Momento angular

Momento angular
Este giroscopio permanece en posición vertical mientras gira debido a la conservación de su momento angular.
Símbolos comunes	yo
En unidades base del SI	kg⋅m2⋅s − 1​
¿ Conservado ?	Sí
Derivaciones de otras magnitudes	L = yo ω = r × p
Dimensión	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}$

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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v t e

El momento angular (a veces llamado momento de momento o momento rotacional ) es el análogo rotacional del momento lineal . Es una cantidad física importante porque es una cantidad conservada  : el momento angular total de un sistema cerrado permanece constante. El momento angular tiene una dirección y una magnitud, y ambas se conservan. Las bicicletas y las motocicletas , los discos voladores , ^[1] las balas estriadas y los giroscopios deben sus propiedades útiles a la conservación del momento angular. La conservación del momento angular es también la razón por la que los huracanes ^[2] forman espirales y las estrellas de neutrones tienen altas tasas de rotación. En general, la conservación limita el posible movimiento de un sistema, pero no lo determina de forma única.

El momento angular tridimensional de una partícula puntual se representa clásicamente como un pseudovector r × p , el producto vectorial del vector de posición de la partícula r (en relación con algún origen) y su vector de momento ; este último es p = m v en mecánica newtoniana . A diferencia del momento lineal, el momento angular depende de dónde se elija este origen, ya que la posición de la partícula se mide a partir de él.

El momento angular es una magnitud extensiva ; es decir, el momento angular total de cualquier sistema compuesto es la suma de los momentos angulares de sus partes constituyentes. Para un cuerpo rígido continuo  o un fluido , el momento angular total es la integral de volumen de la densidad de momento angular (momento angular por unidad de volumen en el límite a medida que el volumen se reduce a cero) sobre todo el cuerpo.

De manera similar a la conservación del momento lineal, donde se conserva si no hay fuerza externa, el momento angular se conserva si no hay torque externo . El torque se puede definir como la tasa de cambio del momento angular, análogo a la fuerza . El torque externo neto en cualquier sistema siempre es igual al torque total en el sistema; la suma de todos los torques internos de cualquier sistema siempre es 0 (este es el análogo rotacional de la tercera ley de movimiento de Newton ). Por lo tanto, para un sistema cerrado (donde no hay torque externo neto), el torque total en el sistema debe ser 0, lo que significa que el momento angular total del sistema es constante.

El cambio en el momento angular para una interacción particular se llama impulso angular , a veces giro . ^[3] El impulso angular es el análogo angular del impulso (lineal) .

El caso trivial del momento angular de un cuerpo en una órbita está dado por donde es la masa del objeto en órbita, es la frecuencia de la órbita y es el radio de la órbita.${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=2\pi Mfr^{2}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

El momento angular de una esfera rígida uniforme que gira alrededor de su eje, en cambio, viene dado por${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {4}{5}}\pi Mfr^{2}}$$

donde es la masa de la esfera, es la frecuencia de rotación y es el radio de la esfera.${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

Así, por ejemplo, el momento angular orbital de la Tierra con respecto al Sol es de aproximadamente 2,66 × 10 ⁴⁰ kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ , mientras que su momento angular rotacional es de aproximadamente 7,05 × 10 ³³ kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ .

En el caso de una esfera rígida uniforme que gira alrededor de su eje, si en lugar de su masa se conoce su densidad , el momento angular viene dado por${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {16}{15}}\pi ^{2}\rho fr^{5}}$$

donde es la densidad de la esfera , es la frecuencia de rotación y es el radio de la esfera.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

En el caso más simple de un disco giratorio, el momento angular está dado por ^[4]${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=\pi Mfr^{2}}$$

donde es la masa del disco, es la frecuencia de rotación y es el radio del disco.${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$

Si, en cambio, el disco gira alrededor de su diámetro (por ejemplo, al lanzar una moneda), su momento angular viene dado por ^[4]${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\pi Mfr^{2}}$$

Al igual que para la velocidad angular , hay dos tipos especiales de momento angular de un objeto: el momento angular de espín es el momento angular sobre el centro de masa del objeto , mientras que el momento angular orbital es el momento angular sobre un centro de rotación elegido. La Tierra tiene un momento angular orbital por naturaleza de girar alrededor del Sol , y un momento angular de espín por naturaleza de su rotación diaria alrededor del eje polar. El momento angular total es la suma de los momentos angulares de espín y orbital. En el caso de la Tierra, la cantidad conservada primaria es el momento angular total del sistema solar porque el momento angular se intercambia en una medida pequeña pero importante entre los planetas y el Sol. El vector de momento angular orbital de una partícula puntual es siempre paralelo y directamente proporcional a su vector de velocidad angular orbital ω , donde la constante de proporcionalidad depende tanto de la masa de la partícula como de su distancia desde el origen. El vector de momento angular de espín de un cuerpo rígido es proporcional pero no siempre paralelo al vector de velocidad angular de espín Ω , lo que hace que la constante de proporcionalidad sea un tensor de segundo rango en lugar de un escalar.

El momento angular es una cantidad vectorial (más precisamente, un pseudovector ) que representa el producto de la inercia rotacional de un cuerpo y la velocidad rotacional (en radianes/seg) alrededor de un eje particular. Sin embargo, si la trayectoria de la partícula se encuentra en un solo plano , es suficiente descartar la naturaleza vectorial del momento angular y tratarlo como un escalar (más precisamente, un pseudoescalar ). ^[5] El momento angular puede considerarse un análogo rotacional del momento lineal. Por lo tanto, donde el momento lineal p es proporcional a la masa m y la velocidad lineal v , p = m v, {\displaystyle p=mv,}

El momento angular L es proporcional al momento de inercia I y a la velocidad angular ω medida en radianes por segundo. ^[6] L = I ω . {\displaystyle L=I\omega .}

A diferencia de la masa, que depende únicamente de la cantidad de materia, el momento de inercia depende también de la posición del eje de rotación y de la distribución de la materia. A diferencia de la velocidad lineal, que no depende de la elección del origen, la velocidad angular orbital siempre se mide con respecto a un origen fijo. Por lo tanto, en sentido estricto, L debería denominarse momento angular relativo a ese centro . ^[7]

En el caso del movimiento circular de una sola partícula, podemos utilizar y para expandir el momento angular reduciéndolo a:${\displaystyle I=r^{2}m}$${\displaystyle \omega ={v}/{r}}$${\displaystyle L=r^{2}m\cdot {v}/{r},}$$${\displaystyle L=rmv,}$$

el producto del radio de rotación r y el momento lineal de la partícula , donde es la velocidad lineal (tangencial) .${\displaystyle p=mv}$${\displaystyle v=r\omega }$

