Anillo cero

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el anillo cero ^{[1] [2] [3] [4] [5]} o anillo trivial es el único anillo (salvo isomorfismo ) que consta de un elemento. (Con menos frecuencia, se utiliza el término "anillo cero" para referirse a cualquier anillo de un solo elemento de cuadrado cero , es decir, un anillo de un solo elemento en el que xy = 0 para todos los x e y . Este artículo se refiere al anillo de un solo elemento).

En la categoría de anillos , el anillo cero es el objeto terminal , mientras que el anillo de números enteros Z es el objeto inicial .

El anillo cero, denotado {0} o simplemente 0 , consiste en el conjunto de un elemento {0} con las operaciones + y · definidas de manera que 0 + 0 = 0 y 0 · 0 = 0.

• El anillo cero es el único anillo en el que coinciden la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1. ^{[1] [6]} (Demostración: Si 1 = 0 en un anillo R , entonces para todo r en R , tenemos r = 1 r = 0 r = 0 . La demostración de la última igualdad se encuentra aquí.)
• El anillo cero es conmutativo.
• El elemento 0 en el anillo cero es una unidad , que sirve como su propio inverso multiplicativo .
• El grupo unitario del anillo cero es el grupo trivial {0}.
• El elemento 0 en el anillo cero no es un divisor de cero .
• El único ideal en el anillo cero es el ideal cero {0}, que es también el ideal unitario, igual a todo el anillo. Este ideal no es ni máximo ni primo .
• El anillo cero se excluye generalmente de los campos , aunque en ocasiones se lo denomina campo trivial . Su exclusión concuerda con el hecho de que su ideal cero no es máximo. (Cuando los matemáticos hablan del " campo con un elemento ", se refieren a un objeto inexistente, y su intención es definir la categoría que sería la categoría de los esquemas sobre este objeto si existiera.)
• El anillo cero generalmente se excluye de los dominios integrales . ^[7] Si el anillo cero se considera o no un dominio es una cuestión de convención, pero hay dos ventajas en considerar que no es un dominio. Primero, esto concuerda con la definición de que un dominio es un anillo en el que 0 es el único divisor de cero (en particular, se requiere que 0 sea un divisor de cero, lo que falla en el anillo cero). Segundo, de esta manera, para un entero positivo n , el anillo Z / n Z es un dominio si y solo si n es primo, pero 1 no es primo.
• Para cada anillo A , existe un único homomorfismo de anillos desde A hasta el anillo cero. Por lo tanto, el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos . ^[8]
• Si A es un anillo distinto de cero, entonces no hay homomorfismo de anillos desde el anillo cero hasta A. En particular, el anillo cero no es un subanillo de ningún anillo distinto de cero. ^[8]
• El anillo cero es el anillo único de característica 1.
• El único módulo del anillo cero es el módulo cero. No tiene rango א para ningún número cardinal א.
• El anillo cero no es un anillo local , sino un anillo semilocal .
• El anillo cero es artiniano y (por lo tanto) noetheriano .
• El espectro del anillo cero es el esquema vacío . ^[8]
• La dimensión de Krull del anillo cero es −∞.
• El anillo cero es semisimple pero no simple .
• El anillo cero no es un álgebra central simple sobre ningún cuerpo.
• El anillo cociente total del anillo cero es él mismo.

• Para cualquier anillo A e ideal I de A , el cociente A / I es el anillo cero si y sólo si I = A , es decir, si y sólo si I es el ideal unitario .
• Para cualquier anillo conmutativo A y conjunto multiplicativo S en A , la localización S ⁻¹ A es el anillo cero si y solo si S contiene 0.
• Si A es cualquier anillo, entonces el anillo M ₀ ( A ) de matrices 0 × 0 sobre A es el anillo cero.
• El producto directo de una colección vacía de anillos es el anillo cero.
• El anillo de endomorfismo del grupo trivial es el anillo cero.
• El anillo de funciones reales continuas en el espacio topológico vacío es el anillo cero.

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice-Hall
• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley
• Bosch, Siegfried (2012), Geometría algebraica y álgebra conmutativa , Springer
• Bourbaki, N. , Álgebra I, Capítulos 1–3
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Springer
• Lam, TY (2003), Ejercicios en teoría clásica de anillos , Springer
• Lang, Serge (2002), Álgebra (3ª ed.), Springer