Intervalo (matemáticas)

En matemáticas , un intervalo real es el conjunto de todos los números reales que se encuentran entre dos extremos fijos sin "espacios vacíos". Cada extremo es un número real o un infinito positivo o negativo , lo que indica que el intervalo se extiende sin límite . Un intervalo real no puede contener ninguno de los extremos, ninguno de los extremos o ambos, excluyendo cualquier extremo que sea infinito.

Por ejemplo, el conjunto de números reales que consiste en 0 , 1 y todos los números intermedios es un intervalo, denotado [0, 1] y llamado intervalo unitario ; el conjunto de todos los números reales positivos es un intervalo, denotado (0, ∞) ; el conjunto de todos los números reales es un intervalo, denotado (−∞, ∞) ; y cualquier número real a es un intervalo, denotado [ a , a ] .

Los intervalos son omnipresentes en el análisis matemático . Por ejemplo, aparecen de manera implícita en la definición de continuidad épsilon-delta ; el teorema del valor intermedio afirma que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo; las integrales de funciones reales se definen sobre un intervalo; etc.

La aritmética de intervalos consiste en calcular con intervalos en lugar de números reales para proporcionar una precisión garantizada del resultado de un cálculo numérico, incluso en presencia de incertidumbres en los datos de entrada y errores de redondeo .

Los intervalos también se definen en un conjunto totalmente ordenado , como los números enteros o racionales . La notación de intervalos enteros se analiza en la sección especial que aparece a continuación.

Un intervalo es un subconjunto de los números reales que contiene todos los números reales que se encuentran entre dos números cualesquiera del subconjunto.

Los puntos extremos de un intervalo son su supremo y su ínfimo , si existen como números reales. ^[1] Si el ínfimo no existe, a menudo se dice que el punto extremo correspondiente es De manera similar, si el supremo no existe, se dice que el punto extremo correspondiente es${\estilo de visualización -\infty .}$${\estilo de visualización +\infty .}$

Los intervalos están completamente determinados por sus puntos finales y por si cada punto final pertenece al intervalo. Esto es una consecuencia de la propiedad de límite superior mínimo de los números reales. Esta caracterización se utiliza para especificar intervalos por medio denotación de intervalo , que se describe a continuación.

UnEl intervalo abierto no incluye ningún punto final y se indica entre paréntesis.^[2]Por ejemplo,es el intervalo de todos los números reales mayores que0y menores que1.(Este intervalo también se puede denotar por]0, 1[, véase más abajo). El intervalo abierto(0, +∞)consta de números reales mayores que0, es decir, números reales positivos. Los intervalos abiertos son, por tanto, una de las formas${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}}$

donde y son números reales tales que Cuando en el primer caso, el intervalo resultante es el conjunto vacío que es un intervalo degenerado (ver abajo). Los intervalos abiertos son aquellos intervalos que son conjuntos abiertos para la topología usual sobre los números reales.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leq b.}$${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle (a,a)=\varnothing ,}$

AUn intervalo cerrado es un intervalo que incluye todos sus puntos finales y se denota con corchetes.^[2]Por ejemplo,[0, 1]significa mayor o igual a0y menor o igual a1.Los intervalos cerrados tienen una de las siguientes formas en las queaybson números reales tales que${\displaystyle a\leq b\colon }$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$

Los intervalos cerrados son aquellos intervalos que son conjuntos cerrados para la topología habitual de los números reales. El conjunto vacío y son los únicos intervalos que son a la vez abiertos y cerrados.${\displaystyle \mathbb {R} }$

AUn intervalo semiabierto tiene dos extremos e incluye solo uno de ellos. Se diceabierto por la izquierdaoabierto por la derechadependiendo de si el extremo excluido está a la izquierda o a la derecha. Estos intervalos se denotan mezclando notaciones para intervalos abiertos y cerrados.^[3]Por ejemplo,(0, 1]significa mayor que0y menor o igual que1, mientras que[0, 1)significa mayor que o igual que0y menor que1.Los intervalos semiabiertos tienen la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Todo intervalo cerrado es un conjunto cerrado de la recta real , pero un intervalo que es un conjunto cerrado no necesita ser un intervalo cerrado. Por ejemplo, los intervalos y también son conjuntos cerrados en la recta real. Los intervalos y no son ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado. Si se permite que un punto final en el lado cerrado sea un infinito (como (0,+∞] , el resultado no será un intervalo, ya que ni siquiera es un subconjunto de los números reales. En cambio, el resultado puede verse como un intervalo en la recta real extendida , lo que ocurre en la teoría de la medida , por ejemplo.${\displaystyle (-\infty ,b]}$${\displaystyle [a,+\infty )}$${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle [a,b)}$

En resumen, un conjunto de números reales es un intervalo, si y sólo si es un intervalo abierto, un intervalo cerrado o un intervalo semiabierto. ^{[4] [5]}

Aintervalo degenerado es cualquierconjunto que consiste en un único número real(es decir, un intervalo de la forma[ a , a ]).^[6]Algunos autores incluyen el conjunto vacío en esta definición. Un intervalo real que no es ni vacío ni degenerado se dice que espropioy tiene infinitos elementos.