Este análisis simple también puede aplicarse al movimiento no circular si se utiliza el componente del movimiento perpendicular al radio vector :$${\displaystyle L=rmv_{\perp },}$$

donde es el componente perpendicular del movimiento. Expandiendo, reordenando y reduciendo, el momento angular también se puede expresar,${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$${\displaystyle L=rmv\sin(\theta ),}$${\displaystyle L=r\sin(\theta )mv,}$$${\displaystyle L=r_{\perp }mv,}$$

donde es la longitud del brazo del momento , una línea que se traza perpendicularmente desde el origen sobre la trayectoria de la partícula. Es a esta definición, (longitud del brazo del momento) × (momento lineal) , a la que se refiere el término momento del momento . ^[8]${\displaystyle r_{\perp }=r\sin(\theta )}$

Otro enfoque es definir el momento angular como el momento conjugado (también llamado momento canónico ) de la coordenada angular expresada en el lagrangiano del sistema mecánico. Considere un sistema mecánico con una masa restringida a moverse en un círculo de radio en ausencia de cualquier campo de fuerza externo. La energía cinética del sistema es T = 1 2 m r 2 ω 2 = 1 2 m r 2 ϕ ˙ 2 . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.} ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

Y la energía potencial es$${\displaystyle U=0.}$$

Entonces el Lagrangiano es$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)=T-U={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.}$$

El momento generalizado "canónicamente conjugado a" la coordenada se define por${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.}$$

Para definir completamente el momento angular orbital en tres dimensiones , se requiere conocer la velocidad a la que el vector de posición barre el ángulo, la dirección perpendicular al plano instantáneo de desplazamiento angular y la masa involucrada, así como también cómo se distribuye esta masa en el espacio. ^[9] Al retener esta naturaleza vectorial del momento angular, también se conserva la naturaleza general de las ecuaciones, y se puede describir cualquier tipo de movimiento tridimensional alrededor del centro de rotación: circular , lineal o de otro tipo. En notación vectorial , el momento angular orbital de una partícula puntual en movimiento alrededor del origen se puede expresar como: donde$${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$

• ${\displaystyle I=r^{2}m}$es el momento de inercia para una masa puntual ,
• ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}} es la velocidad angular orbital de la partícula alrededor del origen,
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición de la partícula con respecto al origen, y ,${\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }$
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad lineal de la partícula con respecto al origen, y
• ${\displaystyle m}$es la masa de la partícula.

Esto se puede expandir, reducir y, mediante las reglas del álgebra vectorial , reorganizar: que es el producto vectorial del vector de posición y el momento lineal de la partícula. Por la definición del producto vectorial, el vector es perpendicular tanto a como a . Está dirigido perpendicularmente al plano de desplazamiento angular, como lo indica la regla de la mano derecha , de modo que la velocidad angular se ve en sentido antihorario desde la cabeza del vector. A la inversa, el vector define el plano en el que se encuentran y .$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

Al definir un vector unitario perpendicular al plano de desplazamiento angular, resulta una velocidad angular escalar , donde y donde es el componente perpendicular del movimiento, como se indicó anteriormente.${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},}$$$${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$$${\displaystyle v_{\perp }}$

De esta manera, a las ecuaciones escalares bidimensionales de la sección anterior se les puede dar dirección: y para el movimiento circular, donde todo el movimiento es perpendicular al radio .$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}} }$${\displaystyle r}$

En el sistema de coordenadas esféricas el vector de momento angular se expresa como

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).}$

El momento angular puede describirse como el análogo rotacional del momento lineal . Al igual que el momento lineal, involucra elementos de masa y desplazamiento . A diferencia del momento lineal, también involucra elementos de posición y forma .

Muchos problemas de física involucran materia en movimiento alrededor de un punto determinado en el espacio, ya sea en rotación real alrededor de él o simplemente moviéndose más allá de él, donde se desea saber qué efecto tiene la materia en movimiento sobre el punto: ¿puede ejercer energía sobre él o realizar trabajo sobre él? La energía , la capacidad de realizar trabajo , se puede almacenar en la materia poniéndola en movimiento: una combinación de su inercia y su desplazamiento. La inercia se mide por su masa y el desplazamiento por su velocidad . Su producto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{amount of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{momentum}}\\m\times v&=p\\\end{aligned}}}$$

es el momento de la materia . ^[10] Referir este momento a un punto central introduce una complicación: el momento no se aplica al punto directamente. Por ejemplo, una partícula de materia en el borde exterior de una rueda está, en efecto, en el extremo de una palanca de la misma longitud que el radio de la rueda, su momento hace girar la palanca alrededor del punto central. Esta palanca imaginaria se conoce como brazo de momento . Tiene el efecto de multiplicar el esfuerzo del momento en proporción a su longitud, un efecto conocido como momento . Por lo tanto, el momento de la partícula referido a un punto particular,

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\text{moment arm}})\times ({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{moment of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{length}}\times {\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{moment of momentum}}\\r\times m\times v&=L\\\end{aligned}}}$$

es el momento angular , a veces llamado, como aquí, el momento de momento de la partícula versus ese punto central particular. La ecuación combina un momento (un brazo de momento giratorio de masa ) con una velocidad lineal (equivalente en línea recta) . La velocidad lineal referida al punto central es simplemente el producto de la distancia y la velocidad angular versus el punto: otro momento. Por lo tanto, el momento angular contiene un momento doble: Simplificando ligeramente, la cantidad es el momento de inercia de la partícula , a veces llamado el segundo momento de masa. Es una medida de inercia rotacional. ^[11]${\displaystyle L=rmv}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v=r\omega ,}$${\displaystyle L=rmr\omega .}$${\displaystyle L=r^{2}m\omega ,}$${\displaystyle r^{2}m}$

La analogía anterior del momento de traslación y el momento de rotación se puede expresar en forma vectorial: ^{[ cita requerida ]}

• ${\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$para movimiento lineal
• ${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$Para rotación

La dirección del momento está relacionada con la dirección de la velocidad para el movimiento lineal. La dirección del momento angular está relacionada con la velocidad angular de la rotación.

