Cuatro vectores

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En relatividad especial , un cuatrivector (o 4-vector , a veces vector de Lorentz ) ^[1] es un objeto con cuatro componentes, que se transforman de una manera específica bajo transformaciones de Lorentz . Específicamente, un cuatrivector es un elemento de un espacio vectorial de cuatro dimensiones considerado como un espacio de representación de la representación estándar del grupo de Lorentz , el ( ⁠1/2⁠ , ⁠1/2) representación. Se diferencia de un vector euclidiano en cómo se determina su magnitud. Las transformaciones que preservan esta magnitud son las transformaciones de Lorentz, que incluyen rotaciones espaciales y boosts (un cambio de una velocidad constante a otro marco de referencia inercial ). ^{[2] : ch1}

Los cuatro vectores describen, por ejemplo, la posición x ^μ en el espacio-tiempo modelado como el espacio de Minkowski , el cuatro-momento de una partícula p ^μ , la amplitud del cuatro-potencial electromagnético A ^μ ( x ) en un punto x en el espacio-tiempo, y los elementos del subespacio abarcado por las matrices gamma dentro del álgebra de Dirac .

El grupo de Lorentz puede representarse mediante matrices Λ de 4×4 . La acción de una transformación de Lorentz sobre un cuatrivector contravariante general X (como los ejemplos anteriores), considerado como un vector columna con coordenadas cartesianas respecto de un sistema inercial en las entradas, viene dada por

$${\displaystyle X'=\Lambda X,}$$

(multiplicación de matrices) donde los componentes del objeto primado se refieren al nuevo marco. En relación con los ejemplos anteriores que se dan como vectores contravariantes, también existen los vectores covariantes correspondientes x _μ , p _μ y A _μ ( x ) . Estos se transforman de acuerdo con la regla

$${\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,}$$

donde ^T denota la matriz transpuesta . Esta regla es diferente de la regla anterior. Corresponde a la representación dual de la representación estándar. Sin embargo, para el grupo de Lorentz el dual de cualquier representación es equivalente a la representación original. Por lo tanto, los objetos con índices covariantes también son cuatrivectores.

Para un ejemplo de un objeto de cuatro componentes con buen comportamiento en relatividad especial que no es un cuatrivector, véase bispinor . Se define de manera similar, con la diferencia de que la regla de transformación bajo las transformaciones de Lorentz está dada por una representación distinta a la representación estándar. En este caso, la regla se lee X ′ = Π(Λ) X , donde Π(Λ) es una matriz 4×4 distinta de Λ . Se aplican observaciones similares a objetos con menos o más componentes que se comportan bien bajo las transformaciones de Lorentz. Estos incluyen escalares , espinores , tensores y espinor-tensores.

El artículo considera los cuatro vectores en el contexto de la relatividad especial. Aunque el concepto de cuatro vectores también se extiende a la relatividad general , algunos de los resultados que se indican en este artículo requieren modificaciones en la relatividad general.

Las notaciones en este artículo son: negrita minúscula para vectores tridimensionales , sombreros para vectores unitarios tridimensionales , negrita mayúscula para vectores tetradimensionales (excepto para el gradiente de cuatro) y notación de índice tensorial .

Un cuatrivector A es un vector con un componente "temporal" y tres componentes "espaciales", y puede escribirse en varias notaciones equivalentes: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right )\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+ A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\& =A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}$$

donde A ^α es el componente de magnitud y E _α es el componente del vector base ; tenga en cuenta que ambos son necesarios para formar un vector, y que cuando A ^α se ve solo, se refiere estrictamente a los componentes del vector.

Los índices superiores indican componentes contravariantes . Aquí la convención estándar es que los índices latinos toman valores para componentes espaciales, de modo que i = 1, 2, 3, y los índices griegos toman valores para componentes de espacio y tiempo , de modo que α = 0, 1, 2, 3, utilizado con la convención de suma . La división entre el componente de tiempo y los componentes espaciales es útil para determinar contracciones de un vector de cuatro con otras cantidades tensoriales, como para calcular invariantes de Lorentz en productos internos (se dan ejemplos a continuación), o índices de elevación y reducción .

