Álgebra de Poisson

En matemáticas , un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con un corchete de Lie que también satisface la ley de Leibniz ; es decir, el corchete también es una derivación . Las álgebras de Poisson aparecen de forma natural en la mecánica hamiltoniana y también son fundamentales en el estudio de los grupos cuánticos . Las variedades con una estructura de álgebra de Poisson se conocen como variedades de Poisson , de las cuales las variedades simplécticas y los grupos de Poisson-Lie son un caso especial. El álgebra recibe su nombre en honor a Siméon Denis Poisson .

Un álgebra de Poisson es un espacio vectorial sobre un campo K equipado con dos productos bilineales , ⋅ y {, }, que tienen las siguientes propiedades:

• El producto ⋅ forma una K -álgebra asociativa .
• El producto {, }, llamado corchete de Poisson , forma un álgebra de Lie y, por lo tanto, es antisimétrico y obedece a la identidad de Jacobi .
• El corchete de Poisson actúa como una derivación del producto asociativo ⋅, de modo que para cualesquiera tres elementos x , y y z en el álgebra, se tiene { x , y⋅z } = { x , y } ⋅z + y⋅ { x , z } .

La última propiedad a menudo permite dar una variedad de formulaciones diferentes del álgebra, como se observa en los ejemplos siguientes.

Las álgebras de Poisson ocurren en varios entornos.

El espacio de funciones suaves de valores reales sobre una variedad simpléctica forma un álgebra de Poisson. En una variedad simpléctica, cada función de valores reales H sobre la variedad induce un campo vectorial X _H , el campo vectorial hamiltoniano . Entonces, dadas dos funciones suaves F y G sobre la variedad simpléctica, el corchete de Poisson puede definirse como:

${\displaystyle \{F,G\}=dG(X_{F})=X_{F}(G)\,}$.

Esta definición es coherente en parte porque el corchete de Poisson actúa como una derivación. De manera equivalente, se puede definir el corchete {,} como

${\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,}$

donde [,] es la derivada de Lie . Cuando la variedad simpléctica es R ^{2 n} con la estructura simpléctica estándar, entonces el corchete de Poisson toma la forma bien conocida

${\displaystyle \{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\parcial F}{\parcial q_{i}}}{\frac {\parcial G}{\parcial p_{i}}}-{\frac {\parcial F}{\parcial p_{i}}}{\frac {\parcial G}{\parcial q_{i}}}.}$

Se aplican consideraciones similares para las variedades de Poisson , que generalizan las variedades simplécticas al permitir que el bivector simpléctico sea deficiente en rango.

El álgebra tensorial de un álgebra de Lie tiene una estructura de álgebra de Poisson. En el artículo sobre álgebras envolventes universales se ofrece una construcción muy explícita de esta estructura .

La construcción se lleva a cabo construyendo primero el álgebra tensorial del espacio vectorial subyacente del álgebra de Lie. El álgebra tensorial es simplemente la unión disjunta ( suma directa ⊕) de todos los productos tensoriales de este espacio vectorial. Se puede demostrar entonces que el corchete de Lie se puede levantar consistentemente a todo el álgebra tensorial: obedece tanto a la regla del producto como a la identidad de Jacobi del corchete de Poisson y, por lo tanto, es el corchete de Poisson cuando se levanta. El par de productos {,} y ⊗ forman entonces un álgebra de Poisson. Obsérvese que ⊗ no es ni conmutativo ni anticonmutativo: es meramente asociativo.

De este modo, se puede afirmar que el álgebra tensorial de cualquier álgebra de Lie es un álgebra de Poisson. El álgebra envolvente universal se obtiene modificando la estructura del álgebra de Poisson.

Si A es un álgebra asociativa , entonces al imponer el conmutador [ x , y ] = xy − yx se convierte en un álgebra de Poisson (y, por lo tanto, también en un álgebra de Lie) A _L . Nótese que el A _L resultante no debe confundirse con la construcción del álgebra tensorial descrita en la sección anterior. Si uno quisiera, también podría aplicar esa construcción, pero eso daría como resultado un álgebra de Poisson diferente, que sería mucho más grande.

Para un álgebra de operadores de vértice ( V , Y , ω , 1), el espacio V / C ₂ ( V ) es un álgebra de Poisson con { a , b } = a ₀ b y a ⋅ b = a ₋₁ b . Para ciertas álgebras de operadores de vértice, estas álgebras de Poisson son de dimensión finita.

A las álgebras de Poisson se les puede asignar una calificación Z ₂ de dos maneras diferentes. Estas dos dan como resultado la superálgebra de Poisson y el álgebra de Gerstenhaber . La diferencia entre las dos está en la calificación del producto en sí. Para la superálgebra de Poisson, la calificación viene dada por

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|}$

Mientras que en el álgebra de Gerstenhaber, el corchete disminuye la calificación en uno:

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|-1}$

En ambas expresiones se denota la gradación del elemento ; típicamente, se cuenta cómo se puede descomponer en un producto par o impar de elementos generadores. Las álgebras de Gerstenhaber ocurren convencionalmente en la cuantificación BRST .${\displaystyle |a|=\deg a}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización a}$

• Soporte Moyal
• Fórmula de cuantificación de Kontsevich

• Y. Kosmann-Schwarzbach (2001) [1994], "Álgebra de Poisson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bhaskara, KH; Viswanath, K. (1988). Álgebras de Poisson y variedades de Poisson . Longman. ISBN 0-582-01989-3.