Rotación incorrecta

Rotación compuesta con una reflexión.

En geometría , una rotación impropia ^[1] (también llamada rotación-reflexión , ^[2] rotoreflexión, ^[1] reflexión rotatoria , ^[3] o rotoinversión ^[4] ) es una isometría en el espacio euclidiano que es una combinación de una rotación sobre un eje y una reflexión en un plano perpendicular a ese eje. La reflexión y la inversión son cada una un caso especial de rotación impropia. Cualquier rotación impropia es una transformación afín y, en los casos que mantienen fijo el origen de coordenadas, una transformación lineal . ^[5] Se utiliza como una operación de simetría en el contexto de la simetría geométrica , la simetría molecular y la cristalografía , donde se dice que un objeto que no cambia mediante una combinación de rotación y reflexión tiene simetría de rotación impropia .

Ejemplos de poliedros con simetría de rotorreflexión
Grupo	S4	S ₆	S ₈	S ₁₀	S ₁₂
Subgrupos	C ₂	C3 , S2 = Ci	C4 , C2	C ₅ , S ₂ = Ci	C6 , S4 , C3 , C2
Ejemplo	antiprisma digonal biselado	antiprisma triangular	antiprisma cuadrado	antiprisma pentagonal	antiprisma hexagonal
Los antiprismas con aristas dirigidas tienen simetría de rotorreflexión. Los p -antiprismas para p impar contienen simetría de inversión , C _i .

Tres dimensiones

En tres dimensiones, la rotación impropia se define de manera equivalente como una combinación de rotación sobre un eje e inversión en un punto del eje. ^[1] Por esta razón, también se denomina rotoinversión o inversión rotatoria . Las dos definiciones son equivalentes porque la rotación en un ángulo θ seguida de reflexión es la misma transformación que la rotación en θ + 180° seguida de inversión (tomando el punto de inversión en el plano de reflexión). En ambas definiciones, las operaciones conmutan.

Una simetría tridimensional que sólo tiene un punto fijo es necesariamente una rotación impropia. ^[3]

Una rotación incorrecta de un objeto produce una rotación de su imagen especular . El eje se denomina eje de rotación-reflexión . ^[6] Se denomina rotación incorrecta n veces si el ángulo de rotación, antes o después de la reflexión, es de 360°/ n (donde n debe ser par). ^[6] Existen varios sistemas diferentes para nombrar rotaciones incorrectas individuales:

En la notación de Schoenflies, el símbolo S _n (en alemán, Spiegel , para espejo ), donde n debe ser par, denota el grupo de simetría generado por una rotación impropia de n veces. Por ejemplo, la operación de simetría S ₆ es la combinación de una rotación de (360°/6)=60° y una reflexión en el plano de espejo. (Esto no debe confundirse con la misma notación para grupos simétricos ). ^[6]
En la notación de Hermann-Mauguin, el símbolo n se utiliza para una rotoinversión de n veces ; es decir, una rotación con un ángulo de rotación de 360°/ n con inversión. Si n es par, debe ser divisible por 4. (Tenga en cuenta que 2 sería simplemente una reflexión, y normalmente se denota "m", por "espejo"). Cuando n es impar, esto corresponde a una rotación impropia de 2 n veces (o reflexión rotatoria).
La notación de Coxeter para S _{2 n} es [2 n ⁺ ,2 ⁺ ] y, como un subgrupo de índice 4 de [2 n ,2],, generado como producto de 3 reflexiones.
La notación Orbifold es n ×, orden 2 n .
Subgrupos para S ₂ a S ₂₀ .
C ₁ es el grupo identidad .
S ₂ es la inversión central .
C _n son grupos cíclicos .

Subgrupos

El subgrupo directo de S _{2 n} es C _n , orden n , índice 2, siendo el generador de rotoreflexión aplicado dos veces.
Para n impar , S _{2 n} contiene una inversión , denotada C _i o S ₂ . S _{2 n} es el producto directo : S _{2 n} = C _n × S ₂ , si n es impar.
Para cualquier n , si p impar es divisor de n , entonces S _{2 n / p} es un subgrupo de S _{2 n} , índice p . Por ejemplo, S ₄ es un subgrupo de S ₁₂ , índice 3.

Como isometría indirecta

En un sentido más amplio, una rotación impropia puede definirse como cualquier isometría indirecta ; es decir, un elemento de E (3)\E ⁺ (3): por lo tanto, también puede ser una reflexión pura en un plano, o tener un plano de deslizamiento . Una isometría indirecta es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de −1.

Una rotación propia es una rotación ordinaria. En sentido amplio, una rotación propia se define como una isometría directa , es decir, un elemento de E ⁺ (3): también puede ser la identidad, una rotación con una traslación a lo largo del eje o una traslación pura. Una isometría directa es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de 1.

Tanto en el sentido más estricto como en el más amplio, la composición de dos rotaciones impropias es una rotación propia, y la composición de una rotación impropia y una propia es una rotación impropia.

Sistemas físicos

Al estudiar la simetría de un sistema físico bajo una rotación impropia (por ejemplo, si un sistema tiene un plano de simetría especular), es importante distinguir entre vectores y pseudovectores (así como entre escalares y pseudoescalares , y en general entre tensores y pseudotensores ), ya que estos últimos se transforman de manera diferente bajo rotaciones propias e impropias (en 3 dimensiones, los pseudovectores son invariantes bajo inversión).

Véase también

Referencias

^ abc Morawiec, Adam (2004), Orientaciones y rotaciones: cálculos en texturas cristalográficas, Springer, pág. 7, ISBN 978-3-540-40734-8.
^ Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Química inorgánica (5.ª ed.), Pearson, pág. 78
^ ab Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Simetría, forma y superficies: una introducción a las matemáticas a través de la geometría, Springer, pág. 267, ISBN 978-1-930190-09-2.
^ Klein, Philpotts (2013). Earth Materials . Cambridge University Press. págs. 89-90. ISBN 978-0-521-14521-3.
^ Salomon, David (1999), Gráficos por computadora y modelado geométrico, Springer, pág. 84, ISBN 978-0-387-98682-1.
^ abc Bishop, David M. (1993), Teoría de grupos y química, Courier Dover Publications, pág. 13, ISBN 978-0-486-67355-4.

[Morawiec-1] Morawiec, Adam (2004), Orientaciones y rotaciones: cálculos en texturas cristalográficas, Springer, pág. 7, ISBN 978-3-540-40734-8.

[2] Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Química inorgánica (5.ª ed.), Pearson, pág. 78

[sss-3] Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E. (2002), Simetría, forma y superficies: una introducción a las matemáticas a través de la geometría, Springer, pág. 267, ISBN 978-1-930190-09-2.

[4] Klein, Philpotts (2013). Earth Materials . Cambridge University Press. págs. 89-90. ISBN 978-0-521-14521-3.

[5] Salomon, David (1999), Gráficos por computadora y modelado geométrico, Springer, pág. 84, ISBN 978-0-387-98682-1.

[Bishop-6] Bishop, David M. (1993), Teoría de grupos y química, Courier Dover Publications, pág. 13, ISBN 978-0-486-67355-4.