Reflexión de deslizamiento
En geometría , una reflexión o transflexión de deslizamiento es una transformación geométrica que consiste en una reflexión a través de un hiperplano y una traslación ("deslizamiento") en una dirección paralela a ese hiperplano, combinadas en una única transformación. Debido a que las distancias entre los puntos no se modifican bajo la reflexión de deslizamiento, se trata de un movimiento o isometría . Cuando el contexto es el plano euclidiano bidimensional , el hiperplano de reflexión es una línea recta llamada línea de deslizamiento o eje de deslizamiento . Cuando el contexto es el espacio tridimensional , el hiperplano de reflexión es un plano llamado plano de deslizamiento . El vector de desplazamiento de la traslación se denomina vector de deslizamiento .
Cuando un objeto o configuración geométrica no cambia tras una transformación, se dice que tiene simetría y la transformación se denomina operación de simetría . La simetría de deslizamiento-reflexión se observa en grupos de frisos (patrones que se repiten en una dimensión, que se utilizan a menudo en bordes decorativos), grupos de papel tapiz ( teselaciones regulares del plano) y grupos espaciales (que describen, por ejemplo, simetrías de cristales ). Los objetos con simetría de deslizamiento-reflexión en general no son simétricos bajo la reflexión únicamente, pero dos aplicaciones de la misma reflexión de deslizamiento dan como resultado una doble traslación, por lo que los objetos con simetría de deslizamiento-reflexión siempre tienen también una simetría traslacional simple .
Cuando una reflexión se compone con una traslación en una dirección perpendicular al hiperplano de reflexión, la composición de las dos transformaciones es una reflexión en un hiperplano paralelo. Sin embargo, cuando una reflexión se compone con una traslación en cualquier otra dirección, la composición de las dos transformaciones es una reflexión de deslizamiento, que puede describirse de forma única como una reflexión en un hiperplano paralelo compuesta con una traslación en una dirección paralela al hiperplano.
Un deslizamiento simple se representa como un grupo de friso p11g. Una reflexión de deslizamiento puede verse como una rotorreflexión limitante , donde la rotación se convierte en una traslación. También se le puede dar una notación de Schoenflies como S 2∞ , una notación de Coxeter como [∞ + ,2 + ] y una notación de orbifold como ∞×.
Grupos de frisos
En el plano euclidiano, las reflexiones y las reflexiones de deslizamiento son los únicos dos tipos de isometrías indirectas (de inversión de orientación) .
Por ejemplo, existe una isometría que consiste en la reflexión sobre el eje x , seguida de una traslación de una unidad paralela a él. En coordenadas, toma
Esta isometría asigna el eje x a sí mismo; cualquier otra línea que sea paralela al eje x se refleja en el eje x , por lo que este sistema de líneas paralelas queda invariante.
El grupo de isometría generado simplemente por una reflexión deslizante es un grupo cíclico infinito . [1]
La combinación de dos reflexiones de deslizamiento iguales proporciona una traslación pura con un vector de traslación que es el doble del de la reflexión de deslizamiento, por lo que las potencias pares de la reflexión de deslizamiento forman un grupo de traslación.
En el caso de la simetría de deslizamiento-reflexión, el grupo de simetría de un objeto contiene una reflexión de deslizamiento y, por lo tanto, el grupo generado por ella. Si eso es todo lo que contiene, este tipo es el grupo de friso p11g.
Patrón de ejemplo con este grupo de simetría:
Un ejemplo típico de reflejo del deslizamiento en la vida cotidiana sería el rastro de huellas dejadas en la arena por una persona que camina por una playa.
El grupo Frieze nº 6 (reflexiones deslizantes, traslaciones y rotaciones) se genera mediante una reflexión deslizante y una rotación alrededor de un punto en la línea de reflexión. Es isomorfo a un producto semidirecto de Z y C 2 .
Patrón de ejemplo con este grupo de simetría:
Para cualquier grupo de simetría que contenga alguna simetría de deslizamiento-reflexión, el vector de traslación de cualquier reflexión de deslizamiento es la mitad de un elemento del grupo de traslación. Si el vector de traslación de una reflexión de deslizamiento es en sí mismo un elemento del grupo de traslación, entonces la simetría de deslizamiento-reflexión correspondiente se reduce a una combinación de simetría de reflexión y simetría traslacional .
Grupos de fondos de pantalla
La simetría de deslizamiento-reflexión respecto de dos líneas paralelas con la misma traslación implica que también existe simetría traslacional en la dirección perpendicular a estas líneas, con una distancia de traslación que es el doble de la distancia entre las líneas de deslizamiento-reflexión. Esto corresponde al grupo de papel pintado pg; con simetría adicional, también ocurre en pmg, pgg y p4g.
Si también hay líneas de reflexión verdaderas en la misma dirección, entonces están espaciadas uniformemente entre las líneas de reflexión de deslizamiento. Una línea de reflexión de deslizamiento paralela a una línea de reflexión verdadera ya implica esta situación. Esto corresponde al grupo de papel pintado cm. La simetría traslacional está dada por vectores de traslación oblicuos desde un punto en una línea de reflexión verdadera a dos puntos en el siguiente, sosteniendo un rombo con la línea de reflexión verdadera como una de las diagonales. Con simetría adicional ocurre también en cmm, p3m1, p31m, p4m y p6m.