Debido a que el momento de inercia es una parte crucial del momento angular de espín, este último incluye necesariamente todas las complicaciones del primero, que se calcula multiplicando bits elementales de la masa por los cuadrados de sus distancias desde el centro de rotación. ^[12] Por lo tanto, el momento de inercia total y el momento angular son una función compleja de la configuración de la materia alrededor del centro de rotación y la orientación de la rotación para los diversos bits.

En el caso de un cuerpo rígido , por ejemplo una rueda o un asteroide, la orientación de la rotación es simplemente la posición del eje de rotación respecto de la materia del cuerpo. Puede pasar o no por el centro de masas , o puede estar completamente fuera del cuerpo. Para el mismo cuerpo, el momento angular puede adoptar un valor diferente para cada eje posible en torno al cual pueda producirse la rotación. ^[13] Alcanza un mínimo cuando el eje pasa por el centro de masas. ^[14]

En el caso de un conjunto de objetos que giran alrededor de un centro, por ejemplo, todos los cuerpos del Sistema Solar , las orientaciones pueden estar algo organizadas, como lo está el Sistema Solar, con la mayoría de los ejes de los cuerpos cerca del eje del sistema. Sus orientaciones también pueden ser completamente aleatorias.

En resumen, cuanto mayor sea la masa y cuanto más alejada esté del centro de rotación (cuanto más largo sea el brazo del momento ), mayor será el momento de inercia y, por lo tanto, mayor será el momento angular para una velocidad angular dada . En muchos casos, el momento de inercia y, por lo tanto, el momento angular, se pueden simplificar mediante ^[15] I = k 2 m, {\displaystyle I=k^{2}m,} donde es el radio de giro , la distancia desde el eje en el que se puede considerar que está concentrada toda la masa .${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

De manera similar, para una masa puntual el momento de inercia se define como, donde es el radio de la masa puntual desde el centro de rotación,${\displaystyle m}$$${\displaystyle I=r^{2}m}$$${\displaystyle r}$

y para cualquier conjunto de partículas como suma,${\displaystyle m_{i}}$$${\displaystyle \sum _{i}I_{i}=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$$

La dependencia del momento angular de la posición y la forma se refleja en sus unidades frente al momento lineal: kg⋅m ² /s o N⋅m⋅s para el momento angular frente a kg⋅m/s o N⋅s para el momento lineal. Al calcular el momento angular como el producto del momento de inercia por la velocidad angular, la velocidad angular debe expresarse en radianes por segundo, donde el radián asume el valor adimensional de la unidad. (Al realizar un análisis dimensional, puede ser productivo utilizar el análisis orientacional que trata a los radianes como una unidad base, pero esto no se hace en el sistema internacional de unidades ). Las unidades del momento angular se pueden interpretar como par ⋅tiempo. Un objeto con un momento angular de L N⋅m⋅s se puede reducir a una velocidad angular cero mediante un impulso angular de L N⋅m⋅s . ^{[16] [17]}

El plano perpendicular al eje del momento angular y que pasa por el centro de masas ^[18] se denomina a veces plano invariable , porque la dirección del eje permanece fija si solo se consideran las interacciones de los cuerpos dentro del sistema, libres de influencias externas. ^[19] Uno de estos planos es el plano invariable del Sistema Solar .

La segunda ley de movimiento de Newton se puede expresar matemáticamente, o fuerza = masa × aceleración . El equivalente rotacional para partículas puntuales se puede derivar de la siguiente manera: lo que significa que el torque (es decir, la derivada temporal del momento angular) es τ = d I d t ω + I d ω d t . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.} $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}}$$

Como el momento de inercia es , se deduce que , y lo cual se reduce a${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.}$$Este es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton. Nótese que el torque no es necesariamente proporcional o paralelo a la aceleración angular (como se podría esperar). La razón de esto es que el momento de inercia de una partícula puede cambiar con el tiempo, algo que no puede ocurrir con la masa ordinaria.

Un análogo rotacional de la tercera ley de movimiento de Newton podría escribirse así: "En un sistema cerrado , no se puede ejercer ningún torque sobre ninguna materia sin ejercer sobre alguna otra materia un torque igual y opuesto sobre el mismo eje". ^[20] Por lo tanto, el momento angular puede intercambiarse entre objetos en un sistema cerrado, pero el momento angular total antes y después de un intercambio permanece constante (se conserva). ^[21]

Visto de otra manera, un análogo rotacional de la primera ley de movimiento de Newton podría escribirse: "Un cuerpo rígido continúa en un estado de rotación uniforme a menos que actúe sobre él una influencia externa". ^[20] Por lo tanto, sin ninguna influencia externa que actúe sobre él, el momento angular original del sistema permanece constante . ^[22]

La conservación del momento angular se utiliza para analizar el movimiento de fuerza central . Si la fuerza neta sobre un cuerpo se dirige siempre hacia un punto, el centro , entonces no hay torque sobre el cuerpo con respecto al centro, ya que toda la fuerza se dirige a lo largo del vector de radio y ninguna es perpendicular al radio. Matemáticamente, torque porque en este caso y son vectores paralelos. Por lo tanto, el momento angular del cuerpo sobre el centro es constante. Este es el caso de la atracción gravitatoria en las órbitas de los planetas y satélites , donde la fuerza gravitatoria siempre se dirige hacia el cuerpo primario y los cuerpos en órbita conservan el momento angular intercambiando distancia y velocidad a medida que se mueven alrededor del primario. El movimiento de fuerza central también se utiliza en el análisis del modelo de Bohr del átomo .${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

En el caso de un planeta, el momento angular se distribuye entre el giro del planeta y su revolución en su órbita, y estos movimientos suelen intercambiarse mediante diversos mecanismos. La conservación del momento angular en el sistema Tierra-Luna da como resultado la transferencia de momento angular de la Tierra a la Luna, debido al par de marea que la Luna ejerce sobre la Tierra. Esto, a su vez, da como resultado la desaceleración de la velocidad de rotación de la Tierra, a unos 65,7 nanosegundos por día, ^[23] y el aumento gradual del radio de la órbita de la Luna, a unos 3,82 centímetros por año. ^[24]

La conservación del momento angular explica la aceleración angular de un patinador sobre hielo cuando acerca sus brazos y piernas al eje vertical de rotación. Al acercar parte de la masa de su cuerpo al eje, disminuye el momento de inercia de su cuerpo. Como el momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular , si el momento angular permanece constante (se conserva), entonces la velocidad angular (rapidez de rotación) del patinador debe aumentar.

El mismo fenómeno produce un giro extremadamente rápido de estrellas compactas (como enanas blancas , estrellas de neutrones y agujeros negros ) cuando se forman a partir de estrellas mucho más grandes y de rotación más lenta.

