Figura isogonal

En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o poliedro ) o un mosaico es isogonal o transitivo en sus vértices si todos sus vértices son equivalentes según las simetrías de la figura. Esto implica que cada vértice está rodeado por los mismos tipos de caras en el mismo orden o en orden inverso, y con los mismos ángulos entre las caras correspondientes.

Técnicamente, se dice que para dos vértices cualesquiera existe una simetría del politopo que proyecta el primero isométricamente sobre el segundo. Otras formas de decir esto son que el grupo de automorfismos del politopo actúa transitivamente sobre sus vértices, o que los vértices se encuentran dentro de una única órbita de simetría .

Todos los vértices de una figura isogonal finita de dimensión n existen en una ( n −1) -esfera . ^[1]

El término isogonal se ha utilizado desde hace mucho tiempo para los poliedros. Vértice-transitivo es un sinónimo tomado de ideas modernas como los grupos de simetría y la teoría de grafos .

El pseudorrombicuboctaedro  –que no es isogonal– demuestra que simplemente afirmar que "todos los vértices parecen iguales" no es tan restrictivo como la definición utilizada aquí, que involucra al grupo de isometrías que preserva el poliedro o teselaje.

Apeirogonos isogonales
Apeirogonos oblicuos isogonales

Todos los polígonos regulares , apeirógonos y polígonos regulares estrellados son isogonales . El dual de un polígono isogonal es un polígono isotoxal .

Algunos polígonos y apeirógonos de lados pares que alternan dos longitudes de aristas, por ejemplo un rectángulo , son isogonales .

Todos los 2 n -gonos isogonales planos tienen simetría diedra (D _n , n  = 2, 3, ...) con líneas de reflexión en los puntos del borde medio.

D2​	D3​	D4​	D7​
Rectángulos isogonales y rectángulos cruzados que comparten la misma disposición de vértices	Hexagrama isogonal con 6 vértices idénticos y 2 longitudes de arista. [2]	Octágono convexo isogonal con líneas radiales de reflexión azules y rojas	Tetradecágono "estrella" isogonal con un tipo de vértice y dos tipos de aristas [3]

Azulejos isogonales

Mosaico cuadrado distorsionado

Un mosaico cuadrado truncado y distorsionado

Un poliedro isogonal y un teselado 2D tienen un único tipo de vértice. Un poliedro isogonal con todas las caras regulares también es un poliedro uniforme y se puede representar mediante una notación de configuración de vértices que ordena las caras alrededor de cada vértice. Las variaciones geométricamente distorsionadas de poliedros uniformes y teselados también pueden recibir la configuración de vértices.

Poliedros isogonales

D 3d , orden 12	T h , orden 24	Oh , orden 48
4.4.6	3.4.4.4	4.6.8	3.8.8
Un prisma hexagonal distorsionado (trapezoprisma ditrigonal)	Un rombicuboctaedro distorsionado	Un cuboctaedro truncado poco profundo	Un cubo hipertruncado

Los poliedros isogonales y los mosaicos 2D pueden clasificarse además:

• Regular si también es isoédrico (transitivo por caras) e isotoxal (transitivo por aristas); esto implica que cada cara es el mismo tipo de polígono regular .
• Cuasi-regular si también es isotoxal (transitivo de aristas) pero no isoédrico (transitivo de caras).
• Semirregular si cada cara es un polígono regular pero no es isoédrico (transitivo por caras) ni isotoxal (transitivo por aristas). (La definición varía entre los autores; por ejemplo, algunos excluyen los sólidos con simetría diedral o los sólidos no convexos).
• Uniforme si cada cara es un polígono regular, es decir, es regular, cuasirregular o semirregular.
• Semiuniforme si sus elementos también son isogonales.
• Escaliforme si todas las aristas tienen la misma longitud.
• Noble si además es isoédrico (transitivo de caras).

Estas definiciones se pueden extender a politopos y teselaciones de dimensiones superiores . Todos los politopos uniformes son isogonales , por ejemplo, los 4-politopos uniformes y los panales de abejas uniformes convexos .

El dual de un politopo isogonal es una figura isoédrica , que es transitiva en sus facetas .

Un politopo o teselación puede ser llamado k -isogonal si sus vértices forman k clases de transitividad. Un término más restrictivo, k -uniforme, se define como una figura k-isogonal construida únicamente a partir de polígonos regulares . Pueden representarse visualmente con colores mediante diferentes coloraciones uniformes .

Este dodecaedro rómbico truncado es 2-isogonal porque contiene dos clases de transitividad de vértices. Este poliedro está formado por cuadrados y hexágonos aplanados .

Este mosaico demiregular también es 2-isogonal (y 2-uniforme ). Este mosaico está formado por triángulos equiláteros y caras hexagonales regulares .

Eneagrama 2-isogonal 9/4 (cara de la estelación final del icosaedro )

• Transitivo de borde (figura isotoxal)
• Figura transitiva de rostro (figura isoédrica)

• Peter R. Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2 , pág. 369 Transitividad 
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Mosaicos y patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.(p. 33 k- mosaicos isogonales, p. 65 k-mosaicos uniformes )

• Weisstein, Eric W. "Gráfico transitivo de vértice". MathWorld .
• Poliedros caleidoscópicos isogonales Vladimir L. Bulatov, Departamento de Física, Universidad Estatal de Oregón, Corvallis, presentado en Mosaic2000, Simposio Abierto del Milenio sobre las Artes y la Computación Interdisciplinaria, 21-24 de agosto de 2000, Seattle, WA Modelos VRML
• Steven Dutch utiliza el término k-uniforme para enumerar teselaciones k-isogonales.
• Lista de teselados n-uniformes
• Weisstein, Eric W. "Teselaciones demirregulares". MathWorld .(También se utiliza el término k-uniforme para k-isogonal)