Operador diferencial

En matemáticas , un operador diferencial es un operador definido como una función del operador de diferenciación . Es útil, como cuestión de notación en primer lugar, considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra función (al estilo de una función de orden superior en informática ).

En este artículo se consideran principalmente operadores diferenciales lineales , que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarz .

Dado un entero no negativo m , un operador diferencial de orden lineal es una función de un espacio funcional a otro espacio funcional que puede escribirse como:${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ donde es un multiíndice de números enteros no negativos , , y para cada , es una función en algún dominio abierto en un espacio n -dimensional. El operador se interpreta como ${\displaystyle \alpha = (\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle a_{\alpha}(x)}$${\displaystyle D^{\alpha}}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Así, para una función :${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

La notación está justificada (es decir, es independiente del orden de diferenciación) debido a la simetría de las segundas derivadas .${\displaystyle D^{\alpha }}$

El polinomio p obtenido al reemplazar parciales por variables en P se llama símbolo total de P ; es decir, el símbolo total de P anterior es: donde El componente homogéneo más alto del símbolo, es decir, ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle \xi _{i}}$$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

se llama símbolo principal de P . ^[1] Si bien el símbolo total no está definido intrínsecamente, el símbolo principal está definido intrínsecamente (es decir, es una función en el fibrado cotangente). ^[2]

De manera más general, sean E y F fibrados vectoriales sobre una variedad X. Entonces el operador lineal

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

es un operador diferencial de orden si, en coordenadas locales en X , tenemos ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}}$

donde, para cada multiíndice α, es un mapa de fibrado , simétrico en los índices α.${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

Los coeficientes de orden k de ^P se transforman en un tensor simétrico

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

cuyo dominio es el producto tensorial de la k ^ésima potencia simétrica del fibrado cotangente de X con E , y cuyo codominio es F . Este tensor simétrico se conoce como el símbolo principal (o simplemente el símbolo ) de P .

El sistema de coordenadas x ⁱ permite una trivialización local del fibrado cotangente mediante las diferenciales de coordenadas d x ⁱ , que determinan las coordenadas de la fibra ξ _i . En términos de una base de marcos e _μ , f _ν de E y F , respectivamente, el operador diferencial P se descompone en componentes

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

en cada sección u de E . Aquí P _νμ es el operador diferencial escalar definido por

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

Con esta trivialización, el símbolo principal ahora puede escribirse

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

En el espacio cotangente sobre un punto fijo x de X , el símbolo define un polinomio homogéneo de grado k en con valores en .${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle T_{x}^{*}X}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

Un operador diferencial P y su símbolo aparecen naturalmente en conexión con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea ƒ una función de Schwartz . Entonces, por la transformada de Fourier inversa,

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Esto muestra a P como un multiplicador de Fourier . Una clase más general de funciones p ( x , ξ) que satisfacen como máximo las condiciones de crecimiento polinomial en ξ bajo las cuales esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudodiferenciales .

• El operador diferencial es elíptico si su símbolo es invertible; es decir, para cada valor distinto de cero, la función del fibrado es invertible. En una variedad compacta , se deduce de la teoría elíptica que P es un operador de Fredholm : tiene núcleo y conúcleo de dimensión finita.${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y parabólicas , los ceros del símbolo principal corresponden a las características de la ecuación diferencial parcial.
• En aplicaciones a las ciencias físicas, operadores como el operador de Laplace juegan un papel importante en el establecimiento y resolución de ecuaciones diferenciales parciales .
• En topología diferencial , los operadores de derivada exterior y derivada de Lie tienen un significado intrínseco.
• En álgebra abstracta , el concepto de derivación permite generalizaciones de operadores diferenciales que no requieren el uso del cálculo. Con frecuencia, dichas generalizaciones se emplean en geometría algebraica y álgebra conmutativa . Véase también Jet (matemáticas) .
• En el desarrollo de funciones holomorfas de una variable compleja z = x + i  y , a veces se considera que una función compleja es una función de dos variables reales x e y . Se hace uso de las derivadas de Wirtinger , que son operadores diferenciales parciales: Este enfoque también se utiliza para estudiar funciones de varias variables complejas y funciones de una variable motora .$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
• El operador diferencial del , también llamado nabla , es un operador diferencial vectorial importante . Aparece con frecuencia en física en lugares como la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell . En coordenadas cartesianas tridimensionales , del se define como

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del define el gradiente y se utiliza para calcular el rizo , la divergencia y el laplaciano de varios objetos.

