Perímetro

Camino que rodea un área

Un perímetro es un camino cerrado que abarca, rodea o delinea una forma bidimensional o una longitud unidimensional . El perímetro de un círculo o una elipse se denomina circunferencia .

El cálculo del perímetro tiene varias aplicaciones prácticas. Un perímetro calculado es la longitud de la cerca necesaria para rodear un patio o jardín. El perímetro de una rueda/círculo (su circunferencia) describe la distancia que recorrerá en una revolución . De manera similar, la cantidad de cuerda enrollada alrededor de un carrete está relacionada con el perímetro del carrete; si la longitud de la cuerda fuera exacta, sería igual al perímetro.

Fórmulas


forma	fórmula	variables
círculo	$2\pi r=\pi d$	donde es el radio del círculo y es el diámetro. ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización d}$
semicírculo	$(\pi +2)r$	¿Dónde está el radio del semicírculo? ${\estilo de visualización r}$
triángulo	${\estilo de visualización a+b+c\,}$	donde , y son las longitudes de los lados del triángulo. ${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$ ${\estilo de visualización c}$
cuadrado / rombo	${\estilo de visualización 4a}$	¿Dónde está la longitud del lado? ${\estilo de visualización a}$
rectángulo	${\estilo de visualización 2(l+w)}$	¿Dónde está el largo y es el ancho? ${\estilo de visualización l}$ ${\estilo de visualización w}$
polígono equilátero	$n\veces a\,$	donde es el número de lados y es la longitud de uno de los lados. ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización a}$
polígono regular	$2nb\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	donde es el número de lados y es la distancia entre el centro del polígono y uno de los vértices del polígono. ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización b}$
polígono general	$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$	donde es la longitud del -ésimo (1º, 2º, 3º ... nº ) lado de un polígono de n lados. $Estilo de visualización ai$ ${\estilo de visualización i}$

cardioide (dibujo con ) $\gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$
${\estilo de visualización a=1}$
$x(t)=2a\cos(t)(1+\cos(t))$
$y(t)=2a\sin(t)(1+\cos(t))$
$L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t=16a$

{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}} — cardioide (dibujo con ) $\gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}$
${\estilo de visualización a=1}$
$x(t)=2a\cos(t)(1+\cos(t))$
$y(t)=2a\sin(t)(1+\cos(t))$
$L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t=16a$

El perímetro es la distancia alrededor de una forma. Los perímetros para formas más generales se pueden calcular como cualquier camino , con , donde es la longitud del camino y es un elemento de línea infinitesimal. Ambos deben reemplazarse por formas algebraicas para poder calcularse de manera práctica. Si el perímetro se da como una curva plana suave cerrada por partes con ${\textstyle \int _{0}^{L}\mathrm {d} s}$ ${\estilo de visualización L}$ ${\estilo de visualización ds}$ $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$

\gamma(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}

entonces su longitud se puede calcular de la siguiente manera: ${\estilo de visualización L}$

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t

Una noción generalizada de perímetro, que incluye hipersuperficies que delimitan volúmenes en espacios euclidianos de dimensión 1 , se describe mediante la teoría de conjuntos de Caccioppoli . ${\estilo de visualización n}$

Polígonos

Los polígonos son fundamentales para determinar perímetros, no sólo porque son las formas más simples, sino también porque los perímetros de muchas formas se calculan aproximándolos con secuencias de polígonos que tienden a estas formas. El primer matemático conocido que utilizó este tipo de razonamiento fue Arquímedes , quien aproximó el perímetro de un círculo rodeándolo con polígonos regulares . ^[1]

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados (aristas) . En particular, el perímetro de un rectángulo de ancho y largo es igual a ${\estilo de visualización w}$ $\ell$ ${\estilo de visualización 2w+2\ell .}$

Un polígono equilátero es un polígono que tiene todos los lados de la misma longitud (por ejemplo, un rombo es un polígono equilátero de 4 lados). Para calcular el perímetro de un polígono equilátero, se debe multiplicar la longitud común de los lados por el número de lados.

Un polígono regular se puede caracterizar por el número de sus lados y por su circunradio , es decir, la distancia constante entre su centro y cada uno de sus vértices . La longitud de sus lados se puede calcular mediante trigonometría . Si $R$ es el radio de un polígono regular y $n$ es el número de sus lados, entonces su perímetro es

2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).

Un divisor de un triángulo es una ceviana (un segmento que va desde un vértice hasta el lado opuesto) que divide el perímetro en dos longitudes iguales; esta longitud común se denomina semiperímetro del triángulo. Los tres divisores de un triángulo se intersecan entre sí en el punto Nagel del triángulo.

