Plano euclidiano

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
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Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Cero-dimensional Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Avión Área Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de Pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapecio Cometa Círculo Diámetro Circunferencia Área
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Dodecaedro Icosaedro Octaedro Pirámide Sólido platónico Esfera Tetraedro
Cuatro - / otras dimensiones Teseracto Hiperesfera
Geometrias
por nombre Aida Ariabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahma-upta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Grómov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Katyayana Khayyám Pequeño Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi Al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui Al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por periodo AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Katyayana Ariabhata Brahma-upta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám Al-Yasamin Al-Tusi Yang Hui Parameshvara Década de 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida Década de 1700 a 1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Pequeño Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Grómov
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En matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado como . Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye en particular el concepto de líneas paralelas . Tiene también propiedades métricas inducidas por una distancia , lo que permite definir círculos , y la medición de ángulos .${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se denomina plano cartesiano . El conjunto de pares ordenados de números reales (el plano de coordenadas reales ), dotado del producto escalar , se denomina a menudo plano euclidiano o plano euclidiano estándar , ya que todo plano euclidiano es isomorfo a él.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Los libros I a IV y VI de los Elementos de Euclides trataron la geometría bidimensional, desarrollando nociones como la semejanza de formas, el teorema de Pitágoras (Proposición 47), la igualdad de ángulos y áreas , el paralelismo, la suma de los ángulos de un triángulo y los tres casos en que los triángulos son "iguales" (tienen la misma área), entre muchos otros temas.

Más tarde, el plano fue descrito en un llamado sistema de coordenadas cartesianas , un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano mediante un par de coordenadas numéricas , que son las distancias con signo desde el punto a dos líneas dirigidas perpendiculares fijas , medidas en la misma unidad de longitud . Cada línea de referencia se llama eje de coordenadas o simplemente eje del sistema, y ​​el punto donde se encuentran es su origen , generalmente en el par ordenado (0, 0). Las coordenadas también se pueden definir como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.

La idea de este sistema fue desarrollada en 1637 en escritos de Descartes e independientemente por Pierre de Fermat , aunque Fermat también trabajó en tres dimensiones y no publicó el descubrimiento. ^[1] Ambos autores utilizaron un solo eje ( abscisa ) en sus tratamientos, con las longitudes de las ordenadas medidas a lo largo de líneas no necesariamente perpendiculares a ese eje. ^[2] El concepto de usar un par de ejes fijos fue introducido más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus estudiantes. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos mientras intentaban aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes. ^[3]

Más tarde, el plano se consideró como un campo , donde dos puntos cualesquiera podían multiplicarse y, excepto el 0, dividirse. Esto se conocía como el plano complejo . El plano complejo a veces se llama plano de Argand porque se utiliza en los diagramas de Argand. Estos reciben su nombre de Jean-Robert Argand (1768-1822), aunque fueron descritos por primera vez por el agrimensor y matemático danés-noruego Caspar Wessel (1745-1818). ^[4] Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los polos y ceros de una función en el plano complejo.

En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en el espacio bidimensional por medio de dos coordenadas. Se dan dos ejes de coordenadas perpendiculares que se cruzan entre sí en el origen . Por lo general, se los etiqueta como x e y . En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio bidimensional está dada por un par ordenado de números reales, cada número da la distancia de ese punto desde el origen medida a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese punto desde el otro eje.

Otro sistema de coordenadas ampliamente utilizado es el sistema de coordenadas polares , que especifica un punto en términos de su distancia desde el origen y su ángulo relativo a un rayo de referencia hacia la derecha.

• 
  Sistema de coordenadas cartesianas
• 
  Sistema de coordenadas polares

En la geometría euclidiana , un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente . Los planos euclidianos a menudo surgen como subespacios del espacio tridimensional . Un ejemplo prototípico es el de las paredes de una habitación, que se extienden infinitamente y se supone que tienen un espesor infinitesimal. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Si bien un par de números reales es suficiente para describir puntos en un plano, la relación con los puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su inserción en el espacio ambiental .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En dos dimensiones, hay una cantidad infinita de politopos: los polígonos. Los primeros regulares se muestran a continuación:

El símbolo de Schläfli representa un n -gono regular .${\displaystyle \{n\}}$

Nombre	Triángulo ( 2-símplex )	Cuadrado ( 2-ortoplex ) ( 2-cubo )	Pentágono	Hexágono	Heptágono	Octágono
Símbolo de Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Imagen
Nombre	Nonágono	Decágono	Endecágono	Dodecágono	Tridecágono	Tetradecágono
Colapso	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Imagen
Nombre	Pentadecágono	Hexadecágono	Heptadecágono	Octadecágono	Eneadecágono	Icoságono	... n-gono
Colapso	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ n }
Imagen

El monógono regular (o henagono) {1} y el dígono regular {2} pueden considerarse polígonos regulares degenerados y existir de forma no degenerada en espacios no euclidianos como una 2-esfera , un 2-toro o un cilindro circular recto .