• Un operador diferencial quiral. Por ahora, véase [1]

El paso conceptual de escribir un operador diferencial como algo independiente se atribuye a Louis François Antoine Arbogast en 1800. ^[3]

El operador diferencial más común es la acción de tomar la derivada . Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:

${\displaystyle {d \over dx}}$, , y .${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{x},}$${\displaystyle \partial _{x}}$

Al tomar derivadas de orden n superior , el operador puede escribirse:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$, , , o .${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D_{x}^{n}}$${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

La derivada de una función f de un argumento x a veces se da como cualquiera de las siguientes:

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

El uso y la creación de la notación D se atribuye a Oliver Heaviside , quien consideró operadores diferenciales de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

en su estudio de ecuaciones diferenciales .

Uno de los operadores diferenciales más frecuentes es el operador laplaciano , definido por

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Otro operador diferencial es el operador Θ, u operador theta , definido por ^[4]

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

Esto a veces también se llama operador de homogeneidad , porque sus funciones propias son los monomios en z :$${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

En n variables el operador de homogeneidad viene dado por$${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

Como en una variable, los espacios propios de Θ son los espacios de funciones homogéneas . ( Teorema de la función homogénea de Euler )

En la escritura, siguiendo la convención matemática común, el argumento de un operador diferencial se coloca generalmente en el lado derecho del operador mismo. A veces se utiliza una notación alternativa: el resultado de aplicar el operador a la función en el lado izquierdo del operador y en el lado derecho del operador, y la diferencia obtenida al aplicar el operador diferencial a las funciones en ambos lados, se denotan con flechas de la siguiente manera:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Esta notación de flecha bidireccional se utiliza con frecuencia para describir la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica.

Dado un operador diferencial lineal, el adjunto de este operador se define como el operador tal que donde se utiliza la notación para el producto escalar o el producto interno . Por lo tanto, esta definición depende de la definición del producto escalar (o producto interno).${\displaystyle T}$$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$${\displaystyle T^{*}}$$${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

En el espacio funcional de funciones integrables al cuadrado en un intervalo real ( a , b ) , el producto escalar se define por $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

donde la línea sobre f ( x ) denota el complejo conjugado de f ( x ). Si además se añade la condición de que f o g se anulan cuando y , también se puede definir el adjunto de T por${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle x\to b}$$${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

Esta fórmula no depende explícitamente de la definición del producto escalar. Por lo tanto , a veces se la elige como definición del operador adjunto. Cuando se define según esta fórmula, se denomina adjunto formal de T.${\displaystyle T^{*}}$

Un operador autoadjunto (formalmente) es un operador igual a su propio adjunto (formal).

Si Ω es un dominio en R ⁿ , y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L ² (Ω) por dualidad de manera análoga:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

para todas las funciones suaves L ² f , g . Dado que las funciones suaves son densas en L ² , esto define el adjunto en un subconjunto denso de L ² : P ^* es un operador definido densamente .

El operador de Sturm-Liouville es un ejemplo bien conocido de un operador autoadjunto formal. Este operador diferencial lineal de segundo orden L se puede escribir en la forma

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

Esta propiedad se puede demostrar utilizando la definición formal adjunta anterior. ^[5]

Este operador es fundamental en la teoría de Sturm-Liouville, donde se consideran las funciones propias (análogas a los vectores propios ) de este operador.

La diferenciación es lineal , es decir

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

donde f y g son funciones y a es una constante.