Una hendidura de un triángulo es un segmento que va desde el punto medio de un lado de un triángulo hasta el lado opuesto de modo que el perímetro se divide en dos longitudes iguales. Las tres hendiduras de un triángulo se intersecan entre sí en el centro de Spieker del triángulo .

Circunferencia de un círculo

Si el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia es igual a $π$ .

El perímetro de un círculo , a menudo llamado circunferencia, es proporcional a su diámetro y a su radio . Es decir, existe un número constante pi , $π$ (la p griega para perímetro), tal que si $P$ es el perímetro del círculo y $D$ su diámetro entonces,

P=\pi \cdot {D}.\!

En términos del radio $r$ del círculo, esta fórmula se convierte en,

P=2\pi \cdot r.

Para calcular el perímetro de un círculo basta con conocer su radio o diámetro y el número $π$ . El problema es que $π$ no es racional (no se puede expresar como cociente de dos números enteros ) ni es algebraico (no es raíz de una ecuación polinómica con coeficientes racionales). Por lo tanto, obtener una aproximación precisa de $π$ es importante en el cálculo. El cálculo de los dígitos de $π$ es relevante para muchos campos, como el análisis matemático , la algorítmica y la informática .

Percepción del perímetro

El perímetro y el área son dos medidas principales de las figuras geométricas. Confundirlas es un error común, así como creer que cuanto mayor sea una de ellas, mayor debe ser la otra. De hecho, una observación común es que una ampliación (o una reducción) de una forma hace que su área crezca (o disminuya) al igual que su perímetro. Por ejemplo, si se dibuja un campo en un mapa a escala 1/10.000, el perímetro real del campo se puede calcular multiplicando el perímetro del dibujo por 10.000. El área real es 10.000 por ^{el doble} del área de la forma en el mapa. Sin embargo, no existe relación entre el área y el perímetro de una forma ordinaria. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo de ancho 0,001 y largo 1000 es ligeramente superior a 2000, mientras que el perímetro de un rectángulo de ancho 0,5 y largo 2 es 5. Ambas áreas son iguales a 1.

Proclo (siglo V) informó que los campesinos griegos dividían "justamente" los campos basándose en sus perímetros. ^[2] Sin embargo, la producción de un campo es proporcional a su área, no a su perímetro, por lo que muchos campesinos ingenuos pueden haber obtenido campos con perímetros largos pero áreas pequeñas (por lo tanto, pocas cosechas).

Si se quita una pieza de una figura, su área disminuye, pero su perímetro no. La envoltura convexa de una figura puede visualizarse como la forma que forma una banda elástica estirada a su alrededor. ^{[3] En la imagen animada de la izquierda, todas las figuras tienen la misma envoltura convexa; el primer}hexágono grande .

Isoperimetría

El problema isoperimétrico consiste en determinar la figura con el área más grande, entre aquellas que tienen un perímetro dado. La solución es intuitiva: es el círculo . En particular, esto puede usarse para explicar por qué las gotas de grasa sobre la superficie de un caldo son circulares.

Este problema puede parecer simple, pero su demostración matemática requiere algunos teoremas sofisticados. El problema isoperimétrico a veces se simplifica restringiendo el tipo de figuras que se van a utilizar. En particular, para encontrar el cuadrilátero , o el triángulo, u otra figura particular, con el área más grande entre las que tienen la misma forma que tienen un perímetro dado. La solución al problema isoperimétrico del cuadrilátero es el cuadrado , y la solución al problema del triángulo es el triángulo equilátero . En general, el polígono con $n$ lados que tiene el área más grande y un perímetro dado es el polígono regular , que está más cerca de ser un círculo que cualquier polígono irregular con el mismo número de lados.

Etimología

La palabra proviene del griego περίμετρος perimetros , de περί peri "alrededor" y μέτρον metron "medida".

Véase también

Referencias

^ Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª ed.). Pearson Prentice Hall . pag. 215–216. ISBN 978-0131469686.
^ Heath, T. (1981). Una historia de las matemáticas griegas . Vol. 2. Dover Publications . pág. 206. ISBN. 0-486-24074-6.
^ de Berg, M. ; van Kreveld, M. ; Overmars, Mark ; Schwarzkopf, O. (2008). Geometría computacional: algoritmos y aplicaciones (3.ª ed.). Springer. pág. 3.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Perímetro". MathWorld .

[archimedes-1] Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª ed.). Pearson Prentice Hall . pag. 215–216. ISBN 978-0131469686.

[heath-2] Heath, T. (1981). Una historia de las matemáticas griegas . Vol. 2. Dover Publications . pág. 206. ISBN. 0-486-24074-6.

[convexhull-3] Berg, M. ; van Kreveld, M. ; Overmars, Mark ; Schwarzkopf, O. (2008). Geometría computacional: algoritmos y aplicaciones (3.ª ed.). Springer. pág. 3.