Colector plano Ricci

En el campo matemático de la geometría diferencial , la planicidad de Ricci es una condición de la curvatura de una variedad de Riemann . Las variedades planas de Ricci son un tipo especial de variedad de Einstein . En física teórica , las variedades lorentzianas planas de Ricci son de interés fundamental, ya que son las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío con constante cosmológica que se desvanece .

En geometría lorentziana, se conocen varias métricas Ricci-planas a partir de los trabajos de Karl Schwarzschild , Roy Kerr e Yvonne Choquet-Bruhat . En geometría riemanniana , la resolución de la conjetura de Calabi por parte de Shing-Tung Yau produjo varias métricas Ricci-planas en variedades de Kähler .

Se dice que una variedad pseudo-riemanniana es Ricci-plana si su curvatura de Ricci es cero. ^[1] Es directo verificar que, excepto en la dimensión dos, una métrica es Ricci-plana si y solo si su tensor de Einstein es cero. ^[2] Las variedades Ricci-planas son uno de los tres tipos especiales de variedad de Einstein , que surgen como el caso especial de curvatura escalar igual a cero.

A partir de la definición del tensor de curvatura de Weyl , es fácil ver que cualquier métrica plana de Ricci tiene una curvatura de Weyl igual al tensor de curvatura de Riemann . Al tomar trazas , es fácil ver que también se cumple lo inverso. Esto también se puede expresar como que la planicidad de Ricci se caracteriza por la desaparición de las dos partes no Weyl de la descomposición de Ricci .

Dado que la curvatura de Weyl se desvanece en dos o tres dimensiones, toda métrica plana de Ricci en estas dimensiones es plana . Por el contrario, de las definiciones se desprende automáticamente que cualquier métrica plana es plana de Ricci. El estudio de las métricas planas suele considerarse un tema en sí mismo. Como tal, el estudio de las métricas planas de Ricci es un tema distinto solo en la dimensión cuatro y superiores.

Como se señaló anteriormente, cualquier métrica plana es Ricci-plana. Sin embargo, no es trivial identificar variedades Ricci-planas cuya curvatura total no sea cero.

En 1916, Karl Schwarzschild encontró las métricas de Schwarzschild , que son variedades lorentzianas planas de Ricci con curvatura distinta de cero. ^[3] Roy Kerr encontró más tarde las métricas de Kerr , una familia de dos parámetros que contiene las métricas de Schwarzschild como un caso especial. ^[4] Estas métricas son completamente explícitas y son de interés fundamental en las matemáticas y la física de los agujeros negros . De manera más general, en la relatividad general , las variedades lorentzianas planas de Ricci representan las soluciones de vacío de las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmológica que se desvanece . ^[5]

Muchas variedades pseudo-riemannianas se construyen como espacios homogéneos . Sin embargo, estas construcciones no son directamente útiles para las métricas riemannianas Ricci-planas, en el sentido de que cualquier variedad riemanniana homogénea que sea Ricci-plana debe ser plana. ^[6] Sin embargo, existen variedades lorentzianas homogéneas (e incluso simétricas ) que son Ricci-planas pero no planas, como se desprende de una construcción y cálculo explícitos de las álgebras de Lie . ^[7]

Hasta la resolución de la conjetura de Calabi por parte de Shing-Tung Yau en la década de 1970, no se sabía si cada métrica riemanniana Ricci-plana en una variedad cerrada es plana. ^[8] Su trabajo, utilizando técnicas de ecuaciones diferenciales parciales , estableció una teoría de existencia integral para las métricas Ricci-planas en el caso especial de las métricas de Kähler en variedades complejas cerradas . Debido a sus técnicas analíticas, las métricas no son explícitas incluso en los casos más simples. Tales variedades de Riemann a menudo se denominan variedades de Calabi-Yau , aunque varios autores usan este nombre de formas ligeramente diferentes. ^[9]

En relación con las coordenadas armónicas , la condición de planitud de Ricci para una métrica de Riemann puede interpretarse como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Es una consecuencia directa de los resultados de regularidad elíptica estándar que cualquier métrica de Riemann plana de Ricci en una variedad suave es analítica, en el sentido de que las coordenadas armónicas definen una estructura analítica compatible y la representación local de la métrica es analítica real . Esto también se cumple en el contexto más amplio de las métricas de Riemann de Einstein. ^[10]

Análogamente, en relación con las coordenadas armónicas, la planicidad de Ricci de una métrica lorentziana puede interpretarse como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . Basándose en esta perspectiva, Yvonne Choquet-Bruhat desarrolló la condición de planicidad de Ricci. Llegó a un resultado definitivo en colaboración con Robert Geroch en la década de 1960, estableciendo cómo una cierta clase de métricas lorentzianas planas de Ricci extendidas al máximo se prescriben y construyen a partir de ciertos datos riemannianos. Estos se conocen como desarrollos hiperbólicos globales máximos . En relatividad general, esto se interpreta típicamente como una formulación de valor inicial de las ecuaciones de campo de Einstein para la gravitación. ^[11]

