Conjunto abierto

En matemáticas , un conjunto abierto es una generalización de un intervalo abierto en la recta real .

En un espacio métrico (un conjunto con una distancia definida entre cada dos puntos), un conjunto abierto es un conjunto que, con cada punto P en él, contiene todos los puntos del espacio métrico que están suficientemente cerca de P (es decir, todos los puntos cuya distancia a P es menor que algún valor que depende de P ).

En términos más generales, un conjunto abierto es un miembro de una colección dada de subconjuntos de un conjunto dado, una colección que tiene la propiedad de contener cada unión de sus miembros, cada intersección finita de sus miembros, el conjunto vacío y el conjunto entero en sí mismo. Un conjunto en el que se da tal colección se llama espacio topológico y la colección se llama topología . Estas condiciones son muy laxas y permiten una enorme flexibilidad en la elección de conjuntos abiertos. Por ejemplo, cada subconjunto puede ser abierto (la topología discreta ), o ningún subconjunto puede ser abierto excepto el espacio mismo y el conjunto vacío (la topología indiscreta ). ^[1]

En la práctica, sin embargo, se suelen elegir conjuntos abiertos para proporcionar una noción de proximidad similar a la de los espacios métricos, sin tener una noción de distancia definida. En particular, una topología permite definir propiedades como continuidad , conectividad y compacidad , que originalmente se definían mediante una distancia.

El caso más común de una topología sin distancia alguna lo dan las variedades , que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclídeo , pero sobre el que no se define distancia alguna en general. Topologías menos intuitivas se emplean en otras ramas de las matemáticas; por ejemplo, la topología de Zariski , que es fundamental en geometría algebraica y teoría de esquemas .

Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos . Por ejemplo, si alrededor de uno de dos puntos en un espacio topológico existe un conjunto abierto que no contiene el otro punto (distinto), los dos puntos se denominan topológicamente distinguibles . De esta manera, se puede hablar de si dos puntos, o más generalmente dos subconjuntos , de un espacio topológico están "cerca" sin definir concretamente una distancia . Por lo tanto, los espacios topológicos pueden verse como una generalización de espacios dotados de una noción de distancia, que se denominan espacios métricos .

En el conjunto de todos los números reales , se tiene la métrica euclidiana natural ; es decir, una función que mide la distancia entre dos números reales: d ( x , y ) = | x − y | . Por lo tanto, dado un número real x , se puede hablar del conjunto de todos los puntos cercanos a ese número real; es decir, dentro de ε de x . En esencia, los puntos dentro de ε de x se aproximan a x con una precisión de grado ε . Nótese que ε > 0 siempre, pero a medida que ε se hace cada vez más pequeño, se obtienen puntos que se aproximan a x con un grado de precisión cada vez mayor. Por ejemplo, si x = 0 y ε = 1, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos del intervalo (−1, 1); es decir, el conjunto de todos los números reales entre −1 y 1. Sin embargo, con ε = 0,5, los puntos dentro de ε de x son precisamente los puntos de (−0,5, 0,5). Claramente, estos puntos aproximan x con un mayor grado de precisión que cuando ε = 1.

La discusión anterior muestra, para el caso x = 0, que uno puede aproximar x a grados cada vez mayores de precisión al definir ε como cada vez más pequeño. En particular, los conjuntos de la forma (− ε , ε ) nos dan mucha información sobre los puntos cercanos a x = 0. Por lo tanto, en lugar de hablar de una métrica euclidiana concreta, uno puede usar conjuntos para describir puntos cercanos a x . Esta idea innovadora tiene consecuencias de largo alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintas de los conjuntos (− ε , ε )), uno puede encontrar diferentes resultados con respecto a la distancia entre 0 y otros números reales. Por ejemplo, si definimos R como el único conjunto de este tipo para "medir distancias", todos los puntos están cerca de 0 ya que solo hay un grado posible de precisión que uno puede lograr al aproximarse a 0: ser un miembro de R . Así, encontramos que, en cierto sentido, todo número real está a una distancia 0 de 0. Puede ser útil en este caso pensar en la medida como una condición binaria: todas las cosas en R están igualmente cerca de 0, mientras que cualquier elemento que no esté en R no está cerca de 0.

En general, se hace referencia a la familia de conjuntos que contienen 0, utilizados para aproximar 0, como una base de vecindad ; un miembro de esta base de vecindad se conoce como un conjunto abierto. De hecho, se pueden generalizar estas nociones a un conjunto arbitrario ( X ); en lugar de solo a los números reales. En este caso, dado un punto ( x ) de ese conjunto, se puede definir una colección de conjuntos "alrededor" (es decir, que contienen) x , utilizados para aproximar x . Por supuesto, esta colección tendría que satisfacer ciertas propiedades (conocidas como axiomas ) porque de lo contrario no tendríamos un método bien definido para medir la distancia. Por ejemplo, cada punto en X debería aproximarse a x con cierto grado de precisión. Por lo tanto, X debería estar en esta familia. Una vez que comenzamos a definir conjuntos "más pequeños" que contienen x , tendemos a aproximarnos a x con un mayor grado de precisión. Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que la familia de conjuntos sobre x debe satisfacer.