Se dice que un intervalo está acotado por la izquierda o acotado por la derecha si hay algún número real que sea, respectivamente, menor o mayor que todos sus elementos. Se dice que un intervalo está acotado si está acotado tanto por la izquierda como por la derecha; y se dice que no está acotado en caso contrario. Los intervalos que están acotados solo en un extremo se dicen que están semiacotados . El conjunto vacío está acotado y el conjunto de todos los números reales es el único intervalo que no está acotado en ambos extremos. Los intervalos acotados también se conocen comúnmente como intervalos finitos .

Los intervalos acotados son conjuntos acotados , en el sentido de que su diámetro (que es igual a la diferencia absoluta entre los puntos finales) es finito. El diámetro puede denominarse longitud , anchura , medida , rango o tamaño del intervalo. El tamaño de los intervalos no acotados suele definirse como +∞ y el tamaño del intervalo vacío puede definirse como 0 (o dejarse sin definir).

El centro ( punto medio ) de un intervalo acotado con extremos a y b es ( a  +  b )/2 , y su radio es la mitad de la longitud | a  −  b |/2 . Estos conceptos no están definidos para intervalos vacíos o no acotados.

Un intervalo se dice que es abierto por la izquierda si y solo si no contiene ningún mínimo (un elemento que es más pequeño que todos los demás elementos); abierto por la derecha si no contiene ningún máximo ; y abierto si no contiene ninguno. El intervalo [0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} , por ejemplo, es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. El conjunto vacío y el conjunto de todos los números reales son intervalos abiertos y cerrados, mientras que el conjunto de los números reales no negativos es un intervalo cerrado que es abierto por la derecha pero no abierto por la izquierda. Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos de la recta real en su topología estándar y forman una base de los conjuntos abiertos.

Se dice que un intervalo está cerrado por la izquierda si tiene un elemento mínimo o no está acotado por la izquierda, cerrado por la derecha si tiene un elemento máximo o no está acotado por la derecha; es simplemente cerrado si está tanto cerrado por la izquierda como por la derecha. Por lo tanto, los intervalos cerrados coinciden con los conjuntos cerrados en esa topología.

El interior de un intervalo I es el mayor intervalo abierto que está contenido en I ; es también el conjunto de puntos de I que no son extremos de I . La clausura de I es el menor intervalo cerrado que contiene a I ; que es también el conjunto I aumentado con sus extremos finitos.

Para cualquier conjunto X de números reales, el intervalo envolvente o amplitud de intervalo de X es el único intervalo que contiene a X y no contiene propiamente ningún otro intervalo que también contenga a X.

Un intervalo I es un subintervalo del intervalo J si I es un subconjunto de J . Un intervalo I es un subintervalo propio de J si I es un subconjunto propio de J .

Sin embargo, existe una terminología conflictiva para los términos segmento e intervalo , que se han empleado en la literatura de dos formas esencialmente opuestas, lo que resulta en ambigüedad cuando se usan estos términos. La Enciclopedia de Matemáticas ^[7] define intervalo (sin un calificador) para excluir ambos puntos finales (es decir, intervalo abierto) y segmento para incluir ambos puntos finales (es decir, intervalo cerrado), mientras que los Principios de análisis matemático de Rudin ^[8] llama a los conjuntos de la forma [ a , b ] intervalos y a los conjuntos de la forma ( a , b ) segmentos en todo momento. Estos términos tienden a aparecer en obras más antiguas; los textos modernos favorecen cada vez más el término intervalo (calificado por abierto , cerrado o semiabierto ), independientemente de si se incluyen los puntos finales.

El intervalo de números entre a y b , incluidos a y b , se suele denotar [ a ,  b ] . Los dos números se denominan puntos finales del intervalo. En los países donde los números se escriben con coma decimal , se puede utilizar un punto y coma como separador para evitar ambigüedades.