La conservación no siempre es una explicación completa de la dinámica de un sistema, pero es una restricción clave. Por ejemplo, una peonza está sujeta a un par gravitacional que la hace inclinarse y cambiar el momento angular sobre el eje de nutación , pero si se descuida la fricción en el punto de contacto giratorio, tiene un momento angular conservado sobre su eje de giro y otro sobre su eje de precesión . Además, en cualquier sistema planetario , los planetas, las estrellas, los cometas y los asteroides pueden moverse de numerosas y complicadas maneras, pero solo de modo que se conserve el momento angular del sistema.

El teorema de Noether establece que toda ley de conservación está asociada a una simetría (invariante) de la física subyacente. La simetría asociada a la conservación del momento angular es la invariancia rotacional . El hecho de que la física de un sistema no cambie si se lo rota en cualquier ángulo sobre un eje implica que el momento angular se conserva. ^[25]

Si bien la conservación total del momento angular se puede entender por separado de las leyes de movimiento de Newton como derivadas del teorema de Noether en sistemas simétricos bajo rotaciones, también se puede entender simplemente como un método eficiente de cálculo de resultados a los que también se puede llegar directamente de la segunda ley de Newton, junto con las leyes que gobiernan las fuerzas de la naturaleza (como la tercera ley de Newton, las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz ). De hecho, dadas las condiciones iniciales de posición y velocidad para cada punto, y las fuerzas en tal condición, se puede usar la segunda ley de Newton para calcular la segunda derivada de la posición, y resolver para esto brinda información completa sobre el desarrollo del sistema físico con el tiempo. ^[26] Sin embargo, tenga en cuenta que esto ya no es cierto en la mecánica cuántica , debido a la existencia del espín de la partícula , que es el momento angular que no se puede describir por el efecto acumulativo de los movimientos puntuales en el espacio.

Como ejemplo, considere la disminución del momento de inercia , por ejemplo, cuando un patinador artístico tira con las manos, acelerando el movimiento circular. En términos de conservación del momento angular, tenemos, para el momento angular L , el momento de inercia I y la velocidad angular ω :$${\displaystyle 0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega }$$

Usando esto, vemos que el cambio requiere una energía de:

$${\displaystyle dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$De modo que una disminución del momento de inercia requiere invertir energía.

Esto se puede comparar con el trabajo realizado calculado utilizando las leyes de Newton. Cada punto del cuerpo giratorio se acelera, en cada momento, con una aceleración radial de:$${\displaystyle -r\cdot \omega ^{2}}$$

Observemos un punto de masa m cuyo vector de posición con respecto al centro de movimiento es perpendicular al eje z en un instante dado y se encuentra a una distancia z . La fuerza centrípeta sobre este punto, manteniendo el movimiento circular, es:$${\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}$$

Por lo tanto, el trabajo necesario para mover este punto a una distancia dz más alejada del centro de movimiento es:$${\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)}$$

Para un cuerpo no puntual, se debe integrar sobre esto, reemplazando m por la densidad de masa por unidad z . Esto da:$${\displaystyle dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}$$

que es exactamente la energía necesaria para conservar el momento angular.

Tenga en cuenta que el cálculo anterior también se puede realizar por masa, utilizando solo la cinemática . Por lo tanto, el fenómeno de la aceleración de la velocidad tangencial del patinador artístico mientras tira de sus manos hacia adentro se puede entender de la siguiente manera en lenguaje común: las palmas del patinador no se mueven en línea recta, por lo que están acelerando constantemente hacia adentro, pero no ganan velocidad adicional porque la aceleración siempre se realiza cuando su movimiento hacia adentro es cero. Sin embargo, esto es diferente cuando tira de las palmas más cerca del cuerpo: la aceleración debido a la rotación ahora aumenta la velocidad; pero debido a la rotación, el aumento de la velocidad no se traduce en una velocidad significativa hacia adentro, sino en un aumento de la velocidad de rotación.

En mecánica clásica se puede demostrar que la invariancia rotacional de los funcionales de acción implica la conservación del momento angular. La acción se define en física clásica como un funcional de posiciones, a menudo representado mediante el uso de corchetes, y los tiempos final e inicial. Asume la siguiente forma en coordenadas cartesianas: donde los índices repetidos indican la suma sobre el índice. Si la acción es invariante de una transformación infinitesimal, se puede expresar matemáticamente como: .${\displaystyle x_{i}(t)}$$${\displaystyle S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)}$$${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$

Bajo la transformación , la acción se convierte en:${\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}}$

$${\displaystyle S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)}$$

donde podemos emplear la expansión de los términos hasta el primer orden en :${\textstyle \delta x_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}}$$dando el siguiente cambio en la acción:

$${\displaystyle S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).}$$

Dado que todas las rotaciones se pueden expresar como matrices exponenciales de matrices antisimétricas, es decir, como donde es una matriz antisimétrica y es el ángulo de rotación, podemos expresar el cambio de coordenadas debido a la rotación , hasta el primer orden del ángulo de rotación infinitesimal, como:${\displaystyle R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle R({\hat {n}},\delta \theta )}$${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle \delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .}$$

Combinando la ecuación de movimiento y la invariancia rotacional de la acción , obtenemos de las ecuaciones anteriores que: Dado que esto es cierto para cualquier matriz que lo satisfaga , resulta en la conservación de la siguiente cantidad:$${\displaystyle 0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}}$$${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle M_{ij}=-M_{ji},}$

$${\displaystyle \ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),}$$

como . Esto corresponde a la conservación del momento angular a lo largo del movimiento. ^[27]${\displaystyle \ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})}$

En mecánica lagrangiana , el momento angular de rotación alrededor de un eje dado es el momento conjugado de la coordenada generalizada del ángulo alrededor del mismo eje. Por ejemplo, , el momento angular alrededor del eje z es: donde es el lagrangiano y es el ángulo alrededor del eje z.${\displaystyle L_{z}}$$${\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}}$$${\displaystyle {\cal {L}}}$${\displaystyle \theta _{z}}$

Nótese que , la derivada temporal del ángulo, es la velocidad angular . Ordinariamente, el lagrangiano depende de la velocidad angular a través de la energía cinética: Esta última se puede escribir separando la velocidad en su parte radial y tangencial, siendo la parte tangencial en el plano xy, alrededor del eje z, igual a: donde el subíndice i representa el cuerpo i-ésimo, y m , v _T y ω _z representan masa, velocidad tangencial alrededor del eje z y velocidad angular alrededor de ese eje, respectivamente.${\displaystyle {\dot {\theta }}_{z}}$ ${\displaystyle \omega _{z}}$$${\displaystyle \sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$

