Función homogénea

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En matemáticas , una función homogénea es una función de varias variables de modo que se cumple lo siguiente: Si cada uno de los argumentos de la función se multiplica por el mismo escalar , entonces el valor de la función se multiplica por alguna potencia de este escalar; la potencia se denomina grado de homogeneidad o, simplemente, grado . Es decir, si k es un número entero, una función f de n variables es homogénea de grado k si

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Para cada uno y${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$${\displaystyle s\neq 0.}$

Por ejemplo, un polinomio homogéneo de grado k define una función homogénea de grado k .

La definición anterior se extiende a funciones cuyo dominio y codominio son espacios vectoriales sobre un cuerpo F : una función entre dos F -espacios vectoriales es homogénea de grado si${\displaystyle f:V\to W}$${\estilo de visualización k}$

${\displaystyle f(s\mathbf {v} )=s^{k}f(\mathbf {v} )}$

( 1 )

para todos los distintos de cero y Esta definición a menudo se generaliza aún más a funciones cuyo dominio no es V , sino un cono en V , es decir, un subconjunto C de V tal que implica para cada escalar s distinto de cero .${\displaystyle s\en F}$${\displaystyle v\en V.}$${\displaystyle \mathbf {v} \en C}$${\displaystyle s\mathbf {v} \en C}$

En el caso de funciones de varias variables reales y espacios vectoriales reales , se suele considerar una forma ligeramente más general de homogeneidad denominada homogeneidad positiva , que exige únicamente que las identidades anteriores se cumplan y permite cualquier número real k como grado de homogeneidad. Toda función real homogénea es positivamente homogénea . La inversa no es cierta, pero es localmente cierta en el sentido de que (para grados enteros) los dos tipos de homogeneidad no se pueden distinguir considerando el comportamiento de una función cerca de un punto dado.${\displaystyle s>0,}$

Una norma sobre un espacio vectorial real es un ejemplo de función positivamente homogénea que no es homogénea. Un caso especial es el valor absoluto de los números reales. El cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado da un ejemplo de función homogénea de grado cero. Este ejemplo es fundamental en la definición de esquemas proyectivos .

El concepto de función homogénea se introdujo originalmente para funciones de varias variables reales . Con la definición de espacios vectoriales a finales del siglo XIX, el concepto se ha extendido naturalmente a funciones entre espacios vectoriales, ya que una tupla de valores de variables puede considerarse como un vector de coordenadas . Es este punto de vista más general el que se describe en este artículo.

Hay dos definiciones que se usan comúnmente. La general funciona para espacios vectoriales sobre cuerpos arbitrarios y está restringida a grados de homogeneidad que son números enteros .

La segunda supone trabajar sobre el cuerpo de los números reales , o, más generalmente, sobre un cuerpo ordenado . Esta definición restringe a los valores positivos el factor de escala que aparece en la definición, y por ello se denomina homogeneidad positiva , omitiendo a menudo el calificativo positivo cuando no hay riesgo de confusión. La homogeneidad positiva lleva a considerar como homogéneas más funciones. Por ejemplo, el valor absoluto y todas las normas son funciones positivamente homogéneas que no son homogéneas.

La restricción del factor de escala a valores reales positivos permite considerar también funciones homogéneas cuyo grado de homogeneidad sea cualquier número real.

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo F. Un cono lineal en V es un subconjunto C de V tal que para todos y todos los valores distintos de cero${\displaystyle sx\en C}$${\displaystyle x\en C}$${\displaystyle s\en F.}$

Una función homogénea f de V a W es una función parcial de V a W que tiene un cono lineal C como dominio y satisface

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

para algún entero k , todo y cada número distinto de cero El entero k se llama grado de homogeneidad , o simplemente grado de f .${\displaystyle x\en C,}$${\displaystyle s\en F.}$

Un ejemplo típico de función homogénea de grado k es la función definida por un polinomio homogéneo de grado k . La función racional definida por el cociente de dos polinomios homogéneos es una función homogénea; su grado es la diferencia de los grados del numerador y el denominador; su cono de definición es el cono lineal de los puntos donde el valor del denominador no es cero.

