Álgebra de Lie reductiva

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En matemáticas , un álgebra de Lie es reductiva si su representación adjunta es completamente reducible , de ahí el nombre. Más concretamente, un álgebra de Lie es reductiva si es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana : existen caracterizaciones alternativas, que se dan a continuación.${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}};}$

El ejemplo más básico es el álgebra de Lie de matrices con el conmutador como corchete de Lie, o más abstractamente como el álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial n -dimensional . Esta es el álgebra de Lie del grupo lineal general GL( n ), y es reductiva ya que se descompone como correspondiente a matrices sin traza y matrices escalares .${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus {\mathfrak {k}},}$

Cualquier álgebra de Lie semisimple o álgebra de Lie abeliana es a fortiori reductiva.

Sobre los números reales, las álgebras de Lie compactas son reductivas.

Un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica 0 se denomina reductiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. La representación adjunta (la acción de poner entre paréntesis) de es completamente reducible (una suma directa de representaciones irreducibles).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$admite una representación fiel, completamente reducible y de dimensión finita.
3. El radical de es igual al centro:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   El radical siempre contiene al centro, pero no necesita ser igual a él.

4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es la suma directa de un ideal semisimple y su centro${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}):}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   Compárese con la descomposición de Levi , que descompone un álgebra de Lie como su radical (que es solucionable, no abeliana en general) y un subálgebra de Levi (que es semisimple).

5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana :${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.}$
6. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una suma directa de ideales primos:${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\textstyle {\sum {\mathfrak {g}}_{i}}.}$

Algunas de estas equivalencias se ven fácilmente. Por ejemplo, el centro y el radical de es mientras que si el radical es igual al centro, la descomposición de Levi produce una descomposición. Además, las álgebras de Lie simples y el álgebra de Lie unidimensional trivial son ideales primos.${\displaystyle {\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}},}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Las álgebras de Lie reductivas son una generalización de las álgebras de Lie semisimples y comparten muchas propiedades con ellas: muchas de las propiedades de las álgebras de Lie semisimples dependen únicamente del hecho de que son reductivas. Cabe destacar que el truco unitario de Hermann Weyl funciona para las álgebras de Lie reductivas.

Los grupos de Lie reductivos asociados son de gran interés: el programa Langlands se basa en la premisa de que lo que se hace para un grupo de Lie reductivo debe hacerse para todos. ^{[ aclaración necesaria ]}

La intersección de las álgebras de Lie reductivas y las álgebras de Lie resolubles son exactamente álgebras de Lie abelianas (en contraste con la intersección de las álgebras de Lie semisimples y resolubles, que son triviales).

• Álgebra de Lie, reductiva, AL Onishchik, en Enciclopedia de Matemáticas, ISBN  1-4020-0609-8 , SpringerLink