Representación del álgebra de Lie

Grupos de Lie y álgebras de Lie
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico
Grupos de mentiras simples Clásico Un​ Bn​ C n Dn​ Excepcional G2​ F4​ E6​ E7​ E8​
Otros grupos de Lie Círculo Lorentz Poincaré Grupo conforme Difeomorfismo Bucle Euclidiano
Álgebras de Lie Correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matar Índice Álgebra de Lie simple Álgebra de bucles Álgebra de Lie afín
Álgebra de Lie semisimple Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raíces Grupo Weyl Forma real Complejización Álgebra de Lie dividida Álgebra de Lie compacta
Teoría de la representación Representación del grupo Lie Representación del álgebra de Lie Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del peso máximo Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de Lie en física Física de partículas y teoría de la representación Representaciones del grupo de Lorentz Representaciones del grupo de Poincaré Representaciones del grupo galileano
Científicos mentira de sofo Henri Poincaré El asesinato de Wilhelm Elie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish Chandra Armand Borel
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En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación de álgebra de Lie o representación de un álgebra de Lie es una forma de escribir un álgebra de Lie como un conjunto de matrices (o endomorfismos de un espacio vectorial ) de tal manera que el corchete de Lie viene dado por el conmutador . En el lenguaje de la física, se busca un espacio vectorial junto con una colección de operadores que satisfagan algún conjunto fijo de relaciones de conmutación, como las relaciones satisfechas por los operadores de momento angular .${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

La noción está estrechamente relacionada con la de representación de un grupo de Lie . En términos generales, las representaciones de las álgebras de Lie son la forma diferenciada de las representaciones de los grupos de Lie, mientras que las representaciones de la cobertura universal de un grupo de Lie son la forma integrada de las representaciones de su álgebra de Lie.

En el estudio de las representaciones de un álgebra de Lie, un anillo particular , llamado álgebra envolvente universal , asociado con el álgebra de Lie, desempeña un papel importante. La universalidad de este anillo dice que la categoría de representaciones de un álgebra de Lie es la misma que la categoría de módulos sobre su álgebra envolvente.

Sea un álgebra de Lie y sea un espacio vectorial. Sea el espacio de endomorfismos de , es decir, el espacio de todas las aplicaciones lineales de a sí mismo. Transformamos en un álgebra de Lie con corchete dado por el conmutador: para todo ρ,σ en . Entonces una representación de en es un homomorfismo de álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=\rho \circ \sigma -\sigma \circ \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Explícitamente, esto significa que debe ser un mapa lineal y debe satisfacer${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)}$

para todo X, Y en . El espacio vectorial V , junto con la representación ρ , se denomina -módulo . (Muchos autores abusan de la terminología y se refieren a V en sí mismo como la representación).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que la representación es fiel si es inyectiva.${\displaystyle \rho }$

Se puede definir de manera equivalente un módulo como un espacio vectorial V junto con una función bilineal tal que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V}$

${\displaystyle [X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)}$

para todos los X,Y en y v en V . Esto se relaciona con la definición anterior al establecer X ⋅ v = ρ ( X )( v ).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El ejemplo más básico de una representación de álgebra de Lie es la representación adjunta de un álgebra de Lie sobre sí misma:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].}$

De hecho, en virtud de la identidad de Jacobi , es un homomorfismo del álgebra de Lie.${\displaystyle \operatorname {ad} }$

En la naturaleza también surge una representación del álgebra de Lie. Si : G → H es un homomorfismo de grupos de Lie (reales o complejos) , y y son las álgebras de Lie de G y H respectivamente, entonces la diferencial en espacios tangentes en las identidades es un homomorfismo del álgebra de Lie. En particular, para un espacio vectorial de dimensión finita V , una representación de grupos de Lie${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,}$

determina un homomorfismo del álgebra de Lie

${\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

del álgebra de Lie del grupo lineal general GL( V ), es decir, el álgebra de endomorfismos de V .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por ejemplo, sea . Entonces la diferencial de en la identidad es un elemento de . Denotándola por se obtiene una representación de G en el espacio vectorial . Esta es la representación adjunta de G . Aplicando lo anterior, se obtiene la representación del álgebra de Lie . Se puede demostrar que , la representación adjunta de .${\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}}$${\displaystyle c_{g}:G\to G}$${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una recíproca parcial de esta afirmación dice que cada representación de un álgebra de Lie de dimensión finita (real o compleja) se eleva a una representación única del grupo de Lie simplemente conexo asociado , de modo que las representaciones de los grupos de Lie simplemente conexos están en correspondencia uno a uno con las representaciones de sus álgebras de Lie. ^[1]