Las funciones homogéneas juegan un papel fundamental en la geometría proyectiva ya que cualquier función homogénea f de V a W define una función bien definida entre las proyectivizaciones de V y W . Las funciones racionales homogéneas de grado cero (aquellas definidas por el cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado) juegan un papel esencial en la construcción de esquemas proyectivos .

Cuando se trabaja con números reales , o más generalmente con un cuerpo ordenado , suele ser conveniente considerar la homogeneidad positiva , siendo la definición exactamente la misma que en la sección precedente, con " s distinto de cero " reemplazado por " s > 0 " en las definiciones de un cono lineal y una función homogénea.

Este cambio permite considerar funciones (positivamente) homogéneas con cualquier número real como sus grados, ya que la exponenciación con base real positiva está bien definida.

Incluso en el caso de grados enteros, hay muchas funciones útiles que son positivamente homogéneas sin ser homogéneas. Este es, en particular, el caso de la función valor absoluto y las normas , que son todas positivamente homogéneas de grado 1 . No son homogéneas ya que si Esto sigue siendo cierto en el caso complejo , ya que el cuerpo de los números complejos y todo espacio vectorial complejo pueden considerarse como espacios vectoriales reales.${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$${\displaystyle x\neq 0.}$${\displaystyle \mathbb {C}}$

El teorema de la función homogénea de Euler es una caracterización de funciones diferenciables positivamente homogéneas , que puede considerarse como el teorema fundamental sobre funciones homogéneas .

La función es homogénea de grado 2:${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$$${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

El valor absoluto de un número real es una función positivamente homogénea de grado 1 , que no es homogénea, ya que si y si${\displaystyle |sx|=s|x|}$${\displaystyle s>0,}$${\displaystyle |sx|=-s|x|}$${\displaystyle s<0.}$

El valor absoluto de un número complejo es una función positivamente homogénea de grado sobre los números reales (es decir, al considerar los números complejos como un espacio vectorial sobre los números reales). No es homogéneo, tanto sobre los números reales como sobre los números complejos.${\displaystyle 1}$

En términos más generales, toda norma y seminorma es una función positivamente homogénea de grado 1 que no es una función homogénea. En cuanto al valor absoluto, si la norma o seminorma se define en un espacio vectorial sobre los números complejos, este espacio vectorial debe considerarse como un espacio vectorial sobre el número real para aplicar la definición de función positivamente homogénea.

Cualquier aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre un cuerpo F es homogénea de grado 1, por la definición de linealidad: para todos y${\displaystyle f:V\to W}$ $${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$${\displaystyle \alpha \in {F}}$${\displaystyle v\in V.}$

De manera similar, cualquier función multilineal es homogénea de grado por la definición de multilinealidad: para todos y${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$${\displaystyle n,}$$${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$${\displaystyle \alpha \in {F}}$${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

Los monomios en variables definen funciones homogéneas Por ejemplo, es homogénea de grado 10 ya que El grado es la suma de los exponentes de las variables; en este ejemplo,${\displaystyle n}$${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$$${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$${\displaystyle 10=5+2+3.}$

Un polinomio homogéneo es un polinomio formado por la suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo, es un polinomio homogéneo de grado 5. Los polinomios homogéneos también definen funciones homogéneas.$${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$