Para un cuerpo que no es puntual, con densidad ρ , tenemos en cambio: donde la integración se extiende sobre el área del cuerpo, ^[28] e I _z es el momento de inercia alrededor del eje z.$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}}$$

Por lo tanto, suponiendo que la energía potencial no depende de ω _z (esta suposición puede fallar para sistemas electromagnéticos), tenemos el momento angular del i- ésimo objeto:$${\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}}$$

Hasta ahora hemos rotado cada objeto en un ángulo separado; también podemos definir un ángulo general θ _z con el que rotamos todo el sistema, rotando así también cada objeto alrededor del eje z, y tenemos el momento angular general:$${\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

De las ecuaciones de Euler-Lagrange se deduce que:$${\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}$$

Como el lagrangiano depende de los ángulos del objeto solo a través del potencial, tenemos: que es el torque en el i -ésimo objeto.$${\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}}$$

Supongamos que el sistema es invariante a las rotaciones, de modo que el potencial es independiente de una rotación general del ángulo θ _z (por lo tanto, puede depender de los ángulos de los objetos solo a través de sus diferencias, en la forma ). Por lo tanto, obtenemos para el momento angular total:${\displaystyle V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}$

$${\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0}$$Y así se conserva el momento angular alrededor del eje z.

Este análisis puede repetirse por separado para cada eje, dando lugar a la conversión del vector de momento angular. Sin embargo, los ángulos alrededor de los tres ejes no pueden tratarse simultáneamente como coordenadas generalizadas, ya que no son independientes; en particular, dos ángulos por punto son suficientes para determinar su posición. Si bien es cierto que en el caso de un cuerpo rígido, describirlo completamente requiere, además de tres grados de libertad traslacionales , también la especificación de tres grados de libertad rotacionales; sin embargo, estos no pueden definirse como rotaciones alrededor de los ejes cartesianos (ver ángulos de Euler ). Esta salvedad se refleja en la mecánica cuántica en las relaciones de conmutación no triviales de los diferentes componentes del operador de momento angular .

De manera equivalente, en la mecánica hamiltoniana, el hamiltoniano puede describirse como una función del momento angular. Como antes, la parte de la energía cinética relacionada con la rotación alrededor del eje z para el i -ésimo objeto es:$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}$$

lo cual es análogo a la dependencia de la energía del momento a lo largo del eje z, .${\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}$

Las ecuaciones de Hamilton relacionan el ángulo alrededor del eje z con su momento conjugado, el momento angular alrededor del mismo eje:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}}$$

La primera ecuación da$${\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}$$

Y así obtenemos los mismos resultados que en el formalismo lagrangiano.

Tenga en cuenta que para combinar todos los ejes juntos, escribimos la energía cinética como:$${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\right)}$$

donde p _r es el momento en la dirección radial y el momento de inercia es una matriz tridimensional ; las letras en negrita representan vectores tridimensionales.

Para cuerpos puntuales tenemos:$${\displaystyle E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}$$

Esta forma de la parte de energía cinética del hamiltoniano es útil para analizar problemas de potencial central y se transforma fácilmente en un marco de trabajo mecánico cuántico (por ejemplo, en el problema del átomo de hidrógeno ).

Si bien en la mecánica clásica el lenguaje del momento angular puede sustituirse por las leyes de movimiento de Newton, resulta especialmente útil para el movimiento en potencial central, como el movimiento planetario en el sistema solar. Así, la órbita de un planeta en el sistema solar se define por su energía, momento angular y ángulos del eje mayor de la órbita en relación con un sistema de coordenadas.

En astrodinámica y mecánica celeste , una cantidad estrechamente relacionada con el momento angular se define como ^[29] llamada momento angular específico . Nótese que la masa a menudo no es importante en los cálculos de mecánica orbital, porque el movimiento de un cuerpo está determinado por la gravedad . El cuerpo primario del sistema es a menudo mucho más grande que cualquier cuerpo en movimiento a su alrededor que el efecto gravitacional de los cuerpos más pequeños sobre él puede ser descuidado; mantiene, en efecto, velocidad constante. El movimiento de todos los cuerpos se ve afectado por su gravedad de la misma manera, independientemente de la masa, y por lo tanto todos se mueven aproximadamente de la misma manera bajo las mismas condiciones.$${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,}$$${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {h} .}$

El momento angular también es un concepto extremadamente útil para describir cuerpos rígidos giratorios, como un giroscopio o un planeta rocoso. Para una distribución de masa continua con función de densidad ρ ( r ), un elemento de volumen diferencial dV con vector de posición r dentro de la masa tiene un elemento de masa dm = ρ ( r ) dV . Por lo tanto, el momento angular infinitesimal de este elemento es:

$${\displaystyle d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$$

e integrando este diferencial sobre el volumen de toda la masa obtenemos su momento angular total:

$${\displaystyle \mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v} }$$

En la derivación que sigue, integrales similares a ésta pueden reemplazar las sumas para el caso de masa continua.

Para un conjunto de partículas en movimiento alrededor de un origen arbitrario, resulta informativo desarrollar la ecuación del momento angular descomponiendo su movimiento en componentes alrededor de su propio centro de masa y alrededor del origen. Dado,

• ${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la partícula ,${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$es el vector de posición de la partícula con respecto al origen,${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$¿es la velocidad de la partícula con respecto al origen?${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$es el vector de posición del centro de masa con respecto al origen,
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$es la velocidad del centro de masa con respecto al origen,
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$es el vector de posición de la partícula con respecto al centro de masa,${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$¿es la velocidad de la partícula con respecto al centro de masa?${\displaystyle i}$

La masa total de las partículas es simplemente su suma,$${\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.}$$

El vector de posición del centro de masa está definido por ^[30]$${\displaystyle M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.}$$

Por inspección,

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$y${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.}$

El momento angular total del conjunto de partículas es la suma del momento angular de cada partícula,

Expansión ,${\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}}$

Expansión ,${\displaystyle \mathbf {V} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que (ver recuadro),

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} }$y${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$

Por lo tanto, el segundo y tercer término desaparecen,

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

El primer término se puede reorganizar,

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,}$

y el momento angular total para el conjunto de partículas es finalmente, ^[31]

El primer término es el momento angular del centro de masas con respecto al origen. De manera similar a § Partícula individual , a continuación, es el momento angular de una partícula de masa M en el centro de masas que se mueve con velocidad V . El segundo término es el momento angular de las partículas que se mueven con respecto al centro de masas, de manera similar a § Centro de masa fijo , a continuación. El resultado es general: el movimiento de las partículas no se limita a la rotación o revolución alrededor del origen o centro de masas. Las partículas no necesitan ser masas individuales, sino que pueden ser elementos de una distribución continua, como un cuerpo sólido.