En relatividad especial, la base espacial E ₁ , E ₂ , E ₃ y los componentes A ¹ , A ² , A ³ son a menudo bases y componentes cartesianas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}$$

Aunque, por supuesto, se pueden utilizar otras bases y componentes, como las coordenadas polares esféricas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\ \&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\ phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{alineado}}}$$

o coordenadas polares cilíndricas ,

$${\displaystyle {\begin{alineado}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{ t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E } _{z}\\\end{alineado}}}$$

o cualquier otra coordenada ortogonal , o incluso coordenadas curvilíneas generales . Nótese que las etiquetas de coordenadas siempre están subíndices como etiquetas y no son índices que toman valores numéricos. En relatividad general, se deben utilizar coordenadas curvilíneas locales en una base local. Geométricamente, un cuadrivector todavía se puede interpretar como una flecha, pero en el espacio-tiempo, no solo en el espacio. En relatividad, las flechas se dibujan como parte del diagrama de Minkowski (también llamado diagrama de espacio-tiempo ). En este artículo, los cuadrivectores se denominarán simplemente vectores.

También se acostumbra representar las bases mediante vectores columna :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

de modo que:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

La relación entre las coordenadas covariantes y contravariantes es a través del tensor métrico de Minkowski (al que se hace referencia como la métrica), η , que aumenta y disminuye los índices de la siguiente manera:

$${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}$$

y en varias notaciones equivalentes los componentes covariantes son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}$$

donde el índice reducido indica que es covariante . A menudo, la métrica es diagonal, como es el caso de las coordenadas ortogonales (véase elemento de línea ), pero no en las coordenadas curvilíneas en general .

Las bases se pueden representar mediante vectores fila :

$${\displaystyle \mathbf {E} ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$de modo que:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}$$

La motivación de las convenciones anteriores es que el producto interno es un escalar, consulte a continuación para obtener más detalles.

Dados dos marcos de referencia inerciales o rotados , un cuatrivector se define como una cantidad que se transforma de acuerdo con la matriz  de transformación de Lorentz Λ :$${\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }$$

En notación de índice, los componentes contravariantes y covariantes se transforman de acuerdo con, respectivamente: en donde la matriz Λ tiene componentes Λ ^μ _ν en la fila  μ y la columna  ν , y la matriz ( Λ ⁻¹ ) ^T tiene componentes Λ _μ ^ν en la fila  μ y la columna  ν .$${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}$$

Para conocer los antecedentes sobre la naturaleza de esta definición de transformación, consulte tensor . Todos los cuatro vectores se transforman de la misma manera, y esto se puede generalizar a tensores relativistas de cuatro dimensiones; consulte relatividad especial .

Para dos marcos girados en un ángulo fijo θ alrededor de un eje definido por el vector unitario :

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,}$$

Sin ningún refuerzo, la matriz Λ tiene componentes dados por: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}$$

donde δ _ij es el delta de Kronecker y ε _ijk es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Los componentes espaciales de los cuatro vectores se rotan, mientras que los componentes temporales permanecen inalterados.

Solo para el caso de rotaciones sobre el eje z , la parte espacial de la matriz de Lorentz se reduce a la matriz de rotación sobre el eje z :

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}$$

Para dos marcos que se mueven a una velocidad relativa constante de tres velocidades v (no de cuatro velocidades, ver más abajo), es conveniente denotar y definir la velocidad relativa en unidades de c mediante:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}$$

Entonces, sin rotaciones, la matriz Λ tiene componentes dados por: ^[5] donde el factor de Lorentz se define por: y δ _ij es el delta de Kronecker . Contrariamente al caso de las rotaciones puras, los componentes espaciales y temporales se mezclan bajo impulsos.$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}$$

Para el caso de un impulso solo en la dirección x , la matriz se reduce a; ^{[6] [7]}

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$

Donde se ha utilizado la expresión de rapidez ϕ , escrita en términos de las funciones hiperbólicas :$${\displaystyle \gamma =\cosh \phi }$$

Esta matriz de Lorentz ilustra el impulso como una rotación hiperbólica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, análoga a la rotación circular anterior en el espacio tridimensional.