Cualquier polinomio en D con coeficientes de función también es un operador diferencial. También podemos componer operadores diferenciales mediante la regla

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Por lo tanto, es necesario tener cuidado: en primer lugar, los coeficientes de cualquier función en el operador D ₂ deben ser diferenciables tantas veces como lo requiera la aplicación de D _1. Para obtener un anillo de tales operadores, debemos suponer derivadas de todos los órdenes de los coeficientes utilizados. En segundo lugar, este anillo no será conmutativo : un operador gD no es lo mismo en general que Dg . Por ejemplo, tenemos la relación básica en mecánica cuántica :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, por el contrario, conmutativo. Puede caracterizarse de otra manera: está formado por operadores invariantes en la traslación.

Los operadores diferenciales también obedecen al teorema de desplazamiento .

Si R es un anillo, sea el anillo polinomial no conmutativo sobre R en las variables D y X , e I el ideal bilateral generado por DX − XD − 1. Entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados sobre R es el anillo cociente . Este es un anillo simple no conmutativo . Cada elemento puede escribirse de forma única como una combinación R -lineal de monomios de la forma . Admite un análogo de la división euclidiana de polinomios .${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

Los módulos diferenciales ^{[ aclaración necesaria ]} sobre (para la derivación estándar) se pueden identificar con módulos sobre .${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Si R es un anillo, sea el anillo polinomial no conmutativo sobre R en las variables , e I el ideal bilateral generado por los elementos ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

para todos donde es delta de Kronecker . Entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariados sobre R es el anillo del cociente .${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Se trata de un anillo simple no conmutativo . Cada elemento puede escribirse de forma única como una combinación R -lineal de monomios de la forma .${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

En geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos fibrados vectoriales . Sean E y F dos fibrados vectoriales sobre una variedad diferenciable M. Se dice que una aplicación R -lineal de secciones P  : Γ( E ) → Γ( F ) es un operador diferencial lineal de orden k si se factoriza a través del fibrado jet J ^k ( E ). En otras palabras, existe una aplicación lineal de fibrados vectoriales

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

de tal manera que

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

donde j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) es la prolongación que asocia a cualquier sección de E su k -jet .

Esto simplemente significa que para una sección dada s de E , el valor de P ( s ) en un punto x  ∈  M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de orden k de s en x . En particular, esto implica que P ( s )( x ) está determinado por el germen de s en x , lo que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que el recíproco también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.

Una descripción equivalente, pero puramente algebraica, de los operadores diferenciales lineales es la siguiente: una función R -lineal P es un operador diferencial lineal de orden k , si para cualesquiera k  + 1 funciones suaves tenemos${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Aquí el soporte se define como el conmutador.${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

Esta caracterización de los operadores diferenciales lineales muestra que son aplicaciones particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa , lo que permite ver el concepto como parte del álgebra conmutativa .

Un operador diferencial de orden infinito es (aproximadamente) un operador diferencial cuyo símbolo total es una serie de potencias en lugar de un polinomio.

Un operador diferencial que actúa sobre dos funciones se denomina operador bidiferencial . El concepto aparece, por ejemplo, en una estructura de álgebra asociativa sobre una cuantificación de deformación de un álgebra de Poisson. ^[6]${\displaystyle D(g,f)}$

Un operador microdiferencial es un tipo de operador sobre un subconjunto abierto de un fibrado cotangente, a diferencia de un subconjunto abierto de una variedad. Se obtiene extendiendo la noción de operador diferencial al fibrado cotangente. ^[7]

• Freed, Daniel S. (1987), Geometría de los operadores de Dirac , pág. 8, CiteSeerX  10.1.1.186.8445
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr.  0717035.
• Schapira, Pierre (1985). Sistemas microdiferenciales en el dominio complejo. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 269. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-61665-5. ISBN 978-3-642-64904-2.
• Wells, RO (1973), Análisis diferencial en variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.

• Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarkhanov, Nikolai (2002). "Fórmulas de índice analítico para operadores de esquina elípticos". Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899–982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN  1777-5310.
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-solicitud-inversa-de-operadores-diferenciales

• Medios relacionados con Operadores diferenciales en Wikimedia Commons
• "Operador diferencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]