Espacio CAT(k)

En matemáticas , un espacio , donde es un número real, es un tipo específico de espacio métrico . Intuitivamente, los triángulos en un espacio (con ) son "más delgados" que los "triángulos modelo" correspondientes en un espacio estándar de curvatura constante . En un espacio, la curvatura está limitada desde arriba por . Un caso especial notable es ; los espacios completos se conocen como " espacios de Hadamard " en honor al matemático francés Jacques Hadamard .${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\estilo de visualización k<0}$ ${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

Originalmente, Aleksandrov llamó a estos espacios “ dominios”. La terminología fue acuñada por Mikhail Gromov en 1987 y es un acrónimo de Élie Cartan , Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Victor Andreevich Toponogov (aunque Toponogov nunca exploró la curvatura acotada por encima en sus publicaciones).${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

Para un número real , sea la única superficie completa simplemente conexa ( variedad riemanniana bidimensional real ) con curvatura constante . Denote por el diámetro de , que es si y es si .${\estilo de visualización k}$$Estilo de visualización M_ {k}}$ ${\estilo de visualización k}$$Estilo de visualización D_{k}}$$Estilo de visualización M_ {k}}$${\estilo de visualización\infty}$${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$${\displaystyle k>0}$

Sea un espacio métrico geodésico , es decir, un espacio métrico para el cual cada dos puntos pueden unirse mediante un segmento geodésico, una longitud de arco de curva continua parametrizada , cuya longitud${\estilo de visualización (X,d)}$${\displaystyle x,y\en X}$ ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}}$

es precisamente . Sea un triángulo en con segmentos geodésicos como sus lados. se dice que satisface la desigualdad si hay un triángulo de comparación en el espacio modelo , con lados de la misma longitud que los lados de , tal que las distancias entre los puntos en son menores o iguales que las distancias entre los puntos correspondientes en .${\displaystyle d(x,y)}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta '}$$Estilo de visualización M_ {k}}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle \Delta '}$

Se dice que el espacio métrico geodésico es un espacio si cada triángulo geodésico en con perímetro menor que satisface la desigualdad. Se dice que un espacio métrico (no necesariamente geodésico) es un espacio con curvatura si cada punto de tiene un entorno geodésicamente convexo . Se puede decir que un espacio con curvatura tiene una curvatura no positiva .${\estilo de visualización (X,d)}$${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización 2D_ {k}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle (X,\,d)}$${\displaystyle \leq k}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle \leq 0}$

• Cualquier espacio es también un espacio para todos . De hecho, se cumple la relación inversa: si es un espacio para todos , entonces es un espacio.${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\estilo de visualización (X,d)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$${\displaystyle \ell >k}$${\estilo de visualización (X,d)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$${\displaystyle \ell >k}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$
• El espacio euclidiano de dimensión - con su métrica habitual es un espacio. En términos más generales, cualquier espacio producto interior real (no necesariamente completo) es un espacio; a la inversa, si un espacio vectorial normado real es un espacio para algún real , entonces es un espacio producto interior.${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\estilo de visualización k}$
• El espacio hiperbólico -dimensional con su métrica habitual es un espacio y, por lo tanto, también un espacio.${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$${\displaystyle \nombreoperador {CAT} (-1)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$
• La esfera unitaria dimensional es un espacio.${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (1)}$
• En términos más generales, el espacio estándar es un espacio. Por ejemplo, independientemente de la dimensión, la esfera de radio (y curvatura constante ) es un espacio. Nótese que el diámetro de la esfera es (medido en la superficie de la esfera) no (medido al pasar por el centro de la esfera).$Estilo de visualización M_ {k}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de texto {\frac {1}{r^{2}}}}$${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$${\displaystyle \pi r}$${\estilo de visualización 2r}$
• El plano perforado no es un espacio ya que no es geodésicamente convexo (por ejemplo, los puntos y no pueden unirse mediante una geodésica en con longitud de arco 2), pero cada punto de sí tiene una vecindad geodésica convexa, por lo que es un espacio de curvatura .${\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\barra invertida \{\mathbf {0} \}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\estilo de visualización (0,1)}$${\estilo de visualización (0,-1)}$${\estilo de visualización \Pi}$${\estilo de visualización \Pi}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\estilo de visualización \Pi}$${\displaystyle \leq 0}$
• El subespacio cerrado de dado por equipado con la métrica de longitud inducida no es un espacio para ningún .${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\setminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ y }}z>0\}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\estilo de visualización k}$
• Cualquier producto de espacios es . (Esto no se aplica a argumentos negativos).${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

Como caso especial, un espacio CAT(0) completo también se conoce como espacio de Hadamard ; esto es por analogía con la situación de las variedades de Hadamard . Un espacio de Hadamard es contráctil (tiene el tipo de homotopía de un solo punto) y, entre dos puntos cualesquiera de un espacio de Hadamard, hay un único segmento geodésico que los conecta (de hecho, ambas propiedades también se cumplen para espacios CAT(0) generales, posiblemente incompletos). Lo más importante es que las funciones de distancia en los espacios de Hadamard son convexas : si dos geodésicas en X están definidas en el mismo intervalo de tiempo I , entonces la función dada por${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}}$

es convexo en t .