Para indicar que uno de los puntos finales se debe excluir del conjunto, el corchete correspondiente se puede reemplazar por un paréntesis o invertir. Ambas notaciones se describen en la norma internacional ISO 31-11 . Por lo tanto, en la notación del generador de conjuntos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Cada intervalo ( a ,  a ) , [ a ,  a ) y ( a ,  a ] representa el conjunto vacío , mientras que [ a ,  a ] denota el conjunto singleton  { a } . Cuando a > b , las cuatro notaciones se toman generalmente para representar el conjunto vacío.

Ambas notaciones pueden superponerse con otros usos de paréntesis y corchetes en matemáticas. Por ejemplo, la notación ( a , b ) se utiliza a menudo para denotar un par ordenado en la teoría de conjuntos, las coordenadas de un punto o vector en geometría analítica y álgebra lineal , o (a veces) un número complejo en álgebra . Es por eso que Bourbaki introdujo la notación ] a , b [ para denotar el intervalo abierto. ^[9] La notación [ a , b ] también se utiliza ocasionalmente para pares ordenados, especialmente en informática .

Algunos autores como Yves Tillé utilizan ] a , b [ para denotar el complemento del intervalo  ( a ,  b ) ; es decir, el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales a a , o mayores o iguales a b .

En algunos contextos, un intervalo puede definirse como un subconjunto de los números reales extendidos , el conjunto de todos los números reales aumentados con −∞ y +∞ .

En esta interpretación, las notaciones [−∞,  b ]  , (−∞,  b ]  , [ a , +∞]  y [ a , +∞) son todas significativas y distintas. En particular, (−∞, +∞) denota el conjunto de todos los números reales ordinarios, mientras que [−∞, +∞] denota los reales extendidos.

Incluso en el contexto de los números reales ordinarios, se puede usar un punto final infinito para indicar que no hay límite en esa dirección. Por ejemplo, (0, +∞) es el conjunto de números reales positivos , también escrito como El contexto afecta algunas de las definiciones y terminología anteriores. Por ejemplo, el intervalo (−∞, +∞)  =  es cerrado en el ámbito de los números reales ordinarios, pero no en el ámbito de los números reales extendidos.${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cuando a y b son números enteros , la notación ⟦ a, b ⟧, o [ a .. b ] o { a .. b } o simplemente a .. b , se utiliza a veces para indicar el intervalo de todos los números enteros entre a y b incluidos. La notación [ a .. b ] se utiliza en algunos lenguajes de programación ; en Pascal , por ejemplo, se utiliza para definir formalmente un tipo de subrango, más frecuentemente utilizado para especificar límites inferiores y superiores de índices válidos de una matriz .

Otra forma de interpretar los intervalos enteros son como conjuntos definidos por enumeración , utilizando la notación de puntos suspensivos .

Un intervalo entero que tiene un extremo inferior o superior finito siempre incluye ese extremo. Por lo tanto, la exclusión de los extremos se puede indicar explícitamente escribiendo a .. b  − 1  , a  + 1 .. b  o a  + 1 .. b  − 1 . Las notaciones de corchetes alternativos como [ a .. b ) o [ a .. b [ rara vez se utilizan para intervalos enteros. ^{[ cita requerida ]}

Los intervalos son precisamente los subconjuntos conexos de De ello se deduce que la imagen de un intervalo por cualquier función continua de a es también un intervalo. Esta es una formulación del teorema del valor intermedio .${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los intervalos son también los subconjuntos convexos de El recinto de intervalo de un subconjunto es también la envoltura convexa de${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$

El cierre de un intervalo es la unión del intervalo y el conjunto de sus extremos finitos, y por lo tanto también es un intervalo. (Esto último también se deduce del hecho de que el cierre de cada subconjunto conexo de un espacio topológico es un subconjunto conexo.) En otras palabras, tenemos ^[10]

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).}$

La intersección de cualquier conjunto de intervalos es siempre un intervalo. La unión de dos intervalos es un intervalo si y solo si tienen una intersección no vacía o un punto final abierto de un intervalo es un punto final cerrado del otro, por ejemplo${\displaystyle (a,b)\cup [b,c]=(a,c].}$

Si se considera como un espacio métrico , sus bolas abiertas son los intervalos acotados abiertos  ( c  +  r ,  c  −  r ) y sus bolas cerradas son los intervalos acotados cerrados  [ c  +  r ,  c  −  r ] . En particular, las topologías métrica y de orden en la recta real coinciden, que es la topología estándar de la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cualquier elemento  x de un intervalo  I define una partición de  I en tres intervalos disjuntos I ₁ ,  I ₂ ,  I ₃ : respectivamente, los elementos de  I que son menores que  x , el singleton  y los elementos que son mayores que  x . Las partes I ₁ e I ₃ son ambas no vacías (y tienen interiores no vacíos), si y solo si x está en el interior de  I . Esta es una versión de intervalo del principio de tricotomía .${\displaystyle [x,x]=\{x\},}$

