Categoría (matemáticas)

En matemáticas , una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta ) es una colección de «objetos» que están unidos por «flechas». Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos , cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones .

La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas pueden describirse en términos de categorías, y hacerlo a menudo revela conocimientos profundos y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Como tal, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para las matemáticas a la teoría de conjuntos y otros fundamentos axiomáticos propuestos. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría proporciona una forma fundamental y abstracta de describir las entidades matemáticas y sus relaciones.

Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en la informática, como la semántica de los lenguajes de programación .

Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse " equivalentes " a los efectos de la teoría de categorías, incluso si no tienen exactamente la misma estructura.

Las categorías conocidas se indican con una palabra corta en mayúscula o una abreviatura en negrita o cursiva: por ejemplo, Set , la categoría de conjuntos y funciones de conjuntos ; Ring , la categoría de anillos y homomorfismos de anillos ; y Top , la categoría de espacios topológicos y aplicaciones continuas . Todas las categorías anteriores tienen la aplicación identidad como flechas identidad y la composición como la operación asociativa sobre flechas.

El texto clásico y aún muy utilizado sobre la teoría de categorías es Categories for the Working Mathematician de Saunders Mac Lane . En las referencias que aparecen a continuación se ofrecen otras referencias. Las definiciones básicas de este artículo se encuentran en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.

Cualquier monoide puede entenderse como un tipo especial de categoría (con un único objeto cuyos automorfismos están representados por los elementos del monoide), y lo mismo puede decirse de cualquier preorden .

Existen muchas definiciones equivalentes de una categoría. ^[1] Una definición comúnmente utilizada es la siguiente: Una categoría C consta de

• una clase ob( C ) de objetos ,
• una clase mor( C ) de morfismos o flechas ,
• una función de clase de dominio o fuente dom: mor(C) → ob(C),
• una función de clase de codominio o objetivo cod: mor(C) → ob(C),
• para cada tres objetos a , b y c , una operación binaria hom( a , b ) × hom( b , c ) → hom( a , c ) llamada composición de morfismos . Aquí hom( a , b ) denota la subclase de morfismos f en mor( C ) tales que dom(f) = a y cod(f) = b . Los morfismos en esta subclase se escriben f  : a → b , y la composición de f  : a → b y g  : b → c se escribe a menudo como g ∘ f o gf .

de tal manera que se cumplen los siguientes axiomas:

• la ley asociativa : si f  : a → b , g  : b → c y h  : c → d entonces h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , y
• las ( leyes unitarias izquierda y derecha ) : para cada objeto x , existe un morfismo 1 _x  : x → x (algunos autores escriben id _x ) llamado morfismo identidad para x , tal que cada morfismo f  : a → x satisface 1 _x ∘ f = f , y cada morfismo g  : x → b satisface g ∘ 1 _x = g .

Escribimos f : a → b , y decimos " f es un morfismo de a a b ". Escribimos hom( a , b ) (o hom _C ( a , b ) cuando puede haber confusión sobre a qué categoría se refiere hom( a , b )) para indicar la clase hom de todos los morfismos de a a b . ^[2]

Algunos autores escriben la composición de morfismos en "orden diagramático", escribiendo f;g o fg en lugar de g ∘ f .

A partir de estos axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo identidad para cada objeto. A menudo, la función que asigna a cada objeto su morfismo identidad se considera una parte adicional de la estructura de una categoría, es decir, una función de clase i: ob(C) → mor(C). Algunos autores utilizan una ligera variante de la definición en la que cada objeto se identifica con el morfismo identidad correspondiente. Esto se deriva de la idea de que los datos fundamentales de las categorías son morfismos y no objetos. De hecho, las categorías se pueden definir sin referencia alguna a los objetos utilizando una operación binaria parcial con propiedades adicionales.

Una categoría C se llama pequeña si tanto ob( C ) como hom( C ) son en realidad conjuntos y no clases propias , y grande en caso contrario. Una categoría localmente pequeña es una categoría tal que para todos los objetos a y b , la clase hom hom( a , b ) es un conjunto, llamado homset . Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no son pequeñas, son al menos localmente pequeñas. Dado que, en categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede verse como una estructura algebraica similar a un monoide pero sin requerir propiedades de clausura . Las categorías grandes, por otro lado, pueden usarse para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.