Los cuatro vectores tienen las mismas propiedades de linealidad que los vectores euclidianos en tres dimensiones . Se pueden sumar de la manera habitual, por entradas: y de manera similar, la multiplicación escalar por un escalar λ se define por entradas mediante:$${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)}$$ $${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)}$$

Entonces la resta es la operación inversa de la suma, definida entrada por entrada como:$${\displaystyle \mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} =\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)}$$

Aplicando el tensor de Minkowski η _μν a dos cuadrivectores A y B , escribiendo el resultado en notación de producto escalar , tenemos, usando la notación de Einstein :$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$$

en relatividad especial. El producto escalar de los vectores base es la métrica de Minkowski, en oposición al delta de Kronecker como en el espacio euclidiano. Es conveniente reescribir la definición en forma matricial : en cuyo caso η _μν anterior es la entrada en la fila μ y la columna ν de la métrica de Minkowski como una matriz cuadrada. La métrica de Minkowski no es una métrica euclidiana , porque es indefinida (ver signatura métrica ). Se pueden usar otras expresiones porque el tensor métrico puede elevar y disminuir los componentes de A o B. Para componentes contra/covariantes de A y componentes co/contravariantes de B , tenemos: por lo que en la notación matricial: mientras que para A y B cada uno en componentes covariantes: con una expresión matricial similar a la anterior.$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}$$

Aplicando el tensor de Minkowski a un cuatrivector A consigo mismo obtenemos: que, según el caso, puede considerarse el cuadrado, o su negativo, de la longitud del vector.$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}$$

A continuación se presentan dos opciones comunes para el tensor métrico en la base estándar (esencialmente, coordenadas cartesianas). Si se utilizan coordenadas ortogonales, habría factores de escala a lo largo de la parte diagonal de la parte espacial de la métrica, mientras que para las coordenadas curvilíneas generales, toda la parte espacial de la métrica tendría componentes que dependen de la base curvilínea utilizada.

En la firma métrica (+−−−) , la evaluación de la suma sobre los índices da como resultado: mientras que en forma matricial:$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}$$$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}$$

Un tema recurrente en la relatividad especial es tomar la expresión en un sistema de referencia , donde C es el valor del producto interno en este sistema, y: en otro sistema, en el que C ′ es el valor del producto interno en este sistema. Entonces, como el producto interno es un invariante, estos deben ser iguales: es decir:$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}$$$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}$$$${\displaystyle C=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

Considerando que las magnitudes físicas en relatividad son cuatro vectores, esta ecuación tiene la apariencia de una " ley de conservación ", pero no hay "conservación" involucrada. El significado principal del producto interno de Minkowski es que para dos cuatro vectores cualesquiera, su valor es invariante para todos los observadores; un cambio de coordenadas no resulta en un cambio en el valor del producto interno. Los componentes de los cuatro vectores cambian de un marco a otro; A y A ′ están conectados por una transformación de Lorentz , y de manera similar para B y B ′, aunque los productos internos son los mismos en todos los marcos. Sin embargo, este tipo de expresión se explota en cálculos relativistas a la par con las leyes de conservación, ya que las magnitudes de los componentes se pueden determinar sin realizar explícitamente ninguna transformación de Lorentz. Un ejemplo particular es con la energía y el momento en la relación energía-momento derivada del vector de cuatro momentos (ver también a continuación).

En esta firma tenemos:$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}}$$

Con la firma (+−−−), los cuatro vectores pueden clasificarse como espaciales si , temporales si , y nulos si .${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

Algunos autores definen η con el signo opuesto, en cuyo caso tenemos la signatura métrica (−+++). Evaluando la sumatoria con esta signatura:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}$$

mientras que la forma matricial es:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}$$

Nótese que en este caso, en un cuadro:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}$$

Mientras que en otro:

$${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}$$

de modo que:

$${\displaystyle -C=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}}$$

que es equivalente a la expresión anterior para C en términos de A y B. Cualquier convención funcionará. Con la métrica de Minkowski definida de las dos formas anteriores, la única diferencia entre los componentes de cuatro vectores covariantes y contravariantes son los signos, por lo tanto, los signos dependen de qué convención de signos se use.

