Variedad hiperbólica global

En física matemática , la hiperbolicidad global es una condición determinada en la estructura causal de una variedad espaciotemporal (es decir, una variedad lorentziana). Se denomina hiperbólica en analogía con la teoría lineal de propagación de ondas , donde el estado futuro de un sistema está especificado por condiciones iniciales . (A su vez, el símbolo principal del operador de onda es el de un hiperboloide ). Esto es relevante para la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y potencialmente para otras teorías gravitacionales métricas.

Existen varias definiciones equivalentes de hiperbolicidad global. Sea M una variedad lorentziana suave y conexa sin borde. Realizamos las siguientes definiciones preliminares:

• M no es totalmente vicioso si hay al menos un punto tal que ninguna curva temporal cerrada pasa a través de él.
• M es causal si no tiene curvas causales cerradas.
• M no es un encarcelamiento total si no hay ninguna curva causal inextensible contenida en un conjunto compacto. Esta propiedad implica causalidad.
• M es fuertemente causal si para cada punto p y cualquier vecindad U de p hay una vecindad causalmente convexa V de p contenida en U , donde la convexidad causal significa que cualquier curva causal con puntos finales en V está completamente contenida en V . Esta propiedad implica un encarcelamiento no total.
• Dado cualquier punto p en M , [resp. ] es la colección de puntos a los que se puede llegar mediante una curva causal continua dirigida al futuro [resp. dirigida al pasado] que comienza desde p .${\displaystyle J^{+}(p)}$${\displaystyle J^{-}(p)}$
• Dado un subconjunto S de M , el dominio de dependencia de S es el conjunto de todos los puntos p en M tales que toda curva causal inextensible que pasa por p interseca a S .
• Un subconjunto S de M es acrónico si ninguna curva temporal interseca a S más de una vez.
• Una superficie de Cauchy para M es un conjunto acrónico cerrado cuyo dominio de dependencia es M .

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El espacio-tiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el espacio de curvas causales continuas dirigidas al futuro de p a q es compacto en la topología.${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$
2. El espacio-tiempo tiene una superficie de Cauchy.
3. El espacio-tiempo es causal, y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto es compacto.${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$
4. El espacio-tiempo no es totalmente aprisionante, y para cada par de puntos p y q en M , el subconjunto está contenido en un conjunto compacto (es decir, su clausura es compacta).${\displaystyle {J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}}$

Si se cumple alguna de estas condiciones, decimos que M es globalmente hiperbólica . Si M es una variedad lorentziana conexa suave con borde, decimos que es globalmente hiperbólica si su interior es globalmente hiperbólico.

Otras caracterizaciones equivalentes de la hiperbolicidad global hacen uso de la noción de distancia de Lorentz , donde el supremo se toma sobre todas las curvas causales que conectan los puntos (por convención, d = 0 si no existe dicha curva). Son${\displaystyle d(p,q):=\sup _ {\gamma }l(\gamma )}$${\estilo de visualización C^{1}}$

• Un espacio-tiempo fuertemente causal que tiene un valor finito. ^[1]${\estilo de visualización d}$
• Un espacio-tiempo de aprisionamiento no total tal que es continuo para cada elección métrica en la clase conforme de la métrica original.${\estilo de visualización d}$

La hiperbolicidad global, en la primera forma dada arriba, fue introducida por Leray ^[2] con el fin de considerar la correcta formulación del problema de Cauchy para la ecuación de onda en la variedad. En 1970, Geroch ^[3] demostró la equivalencia de las definiciones 1 y 2. La definición 3 bajo el supuesto de causalidad fuerte y su equivalencia con las dos primeras fue dada por Hawking y Ellis ^{[4] .}

Como se mencionó, en la literatura más antigua, la condición de causalidad en la primera y tercera definiciones de hiperbolicidad global dadas anteriormente se reemplaza por la condición más fuerte de causalidad fuerte . En 2007, Bernal y Sánchez ^[5] demostraron que la condición de causalidad fuerte puede reemplazarse por causalidad. En particular, cualquier variedad globalmente hiperbólica como se define en 3 es fuertemente causal. Más tarde, Hounnonkpe y Minguzzi ^[6] demostraron que para espacio-tiempos bastante razonables, más precisamente aquellos de dimensión mayor que tres que no son compactos o no totalmente viciosos, la condición "causal" puede eliminarse de la definición 3.

En la definición 3 el cierre de parece fuerte (de hecho, los cierres de los conjuntos implican simplicidad causal , el nivel de la jerarquía causal de los espaciotiempos ^[7] que se mantiene justo por debajo de la hiperbolicidad global). Es posible remediar este problema reforzando la condición de causalidad como en la definición 4 propuesta por Minguzzi ^[8] en 2009. Esta versión aclara que la hiperbolicidad global establece una condición de compatibilidad entre la relación causal y la noción de compacidad: todo rombo causal está contenido en un conjunto compacto y toda curva causal inextensible escapa a los conjuntos compactos. Obsérvese que cuanto mayor sea la familia de conjuntos compactos, más fácil será que los rombos causales estén contenidos en algún conjunto compacto, pero más difícil será que las curvas causales escapen a los conjuntos compactos. Así, la hiperbolicidad global establece un equilibrio en la abundancia de conjuntos compactos en relación con la estructura causal. Dado que las topologías más finas tienen conjuntos menos compactos, también podemos decir que el equilibrio está en el número de conjuntos abiertos dada la relación causal. La definición 4 también es robusta ante perturbaciones de la métrica (que en principio podrían introducir curvas causales cerradas). De hecho, utilizando esta versión se ha demostrado que la hiperbolicidad global es estable bajo perturbaciones métricas. ^[9]${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$${\displaystyle J^{\pm }(p)}$

En 2003, Bernal y Sánchez ^[10] demostraron que cualquier variedad globalmente hiperbólica M tiene una superficie de Cauchy tridimensional incrustada y lisa, y además que dos superficies de Cauchy cualesquiera para M son difeomorfas. En particular, M es difeomorfa al producto de una superficie de Cauchy con . Anteriormente era bien sabido que cualquier superficie de Cauchy de una variedad globalmente hiperbólica es una subvariedad tridimensional incrustada , cualesquiera dos de las cuales son homeomorfas, y tal que la variedad se divide topológicamente como el producto de la superficie de Cauchy y . En particular, una variedad globalmente hiperbólica está foliada por superficies de Cauchy.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización C^{0}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

En vista de la formulación del valor inicial para las ecuaciones de Einstein, la hiperbolicidad global se considera una condición muy natural en el contexto de la relatividad general, en el sentido de que, dados datos iniciales arbitrarios, existe una única solución globalmente hiperbólica máxima de las ecuaciones de Einstein.

• Condiciones de causalidad
• Estructura causal
• Cono de luz

• Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: The University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.

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