Rectángulo

Rectángulo
Rectángulo
Tipo	cuadrilátero , trapecio , paralelogramo , ortótopo
Aristas y vértices	4
Símbolo de Schläfli	{ } × { }
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetría	Diédrico (D 2 ), [2], (*22), orden 4
Propiedades	convexo , isogonal , cíclico Los ángulos y lados opuestos son congruentes
Polígono dual	rombo

En geometría del plano euclidiano , un rectángulo es un polígono convexo rectilíneo o un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos . También se puede definir como: un cuadrilátero equiangular, ya que equiangular significa que todos sus ángulos son iguales (360°/4 = 90°); o un paralelogramo que contiene un ángulo recto. Un rectángulo con cuatro lados de igual longitud es un cuadrado . El término "oblongo" se utiliza para referirse a un rectángulo no cuadrado . ^{[1] [2] [3]} Un rectángulo con vértices ABCD se denotaría como ABCD .  

La palabra rectángulo proviene del latín rectangulus , que es una combinación de rectus (como adjetivo, recto, propio) y angulus ( ángulo ).

Un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado (autointersecante) que consta de dos lados opuestos de un rectángulo junto con las dos diagonales ^[4] (por lo tanto, solo dos lados son paralelos). Es un caso especial de un antiparalelogramo , y sus ángulos no son ángulos rectos y no todos son iguales, aunque los ángulos opuestos sí lo son. Otras geometrías, como la esférica , la elíptica y la hiperbólica , tienen los llamados rectángulos con lados opuestos de igual longitud y ángulos iguales que no son ángulos rectos.

Los rectángulos están involucrados en muchos problemas de mosaico, como por ejemplo, el mosaico del plano con rectángulos o el mosaico de un rectángulo con polígonos .

Un cuadrilátero convexo es un rectángulo si y sólo si es cualquiera de los siguientes: ^{[5] [6]}

• un paralelogramo con al menos un ángulo recto
• un paralelogramo con diagonales de igual longitud
• un paralelogramo ABCD donde los triángulos ABD y DCA son congruentes
• un cuadrilátero equiangular
• un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos
• un cuadrilátero donde las dos diagonales tienen la misma longitud y se bisecan entre sí ^[7]
• un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuya área es . ^{[8] : fn.1}${\displaystyle {\frac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$
• un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuya área es ^[8]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$

Un rectángulo es un caso especial de paralelogramo en el que cada par de lados adyacentes es perpendicular .

Un paralelogramo es un caso especial de trapecio (conocido como trapezoide en América del Norte) en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos e iguales en longitud .

Un trapezoide es un cuadrilátero convexo que tiene al menos un par de lados opuestos paralelos .

Un cuadrilátero convexo es

• Simple : el límite no se cruza por sí solo.
• En forma de estrella : Todo el interior es visible desde un único punto, sin cruzar ninguna arista.

De Villiers define un rectángulo de manera más general como cualquier cuadrilátero con ejes de simetría a través de cada par de lados opuestos. ^[9] Esta definición incluye tanto rectángulos rectángulos como rectángulos cruzados. Cada uno tiene un eje de simetría paralelo y equidistante de un par de lados opuestos, y otro que es la bisectriz perpendicular de esos lados, pero, en el caso del rectángulo cruzado, el primer eje no es un eje de simetría para ninguno de los lados que biseca.

Los cuadriláteros con dos ejes de simetría, cada uno de ellos a través de un par de lados opuestos, pertenecen a la clase más amplia de cuadriláteros con al menos un eje de simetría a través de un par de lados opuestos. Estos cuadriláteros comprenden los trapecios isósceles y los trapecios isósceles cruzados (cuadriláteros cruzados con la misma disposición de vértices que los trapecios isósceles).

Un rectángulo es cíclico : todos los vértices se encuentran en un solo círculo .

Es equiangular : todos sus ángulos de las esquinas son iguales (cada uno de 90 grados ).

Es isogonal o vértice-transitivo : todos los vértices se encuentran dentro de la misma órbita de simetría .

Tiene dos ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°).

El polígono dual de un rectángulo es un rombo , como se muestra en la siguiente tabla. ^[10]

• La figura que se forma al unir, en orden, los puntos medios de los lados de un rectángulo es un rombo y viceversa.

Un rectángulo es un polígono rectilíneo : sus lados forman ángulos rectos.

Un rectángulo en el plano se puede definir mediante cinco grados de libertad independientes que consisten, por ejemplo, en tres para la posición (que comprenden dos de traslación y uno de rotación ), uno para la forma ( relación de aspecto ) y uno para el tamaño total (área).

Se dice que dos rectángulos, ninguno de los cuales cabe dentro del otro, son incomparables .

Si un rectángulo tiene largo y ancho , entonces: ^[11]${\displaystyle \ell}$${\estilo de visualización w}$

• tiene area ;${\displaystyle A=\ell w\,}$
• tiene perimetro ;${\displaystyle P=2\ell+2w=2(\ell+w)\,}$
• Cada diagonal tiene una longitud ; y${\displaystyle d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}}$
• cuando , el rectángulo es un cuadrado . ^[1]${\displaystyle \ell =w\,}$

El teorema isoperimétrico para rectángulos establece que entre todos los rectángulos de un perímetro dado , el cuadrado tiene el área más grande .