Tenemos:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0}\right)^{2}+\left(A^{1}\right)^{2}+\left(A^{2}\right)^{2}+\left(A^{3}\right)^{2}}$$

Con la firma (−+++), los cuatro vectores pueden clasificarse como espaciales si , temporales si , y nulos si .${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}$${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}$

La aplicación del tensor de Minkowski se expresa a menudo como el efecto del vector dual de un vector sobre el otro:

$${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}$$

Aquí los A _ν s son los componentes del vector dual A * de A en la base dual y se denominan coordenadas covariantes de A , mientras que los componentes originales A ^ν se denominan coordenadas contravariantes .

En relatividad especial (pero no en relatividad general), la derivada de un cuadrivector con respecto a un escalar λ (invariante) es en sí misma un cuadrivector. También es útil tomar la diferencial del cuadrivector, d A, y dividirla por la diferencial del escalar, dλ :

$${\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}$$

donde los componentes contravariantes son:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}$$

mientras que los componentes covariantes son:

$${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}$$

En la mecánica relativista, a menudo se toma la diferencial de un cuatrivector y se divide por la diferencial en el tiempo adecuado (ver más abajo).

Un punto en el espacio de Minkowski es una posición temporal y espacial, llamada "evento", o a veces la posición cuatro-vector o cuatro-posición o 4-posición , descrita en algún marco de referencia por un conjunto de cuatro coordenadas:

$${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}$$

donde r es el vector de posición espacial tridimensional . Si r es una función del tiempo de coordenadas t en el mismo marco, es decir, r = r ( t ), esto corresponde a una secuencia de eventos a medida que t varía. La definición R ⁰ = ct asegura que todas las coordenadas tienen la misma dimensión (de longitud ) y unidades (en el SI , metros). ^{[8] [9] [10] [11]} Estas coordenadas son los componentes del cuatrivector de posición para el evento.

El cuatrivector de desplazamiento se define como una "flecha" que une dos eventos:

$${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}$$

Para la diferencial de cuatro posiciones en una línea de mundo tenemos, usando una notación de norma :

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}$$

definiendo el elemento de línea diferencial d s y el incremento de tiempo propio diferencial d τ , pero esta "norma" también es:

$${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}$$

de modo que:

$${\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}$$

Al considerar fenómenos físicos, las ecuaciones diferenciales surgen naturalmente; sin embargo, al considerar derivadas espaciales y temporales de funciones, no está claro con respecto a qué marco de referencia se toman estas derivadas. Se acepta que las derivadas temporales se toman con respecto al tiempo propio . Como el tiempo propio es un invariante, esto garantiza que la derivada temporal propia de cualquier cuatrivector sea en sí misma un cuatrivector. Entonces es importante encontrar una relación entre esta derivada temporal propia y otra derivada temporal (usando el tiempo de coordenadas t de un marco de referencia inercial). Esta relación se proporciona tomando el intervalo espaciotemporal invariante diferencial anterior, luego dividiendo por ( cdt ) ² para obtener:${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}$$

donde u = d r / dt es la coordenada 3- velocidad de un objeto medida en el mismo marco que las coordenadas x , y , z , y la coordenada tiempo t , y

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}$$

es el factor de Lorentz . Esto proporciona una relación útil entre las diferenciales en el tiempo de coordenadas y el tiempo propio:

$${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}$$

Esta relación también se puede encontrar a partir de la transformación del tiempo en las transformaciones de Lorentz .

Los cuatro vectores importantes en la teoría de la relatividad se pueden definir aplicando esta diferencial .${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Considerando que las derivadas parciales son operadores lineales , se puede formar un gradiente de cuatro a partir de la derivada temporal parcial ∂ / ∂ t y el gradiente espacial ∇. Utilizando la base estándar, en notación abreviada e indexada, los componentes contravariantes son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que los vectores base se colocan delante de los componentes, para evitar confusiones entre tomar la derivada del vector base o simplemente indicar que la derivada parcial es un componente de este cuatrivector. Los componentes covariantes son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}$$

Dado que se trata de un operador, no tiene una "longitud", pero al evaluar el producto interno del operador consigo mismo se obtiene otro operador:

$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}$$

llamado el operador D'Alembert .