Se dan aquí varias definiciones, en orden creciente de tecnicismo. Cada una es un caso especial de la siguiente.

Un subconjunto del n -espacio euclidiano R ⁿ es abierto si, para cada punto x en , existe un número real positivo ε (dependiente de x ) tal que cualquier punto en R ⁿ cuya distancia euclidiana a x sea menor que ε pertenece a . ^[2] De manera equivalente, un subconjunto de R ⁿ es abierto si cada punto en es el centro de una bola abierta contenida en${\estilo de visualización U}$ ${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle U.}$

Un ejemplo de un subconjunto de R que no es abierto es el intervalo cerrado [0,1] , ya que ni 0 - ε ni 1 + ε pertenecen a [0,1] para cualquier ε > 0 , por pequeño que sea.

Un subconjunto U de un espacio métrico ( M , d ) se llama abierto si, para cualquier punto x en U , existe un número real ε > 0 tal que cualquier punto que satisfaga d ( x , y ) < ε pertenece a U . Equivalentemente, U es abierto si cada punto en U tiene un entorno contenido en U .${\displaystyle y\en M}$

Esto generaliza el ejemplo del espacio euclidiano, ya que el espacio euclidiano con la distancia euclidiana es un espacio métrico.

Una topología sobre un conjunto X es un conjunto de subconjuntos de X con las propiedades que se indican a continuación. Cada miembro de X se denomina conjunto abierto . ^[3]${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$

• ${\displaystyle X\en \tau}$y${\displaystyle \varnothing \en \tau }$
• Cualquier unión de conjuntos en pertenecen a : si entonces${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$
• Cualquier intersección finita de conjuntos en pertenece a : si entonces${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$$${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

X junto con se llama espacio topológico .${\estilo de visualización \tau}$

Las intersecciones infinitas de conjuntos abiertos no necesariamente deben ser abiertas. Por ejemplo, la intersección de todos los intervalos de la forma donde es un entero positivo, es el conjunto que no es abierto en la recta real.${\displaystyle \izquierda(-1/n,1/n\derecha),}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \{0\}}$

Un espacio métrico es un espacio topológico, cuya topología consiste en la colección de todos los subconjuntos que son uniones de bolas abiertas. Sin embargo, existen espacios topológicos que no son espacios métricos.

La unión de cualquier número de conjuntos abiertos, o de un número infinito de conjuntos abiertos, es abierta. ^[4] La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta. ^[4]

Un complemento de un conjunto abierto (en relación con el espacio en el que se define la topología) se denomina conjunto cerrado . Un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado ( conjunto clopen ). El conjunto vacío y el espacio lleno son ejemplos de conjuntos que son tanto abiertos como cerrados. ^[5]

Un conjunto nunca puede considerarse abierto por sí mismo. Esta noción es relativa a un conjunto contenedor y a una topología específica sobre él.

El que un conjunto sea abierto depende de la topología en consideración. Habiendo optado por una mayor brevedad en lugar de una mayor claridad , nos referimos a un conjunto X dotado de una topología como "el espacio topológico X " en lugar de "el espacio topológico ", a pesar del hecho de que todos los datos topológicos están contenidos en Si hay dos topologías en el mismo conjunto, un conjunto U que sea abierto en la primera topología podría no ser abierto en la segunda topología. Por ejemplo, si X es cualquier espacio topológico e Y es cualquier subconjunto de X , al conjunto Y se le puede dar su propia topología (llamada 'topología del subespacio') definida por "un conjunto U es abierto en la topología del subespacio en Y si y solo si U es la intersección de Y con un conjunto abierto de la topología original en X ". ^[6] Esto potencialmente introduce nuevos conjuntos abiertos: si V es abierto en la topología original en X , pero no es abierto en la topología original en X , entonces es abierto en la topología del subespacio en Y.${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle V\cap Y}$${\displaystyle V\cap Y}$

Como ejemplo concreto de esto, si U se define como el conjunto de números racionales en el intervalo entonces U es un subconjunto abierto de los números racionales , pero no de los números reales . Esto se debe a que cuando el espacio circundante son los números racionales, para cada punto x en U , existe un número positivo a tal que todos los puntos racionales dentro de la distancia a de x también están en U . Por otro lado, cuando el espacio circundante son los reales, entonces para cada punto x en U no hay ningún a positivo tal que todos los puntos reales dentro de la distancia a de x estén en U (porque U no contiene números no racionales).${\estilo de visualización (0,1),}$

Los conjuntos abiertos tienen una importancia fundamental en topología . El concepto es necesario para definir y dar sentido al espacio topológico y otras estructuras topológicas que abordan las nociones de proximidad y convergencia para espacios como los espacios métricos y los espacios uniformes .