Dado un polinomio homogéneo de grado con coeficientes reales que solo toma valores positivos, se obtiene una función positivamente homogénea de grado elevándola a la potencia Así, por ejemplo, la siguiente función es positivamente homogénea de grado 1 pero no homogénea:${\displaystyle k}$${\displaystyle k/d}$${\displaystyle 1/d.}$$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Para cada conjunto de pesos las siguientes funciones son positivamente homogéneas de grado 1, pero no homogéneas:${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$( Servicios públicos de Leontief )
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Las funciones racionales formadas como cociente de dos polinomios homogéneos son funciones homogéneas en su dominio , es decir, fuera del cono lineal formado por los ceros del denominador. Así, si es homogénea de grado y es homogénea de grado entonces es homogénea de grado fuera de los ceros de${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle m-n}$${\displaystyle g.}$

Las funciones reales homogéneas de una sola variable tienen la forma para alguna constante c . Por lo tanto, la función afín el logaritmo natural y la función exponencial no son homogéneas.${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ ${\displaystyle x\mapsto x+5,}$ ${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

En términos generales, el teorema de la función homogénea de Euler afirma que las funciones homogéneas positivas de un grado dado son exactamente la solución de una ecuación diferencial parcial específica . Más precisamente:

En consecuencia, si es continuamente diferenciable y homogénea de grado sus derivadas parciales de primer orden son homogéneas de grado. Esto resulta del teorema de Euler al diferenciar la ecuación diferencial parcial con respecto a una variable.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$${\displaystyle k-1.}$

En el caso de una función de una sola variable real ( ), el teorema implica que una función continuamente diferenciable y positivamente homogénea de grado k tiene la forma para y para Las constantes y no son necesariamente las mismas, como es el caso del valor absoluto .${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}$${\displaystyle x<0.}$${\displaystyle c_{+}}$${\displaystyle c_{-}}$

La sustitución convierte la ecuación diferencial ordinaria donde y son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable${\displaystyle v=y/x}$$${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$$${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

Las definiciones dadas anteriormente son todas casos especializados de la siguiente noción más general de homogeneidad en la que puede ser cualquier conjunto (en lugar de un espacio vectorial) y los números reales pueden reemplazarse por la noción más general de monoide . ${\displaystyle X}$

Sea un monoide con elemento identidad sea y sean conjuntos, y supongamos que en ambos y hay acciones monoides definidas de Sea un entero no negativo y sea una función. Entonces se dice que es homogénea de grado sobre si para cada y Si además hay una función denotada por llamada valor absoluto entonces se dice que es absolutamente homogénea de grado sobre si para cada y${\displaystyle M}$${\displaystyle 1\in M,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle m\in M,}$$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$${\displaystyle M\to M,}$${\displaystyle m\mapsto |m|,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle m\in M,}$$${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

Una función es homogénea sobre${\displaystyle M}$ (resp. absolutamente homogénea sobre${\displaystyle M}$ ) si es homogénea de grado sobre (resp. absolutamente homogénea de grado sobre ). ${\displaystyle 1}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle M}$

En términos más generales, es posible que los símbolos se definan para que sean algo distinto de un número entero (por ejemplo, si son los números reales y es un número real distinto de cero, entonces se definen aunque no sean un número entero). Si este es el caso, se llamará homogéneo de grado sobre si se cumple la misma igualdad:${\displaystyle m^{k}}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

La noción de ser absolutamente homogéneo en cuanto${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$ a grado se generaliza de manera similar.

Una función continua en es homogénea de grado si y solo si para todas las funciones de prueba con soporte compacto y real distinto de cero De manera equivalente, realizar un cambio de variable es homogéneo de grado si y solo si para todas y todas las funciones de prueba La última visualización permite definir la homogeneidad de distribuciones . Una distribución es homogénea de grado si para todos los reales distintos de cero y todas las funciones de prueba Aquí los corchetes angulares denotan el emparejamiento entre distribuciones y funciones de prueba, y es la aplicación de la división escalar por el número real${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varphi .}$${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t.}$