Reordenando la ecuación ( 2 ) mediante identidades vectoriales, multiplicando ambos términos por "uno" y agrupando apropiadamente,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}}$$

da el momento angular total del sistema de partículas en términos de momento de inercia y velocidad angular ,${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

En el caso de una sola partícula que se mueve alrededor de un origen arbitrario, y las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) para el momento angular total se reducen a,$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,\\\mathbf {r} &=\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {V} ,\\m&=M,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}=\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times m\mathbf {V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}.}$$

Para el caso del centro de masa fijo en el espacio con respecto al origen, y las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) para el momento angular total se reducen a,$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {R} \times M\mathbf {V} =\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}=\mathbf {0} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.}$$

En la física teórica moderna (siglo XX), el momento angular (sin incluir ningún momento angular intrínseco, ver más abajo) se describe utilizando un formalismo diferente, en lugar de un pseudovector clásico . En este formalismo, el momento angular es la carga de Noether de 2 formas asociada con la invariancia rotacional. Como resultado, el momento angular generalmente no se conserva localmente para los espaciotiempos curvos generales , a menos que tengan simetría rotacional; ^[32] mientras que globalmente la noción de momento angular en sí misma solo tiene sentido si el espaciotiempo es asintóticamente plano. ^[33] Si el espaciotiempo es solo axialmente simétrico como para la métrica de Kerr , el momento angular total no se conserva sino que se conserva, lo que está relacionado con la invariancia de la rotación alrededor del eje de simetría, donde note que donde es la métrica , es la masa en reposo , es la velocidad de cuatro y es la posición de cuatro en coordenadas esféricas.${\displaystyle p_{\phi }}$${\displaystyle p_{\phi }=g_{\mu \phi }p^{\phi }=mg_{\mu \phi }dX^{\mu }/d\tau }$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}}$${\displaystyle dX^{\mu }/d\tau }$${\displaystyle X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$

En mecánica clásica, el momento angular de una partícula puede reinterpretarse como un elemento plano: donde el producto exterior (∧) reemplaza al producto vectorial (×) (estos productos tienen características similares pero no son equivalentes). Esto tiene la ventaja de una interpretación geométrica más clara como un elemento plano, definido usando los vectores x y p , y la expresión es verdadera en cualquier número de dimensiones. En coordenadas cartesianas: o de manera más compacta en notación de índice:$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \wedge \mathbf {p} \,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z}\right)\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\\&=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.}$$

La velocidad angular también puede definirse como un tensor antisimétrico de segundo orden, con componentes ω _ij . La relación entre los dos tensores antisimétricos viene dada por el momento de inercia que ahora debe ser un tensor de cuarto orden: ^[34]$${\displaystyle L_{ij}=I_{ijk\ell }\omega _{k\ell }\,.}$$

Nuevamente, esta ecuación en la que L y ω son tensores es cierta en cualquier número de dimensiones. Esta ecuación también aparece en el formalismo del álgebra geométrica , en el que L y ω son bivectores y el momento de inercia es una aplicación entre ellos.

En la mecánica relativista , el momento angular relativista de una partícula se expresa como un tensor antisimétrico de segundo orden: en términos de cuatro vectores , a saber, las cuatro posiciones X y los cuatro momentos P , y absorbe el L anterior junto con el momento de masa , es decir, el producto de la masa relativista de la partícula y su centro de masa , que puede considerarse como una descripción del movimiento de su centro de masa, ya que la masa-energía se conserva.$${\displaystyle M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }}$$

En cada uno de los casos anteriores, para un sistema de partículas, el momento angular total es simplemente la suma de los momentos angulares de las partículas individuales, y el centro de masa es el del sistema.

En mecánica cuántica , el momento angular (como otras cantidades) se expresa como un operador , y sus proyecciones unidimensionales tienen valores propios cuantizados . El momento angular está sujeto al principio de incertidumbre de Heisenberg , lo que implica que en cualquier momento, solo una proyección (también llamada "componente") se puede medir con precisión definida; los otros dos permanecen inciertos. Debido a esto, el eje de rotación de una partícula cuántica no está definido. Las partículas cuánticas poseen un tipo de momento angular no orbital llamado "espín", pero este momento angular no corresponde a un movimiento giratorio. ^[35] En la mecánica cuántica relativista, la definición relativista anterior se convierte en un operador tensorial.

La definición clásica de momento angular como se puede trasladar a la mecánica cuántica, reinterpretando r como el operador de posición cuántica y p como el operador de momento cuántico . L es entonces un operador , específicamente llamado operador de momento angular orbital . Los componentes del operador de momento angular satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie so(3). De hecho, estos operadores son precisamente la acción infinitesimal del grupo de rotación en el espacio cuántico de Hilbert . ^[37] (Véase también la discusión a continuación de los operadores de momento angular como generadores de rotaciones.)${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

Sin embargo, en física cuántica, existe otro tipo de momento angular, llamado momento angular de espín , representado por el operador de espín S. El espín se representa a menudo como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esta es una imagen engañosa e inexacta: el espín es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento en el espacio y fundamentalmente diferente del momento angular orbital. Todas las partículas elementales tienen un espín característico (posiblemente cero), ^[38] y casi todas las partículas elementales tienen un espín distinto de cero. ^[39] Por ejemplo, los electrones tienen "espín 1/2" (esto en realidad significa "espín ħ /2"), los fotones tienen "espín 1" (esto en realidad significa "espín ħ"), y los mesones pi tienen espín 0. ^[40]

Por último, existe el momento angular total J , que combina tanto el momento angular de espín como el momento angular orbital de todas las partículas y campos. (Para una partícula, J = L + S .) La conservación del momento angular se aplica a J , pero no a L o S ; por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de ida y vuelta entre L y S , con el total permaneciendo constante. Los electrones y fotones no necesitan tener valores basados ​​en números enteros para el momento angular total, sino que también pueden tener valores semienteros. ^[41]

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N , el momento angular del espín electrónico S y el momento angular del espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos, el momento angular rovibrónico se denota J en lugar de N. Como explicó Van Vleck, ^[42] los componentes del momento angular rovibrónico molecular referidos a ejes fijos en la molécula tienen relaciones de conmutación diferentes de las de los componentes sobre ejes fijos en el espacio.