En la teoría cuántica, se consideran "observables" que son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert . Las relaciones de conmutación entre estos operadores son entonces una herramienta importante. Los operadores de momento angular , por ejemplo, satisfacen las relaciones de conmutación

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$.

Por lo tanto, el lapso de estos tres operadores forma un álgebra de Lie, que es isomorfa al álgebra de Lie so(3) del grupo de rotación SO(3) . ^[2] Entonces, si es cualquier subespacio del espacio cuántico de Hilbert que sea invariante bajo los operadores de momento angular, constituirá una representación del álgebra de Lie so(3). Una comprensión de la teoría de la representación de so(3) es de gran ayuda, por ejemplo, para analizar hamiltonianos con simetría rotacional, como el átomo de hidrógeno . Muchas otras álgebras de Lie interesantes (y sus representaciones) surgen en otras partes de la física cuántica. De hecho, la historia de la teoría de la representación se caracteriza por ricas interacciones entre las matemáticas y la física.${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Dada una representación de un álgebra de Lie , decimos que un subespacio de es invariante si para todos y . Se dice que una representación distinta de cero es irreducible si los únicos subespacios invariantes son ella misma y el espacio cero . El término módulo simple también se utiliza para una representación irreducible.${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (X)w\in W}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{0\}}$

Sea un álgebra de Lie . Sean V , W -módulos . Entonces, una función lineal es un homomorfismo de -módulos si es -equivariante; es decir, para cualquier . Si f es biyectiva, se dice que son equivalentes . Dichas funciones también se denominan funciones entrelazadas o morfismos .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f(X\cdot v)=X\cdot f(v)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$${\displaystyle V,W}$

De manera similar, muchas otras construcciones de la teoría de módulos en álgebra abstracta se trasladan a este contexto: submódulo, cociente, subcociente, suma directa, serie de Jordan-Hölder, etc.

Una herramienta sencilla pero útil para estudiar representaciones irreducibles es el lema de Schur. Tiene dos partes: ^[3]

• Si V , W son módulos irreducibles y es un homomorfismo, entonces es cero o un isomorfismo.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle f}$
• Si V es un módulo irreducible sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y es un homomorfismo, entonces es un múltiplo escalar de la identidad.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f:V\to V}$${\displaystyle f}$

Sea V una representación de un álgebra de Lie . Entonces, se dice que V es completamente reducible (o semisimple) si es isomorfo a una suma directa de representaciones irreducibles (cf. módulo semisimple ). Si V es de dimensión finita, entonces V es completamente reducible si y solo si cada subespacio invariante de V tiene un complemento invariante. (Es decir, si W es un subespacio invariante, entonces existe otro subespacio invariante P tal que V es la suma directa de W y P ).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero y V es de dimensión finita, entonces V es semisimple; este es el teorema de reducibilidad completa de Weyl . ^[4] Por lo tanto, para las álgebras de Lie semisimples, una clasificación de representaciones irreducibles (es decir, simples) conduce inmediatamente a la clasificación de todas las representaciones. Para otras álgebras de Lie, que no tienen esta propiedad especial, la clasificación de las representaciones irreducibles puede no ayudar mucho a la clasificación de representaciones generales.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que un álgebra de Lie es reductiva si la representación adjunta es semisimple. Ciertamente, toda álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) es reductiva, ya que toda representación de es completamente reducible, como acabamos de señalar. En la otra dirección, la definición de un álgebra de Lie reductiva significa que se descompone como una suma directa de ideales (es decir, subespacios invariantes para la representación adjunta) que no tienen subideales no triviales. Algunos de estos ideales serán unidimensionales y el resto son álgebras de Lie simples. Por lo tanto, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra conmutativa y un álgebra semisimple.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que un elemento v de V es -invariante si para todo . El conjunto de todos los elementos invariantes se denota por .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x\cdot v=0}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{\mathfrak {g}}}$