La cuadrivelocidad de una partícula se define por:

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}$$

Geométricamente, U es un vector normalizado tangente a la línea de universo de la partícula. Utilizando la diferencial de la posición cuatripartita, se puede obtener la magnitud de la velocidad cuatripartita:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}$$

En resumen, la magnitud de la velocidad cuadrática de cualquier objeto es siempre una constante fija:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}$$

La norma también es:

$${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

de modo que:

$${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}$$

lo que se reduce a la definición del factor de Lorentz .

Las unidades de velocidad cuadridireccional son m/s en el SI y 1 en el sistema de unidades geometrizadas . La velocidad cuadridireccional es un vector contravariante.

La cuádruple aceleración viene dada por:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}$$

donde a = d u / dt es la coordenada 3-aceleración. Como la magnitud de U es una constante, la aceleración 4 es ortogonal a la velocidad 4, es decir, el producto interno de Minkowski de la aceleración 4 y la velocidad 4 es cero:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}$$

lo cual es cierto para todas las líneas del universo. El significado geométrico de la aceleración cuádruple es el vector de curvatura de la línea del universo en el espacio de Minkowski.

Para una partícula masiva de masa en reposo (o masa invariante ) m ₀ , el cuadrimpulso viene dado por:

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$

donde la energía total de la partícula en movimiento es:

$${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}$$

y el momento relativista total es:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }$$

Tomando el producto interno de los cuatro momentos consigo mismo:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}$$

y también:

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }$$

lo que conduce a la relación energía-momento :

$${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}$$

Esta última relación es útil en la mecánica relativista , esencial en la mecánica cuántica relativista y en la teoría cuántica de campos relativista , todas con aplicaciones a la física de partículas .

La fuerza cuaternaria que actúa sobre una partícula se define de forma análoga a la fuerza 3 como la derivada temporal del momento 3 en la segunda ley de Newton :

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}$$

donde P es la potencia transferida para mover la partícula y f es la fuerza 3 que actúa sobre la partícula. Para una partícula de masa constante invariante m ₀ , esto es equivalente a

$${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}$$

Un invariante derivado de la cuádruple fuerza es:

$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}$$

del resultado anterior.

El campo vectorial de flujo de calor de cuatro dimensiones es esencialmente similar al campo vectorial de flujo de calor 3D q , en el marco local del fluido: ^[12]

$${\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}$$

donde T es la temperatura absoluta y k es la conductividad térmica .

El flujo de bariones es: ^[13] donde n es la densidad numérica de bariones en el marco de reposo local del fluido bariónico (valores positivos para bariones, negativos para antibariones ), y U el campo de cuatro velocidades (del fluido) como se indicó anteriormente.$${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }$$

El vector de cuatro entropías se define por: ^[14] donde s es la entropía por barión y T la temperatura absoluta , en el marco de reposo local del fluido. ^[15]$${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}$$

Los ejemplos de cuatro vectores en electromagnetismo incluyen los siguientes.

La cuatro corrientes electromagnéticas (o más correctamente, una densidad de cuatro corrientes) ^[16] se define como formada a partir de la densidad de corriente j y la densidad de carga ρ .$${\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$$

El potencial electromagnético de cuatro electrones (o más correctamente, un potencial vectorial de cuatro electrones) definido por se forma a partir del potencial vectorial a y el potencial escalar ϕ .$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}$$

El potencial cuadrático no está determinado de forma única, ya que depende de la elección del calibre .

En la ecuación de onda del campo electromagnético:

• En el vacío,$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}$$
• Con una fuente de cuatro corrientes y utilizando la condición de calibre de Lorenz ,${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}$$${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$$

Una onda plana fotónica se puede describir mediante la frecuencia de cuatro ondas , definida como

$${\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$

donde ν es la frecuencia de la onda y es un vector unitario en la dirección de propagación de la onda. Ahora:${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}$$

Por lo tanto, la frecuencia cuatrifásica de un fotón es siempre un vector nulo.