En mecánica cuántica , el momento angular está cuantizado , es decir, no puede variar de forma continua, sino solo en " saltos cuánticos " entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones a los resultados de las mediciones, donde es la constante de Planck reducida y es cualquier vector euclidiano como x, y o z:${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle {\hat {n}}}$

Si mides ...	El resultado puede ser...
${\displaystyle L_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle S_{\hat {n}}}$o${\displaystyle J_{\hat {n}}}$	${\displaystyle \ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}}\hbar ,\hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots }$
${\displaystyle {\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, dónde${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$
${\displaystyle S^{2}}$o${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]}$, dónde${\displaystyle n=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$

La constante de Planck reducida es minúscula para los estándares cotidianos, alrededor de 10 ⁻³⁴ J s , y por lo tanto esta cuantificación no afecta de forma notable al momento angular de los objetos macroscópicos. Sin embargo, es muy importante en el mundo microscópico. Por ejemplo, la estructura de las capas y subcapas electrónicas en química se ve afectada significativamente por la cuantificación del momento angular.${\displaystyle \hbar }$

La cuantificación del momento angular fue postulada por primera vez por Niels Bohr en su modelo del átomo y luego fue predicha por Erwin Schrödinger en su ecuación de Schrödinger .

En la definición , intervienen seis operadores: los operadores de posición , , , y los operadores de momento , , . Sin embargo, el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que no es posible conocer simultáneamente estas seis cantidades con precisión arbitraria. Por lo tanto, existen límites a lo que se puede saber o medir sobre el momento angular de una partícula. Resulta que lo mejor que se puede hacer es medir simultáneamente tanto la magnitud del vector de momento angular como su componente a lo largo de un eje.${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ ${\displaystyle r_{x}}$${\displaystyle r_{y}}$${\displaystyle r_{z}}$ ${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$

La incertidumbre está estrechamente relacionada con el hecho de que los diferentes componentes de un operador de momento angular no conmutan , por ejemplo . (Para las relaciones de conmutación precisas , consulte operador de momento angular ).${\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}$

Como se mencionó anteriormente, el momento angular orbital L se define como en la mecánica clásica: , pero el momento angular total J se define de una manera diferente, más básica: J se define como el "generador de rotaciones". ^[43] Más específicamente, J se define de modo que el operador sea el operador de rotación que toma cualquier sistema y lo rota por un ángulo sobre el eje . (El "exp" en la fórmula se refiere al operador exponencial ). Para decirlo al revés, sea cual sea nuestro espacio cuántico de Hilbert, esperamos que el grupo de rotación SO(3) actúe sobre él. Entonces hay una acción asociada del álgebra de Lie so(3) de SO(3); los operadores que describen la acción de so(3) sobre nuestro espacio de Hilbert son los operadores de momento angular (total).${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

La relación entre el operador de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas. La estrecha relación entre el momento angular y las rotaciones se refleja en el teorema de Noether , que demuestra que el momento angular se conserva siempre que las leyes de la física sean invariantes respecto de la rotación.

Al describir el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético , el momento canónico P (derivado del lagrangiano para este sistema) no es invariante de calibre . En consecuencia, el momento angular canónico L = r × P tampoco es invariante de calibre. En cambio, el momento físico, el llamado momento cinético (utilizado en todo este artículo), es (en unidades del SI )

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {P} -e\mathbf {A} }$$

donde e es la carga eléctrica de la partícula y A el potencial vectorial magnético del campo electromagnético. El momento angular invariante de calibre, es decir, el momento angular cinético , se expresa mediante

$${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {r} \times (\mathbf {P} -e\mathbf {A} )}$$

La interacción con la mecánica cuántica se analiza con más detalle en el artículo sobre relaciones de conmutación canónica .

En la electrodinámica clásica de Maxwell, el vector de Poynting es una densidad de momento lineal del campo electromagnético. ^[44]

$${\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$$

El vector de densidad de momento angular se da mediante un producto vectorial como en la mecánica clásica: ^[45]${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t).}$$

Las identidades anteriores son válidas localmente , es decir, en cada punto del espacio en un momento dado .${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$

Los ciclones tropicales y otros fenómenos meteorológicos relacionados implican la conservación del momento angular para explicar la dinámica. Los vientos giran lentamente alrededor de los sistemas de baja presión, principalmente debido al efecto Coriolis . Si la baja presión se intensifica y el aire que circula lentamente es atraído hacia el centro, las moléculas deben aumentar su velocidad para conservar el momento angular. Cuando llegan al centro, las velocidades se vuelven destructivas. ^[2]

Johannes Kepler determinó las leyes del movimiento planetario sin conocer la conservación del momento. Sin embargo, poco después de su descubrimiento, se determinó su derivación a partir de la conservación del momento angular. Los planetas se mueven más lentamente cuanto más se alejan de sus órbitas elípticas, lo que se explica intuitivamente por el hecho de que el momento angular orbital es proporcional al radio de la órbita. Como la masa no cambia y el momento angular se conserva, la velocidad disminuye.

La aceleración de marea es un efecto de las fuerzas de marea entre un satélite natural en órbita (por ejemplo, la Luna ) y el planeta primario que orbita (por ejemplo, la Tierra). El par gravitacional entre la Luna y el abultamiento de marea de la Tierra hace que la Luna sea promovida constantemente a una órbita ligeramente más alta (~3,8 cm por año) y que la Tierra se desacelere (en −25,858 ± 0,003″/cy²) en su rotación (la duración del día aumenta en ~1,7 ms por siglo, +2,3 ms por efecto de marea y −0,6 ms por rebote postglacial). La Tierra pierde momento angular que se transfiere a la Luna de modo que se conserva el momento angular general.

Existen numerosos ejemplos de utilización de la conservación del momento angular para obtener ventajas prácticas. En motores como los de vapor o los de combustión interna , se necesita un volante para convertir de manera eficiente el movimiento lateral de los pistones en movimiento rotatorio.

Los sistemas de navegación inercial utilizan explícitamente el hecho de que el momento angular se conserva con respecto al marco inercial del espacio. La navegación inercial es lo que permite los viajes submarinos bajo el manto polar, pero también es crucial para todas las formas de navegación moderna.