Si tenemos dos representaciones de un álgebra de Lie , con V ₁ y V ₂ como sus espacios vectoriales subyacentes, entonces el producto tensorial de las representaciones tendría V ₁ ⊗ V ₂ como el espacio vectorial subyacente, con la acción de determinada únicamente por el supuesto de que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).}$

para todos y .${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$

En el lenguaje de los homomorfismos, esto significa que definimos mediante la fórmula ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)}$. ^[5] Esto se llama suma de Kronecker de y , definida en Suma de matrices#Suma_de_Kronecker y Producto de Kronecker#Propiedades , y más específicamente en Producto tensorial de representaciones .${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$

En la literatura de física, el producto tensorial con el operador identidad a menudo se suprime en la notación, y la fórmula se escribe como

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)}$,

donde se entiende que actúa sobre el primer factor del producto tensorial y actúa sobre el segundo factor del producto tensorial. En el contexto de las representaciones del álgebra de Lie su(2), el producto tensorial de las representaciones se denomina "suma de momento angular". En este contexto, podría ser, por ejemplo, el momento angular orbital mientras que es el momento angular de espín.${\displaystyle \rho _{1}(x)}$${\displaystyle \rho _{2}(x)}$${\displaystyle \rho _{1}(X)}$${\displaystyle \rho _{2}(X)}$

Sea un álgebra de Lie y una representación de . Sea el espacio dual, es decir, el espacio de los funcionales lineales en . Entonces podemos definir una representación mediante la fórmula${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})}$

${\displaystyle \rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },}$

donde para cualquier operador , el operador de transposición se define como el operador de "composición con":${\displaystyle A:V\rightarrow V}$${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)}$

El signo menos en la definición de es necesario para garantizar que en realidad es una representación de , a la luz de la identidad${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.}$

Si trabajamos en una base, entonces la transpuesta en la definición anterior puede interpretarse como la transpuesta de la matriz ordinaria.

Sea -módulos, un álgebra de Lie. Entonces se convierte en un -módulo al establecer . En particular, ; es decir, los homomorfismos de -módulo de a son simplemente los elementos de que son invariantes bajo la acción recién definida de sobre . Si tomamos que es el cuerpo base, recuperamos la acción de sobre dada en la subsección anterior.${\displaystyle V,W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle (X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{*}}$

Véase Teoría de representación de álgebras de Lie semisimples .

A cada álgebra de Lie sobre un cuerpo k , se le puede asociar un cierto anillo llamado álgebra envolvente universal de y denotado . La propiedad universal del álgebra envolvente universal garantiza que cada representación de da lugar a una representación de . Por el contrario, el teorema PBW nos dice que se encuentra dentro de , de modo que cada representación de puede restringirse a . Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre las representaciones de y las de .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

El álgebra envolvente universal desempeña un papel importante en la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples, descrita anteriormente. En concreto, las representaciones irreducibles de dimensión finita se construyen como cocientes de módulos de Verma , y ​​los módulos de Verma se construyen como cocientes del álgebra envolvente universal. ^[6]

La construcción de es la siguiente. ^[7] Sea T el álgebra tensorial del espacio vectorial . Por lo tanto, por definición, y la multiplicación sobre él está dada por . Sea el anillo cociente de T por el ideal generado por elementos de la forma ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)}$.

