Grupo simpléctico

Grupos de Lie y álgebras de Lie
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v t e

En matemáticas , el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionadas, de grupos matemáticos , denotados Sp(2 n , F ) y Sp( n ) para entero positivo n y cuerpo F (normalmente C o R ). Este último se llama grupo simpléctico compacto y también se denota por . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que normalmente difieren en factores de 2 . La notación utilizada aquí es coherente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples , el álgebra de Lie del grupo complejo Sp(2 n , C ) se denota C _n , y Sp( n ) es la forma real compacta de Sp(2 n , C ) . Nótese que cuando nos referimos al grupo simpléctico (compacto) se implica que estamos hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión n .${\displaystyle \mathrm {USp} (n)}$

El nombre " grupo simpléctico " fue acuñado por Hermann Weyl como reemplazo de los confusos nombres anteriores ( grupo complejo de línea ) y grupo lineal abeliano , y es el análogo griego de "complejo".

El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R ; tiene análogos sobre otros campos locales , campos finitos y anillos de Adele .

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial de 2 n dimensiones sobre el cuerpo F que conservan una forma bilineal antisimétrica no degenerada . Un espacio vectorial de este tipo se denomina espacio vectorial simpléctico y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto V se denota Sp( V ) . Al fijar una base para V , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas 2 n × 2 n , con entradas en F , bajo la operación de multiplicación de matrices . Este grupo se denota Sp(2 n , F ) o Sp( n , F ) . Si la forma bilineal está representada por la matriz antisimétrica no singular Ω, entonces

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},}$

donde M ^T es la transpuesta de M . A menudo Ω se define como

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

donde I _n es la matriz identidad. En este caso, Sp(2 n , F ) se puede expresar como aquellas matrices de bloques , donde , que satisfacen las tres ecuaciones:${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}}$

Como todas las matrices simplécticas tienen determinante 1 , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial SL(2 n , F ) . Cuando n = 1 , la condición simpléctica de una matriz se satisface si y solo si el determinante es uno, de modo que Sp(2, F ) = SL(2, F ) . Para n > 1 , hay condiciones adicionales, es decir, Sp(2 n , F ) es entonces un subgrupo propio de SL(2 n , F ) .

Típicamente, el cuerpo F es el cuerpo de los números reales R o de los números complejos C . En estos casos Sp(2 n , F ) es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja n (2 n + 1) , respectivamente. Estos grupos son conexos pero no compactos .

El centro de Sp(2 n , F ) consiste en las matrices I _{2 n} y − I _{2 n} siempre que la característica del campo no sea 2 . ^[1] Dado que el centro de Sp(2 n , F ) es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple , Sp(2 n , F ) se considera un grupo de Lie simple .

El rango real del álgebra de Lie correspondiente, y por tanto del grupo de Lie Sp(2 n , F ) , es n .

El álgebra de Lie de Sp(2 n , F ) es el conjunto

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},}$

equipado con el conmutador como su soporte de Lie. ^[2] Para la forma bilineal antisimétrica estándar , esta álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques sujetas a las condiciones${\displaystyle \Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})}$${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

El grupo simpléctico sobre el cuerpo de números complejos es un grupo de Lie simple , simplemente conexo y no compacto .

Sp( n , C ) es la complejización del grupo real Sp(2n , R ) . Sp (2n , R ) es un grupo de Lie real, no compacto , conexo y simple . ^[3] Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de los números enteros bajo adición. Como forma real de un grupo de Lie simple, su álgebra de Lie es un álgebra de Lie divisible .

Algunas propiedades adicionales de Sp(2 n , R ) :

• La función exponencial del álgebra de Lie sp (2 n , R ) al grupo Sp(2 n , R ) no es sobreyectiva . Sin embargo, cualquier elemento del grupo puede representarse como el producto de dos exponenciales. ^[4] En otras palabras,

${\displaystyle \forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.}$

• Para todo S en Sp(2 n , R ) :

${\displaystyle S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.}$

La matriz D es definida positiva y diagonal . El conjunto de tales Z s forma un subgrupo no compacto de Sp(2 n , R ) mientras que U( n ) forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición de "Euler" o "Bloch-Messiah". ^[5] Se pueden encontrar más propiedades de matrices simplécticas en esa página de Wikipedia.

• Como grupo de Lie , Sp(2 n , R ) tiene una estructura de variedad. La variedad para Sp(2 n , R ) es difeomorfa al producto cartesiano del grupo unitario U( n ) con un espacio vectorial de dimensión n ( n +1) . ^[6]

Los miembros del álgebra de Lie simpléctica sp (2 n , F ) son las matrices hamiltonianas .

Se trata de matrices tales que${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

donde B y C son matrices simétricas . Véase el grupo clásico para obtener una derivación.