Las magnitudes recíprocas del tiempo t y del espacio r son la frecuencia angular ω y el vector de onda angular k , respectivamente. Forman las componentes del cuatrivector de onda o cuatrivector de onda :

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}$$

La onda de cuatro vectores tiene una unidad derivada coherente de metros recíprocos en el SI. ^[17]

Un paquete de ondas de luz casi monocromática se puede describir mediante:

$${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}$$

Las relaciones de De Broglie mostraron entonces que el vector de cuatro ondas se aplicaba tanto a las ondas de materia como a las ondas de luz: obteniéndose y , donde ħ es la constante de Planck dividida por 2 π  .$${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)~.}$$${\displaystyle E=\hbar \omega }$${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

El cuadrado de la norma es: y por la relación de De Broglie: tenemos el análogo de onda de materia de la relación energía-momento:$${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$$${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}$$$${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}$$

Nótese que para partículas sin masa, en cuyo caso m ₀ = 0 , tenemos: o ‖ k ‖ = ω / c  . Nótese que esto es consistente con el caso anterior; para fotones con un vector de onda de 3 módulos ω / c , en la dirección de propagación de onda definida por el vector unitario$${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}$$${\displaystyle \ {\hat {\mathbf {n} }}~.}$

En mecánica cuántica , la corriente de cuatro probabilidades o corriente de cuatro probabilidades es análoga a la corriente de cuatro probabilidades electromagnética : ^[18] donde ρ es la función de densidad de probabilidad correspondiente al componente temporal, y j es el vector de corriente de probabilidad . En mecánica cuántica no relativista, esta corriente siempre está bien definida porque las expresiones para densidad y corriente son definidas positivas y pueden admitir una interpretación de probabilidad. En mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos , no siempre es posible encontrar una corriente, particularmente cuando hay interacciones involucradas.$${\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}$$

Reemplazando la energía por el operador de energía y el momento por el operador de momento en el cuaternario, se obtiene el operador de cuaternario , utilizado en ecuaciones de onda relativistas .

El espín cuadrático de una partícula se define en el sistema de referencia en reposo de una partícula como donde s es el pseudovector de espín . En mecánica cuántica, no todos los tres componentes de este vector son medibles simultáneamente, solo un componente lo es. El componente temporal es cero en el sistema de referencia en reposo de la partícula, pero no en ningún otro sistema. Este componente se puede encontrar a partir de una transformación de Lorentz adecuada.$${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}$$

La norma al cuadrado es el (negativo de) la magnitud al cuadrado del espín, y según la mecánica cuántica tenemos$${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}$$

Este valor es observable y cuantificado, siendo s el número cuántico de espín (no la magnitud del vector de espín).

Un cuadrivector A también se puede definir utilizando las matrices de Pauli como base , nuevamente en varias notaciones equivalentes: ^[19] o explícitamente: y en esta formulación, el cuadrivector se representa como una matriz hermítica (la matriz transpuesta y el conjugado complejo de la matriz la dejan sin cambios), en lugar de un vector columna o fila de valor real. El determinante de la matriz es el módulo del cuadrivector, por lo que el determinante es un invariante:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Esta idea de utilizar las matrices de Pauli como vectores base se emplea en el álgebra del espacio físico , un ejemplo de álgebra de Clifford .

En el álgebra del espacio-tiempo , otro ejemplo del álgebra de Clifford, las matrices gamma también pueden formar una base . (También se las llama matrices de Dirac, debido a su aparición en la ecuación de Dirac ). Hay más de una forma de expresar las matrices gamma, que se detalla en ese artículo principal.

La notación de barra de Feynman es una abreviatura de una A de cuatro vectores contraída con las matrices gamma:$${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}$$

El cuatrimomento contraído con las matrices gamma es un caso importante en la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos relativista . En la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de onda relativistas aparecen términos de la forma: , en la que los componentes de energía E y momento ( p _x , p _y , p _z ) se sustituyen por sus respectivos operadores .$${\displaystyle \mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}}$$

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Polvo (relatividad) para el flujo numérico de cuatro vectores
• Espacio Minkowski
• Paravector
• Mecánica relativista
• Vector de onda

• Rindler, W. Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5