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares forman un rectángulo.

Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.

El teorema japonés para cuadriláteros cíclicos ^[12] establece que los incentros de los cuatro triángulos determinados por los vértices de un cuadrilátero cíclico tomados de tres en tres forman un rectángulo.

El teorema de la bandera británica establece que con vértices denotados A , B , C y D , para cualquier punto P en el mismo plano de un rectángulo: ^[13]

${\displaystyle \displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.}$

Para cada cuerpo convexo C en el plano, podemos inscribir un rectángulo r en C tal que una copia homotética R de r esté circunscrita a C y la razón de homotecia positiva sea como máximo 2 y . ^[14]${\displaystyle 0.5{\text{ × Área}}(R)\leq {\text{Área}}(C)\leq 2{\text{ × Área}}(r)}$

Existe un único rectángulo con lados y , donde es menor que , con dos formas de doblarse a lo largo de una línea que pasa por su centro de modo que el área de superposición se minimiza y cada área produce una forma diferente: un triángulo y un pentágono. La única razón de las longitudes de los lados es . ^[15]${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...}$

Un cuadrilátero cruzado (autointersecante) consta de dos lados opuestos de un cuadrilátero que no se autointerseca junto con las dos diagonales. De manera similar, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado que consta de dos lados opuestos de un rectángulo junto con las dos diagonales. Tiene la misma disposición de vértices que el rectángulo. Parecen dos triángulos idénticos con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

A veces, un cuadrilátero cruzado se asemeja a una pajarita o una mariposa , y a veces se lo llama "ocho angular". Un marco de alambre rectangular tridimensional que se retuerce puede adoptar la forma de una pajarita.

El interior de un rectángulo cruzado puede tener una densidad de polígonos de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del bobinado, en sentido horario o antihorario.

Un rectángulo cruzado puede considerarse equiangular si se permiten giros a la derecha y a la izquierda. Como en cualquier cuadrilátero cruzado , la suma de sus ángulos interiores es de 720°, lo que permite que aparezcan ángulos internos en el exterior y superen los 180°. ^[16]

Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes propiedades en común:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• Tiene dos ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°).

En geometría esférica , un rectángulo esférico es una figura cuyos cuatro bordes son arcos de círculo máximo que se encuentran en ángulos iguales mayores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud. La superficie de una esfera en la geometría sólida euclidiana es una superficie no euclidiana en el sentido de la geometría elíptica. La geometría esférica es la forma más simple de geometría elíptica.

En geometría elíptica , un rectángulo elíptico es una figura en el plano elíptico cuyos cuatro bordes son arcos elípticos que se unen en ángulos iguales mayores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud.

En geometría hiperbólica , un rectángulo hiperbólico es una figura en el plano hiperbólico cuyos cuatro bordes son arcos hiperbólicos que se unen en ángulos iguales menores a 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud.

El rectángulo se utiliza en muchos patrones de teselación periódica, en ladrillo , por ejemplo, estos mosaicos:

Bonos apilados

Vínculo en marcha

Tejido de canasta

Tejido de canasta

Patrón de espiga

Un rectángulo con cuadrados, rectángulos o triángulos se denomina rectángulo "cuadrado", "rectangular" o "triangulado" (o "triangulado"), respectivamente. El rectángulo con cuadrados es perfecto ^{[17] [18]} si los cuadrados son similares y finitos en número y no hay dos cuadrados del mismo tamaño. Si dos de esos cuadrados son del mismo tamaño, el mosaico es imperfecto . En un rectángulo con triángulos perfecto (o imperfecto) los triángulos deben ser triángulos rectángulos . En squaring.net se puede encontrar una base de datos de todos los rectángulos perfectos, cuadrados perfectos y formas relacionadas conocidas. El número mínimo de cuadrados necesarios para un mosaico perfecto de un rectángulo es 9 ^[19] y el número mínimo necesario para un mosaico perfecto de un cuadrado es 21, encontrado en 1978 mediante una búsqueda por computadora. ^[20]

Un rectángulo tiene lados conmensurables si y sólo si es posible rellenarlo con un número finito de cuadrados desiguales. ^{[17] [21]} Lo mismo es cierto si las baldosas son triángulos rectángulos isósceles desiguales.

Los teselados de rectángulos por otros teselados que han atraído más atención son los de polióminos no rectangulares congruentes , que permiten todas las rotaciones y reflexiones. También existen teselados por poliábolos congruentes .

Los siguientes puntos de código Unicode representan rectángulos:

 U+25AC ▬ RECTÁNGULO NEGRO U+25AD ▭ RECTÁNGULO BLANCO U+25AE ▮ RECTÁNGULO VERTICAL NEGRO U+25AF ▯ RECTÁNGULO VERTICAL BLANCO

• Cuboides
• Rectángulo dorado
• Hiperrectángulo
• Superelipse (incluye un rectángulo con esquinas redondeadas)

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Rectángulos .

• Weisstein, Eric W. "Rectángulo". MathWorld .
• Definición y propiedades de un rectángulo con animación interactiva.
• Área de un rectángulo con animación interactiva.