En el plano euclidiano, 3 de los 17 grupos de fondos de pantalla requieren generadores de reflejos de deslizamiento. p2gg tiene reflejos de deslizamiento ortogonales y rotaciones dobles. cm tiene espejos y deslizamientos paralelos, y pg tiene deslizamientos paralelos. (Los reflejos de deslizamiento se muestran a continuación como líneas discontinuas)
| Nombre cristalográfico | pág. | centímetro | pág. |
|---|---|---|---|
| Nombre de Conway | 22× | *× | ×× |
| Diagrama |  |  |  |
| Ejemplo |  |  |  |
Grupos espaciales
Los planos de deslizamiento se indican en la notación de Hermann-Mauguin mediante a , b o c , según el eje a lo largo del cual se encuentre el deslizamiento. (La orientación del plano está determinada por la posición del símbolo en la designación de Hermann-Mauguin). Si el eje no está definido, entonces el plano de deslizamiento puede indicarse mediante g . Cuando el plano de deslizamiento es paralelo a la pantalla, estos planos pueden indicarse mediante una flecha doblada en la que la punta de la flecha indica la dirección del deslizamiento. Cuando el plano de deslizamiento es perpendicular a la pantalla, estos planos pueden representarse mediante líneas discontinuas cuando el deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla o líneas de puntos cuando el deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Además, una red centrada puede hacer que exista un plano de deslizamiento en dos direcciones al mismo tiempo. Este tipo de plano de deslizamiento puede indicarse mediante una flecha doblada con una punta de flecha en ambos lados cuando el plano de deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla o una línea discontinua y de puntos dobles cuando el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. También existe el deslizamiento n , que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y el deslizamiento d , que es a lo largo de un cuarto de una cara o diagonal espacial de la celda unitaria . Este último a menudo se denomina plano de deslizamiento de diamante, ya que aparece en la estructura de diamante. El plano de deslizamiento n puede indicarse mediante una flecha diagonal cuando es paralelo al plano de la pantalla o una línea de puntos y discontinuos cuando el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Un plano de deslizamiento d puede indicarse mediante una media flecha diagonal si el plano de deslizamiento es paralelo al plano de la pantalla o una línea de puntos y discontinuos con flechas si el plano de deslizamiento es perpendicular al plano de la pantalla. Si hay un plano de deslizamiento d en un sistema cristalino, entonces ese cristal debe tener una red centrada. [2]
En la versión actual de la notación Hermann-Mauguin, el símbolo e se utiliza en los casos en que hay dos formas posibles de designar la dirección de deslizamiento porque ambas son verdaderas. Por ejemplo, si un cristal tiene una red Bravais centrada en la base y centrada en la cara C, entonces un deslizamiento de media unidad de celda en la dirección a da el mismo resultado que un deslizamiento de media unidad de celda en la dirección b .
El grupo de isometría generado por una simple reflexión de deslizamiento es un grupo cíclico infinito . La combinación de dos operaciones de plano de deslizamiento iguales da como resultado una traslación pura con un vector de traslación que es el doble del de la reflexión de deslizamiento, por lo que las potencias pares de la reflexión de deslizamiento forman un grupo de traslación.
En el caso de la simetría de deslizamiento-reflexión, el grupo de simetría de un objeto contiene una reflexión de deslizamiento y el grupo generado por ella. Para cualquier grupo de simetría que contenga una reflexión de deslizamiento, el vector de deslizamiento es la mitad de un elemento del grupo de traslación. Si el vector de traslación de una operación de plano de deslizamiento es en sí mismo un elemento del grupo de traslación, entonces la simetría del plano de deslizamiento correspondiente se reduce a una combinación de simetría de reflexión y simetría de traslación .
Ejemplos y aplicaciones
La simetría de deslizamiento se puede observar en la naturaleza entre ciertos fósiles de la biota de Ediacara ; los machaeridios ; y ciertos gusanos paleoscolécidos . [3] También se puede ver en muchos grupos actuales de plumas de mar . [4]
En El juego de la vida de Conway , un patrón que se da con frecuencia, llamado planeador, se llama así porque repite su configuración de celdas, desplazada por una reflexión de deslizamiento, después de dos pasos del autómata. Después de cuatro pasos y dos reflexiones de deslizamiento, el patrón vuelve a su orientación original, desplazada diagonalmente una unidad. Continuando de esta manera, se mueve a través de la matriz del juego. [5]
Véase también
Notas
- ^ Martin, George E. (1982). Geometría de transformación: una introducción a la simetría. Textos de pregrado en matemáticas . Springer. pág. 64. ISBN. 9780387906362..
- ^ "Planos de planeo". Birkbeck College, Universidad de Londres . Archivado desde el original el 21 de julio de 2019. Consultado el 24 de abril de 2019 .
- ^ Waggoner, BM (1996). "Hipótesis filogenéticas de las relaciones de los artrópodos con los taxones fósiles problemáticos del Precámbrico y el Cámbrico". Biología sistemática . 45 (2): 190–222. doi : 10.2307/2413615 . JSTOR 2413615.
- ^ Zubi, Teresa (2 de enero de 2016). "Octocorales (estoloníferos, corales blandos, abanicos de mar, gorgonias, plumas de mar) - Fotos de estrellas de mar - Achtstrahlige Korallen (Röhrenkorallen, Weichkorallen, Hornkoralllen, Seefedern, Fächerkorallen)". estrella de mar.ch. Archivado desde el original el 11 de agosto de 2022 . Consultado el 8 de septiembre de 2016 .
- ^ Wainwright, Robert T. (1974). "¡La vida es universal!". Actas de la 7.ª conferencia sobre simulación invernal - WSC '74 . Vol. 2. ACM Press. págs. 449–459. doi : 10.1145/800290.811303 .
Referencias
- Walter Borchardt-Ott (1995). Cristalografía . Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.
Enlaces externos
- Reflexión sobre deslizamiento Archivado el 4 de abril de 2006 en Wayback Machine en cut-the-knot
