Curva plana

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En matemáticas , una curva plana es una curva en un plano que puede ser un plano euclidiano , un plano afín o un plano proyectivo . Los casos más frecuentemente estudiados son las curvas planas suaves (incluidas las curvas planas suaves por partes ) y las curvas planas algebraicas . Las curvas planas también incluyen las curvas de Jordan (curvas que encierran una región del plano pero que no necesitan ser suaves) y los gráficos de funciones continuas .

Una curva plana a menudo se puede representar en coordenadas cartesianas mediante una ecuación implícita de la forma para alguna función específica f . Si esta ecuación se puede resolver explícitamente para y o x , es decir, reescribirse como o para una función específica g o h , entonces esto proporciona una forma alternativa, explícita, de la representación. Una curva plana también se puede representar a menudo en coordenadas cartesianas mediante una ecuación paramétrica de la forma para funciones específicas y${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle y=g(x)}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t))}$${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle y(t).}$

Las curvas planas a veces también se pueden representar en sistemas de coordenadas alternativos , como coordenadas polares , que expresan la ubicación de cada punto en términos de un ángulo y una distancia desde el origen.

Una curva plana suave es una curva en un plano euclidiano real y es una variedad suave unidimensional . Esto significa que una curva plana suave es una curva plana que "localmente parece una línea ", en el sentido de que cerca de cada punto, puede mapearse a una línea por una función suave . Equivalentemente, una curva plana suave puede darse localmente por una ecuación donde ⁠ ⁠ es una función suave , y las derivadas parciales ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ nunca son ambas 0 en un punto de la curva.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x,y)=0,}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \parcial f/\parcial x}$${\displaystyle \parcial f/\parcial y}$

Una curva plana algebraica es una curva en un plano afín o proyectivo dada por una ecuación polinomial (o donde F es un polinomio homogéneo , en el caso proyectivo).${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$

Las curvas algebraicas se han estudiado ampliamente desde el siglo XVIII.

Toda curva plana algebraica tiene un grado, el grado de la ecuación que la define, que es igual, en el caso de un cuerpo algebraicamente cerrado , al número de intersecciones de la curva con una recta en posición general . Por ejemplo, la circunferencia dada por la ecuación tiene grado 2.$Estilo de visualización x^{2}+y^{2}=1$

Las curvas algebraicas planas no singulares de grado 2 se denominan secciones cónicas , y sus compleciones proyectivas son todas isomorfas a la compleción proyectiva del círculo (es decir, la curva proyectiva de la ecuación ). Las curvas planas de grado 3 se denominan curvas planas cúbicas y, si son no singulares, curvas elípticas . Las de grado 4 se denominan curvas planas cuárticas .$Estilo de visualización x^{2}+y^{2}=1$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

En la Galería de curvas se muestran numerosos ejemplos de curvas planas y se enumeran en la Lista de curvas . Aquí se muestran las curvas algebraicas de grado 1 o 2 (una curva algebraica de grado inferior a 3 siempre está contenida en un plano):

Nombre	Ecuación implícita	Ecuación paramétrica	Como función	gráfico
Línea recta	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
Círculo	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
Parábola	${\displaystyle yx^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2})}$	${\displaystyle y=x^{2}}$
Elipse	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
Hipérbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$

• Geometría algebraica
• Curva convexa
• Geometría diferencial
• Curva de Osgood
• Ajuste de curvas planas
• Variedades proyectivas
• Curva oblicua

• Coolidge, JL (28 de abril de 2004), Tratado sobre curvas planas algebraicas , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Un manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), Un catálogo de curvas planas especiales , Dover, ISBN 0-486-60288-5.

• Weisstein, Eric W. "Curva plana". MathWorld .