La clase de todos los conjuntos (como objetos) junto con todas las funciones entre ellos (como morfismos), donde la composición de morfismos es la composición de funciones habitual , forma una gran categoría, Set . Es la categoría más básica y la más utilizada en matemáticas. La categoría Rel consiste en todos los conjuntos (como objetos) con relaciones binarias entre ellos (como morfismos). La abstracción de las relaciones en lugar de las funciones produce alegorías , una clase especial de categorías.

Cualquier clase puede ser vista como una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos identidad. Tales categorías se llaman discretas . Para cualquier conjunto I dado , la categoría discreta en I es la categoría pequeña que tiene los elementos de I como objetos y solo los morfismos identidad como morfismos. Las categorías discretas son el tipo más simple de categoría.

Cualquier conjunto preordenado ( P , ≤) forma una pequeña categoría, donde los objetos son los miembros de P , los morfismos son flechas que apuntan de x a y cuando x ≤ y . Además, si ≤ es antisimétrico , puede haber como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. La existencia de morfismos identidad y la componibilidad de los morfismos están garantizadas por la reflexividad y la transitividad del preorden. Por el mismo argumento, cualquier conjunto parcialmente ordenado y cualquier relación de equivalencia pueden verse como una pequeña categoría. Cualquier número ordinal puede verse como una categoría cuando se ve como un conjunto ordenado .

Cualquier monoide (cualquier estructura algebraica con una única operación binaria asociativa y un elemento identidad ) forma una pequeña categoría con un único objeto x . (Aquí, x es cualquier conjunto fijo). Los morfismos de x a x son precisamente los elementos del monoide, el morfismo identidad de x es la identidad del monoide y la composición categórica de los morfismos está dada por la operación monoide. Varias definiciones y teoremas sobre monoides pueden generalizarse para categorías.

De manera similar, cualquier grupo puede ser visto como una categoría con un único objeto en el que cada morfismo es invertible , es decir, para cada morfismo f hay un morfismo g que es tanto inverso por izquierda como por derecha de f bajo composición. Un morfismo que es invertible en este sentido se llama isomorfismo .

Un grupoide es una categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo. Los grupoides son generalizaciones de grupos, acciones de grupo y relaciones de equivalencia . En realidad, desde el punto de vista de la categoría, la única diferencia entre grupoide y grupo es que un grupoide puede tener más de un objeto, pero el grupo debe tener solo uno. Consideremos un espacio topológico X y fijemos un punto base de X , entonces es el grupo fundamental del espacio topológico X y el punto base , y como conjunto tiene la estructura de grupo; si entonces dejamos que el punto base recorra todos los puntos de X , y tomamos la unión de todos , entonces el conjunto que obtenemos tiene solo la estructura de grupoide (que se llama como el grupoide fundamental de X ): dos bucles (bajo la relación de equivalencia de homotopía) pueden no tener el mismo punto base, por lo que no pueden multiplicarse entre sí. En el lenguaje de la categoría, esto significa que aquí dos morfismos no pueden tener el mismo objeto fuente (u objeto destino, porque en este caso para cualquier morfismo el objeto fuente y el objeto destino son los mismos: el punto base) por lo que no pueden componerse entre sí.$estilo de visualización x_{0}}$$estilo de visualización {\pi _{1}(X,x_{0})}$$estilo de visualización x_{0}}$$estilo de visualización x_{0}}$$estilo de visualización {\pi _{1}(X,x_{0})}$

Cualquier grafo dirigido genera una pequeña categoría: los objetos son los vértices del grafo y los morfismos son los caminos en el grafo (aumentados con bucles según sea necesario) donde la composición de los morfismos es la concatenación de caminos. Dicha categoría se denomina categoría libre generada por el grafo.

La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones que preservan el orden (es decir, funciones monótonas crecientes) como morfismos forma una categoría, Ord . Es una categoría concreta , es decir, una categoría que se obtiene añadiendo algún tipo de estructura a Set y que requiere que los morfismos sean funciones que respeten esta estructura añadida.