Todo subconjunto A de un espacio topológico X contiene un conjunto abierto (posiblemente vacío); el máximo conjunto abierto (ordenado por inclusión) de este tipo se denomina interior de A . Puede construirse tomando la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A . ^[7]

Una función entre dos espacios topológicos y es continua si la preimagen de cada conjunto abierto en es abierta en ^[8] La función se llama abierta si la imagen de cada conjunto abierto en es abierta en${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle Y.}$

Un conjunto abierto en la línea real tiene la propiedad característica de ser una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.

Un conjunto puede ser abierto, cerrado, ambos o ninguno. En particular, los conjuntos abiertos y cerrados no son mutuamente excluyentes, lo que significa que, en general, es posible que un subconjunto de un espacio topológico sea simultáneamente un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado. Dichos subconjuntos se conocen como conjuntos clopen . Explícitamente, un subconjunto de un espacio topológico se llama clopen si ambos y su complemento son subconjuntos abiertos de ; o equivalentemente, si y${\estilo de visualización S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle X\setmenos S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\in \tau}$${\displaystyle X\setminus S\en \tau .}$

En cualquier espacio topológico, el conjunto vacío y el conjunto mismo son siempre conjuntos abiertos. Estos dos conjuntos son los ejemplos más conocidos de subconjuntos abiertos y muestran que existen subconjuntos abiertos en todo espacio topológico. Para comprobarlo, basta con señalar que, por definición de una topología, y son ambos abiertos, y que también son cerrados, puesto que cada uno es el complemento del otro.${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \varnothing}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \varnothing}$

Los conjuntos abiertos de la topología euclidiana habitual de la recta real son el conjunto vacío, los intervalos abiertos y toda unión de intervalos abiertos.${\displaystyle \mathbb {R}}$

• El intervalo es abierto en por definición de la topología euclidiana. No es cerrado ya que su complemento en es que no es abierto; de hecho, un intervalo abierto contenido en no puede contener 1 , y se sigue que no puede ser una unión de intervalos abiertos. Por lo tanto, es un ejemplo de un conjunto que es abierto pero no cerrado.${\displaystyle I=(0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle I^{\complemento }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$${\displaystyle I^{\complemento }}$${\displaystyle I^{\complemento }}$${\displaystyle I}$
• Mediante un argumento similar, el intervalo es un subconjunto cerrado pero no un subconjunto abierto.${\displaystyle J=[0,1]}$
• Finalmente, ni n ni su complemento son abiertos (porque no pueden escribirse como unión de intervalos abiertos); esto significa que no son ni abiertos ni cerrados.${\displaystyle K=[0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$${\displaystyle K}$

Si un espacio topológico está dotado de la topología discreta (de modo que, por definición, cada subconjunto de es abierto), entonces cada subconjunto de es un subconjunto clopen. Para un ejemplo más avanzado que recuerda a la topología discreta, supongamos que es un ultrafiltro sobre un conjunto no vacío. Entonces la unión es una topología sobre con la propiedad de que cada subconjunto propio no vacío de es un subconjunto abierto o un subconjunto cerrado, pero nunca ambos; es decir, si (donde ) entonces exactamente una de las dos afirmaciones siguientes es verdadera: o bien (1) o bien, (2) Dicho de otra manera, cada subconjunto es abierto o cerrado, pero los únicos subconjuntos que son ambos (es decir, que son clopen) son y${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$${\displaystyle S\neq X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X.}$

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina conjunto abierto regular si o, equivalentemente, si , donde , , y denotan, respectivamente, el límite topológico , el interior y la clausura de en . Un espacio topológico para el que existe una base que consiste en conjuntos abiertos regulares se denomina espacio semirregular . Un subconjunto de es un conjunto abierto regular si y solo si su complemento en es un conjunto cerrado regular, donde, por definición, un subconjunto de se denomina conjunto cerrado regular si o, equivalentemente, si Todo conjunto abierto regular (resp. conjunto cerrado regular) es un subconjunto abierto (resp. es un subconjunto cerrado) aunque, en general, ^{[nota 1]} los recíprocos no son ciertos.${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Int} S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

En todo momento será un espacio topológico. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina:${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$

• α-abierto si, y el complemento de dicho conjunto se llama α-cerrado . ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• preabierto , casi abierto o localmente denso si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^[10]
  2. Existen subconjuntos tales que es abierto en es un subconjunto denso de y ^[10]${\displaystyle D,U\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. Existe un subconjunto abierto (en ) tal que es un subconjunto denso de ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U.}$

  El complemento de un conjunto preabierto se llama precerrado .