Para Sp(2, R ) , el grupo de matrices 2 × 2 con determinante 1 , las tres matrices simplécticas (0, 1) son: ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Resulta que puede tener una descripción bastante explícita utilizando generadores. Si denotamos las matrices simétricas , entonces se genera por donde${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$${\displaystyle D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}}$

son subgrupos de ^{[8] pg 173 [9] pg 2} .${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$

La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas . El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico . ^[10] Como se señaló anteriormente, las transformaciones que preservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es Sp(2 n , F ) , dependiendo de la dimensión del espacio y del campo sobre el que está definido.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo la acción del grupo simpléctico es, por lo tanto, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo , que es una transformación más general que preserva la estructura en una variedad simpléctica.

El grupo simpléctico compacto ^[11] Sp( n ) es la intersección de Sp(2 n , C ) con el grupo unitario:${\displaystyle 2n\times 2n}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).}$

A veces se escribe como USp(2 n ) . Alternativamente, Sp( n ) se puede describir como el subgrupo de GL( n , H ) (matrices cuaterniónicas invertibles ) que conserva la forma hermítica estándar en H ⁿ :

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.}$

Es decir, Sp( n ) es simplemente el grupo unitario cuaterniónico , U( n , H ) . ^[12] De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario . También Sp(1) es el grupo de cuaterniones de norma 1 , equivalente a SU(2) y topológicamente una 3 -esfera S ³ .

Obsérvese que Sp( n ) no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior: no conserva una forma H -bilineal antisimétrica no degenerada en H ⁿ : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de Sp(2 n , C ) , y por lo tanto conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de doble dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de Sp( n ) es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja sp (2 n , C ) .

Sp( n ) es un grupo de Lie real con dimensión (real) n (2n + 1) . Es compacto y simplemente conexo . ^[13]

El álgebra de Lie de Sp( n ) está dada por las matrices antihermíticas cuaterniónicas , el conjunto de matrices cuaterniónicas n por n que satisfacen

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

donde A ^† es la transpuesta conjugada de A (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El corchete de Lie viene dado por el conmutador.

Algunos subgrupos principales son:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)}$

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de otros grupos:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)}$

También existen los isomorfismos de las álgebras de Lie sp (2) = so (5) y sp (1) = so (3) = su (2) .

Toda álgebra de Lie compleja y semisimple tiene una forma real dividida y una forma real compacta ; la primera se denomina complejización de las dos últimas.

El álgebra de Lie de Sp(2 n , C ) es semisimple y se denota sp (2 n , C ) . Su forma real dividida es sp (2 n , R ) y su forma real compacta es sp ( n ) . Estas corresponden a los grupos de Lie Sp(2 n , R ) y Sp( n ) respectivamente.

Las álgebras, sp ( p , n − p ) , que son las álgebras de Lie de Sp( p , n − p ) , son la firma indefinida equivalente a la forma compacta.

El grupo simpléctico no compacto Sp(2 n , R ) aparece en la física clásica como las simetrías de coordenadas canónicas que preservan el corchete de Poisson.

Considérese un sistema de n partículas, que evolucionan bajo las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio de fases en un tiempo dado se denota por el vector de coordenadas canónicas ,

${\displaystyle \mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.}$

Los elementos del grupo Sp(2 n , R ) son, en cierto sentido, transformaciones canónicas sobre este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton . ^{[14] [15]} Si

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }}$

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con un punto que denota la derivada temporal,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},}$

dónde

${\displaystyle M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$

para todo t y todo z en el espacio de fases. ^[16]

Para el caso especial de una variedad de Riemann , las ecuaciones de Hamilton describen las geodésicas en esa variedad. Las coordenadas viven en la variedad subyacente y los momentos viven en el fibrado cotangente . Esta es la razón por la que se escriben convencionalmente con índices superiores e inferiores; es para distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consiste puramente en la energía cinética: es donde es la inversa del tensor métrico en la variedad de Riemann. ^{[17] [15]} De hecho, el fibrado cotangente de cualquier variedad suave puede ser una estructura simpléctica dada de manera canónica, con la forma simpléctica definida como la derivada exterior de la forma única tautológica . ^[18]${\displaystyle q^{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

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Consideremos un sistema de n partículas cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por lo tanto, el espacio de Hilbert , en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo hace que el análisis de esta situación sea complicado. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición y momento bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio de fases .

Construir un vector de coordenadas canónicas ,

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.}$

La relación de conmutación canónica se puede expresar simplemente como

${\displaystyle [\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega }$

dónde

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}}$

y I _n es la matriz identidad n × n .

Muchas situaciones físicas sólo requieren hamiltonianos cuadráticos , es decir, hamiltonianos de la forma

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}} }$

donde K es una matriz real simétrica de 2 n × 2 n . Esto resulta ser una restricción útil y nos permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}} }$

La solución de esta ecuación debe conservar la relación de conmutación canónica . Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real, Sp(2n, R), sobre el espacio de fases.

• Mecánica hamiltoniana
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• Grupo unitario proyectivo
• Representaciones de grupos de Lie clásicos
• Variedad simpléctica , Matriz simpléctica , Espacio vectorial simpléctico , Representación simpléctica
• Grupo unitario
• Θ10

• Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 60 (segunda edición), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
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