La clase de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos y composición de funciones como operación de composición forma una gran categoría, Grp . Al igual que Ord , Grp es una categoría concreta. La categoría Ab , que consiste en todos los grupos abelianos y sus homomorfismos de grupo, es una subcategoría completa de Grp , y el prototipo de una categoría abeliana .

La clase de todos los gráficos forma otra categoría concreta, donde los morfismos son homomorfismos de gráficos (es decir, asignaciones entre gráficos que envían vértices a vértices y aristas a aristas de una manera que preserva todas las relaciones de adyacencia e incidencia).

Otros ejemplos de categorías concretas se dan en la siguiente tabla.

Los haces de fibras con mapas de haces entre ellos forman una categoría concreta.

La categoría Gato consta de todas las categorías pequeñas, con funtores entre ellas como morfismos.

Cualquier categoría C puede considerarse a su vez como una nueva categoría de una manera diferente: los objetos son los mismos que los de la categoría original pero las flechas son las de la categoría original invertidas. Esto se llama categoría dual u opuesta y se denota C ^op .

Si C y D son categorías, se puede formar la categoría de producto C × D : los objetos son pares que consisten en un objeto de C y uno de D , y los morfismos también son pares, que consisten en un morfismo en C y uno en D . Dichos pares pueden estar compuestos componente por componente .

Un morfismo f  : a → b se llama

• un monomorfismo (o mónico ) si es cancelable por la izquierda, es decir, fg ₁ = fg ₂ implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : x → a .
• un epimorfismo (o épico ) si es cancelable por la derecha, es decir, g ₁ f = g ₂ f implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : b → x .
• un bimorfismo si es al mismo tiempo un monomorfismo y un epimorfismo.
• una retracción si tiene inversa derecha, es decir si existe un morfismo g  : b → a con fg = 1 _b .
• una sección si tiene inversa izquierda, es decir si existe un morfismo g  : b → a con gf = 1 _a .
• un isomorfismo si tiene una inversa, es decir, si existe un morfismo g  : b → a con fg = 1 _b y gf = 1 _a .
• un endomorfismo si a = b . La clase de endomorfismos de a se denota end( a ). Para categorías localmente pequeñas, end( a ) es un conjunto y forma un monoide bajo composición de morfismos.
• un automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. La clase de automorfismos de a se denota aut( a ). Para categorías localmente pequeñas, forma un grupo bajo composición de morfismos llamado grupo de automorfismos de a .

Toda retractación es un epimorfismo. Toda sección es un monomorfismo. Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes:

• f es un monomorfismo y una retracción;
• f es un epimorfismo y una sección;
• f es un isomorfismo.

Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) se pueden representar más convenientemente con diagramas conmutativos , donde los objetos se representan como puntos y los morfismos como flechas.

• En muchas categorías, p. ej. Ab o Vect _K , los hom-conjuntos hom( a , b ) no son simplemente conjuntos sino en realidad grupos abelianos , y la composición de morfismos es compatible con estas estructuras de grupo; es decir, es bilineal . Una categoría de este tipo se llama preaditiva . Si, además, la categoría tiene todos los productos y coproductos finitos , se llama categoría aditiva . Si todos los morfismos tienen un núcleo y un conúcleo , y todos los epimorfismos son conúcleos y todos los monomorfismos son núcleos, entonces hablamos de una categoría abeliana . Un ejemplo típico de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos.
• Una categoría se dice completa si en ella existen todos los límites pequeños. Son completas las categorías de conjuntos, grupos abelianos y espacios topológicos.
• Una categoría se denomina cerrada cartesiana si tiene productos directos finitos y un morfismo definido sobre un producto finito siempre puede representarse mediante un morfismo definido sobre solo uno de los factores. Algunos ejemplos son Set y CPO , la categoría de órdenes parciales completos con funciones Scott-continuas .
• Un topos es un tipo de categoría cartesiana cerrada en la que se pueden formular todas las matemáticas (de la misma manera que, clásicamente, todas las matemáticas se formulan en la categoría de conjuntos). Un topos también se puede utilizar para representar una teoría lógica.

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