadrado . Esta es la única solución no trivial al problema de la bala de cañón y relaciona 70 con la red Leech en veinticuatro dimensiones y, por lo tanto, con la teoría de cuerdas .

En la ciencia

70 es el número atómico del iterbio , un lantánido .

En la religión

En la tradición judía :
- Hay un núcleo de 70 naciones y 70 idiomas mundiales, en paralelo a los 70 nombres de la Tabla de Naciones .
- Había 70 hombres en el Gran Sanedrín , la Corte Suprema del antiguo Israel. (Sanedrín 1:4.)
- Según la Aggada judía , hay 70 perspectivas ("caras") de la Torá (Números Rabá 13:15).
- Setenta ancianos fueron reunidos por orden de Dios por Moisés en el desierto (Números 11:16-30).
- El Salmo 90:10 asigna setenta años a la vida de un hombre, y la Mishná atribuye esa edad a la "fuerza" (Avot 5:32), ya que aquel que sobrevive a esa edad es descrito por el versículo como "el fuerte".
- Ptolomeo II Filadelfo ordenó a 72 ancianos judíos que tradujeran la Torá al griego ; el resultado fue la Septuaginta (del latín "setenta"). El número romano setenta, LXX, es el símbolo académico de la Septuaginta.

En el cristianismo :
- En Mateo 18:21-22, Jesús le dice a Pedro que perdone a la gente setenta veces siete.
- En Lucas 10:1–24, Jesús designa a setenta discípulos y los envía de dos en dos a predicar el Evangelio.
Setenta es un oficio del sacerdocio en la religión de los Santos de los Últimos Días .

En la historia islámica y en la interpretación islámica, el número 70 o 72 se utiliza con mayor frecuencia y generalmente como hipérbole para representar una cantidad infinita:
- Hay 70 muertos entre los adversarios del Profeta Muhammad durante la Batalla de Badr .
- 70 seguidores del Profeta Muhammad son martirizados en la batalla de Uhud .
- En el Islam chiita , hay 70 mártires entre los seguidores del Imam Hussein durante la batalla de Karbala .

Consuegro

En ciertos casos, los derechos de autor expiran después de 70 (o 50) años, especialmente después de la muerte del último autor (véase el Convenio de Berna ).

En otros campos

En algunas tradiciones, los 70 años de matrimonio se celebran con un aniversario de bodas de platino .
Según la Seguridad Social (Estados Unidos) , la edad a la que una persona puede recibir los máximos beneficios de jubilación (y puede hacerlo y continuar trabajando sin reducción de beneficios).

Nombre del numero

Varios idiomas, especialmente aquellos con sistemas de numeración vigesimal , no tienen una palabra específica para 70: por ejemplo, francés : soixante-dix , lit. 'sesenta y diez'; danés : halvfjerds , abreviatura de halvfjerdsindstyve , 'tres y media veintena'. (En el caso del francés, esto es cierto solo en Francia; otras regiones francófonas como Bélgica , Suiza , el Valle de Aosta y Jersey usan septante . ^[19] )

Notas

^ La secuencia más pequeña de setenta números enteros consecutivos que comparten un factor con el primer o el último miembro comienza en el número de veintitrés dígitos (con representación decimal), 26214699169906862478864 = 2 ⁴ × 3 × 7 × 11 × 13 × 19 × 23 × 29 × 37 × 43 × 47 × 53 × 67 × 73 × 2221, o aproximadamente 2,62 × 10 ²² . ^[4] Su factor primo más grande es el sexagésimo séptimo superprimo , ^[5] donde 70 se encuentra a medio camino entre el decimotercer par de primos sexys ( 67 , 73 ). ^[6]
^ También es un número Harshad en las bases 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 y 16.
^ Mientras tanto, la suma alícuota de 164 = 74 + 40 + 50 es 130 , ^[11] con una suma de divisores de 294 , ^[12] y una media aritmética de divisores de 49. [ ^13]^[14]

Referencias

^ "Sloane's A007304: números esfénicos". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .
^ "Sloane's A006037: Números extraños". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .
^ "Sloane's A059756: números de Erdős-Woods". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .
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^ ab Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A006450 (Primos indexados en primos: primos con subíndices en primos)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .
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^ Peter Higgins, Number Story . Londres: Copernicus Books (2008): 19. "Sin embargo, los hablantes de francés belga se cansaron de esto e introdujeron los nuevos nombres septante, octante, nonante, etc. para estos números".

Enlaces externos

[7] La secuencia más pequeña de setenta números enteros consecutivos que comparten un factor con el primer o el último miembro comienza en el número de veintitrés dígitos (con representación decimal), 26214699169906862478864 = 2 ⁴ × 3 × 7 × 11 × 13 × 19 × 23 × 29 × 37 × 43 × 47 × 53 × 67 × 73 × 2221, o aproximadamente 2,62 × 10 ²² . ^[4] Su factor primo más grande es el sexagésimo séptimo superprimo , ^[5] donde 70 se encuentra a medio camino entre el decimotercer par de primos sexys ( 67 , 73 ). ^[6]

[8] También es un número Harshad en las bases 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15 y 16.

[17] Mientras tanto, la suma alícuota de 164 = 74 + 40 + 50 es 130 , ^[11] con una suma de divisores de 294 , ^[12] y una media aritmética de divisores de 49. [ ^13]^[14]

[1] "Sloane's A007304: números esfénicos". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .

[2] "Sloane's A006037: Números extraños". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .

[3] "Sloane's A059756: números de Erdős-Woods". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .

[4] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A059757 (Términos iniciales de los intervalos de Erdős-Woods más pequeños correspondientes a los términos de A059756.)". La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

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[6] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A023201 (Primos p tales que p + 6 también es primo. (El menor de un par de primos atractivos.))". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[9] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A007770 (Números felices: números cuya trayectoria bajo iteración de suma de cuadrados de dígitos map (ver A003132) incluye 1.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[10] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A035497 (Primos felices: primos que eventualmente llegan a 1 bajo la iteración de "x -> suma de cuadrados de dígitos de x".)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[A002808-11] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A002808 (Los números compuestos)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

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[13] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001065 (Suma de divisores propios (o partes alícuotas) de n: suma de divisores de n que son menores que n.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[14] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000203 (...la suma de los divisores de n.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[15] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003601 (Números n tales que el promedio de los divisores de n es un entero: sigma_0(n) divide a sigma_1(n).)". La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[16] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A102187 (Medias aritméticas de divisores de números aritméticos (los números aritméticos, A003601, son aquellos para los cuales la media de los divisores es un entero).)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . OEIS Foundation . Consultado el 31 de julio de 2024 .

[18] "Sloane's A000326: números pentagonales". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .

[19] "Sloane's A051865: números 13-gonales (o tridecagonales)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .

[20] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000984 (Coeficientes binomiales centrales: binomial(2*n,n) como (2*n)!/(n!)^2.)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

[21] "Sloane's A000332 : Coeficiente binomial binomial(n,4) = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24". La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 29 de mayo de 2016 .

[22] Peter Higgins, Number Story . Londres: Copernicus Books (2008): 19. "Sin embargo, los hablantes de francés belga se cansaron de esto e introdujeron los nuevos nombres septante, octante, nonante, etc. para estos números".