El estudio de la planicidad de Ricci en los casos de Riemann y Lorentz es bastante distinto. Esto ya lo indica la distinción fundamental entre las métricas geodésicamente completas que son típicas de la geometría de Riemann y los desarrollos hiperbólicos globales máximos que surgen del trabajo de Choquet-Bruhat y Geroch. Además, la analiticidad y la correspondiente continuación única de una métrica de Riemann plana de Ricci tiene un carácter fundamentalmente diferente al de las métricas de Lorentz de Ricci planas, que tienen velocidades finitas de propagación y fenómenos completamente localizables. Esto puede verse como un análogo geométrico no lineal de la diferencia entre la ecuación de Laplace y la ecuación de onda .

El teorema de existencia de Yau para las métricas de Kähler planas de Ricci estableció la condición topológica precisa bajo la cual existe dicha métrica en una variedad compleja cerrada dada : la primera clase de Chern del fibrado tangente holomorfo debe ser cero. La necesidad de esta condición ya era conocida previamente por la teoría de Chern-Weil .

Más allá de la geometría de Kähler, la situación no se entiende tan bien. Una variedad cerrada y orientada de cuatro dimensiones que admita cualquier métrica riemanniana de Einstein debe satisfacer la desigualdad de Hitchin-Thorpe en sus datos topológicos. Como casos particulares de teoremas bien conocidos sobre variedades riemannianas de curvatura de Ricci no negativa, cualquier variedad con una métrica riemanniana completamente plana de Ricci debe: ^[12]

• tener el primer número de Betti menor o igual a la dimensión, siempre que la variedad esté cerrada
• tienen grupo fundamental de crecimiento polinomial.

Mikhael Gromov y Blaine Lawson introdujeron la noción de ampliabilidad de una variedad cerrada. La clase de variedades ampliables es cerrada bajo la equivalencia de homotopía , la toma de productos y bajo la suma conexa con una variedad cerrada arbitraria. Toda variedad riemanniana Ricci-plana en esta clase es plana, lo que es un corolario del teorema de desdoblamiento de Cheeger y Gromoll . ^[13]

En una variedad de Kähler simplemente conexa , una métrica de Kähler es Ricci-plana si y solo si el grupo de holonomía está contenido en el grupo unitario especial . En una variedad de Kähler general, la dirección if todavía se cumple, pero solo el grupo de holonomía restringido de una métrica de Kähler Ricci-plana está necesariamente contenido en el grupo unitario especial. ^[14]

Una variedad hiperkähler es una variedad riemanniana cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo simpléctico . Esta condición en una variedad riemanniana también puede caracterizarse (a grandes rasgos) por la existencia de una 2-esfera de estructuras complejas que son todas paralelas . Esto dice en particular que cada métrica hiperkähler es Kähler; además, a través del teorema de Ambrose-Singer , cada una de esas métricas es Ricci-plana. El teorema de Calabi-Yau se especializa en este contexto, dando un teorema general de existencia y unicidad para métricas hiperkähler en variedades de Kähler compactas que admiten estructuras holomorfas simplécticas. Eugenio Calabi había obtenido anteriormente ejemplos de métricas hiperkähler en espacios no compactos . El espacio de Eguchi-Hanson , descubierto al mismo tiempo, es un caso especial de su construcción. ^[15]

Una variedad de cuaterniones-Kähler es una variedad de Riemann cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo de Lie Sp(n)·Sp(1) . Marcel Berger demostró que cualquier métrica de este tipo debe ser Einstein. Además, cualquier variedad de cuaterniones-Kähler Ricci-plana debe ser localmente hiperkähler, lo que significa que el grupo de holonomía restringido está contenido en el grupo simpléctico. ^[16]

Una variedad G ₂ o variedad Spin(7) es una variedad de Riemann cuyo grupo de holonomía está contenido en los grupos de Lie Spin(7) o G ₂ . El teorema de Ambrose-Singer implica que cualquier variedad de este tipo es Ricci-plana. ^[17] La ​​existencia de variedades cerradas de este tipo fue establecida por Dominic Joyce en la década de 1990. ^[18]

Marcel Berger comentó que todos los ejemplos conocidos de métricas riemannianas irreducibles planas de Ricci en variedades cerradas simplemente conexas tienen grupos holométricos especiales, de acuerdo con las posibilidades anteriores. No se sabe si esto sugiere un teorema general desconocido o simplemente una limitación de las técnicas conocidas. Por esta razón, Berger consideró que las variedades planas de Ricci son "extremadamente misteriosas". ^[19]

Notas.

Fuentes.