Existe una función lineal natural de en que se obtiene al restringir la función cociente de a grado uno. El teorema PBW implica que la función canónica es en realidad inyectiva. Por lo tanto, cada álgebra de Lie puede incorporarse a un álgebra asociativa de tal manera que el corchete en esté dado por en .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A=U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$${\displaystyle A}$

Si es abeliano , entonces es el álgebra simétrica del espacio vectorial .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Como es un módulo sobre sí mismo mediante la representación adjunta, el álgebra envolvente se convierte en un módulo al extender la representación adjunta. Pero también se puede utilizar la representación regular izquierda y derecha para hacer que el álgebra envolvente sea un módulo; es decir, con la notación , la aplicación define una representación de sobre . La representación regular derecha se define de manera similar.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero y una subálgebra. actúa sobre desde la derecha y, por lo tanto, para cualquier módulo W , se puede formar el módulo izquierdo . Es un módulo denotado por y llamado módulo inducido por W . Satisface (y de hecho se caracteriza por) la propiedad universal: para cualquier módulo E${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}$.

Además, es un funtor exacto de la categoría de -módulos a la categoría de -módulos. Estos utilizan el hecho de que es un módulo derecho libre sobre . En particular, si es simple (resp. absolutamente simple), entonces W es simple (resp. absolutamente simple). Aquí, un -módulo V es absolutamente simple si es simple para cualquier extensión de campo .${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V\otimes _{k}F}$${\displaystyle F/k}$

La inducción es transitiva: para cualquier subálgebra de Lie y cualquier subálgebra de Lie . La inducción conmuta con restricción: sea una subálgebra y un ideal de que está contenido en . Conjunto y . Entonces .${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}}$${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}}$

Sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero. (en el caso resoluble o nilpotente, se estudian los ideales primitivos del álgebra envolvente; cf. Dixmier para la explicación definitiva).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La categoría de módulos (posiblemente de dimensión infinita) resulta ser demasiado grande, especialmente para que los métodos de álgebra homológica sean útiles: se observó que una subcategoría más pequeña, la categoría O, es un lugar mejor para la teoría de la representación en el caso semisimple en característica cero. Por ejemplo, la categoría O resultó ser del tamaño adecuado para formular la célebre reciprocidad BGG. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una de las aplicaciones más importantes de las representaciones del álgebra de Lie es la teoría de representación de grupos de Lie reductivos reales. La aplicación se basa en la idea de que si es una representación en el espacio de Hilbert de, por ejemplo, un grupo de Lie lineal semisimple real conexo G , entonces tiene dos acciones naturales: la complejización y el subgrupo compacto maximalista conexo K . La estructura de módulo de permite aplicar métodos algebraicos especialmente homológicos y la estructura de módulo permite realizar análisis armónicos de una manera similar a la de los grupos de Lie semisimples compactos conexos.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle K}$

Si tenemos una superálgebra de Lie L , entonces una representación de L en un álgebra es un álgebra graduada Z ₂ (no necesariamente asociativa ) A que es una representación de L como un espacio vectorial graduado Z ₂ y además, los elementos de L actúan como derivaciones / antiderivaciones en A .

Más específicamente, si H es un elemento puro de L y x e y son elementos puros de A ,

H [ xy ] = ( H [ x ] ) y + (−1) ^xHx ( H [ y ])

Además, si A es unital , entonces

H [1] = 0

Ahora, para el caso de una representación de un álgebra de Lie , simplemente eliminamos todas las gradaciones y el (−1) de algunos factores de potencia.

Una (super)álgebra de Lie es un álgebra y tiene una representación adjunta de sí misma. Esta es una representación en un álgebra: la propiedad de (anti)derivación es la superidentidad de Jacobi .

Si un espacio vectorial es a la vez un álgebra asociativa y un álgebra de Lie y la representación adjunta del álgebra de Lie sobre sí misma es una representación sobre un álgebra (es decir, actúa por derivaciones sobre la estructura del álgebra asociativa), entonces es un álgebra de Poisson . La observación análoga para las superálgebras de Lie da la noción de una superálgebra de Poisson .

• Representación de un grupo de Lie
• Peso (teoría de la representación)
• Teorema de Weyl sobre reducibilidad completa
• Sistema de raíces
• Fórmula del personaje de Weyl
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conexo
• Lema de Whitehead (álgebras de Lie)
• Conjeturas de Kazhdan-Lusztig
• Lema de Quillen : análogo del lema de Schur

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