• b-abierto si. El complemento de un conjunto b-abierto se llama b-cerrado . ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• β-abierto o semipreabierto si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$es un subconjunto regular cerrado de ^[10]${\displaystyle X.}$
  3. Existe un subconjunto preabierto de tal manera que ^[10]${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  El complemento de un conjunto β-abierto se llama β-cerrado .

• abierto secuencialmente si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  1. Siempre que una secuencia en converge a algún punto de entonces esa secuencia eventualmente está en . Explícitamente, esto significa que si es una secuencia en y si existe algún es tal que en entonces eventualmente está en (es decir, existe algún entero tal que si entonces ).${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\geq i,}$${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$es igual a su interior secuencial en el que por definición está el conjunto${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  El complemento de un conjunto secuencialmente abierto se llama secuencialmente cerrado . Un subconjunto es secuencialmente cerrado en si y solo si es igual a su clausura secuencial , que por definición es el conjunto formado por todos para los que existe una sucesión en que converge a (en ). ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

• casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire si existe un subconjunto abiertotal quees unsubconjunto magro, dondedenota ladiferencia simétrica.^[11]${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A\bigtriangleup U}$${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • Se dice que el subconjunto tiene la propiedad de Baire en sentido restringido si para cada subconjunto de la intersección tiene la propiedad de Baire relativa a . ^[12]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap E}$${\displaystyle E}$
• semiabierto sio, equivalentemente,. El complemento ende un conjunto semiabierto se llama conjunto semicerrado . ^[13]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$${\displaystyle X}$
  • El semicierre (en ) de un subconjunto denotado por es la intersección de todos los subconjuntos semicerrados de que contienen como subconjunto. ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$
• semi-θ-abierto si para cada unoexiste algún subconjunto semiabiertodetal que ^[13]${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ-abierto (resp. δ-abierto ) si su complemento enes unconjunto θ-cerrado (resp. δ-cerrado ), donde por definición, un subconjunto de se llama θ-cerrado (resp. δ-cerrado ) si es igual al conjunto de todos sus puntos θ-cúmulos (resp. puntos δ-cúmulos). Un puntose llama punto θ-cúmulo (resp. punto δ-cúmulo ) de un subconjuntosi para cada entorno abiertodeenla intersecciónno está vacía (resp.no está vacía). ^[13]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

Usando el hecho de que

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     y     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

siempre que dos subconjuntos satisfacen lo siguiente se puede deducir:${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle A\subseteq B,}$

• Cada subconjunto α-abierto es semiabierto, semipreabierto, preabierto y b-abierto.
• Todo conjunto b-abierto es semipreabierto (es decir, β-abierto).
• Cada conjunto preabierto es b-abierto y semi-preabierto.
• Cada conjunto semiabierto es b-abierto y semi-preabierto.

Además, un subconjunto es un conjunto abierto regular si y solo si es preabierto y semicerrado. ^[10] La intersección de un conjunto α-abierto y un conjunto semi-preabierto (resp. semi-abierto, preabierto, b-abierto) es un conjunto semi-preabierto (resp. semi-abierto, preabierto, b-abierto). ^[10] Los conjuntos preabiertos no necesitan ser semiabiertos y los conjuntos semiabiertos no necesitan ser preabiertos. ^[10]

Las uniones arbitrarias de conjuntos preabiertos (resp. α-abiertos, b-abiertos, semi-preabiertos) son nuevamente preabiertas (resp. α-abiertos, b-abiertos, semi-preabiertos). ^[10] Sin embargo, las intersecciones finitas de conjuntos preabiertos no necesitan ser preabiertas. ^[13] El conjunto de todos los subconjuntos α-abiertos de un espacio forma una topología que es más fina que ^[9]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$

Un espacio topológico es Hausdorff si y solo si cada subespacio compacto de es θ-cerrado. ^[13] Un espacio es totalmente desconectado si y solo si cada subconjunto regular cerrado es preabierto o, equivalentemente, si cada subconjunto semiabierto es preabierto. Además, el espacio es totalmente desconectado si y solo si la clausura de cada subconjunto preabierto es abierta. ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• Mapa casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Base (topología)  : conjunto de conjuntos abiertos que se utilizan para definir una topología
• Conjunto abierto y cerrado  : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado
• Conjunto cerrado  – Complemento de un subconjunto abierto
• Dominio (análisis matemático)  : subconjunto abierto conexo de un espacio topológico
• Homeomorfismo local  – Función matemática reversible cerca de cada punto
• Mapa abierto  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Subbase  : Colección de subconjuntos que generan una topología

• Hart, Klaas (2004). Enciclopedia de topología general . Ámsterdam, Boston: Elsevier/Holanda del Norte. ISBN 0-444-50355-2.OCLC 162131277  .
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .

• "Conjunto abierto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]