Un intervalo diádico es un intervalo real acotado cuyos extremos son y donde y son números enteros. Según el contexto, cualquiera de los extremos puede o no estar incluido en el intervalo.${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$

Los intervalos diádicos tienen las siguientes propiedades:

• La longitud de un intervalo diádico es siempre una potencia entera de dos.
• Cada intervalo diádico está contenido exactamente en un intervalo diádico de doble longitud.
• Cada intervalo diádico está abarcado por dos intervalos diádicos de la mitad de la longitud.
• Si dos intervalos diádicos abiertos se superponen, entonces uno de ellos es un subconjunto del otro.

Los intervalos diádicos tienen, en consecuencia, una estructura que refleja la de un árbol binario infinito .

Los intervalos diádicos son relevantes para varias áreas del análisis numérico, incluido el refinamiento de malla adaptativo , los métodos multigrid y el análisis wavelet . Otra forma de representar dicha estructura es el análisis p-ádico (para p = 2 ). ^[11]

Un intervalo finito abierto es una bola abierta unidimensional con un centro en y un radio de El intervalo finito cerrado es la bola cerrada correspondiente, y los dos extremos del intervalo forman una esfera de dimensión 0. Generalizado al espacio euclidiano de dimensión 1 , una bola es el conjunto de puntos cuya distancia desde el centro es menor que el radio. En el caso bidimensional, una bola se llama disco .${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle n}$

Si se toma un semiespacio como una especie de bola degenerada (sin un centro o radio bien definido), un semiespacio puede tomarse como análogo a un intervalo semiacotado, con su plano límite como la esfera (degenerada) correspondiente al punto final finito.

Un intervalo finito es (el interior de) un hiperrectángulo unidimensional . Generalizado al espacio de coordenadas reales, un hiperrectángulo (o caja) alineado con el eje es el producto cartesiano de intervalos finitos. Para esto es un rectángulo ; para esto es un cuboide rectangular (también llamado " caja ").${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$

Al permitir una combinación de puntos finales abiertos, cerrados e infinitos, el producto cartesiano de cualquier intervalo a veces se denomina intervalo -dimensional . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$${\displaystyle n}$

Una faceta de dicho intervalo es el resultado de reemplazar cualquier factor de intervalo no degenerado por un intervalo degenerado que consiste en un punto final finito de Las caras de comprenden a sí mismo y todas las caras de sus facetas. Las esquinas de son las caras que consisten en un solo punto de ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle I}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle I_{k}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Cualquier intervalo finito puede construirse como la intersección de intervalos semiacotados (considerando como intersección vacía la línea real completa), y la intersección de cualquier número de intervalos semiacotados es un intervalo (posiblemente vacío). Generalizado a un espacio afín de dimensión 2 , una intersección de semiespacios (de orientación arbitraria) es (el interior de) un politopo convexo o, en el caso bidimensional, un polígono convexo .${\displaystyle n}$

Un intervalo abierto es un conjunto abierto conexo de números reales. Si lo generalizamos a los espacios topológicos en general, un conjunto abierto conexo no vacío se denomina dominio .

Los intervalos de números complejos se pueden definir como regiones del plano complejo , ya sea rectangular o circular . ^[12]

El concepto de intervalos puede definirse en conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados o, de manera más general, en conjuntos arbitrarios preordenados . Para un conjunto preordenado y dos elementos, se definen de manera similar los intervalos ^{[13] : 11, Definición 11}${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle a,b\in X,}$

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X,}$

donde significa En realidad, los intervalos con un solo punto final o sin puntos finales son los mismos que los intervalos con dos puntos finales en el conjunto preordenado más grande.${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x.}$

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

se define añadiendo nuevos elementos más pequeños y más grandes (aunque los hubiera), que son subconjuntos de En el caso de uno puede tomar como la línea real extendida .${\displaystyle X.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$

Un subconjunto del conjunto preordenado es (ordenado)convexo si para cada uno y cada uno tenemos A diferencia del caso de la línea real, un conjunto convexo de un conjunto preordenado no necesita ser un intervalo. Por ejemplo, en el conjunto totalmente ordenado de números racionales , el conjunto${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$${\displaystyle z\in A.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$

es convexo, pero no un intervalo de ya que no hay raíz cuadrada de dos en${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Sea un conjunto preordenado y sean Los conjuntos convexos de contenidos en forman un conjunto parcial bajo inclusión. Un elemento maximalista de este conjunto parcial se denomina componente convexo de ^{[14] : Definición 5.1  [15] : 727} Por el lema de Zorn , cualquier conjunto convexo de contenido en está contenido en algún componente convexo de pero dichos componentes no necesitan ser únicos. En un conjunto totalmente ordenado , dicho componente es siempre único. Es decir, los componentes convexos de un subconjunto de un conjunto totalmente ordenado forman una partición .${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle Y\subseteq X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y,}$