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Sea una función entre dos espacios vectoriales sobre un cuerpo (normalmente los números reales o los números complejos ). Si es un conjunto de escalares, como por ejemplo o , entonces se dice que es${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$homogéneo sobre ${\displaystyle S}$ si para caday escalar Por ejemplo, cadamapa aditivoentre espacios vectoriales es${\textstyle f(sx)=sf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in S.}$homogénea sobre los números racionales aunquepodría no serlo${\displaystyle S:=\mathbb {Q} }$homogénea sobre los números reales ${\displaystyle S:=\mathbb {R} .}$

Los siguientes casos especiales y variaciones de esta definición que se encuentran comúnmente tienen su propia terminología:

1. (Estricto )Homogeneidad positiva :^[1] para todosy cada unode los números realespositivos${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r>0.}$
   • Cuando la función se valora en un espacio o campo vectorial, entonces esta propiedad es lógicamente equivalente ^{[prueba 1]} a${\displaystyle f}$homogeneidad no negativa , que por definición significa:^[2] para todosy cada unode los números realesno negativos. Es por esta razón que la homogeneidad positiva a menudo también se llama homogeneidad no negativa. Sin embargo, para las funciones valoradas en losnúmeros reales extendidosque aparecen en campos comoel análisis convexo, la multiplicaciónserá indefinida siemprey, por lo tanto, estas afirmaciones no son necesariamente siempre intercambiables.^{[nota 1]}${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$${\displaystyle 0\cdot f(x)}$${\displaystyle f(x)=\pm \infty }$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de una función sublineal . ^{[1] [2]}
   • Las funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones reales extendidas no negativas con esta propiedad.
2. Homogeneidad real :para todosy cada uno de los reales${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de una funcional lineal real .
3. Homogeneidad :^[3] para todosy cada uno de los escalares${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Se enfatiza que esta definición depende del campo escalar subyacente al dominio.${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X.}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de funcionales lineales y mapas lineales . ^[2]
4. Homogeneidad conjugada :^[4] para todosy cada uno de los escalares${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Si entonces denota típicamente el conjugado complejo de . Pero de manera más general, como con los mapas semilineales por ejemplo, podría ser la imagen de bajo algún automorfismo distinguido de${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • Junto con la aditividad , esta propiedad se asume en la definición de una función antilineal . También se supone que una de las dos coordenadas de una forma sesquilineal tiene esta propiedad (como el producto interno de un espacio de Hilbert ).

Todas las definiciones anteriores se pueden generalizar reemplazando la condición por en cuyo caso esa definición se antepone con la palabra " absoluto " o " absolutamente ". Por ejemplo,${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$

5. Homogeneidad absoluta :^[2] para todosy cada uno de los escalares${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Esta propiedad se utiliza en la definición de una seminorma y una norma .

Si es un número real fijo, entonces las definiciones anteriores se pueden generalizar aún más reemplazando la condición con (y de manera similar, reemplazando con para condiciones que usan el valor absoluto, etc.), en cuyo caso se dice que la homogeneidad es " de grado " (donde en particular, todas las definiciones anteriores son " de grado " ). Por ejemplo, ${\displaystyle k}$${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1}$

6. Homogeneidad real de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy cada uno de los reales${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
7. Homogeneidad de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy cada uno de los escalares${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
8. Homogeneidad real absoluta de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy cada uno de los reales${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle r.}$
9. Homogeneidad absoluta de grado ${\displaystyle k}$ :para todosy cada uno de los escalares${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

Una función continua distinta de cero que es homogénea de grado en se extiende continuamente a si y solo si${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k>0.}$

• Espacio homogéneo
• Función central del triángulo  : Punto en un triángulo que puede considerarse como su centro bajo ciertos criterios.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Pruebas

• Blatter, cristiano (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1". Análisis II (en alemán) (2ª ed.). Springer Verlag. pag. 188.ISBN​ 3-540-09484-9.
• Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría de operadores (segunda edición). Boston: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2.OCLC 710154895  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .

• "Función homogénea", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Teorema de la función homogénea de Euler". MathWorld .