Nombre	Monógono	Digón
Colapso	{1}	{2}
Imagen

Existen infinitos politopos regulares no convexos en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales {n/m}. Se denominan polígonos estrella y comparten la misma disposición de vértices de los polígonos regulares convexos.

En general, para cualquier número natural n, existen estrellas poligonales regulares no convexas de n puntas con símbolos de Schläfli { n / m } para todo m tales que m < n /2 (estrictamente hablando { n / m } = { n /( n − m )}) y m y n son coprimos .

Nombre	Pentagrama	Heptagramas		Octagrama	Eneagramas		Decagramo	... n-agramas
Colapso	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ n/m }
Imagen

La hiperesfera en 2 dimensiones es un círculo , a veces llamado 1-esfera ( S ^{1 ) porque es una} variedad unidimensional . En un plano euclidiano, tiene una longitud de 2π r y el área de su interior es

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

¿Dónde está el radio?${\displaystyle r}$

Hay una infinidad de otras formas curvas en dos dimensiones, entre las que destacan las secciones cónicas : la elipse , la parábola y la hipérbola .

Otra forma matemática de ver el espacio bidimensional se encuentra en el álgebra lineal , donde la idea de independencia es crucial. El plano tiene dos dimensiones porque la longitud de un rectángulo es independiente de su ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el plano es bidimensional porque cada punto en el plano puede describirse mediante una combinación lineal de dos vectores independientes .

El producto escalar de dos vectores A = [ A ₁ , A ₂ ] y B = [ B ₁ , B ₂ ] se define como: ^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

Un vector puede representarse como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector A se denota por . Desde este punto de vista, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B se define por ^[6]${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre A y B.

El producto escalar de un vector A por sí mismo es

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

Lo cual da

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

En un sistema de coordenadas rectangulares, el gradiente viene dado por

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

Para algún campo escalar f  : U ⊆ R ² → R , la integral de línea a lo largo de una curva suave por partes C ⊂ U se define como

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

donde r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de C y .${\displaystyle a<b}$

Para un campo vectorial F  : U ⊆ R ² → R ² , la integral de línea a lo largo de una curva suave por partes C ⊂ U , en la dirección de r , se define como

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

donde · es el producto escalar y r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de C .

Una integral doble se refiere a una integral dentro de una región D en R ² de una función y generalmente se escribe como:${\displaystyle f(x,y),}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

El teorema fundamental de las integrales de línea dice que una integral de línea a través de un campo de gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva.

Dejar . Entonces${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

siendo p , q los puntos finales de la curva γ.

Sea C una curva cerrada simple , lisa por partes y orientada positivamente en un plano , y sea D la región limitada por C. Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene a D y tienen allí derivadas parciales continuas , entonces ^{[7] [8]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

donde la trayectoria de integración a lo largo de C es en sentido antihorario .

En topología , el plano se caracteriza por ser la única variedad 2- contráctil .

Su dimensión se caracteriza porque al retirar un punto del plano queda un espacio conexo, pero no simplemente conexo .

En teoría de grafos , un grafo plano es un grafo que se puede incrustar en el plano, es decir, se puede dibujar en el plano de tal manera que sus aristas se intersequen solo en sus puntos finales. En otras palabras, se puede dibujar de tal manera que ninguna arista se cruce entre sí. ^[9] Un dibujo de este tipo se llama grafo plano o incrustación plana del grafo . Un grafo plano se puede definir como un grafo plano con un mapeo de cada nodo a un punto en un plano, y de cada arista a una curva plana en ese plano, de tal manera que los puntos extremos de cada curva son los puntos mapeados desde sus nodos finales, y todas las curvas son disjuntas excepto en sus puntos extremos.

• Espacio geométrico
• Planimetría

• Burton, David M. (2011), La historia de las matemáticas / Una introducción (7.ª ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6