Las balas estriadas utilizan la estabilidad que proporciona la conservación del momento angular para ser más precisas en su trayectoria. La invención de las armas de fuego y los cañones estriados proporcionó a sus usuarios una importante ventaja estratégica en la batalla y, por lo tanto, supuso un punto de inflexión tecnológico en la historia.

Isaac Newton , en los Principia , hizo alusión al momento angular en sus ejemplos de la primera ley del movimiento ,

Un trompo, cuyas partes, por su cohesión, se apartan continuamente de los movimientos rectilíneos, no cesa su rotación más que cuando es retardada por el aire. Los cuerpos más grandes, los planetas y los cometas, al encontrar menos resistencia en espacios más libres, conservan sus movimientos progresivos y circulares durante mucho más tiempo. ^[46]

No investigó más directamente el momento angular en los Principia , diciendo:

De este tipo de reflexiones surgen también a veces los movimientos circulares de los cuerpos alrededor de sus propios centros. Pero estos son casos que no consideraré en lo que sigue, y sería demasiado tedioso demostrar cada detalle que se refiere a este tema. ^[47]

Sin embargo, su prueba geométrica de la ley de áreas es un ejemplo destacado del genio de Newton y prueba indirectamente la conservación del momento angular en el caso de una fuerza central .

Cuando un planeta orbita alrededor del Sol , la línea entre el Sol y el planeta recorre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto se sabía desde que Kepler expuso su segunda ley del movimiento planetario . Newton derivó una prueba geométrica única y luego demostró que la fuerza de atracción de la gravedad del Sol era la causa de todas las leyes de Kepler.

Durante el primer intervalo de tiempo, un objeto se mueve del punto A al punto B. Sin perturbaciones, continuaría hacia el punto c durante el segundo intervalo. Cuando el objeto llega a B , recibe un impulso dirigido hacia el punto S. El impulso le da una pequeña velocidad adicional hacia S , de modo que si esta fuera su única velocidad, se movería de B a V durante el segundo intervalo. Según las reglas de composición de velocidad , estas dos velocidades se suman y el punto C se encuentra mediante la construcción del paralelogramo BcCV . Por lo tanto, la trayectoria del objeto se desvía por el impulso de modo que llega al punto C al final del segundo intervalo. Debido a que los triángulos SBc y SBC tienen la misma base SB y la misma altura Bc o VC , tienen la misma área. Por simetría, el triángulo SBc también tiene la misma área que el triángulo SAB , por lo tanto, el objeto ha recorrido áreas iguales SAB y SBC en tiempos iguales.

En el punto C , el objeto recibe otro impulso hacia S , desviando nuevamente su trayectoria durante el tercer intervalo de d a D. Así continúa hacia E y más allá, los triángulos SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE tienen todos la misma área. Al permitir que los intervalos de tiempo se vuelvan cada vez más pequeños, la trayectoria ABCDE se acerca indefinidamente a una curva continua.

Obsérvese que, como esta derivación es geométrica y no se aplica ninguna fuerza específica, demuestra una ley más general que la segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario. Demuestra que la Ley de Áreas se aplica a cualquier fuerza central, atractiva o repulsiva, continua o discontinua, o cero.

La proporcionalidad del momento angular con el área barrida por un objeto en movimiento se puede entender al darse cuenta de que las bases de los triángulos, es decir, las líneas que van desde S hasta el objeto, son equivalentes al radio r, y que las alturas de los triángulos son proporcionales al componente perpendicular de la velocidad v⊥. Por lo tanto, si el área barrida por unidad de tiempo es constante, entonces por la fórmula del área triangular ⁠1/2⁠ (base)(altura) , el producto (base)(altura) y por lo tanto el producto rv _⊥ son constantes: si r y la longitud de la base disminuyen, v _⊥ y la altura deben aumentar proporcionalmente. La masa es constante, por lo tanto el momento angular rmv⊥ se conserva por este intercambio de distancia y velocidad.

En el caso del triángulo SBC , el área es igual a1/2⁠ ( SB )( VC ). Dondequiera que C se ubique finalmente debido al impulso aplicado en B , el producto ( SB )( VC ), y por lo tanto rmv _⊥ permanecen constantes. De manera similar para cada uno de los triángulos.

Otra prueba de conservación del momento angular para cualquier fuerza central utiliza el teorema de tangentes de barrido de Mamikon. ^{[48] [49]}

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Patrick d'Arcy comprendieron el momento angular en términos de conservación de la velocidad del área , resultado de su análisis de la segunda ley de Kepler del movimiento planetario. Es poco probable que se dieran cuenta de las implicaciones para la materia rotatoria ordinaria. ^[50]

En 1736 Euler, al igual que Newton, abordó algunas de las ecuaciones del momento angular en su Mecánica sin desarrollarlas más. ^[51]

Bernoulli escribió en una carta de 1744 sobre un "momento de movimiento rotacional", posiblemente la primera concepción del momento angular tal como lo entendemos hoy. ^[52]

En 1799, Pierre-Simon Laplace se dio cuenta por primera vez de que un plano fijo estaba asociado con la rotación: su plano invariable .

En 1803, Louis Poinsot comenzó a representar las rotaciones como un segmento de línea perpendicular a la rotación y profundizó en la "conservación de momentos".

En 1852, Léon Foucault utilizó un giroscopio en un experimento para mostrar la rotación de la Tierra.

El Manual de Mecánica Aplicada de William JM Rankine de 1858 definió por primera vez el momento angular en el sentido moderno:

...una línea cuya longitud es proporcional a la magnitud del momento angular, y cuya dirección es perpendicular al plano de movimiento del cuerpo y del punto fijo, y tal que, cuando el movimiento del cuerpo se ve desde el extremo de la línea, el radio-vector del cuerpo parece tener rotación hacia la derecha.

En una edición de 1872 del mismo libro, Rankine afirmó que "el término momento angular fue introducido por el Sr. Hayward", ^[53] probablemente refiriéndose al artículo de RB Hayward On a Direct Method of estimating Velocities, Accelerations, and all similar Quantities with respect to Axes moveable in any manner in Space with Applications, ^[54] que se introdujo en 1856 y se publicó en 1864. Rankine estaba equivocado, ya que numerosas publicaciones presentan el término a partir de finales del siglo XVIII y principios del XIX. ^[55] Sin embargo, el artículo de Hayward aparentemente fue el primer uso del término y del concepto visto por gran parte del mundo angloparlante. Antes de esto, el momento angular se denominaba típicamente "momentum of rotation" en inglés. ^[56]