Sea un espacio. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:${\estilo de visualización (X,d)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

• Dados dos puntos cualesquiera (con si ), existe un único segmento geodésico que se une a ; además, este segmento varía continuamente en función de sus puntos finales.${\displaystyle x,y\en X}$${\displaystyle d(x,y)<D_{k}}$${\displaystyle k>0}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$
• Toda geodésica local con longitud máxima es una geodésica.${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización D_{k}}$
• Las bolas de radio menor que son (geodésicamente) convexas.${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización D_{k}/2$
• Las bolas de radio menor que son contráctiles.${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización D_{k}}$
• Los puntos medios aproximados están cerca de los puntos medios en el siguiente sentido: para cada y cada existe un tal que, si es el punto medio de un segmento geodésico de a con y entonces .${\displaystyle \lambda <D_ {k}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta =\delta (k,\lambda,\epsilon)>0}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle d(x,y)\leq \lambda}$$${\displaystyle \max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,}$$${\displaystyle d(m,m')<\epsilon }$
• De estas propiedades se sigue que, para la cubierta universal de cada espacio es contráctil; en particular, los grupos de homotopía superiores de tal espacio son triviales . Como lo muestra el ejemplo de la -esfera , en general, no hay esperanza de que un espacio sea contráctil si .${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle k>0}$

En una región donde la curvatura de la superficie satisface K ≤ 0 , los triángulos geodésicos satisfacen las desigualdades CAT(0) de la geometría de comparación , estudiadas por Cartan , Alexandrov y Toponogov , y consideradas más tarde desde un punto de vista diferente por Bruhat y Tits . Gracias a la visión de Gromov , esta caracterización de la curvatura no positiva en términos del espacio métrico subyacente ha tenido un profundo impacto en la geometría moderna y en particular en la teoría de grupos geométricos . Muchos resultados conocidos para superficies lisas y sus geodésicas, como el método de Birkhoff para construir geodésicas mediante su proceso de acortamiento de curvas o el teorema de van Mangoldt y Hadamard de que una superficie simplemente conexa de curvatura no positiva es homeomorfa al plano, son igualmente válidos en este contexto más general.

La forma más simple de la desigualdad de comparación, demostrada por primera vez para superficies por Alexandrov alrededor de 1940, establece que

La distancia entre un vértice de un triángulo geodésico y el punto medio del lado opuesto es siempre menor que la distancia correspondiente en el triángulo de comparación en el plano con las mismas longitudes de lados.

La desigualdad se deduce del hecho de que si c ( t ) describe una geodésica parametrizada por la longitud del arco y a es un punto fijo, entonces

f ( t ) = d ( a , c ( t )) ² − t ²

es una función convexa , es decir

${\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}$

Tomando coordenadas polares geodésicas con origen en a de modo que ‖ c ( t )‖ = r ( t ) , la convexidad es equivalente a

${\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}$

Cambiando a coordenadas normales u , v en c ( t ) , esta desigualdad se convierte en

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1 ,

donde ( u , v ) corresponde al vector unitario ċ ( t ) . Esto se deduce de la desigualdad H _r ≥ H , una consecuencia de la no negatividad de la derivada del wronskiano de H y r de la teoría de Sturm–Liouville . ^[1]

• Teorema de Cartan-Hadamard

• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Geometría de Alexandrov, capítulo 7" (PDF) . Consultado el 7 de abril de 2011 .
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Invitación a la geometría de Alexandrov: espacios CAT[0]". arXiv : 1701.03483 [math.DG].
• Ballmann, Werner (1995). Lecciones sobre espacios de curvatura no positiva . DMV Seminar 25. Basilea: Birkhäuser Verlag. pp. viii+112. ISBN. 3-7643-5242-6.Señor 1377265  .
• Berger, Marcel (2004). Una visión panorámica de la geometría de Riemann . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65317-2.
• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas] 319. Berlín: Springer-Verlag. págs.xxii+643. ISBN 3-540-64324-9.Señor 1744486  .
• Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". Ensayos sobre teoría de grupos . Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8. Nueva York: Springer. págs. 75–263. MR  0919829.
• Hindawi, Mohamad A. (2005). Invariantes asintóticos de las variedades de Hadamard (PDF) . Universidad de Pensilvania: tesis doctoral.