A continuación se presenta una generalización de las caracterizaciones de los intervalos reales. Para un subconjunto no vacío de un continuo lineal , las siguientes condiciones son equivalentes. ^{[16] : 153, Teorema 24.1}${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (L,\leq ),}$

• El conjunto es un intervalo.${\displaystyle I}$
• El conjunto es de orden convexo.${\displaystyle I}$
• El conjunto es un subconjunto conexo cuando está dotado de la topología de orden .${\displaystyle I}$${\displaystyle L}$

Para un subconjunto de una red las siguientes condiciones son equivalentes.${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L,}$

• El conjunto es una subred y un conjunto (de orden)convexo.${\displaystyle S}$
• Hay un ideal y un filtro tales que${\displaystyle I\subseteq L}$ ${\displaystyle F\subseteq L}$${\displaystyle S=I\cap F.}$

Todo espacio de Tichonoff es integrable en un espacio producto de los intervalos unitarios cerrados. En realidad, todo espacio de Tichonoff que tenga una base de cardinalidad es integrable en el producto de copias de los intervalos. ^{[17] : p. 83, Teorema 2.3.23}${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$

Los conceptos de conjuntos convexos y componentes convexos se utilizan en una prueba de que todo conjunto totalmente ordenado dotado de la topología de orden es completamente normal ^[15] o, además, monótonamente normal . ^[14]

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Los intervalos se pueden asociar con puntos del plano y, por lo tanto, las regiones de intervalos se pueden asociar con regiones del plano. En general, un intervalo en matemáticas corresponde a un par ordenado ( x , y ) tomado del producto directo de números reales consigo mismo, donde a menudo se supone que y > x . Para fines de estructura matemática , esta restricción se descarta, ^[18] y se permiten "intervalos invertidos" donde y − x < 0. Entonces, la colección de todos los intervalos [ x , y ] se puede identificar con el anillo topológico formado por la suma directa de consigo mismo, donde la adición y la multiplicación se definen componente por componente.${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El álgebra de suma directa tiene dos ideales , {[ x ,0]: x ∈ R} y {[0, y ]: y ∈ R}. El elemento identidad de esta álgebra es el intervalo condensado [1, 1] . Si el intervalo [ x , y ] no está en uno de los ideales, entonces tiene inverso multiplicativo [1/ x , 1/ y ] . Dotada de la topología usual , el álgebra de intervalos forma un anillo topológico . El grupo de unidades de este anillo consta de cuatro cuadrantes determinados por los ejes, o ideales en este caso. El componente identidad de este grupo es el cuadrante I.${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )}$

Todo intervalo puede considerarse un intervalo simétrico alrededor de su punto medio . En una reconfiguración publicada en 1956 por M Warmus, se utiliza el eje de "intervalos equilibrados" [ x , − x ] junto con el eje de intervalos [ x , x ] que se reducen a un punto. En lugar de la suma directa, el anillo de intervalos ha sido identificado ^[19] con los números hiperbólicos por M. Warmus y DH Lehmer a través de la identificación${\displaystyle R\oplus R,}$

${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,}$

dónde${\displaystyle j^{2}=1.}$

Esta aplicación lineal del plano, que equivale a un isomorfismo de anillo , proporciona al plano una estructura multiplicativa que tiene algunas analogías con la aritmética compleja ordinaria, como la descomposición polar .

• Arco (geometría)
• Desigualdad
• Gráfica de intervalo
• Elemento finito de intervalo
• Intervalo (estadística)
• Segmento de línea
• Partición de un intervalo
• Intervalo unitario

• T. Sunaga, "Teoría del álgebra de intervalos y su aplicación al análisis numérico", archivado el 9 de marzo de 2012 en Wayback Machine . En: Research Association of Applied Geometry (RAAG), Memorias de Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokio, Japón, 1958, vol. 2, págs. 29-46 (547-564); reimpreso en Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, vol. 26, núm. 2-3, págs. 126-143.

• Un intervalo lúcido de Brian Hayes: un artículo de American Scientist proporciona una introducción.
• Sitio web de cálculos de intervalos Archivado el 2 de marzo de 2006 en Wayback Machine
• Centros de investigación de cálculos de intervalos Archivado el 3 de febrero de 2007 en Wayback Machine
• Notación de intervalos de George Beck, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Intervalo". MathWorld .