Sistema de coordenadas esféricas

En matemáticas , un sistema de coordenadas esféricas es un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional donde la posición de un punto dado en el espacio se especifica mediante tres números reales : la distancia radial r a lo largo de la línea radial que conecta el punto con el punto fijo de origen ; el ángulo polar θ entre la línea radial y un eje polar dado ; ^[a] y el ángulo acimutal φ como el ángulo de rotación de la línea radial alrededor del eje polar. ^[b] (Ver gráfico sobre la "convención de física"). Una vez que el radio está fijo, las tres coordenadas ( r , θ , φ ), conocidas como una 3- tupla , proporcionan un sistema de coordenadas en una esfera , típicamente llamado coordenadas polares esféricas . El plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje polar (donde el ángulo polar es un ángulo recto ) se llama plano de referencia (a veces plano fundamental ).

La distancia radial desde el punto fijo de origen también se denomina radio , línea radial o coordenada radial . El ángulo polar puede denominarse ángulo de inclinación , ángulo cenital , ángulo normal o colatitud . El usuario puede optar por ignorar el ángulo de inclinación y utilizar en su lugar el ángulo de elevación , que se mide hacia arriba entre el plano de referencia y la línea radial, es decir, desde el plano de referencia hacia arriba (hacia el eje z positivo) hasta la línea radial. El ángulo de depresión es el negativo del ángulo de elevación. (Véase el gráfico sobre la "convención de física", no sobre la "convención de matemáticas").

Tanto el uso de símbolos como el orden de denominación de las coordenadas de las tuplas difieren entre las diversas fuentes y disciplinas. Este artículo utilizará la convención ISO ^[1] que se encuentra con frecuencia en física , donde la tupla de denominación da el orden como: distancia radial, ángulo polar, ángulo azimutal o . (Véase el gráfico sobre la "convención de física"). Por el contrario, las convenciones en muchos libros y textos de matemáticas dan el orden de denominación de forma diferente como: distancia radial, "ángulo azimutal", "ángulo polar" y o —lo que cambia los usos y significados de los símbolos θ y φ . También se pueden utilizar otras convenciones, como r para un radio desde el eje z que no es desde el punto de origen. Se debe tener especial cuidado para comprobar el significado de los símbolos . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (\rho,\theta,\varphi)}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Según las convenciones de los sistemas de coordenadas geográficas , las posiciones se miden por latitud, longitud y altura (altitud). Hay varios sistemas de coordenadas celestes basados ​​en diferentes planos fundamentales y con diferentes términos para las distintas coordenadas. Los sistemas de coordenadas esféricas utilizados en matemáticas normalmente utilizan radianes en lugar de grados ; (nótese que 90 grados equivalen a π _/2 radianes). Y estos sistemas de la convención matemática pueden medir el ángulo azimutal en sentido antihorario (es decir, desde el eje x en dirección sur , o 180°, hacia el eje y en dirección este , o +90°) en lugar de medir en el sentido de las agujas del reloj (es decir, desde el eje x en dirección norte, o 0°, hacia el eje y en dirección este, o +90°), como se hace en el sistema de coordenadas horizontales . ^[2] (Véase el gráfico sobre "convención matemática").

El sistema de coordenadas esféricas de la convención de la física puede considerarse como una generalización del sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional . Puede extenderse a espacios de dimensiones superiores y, en ese caso, se denomina sistema de coordenadas hiperesféricas .

Para definir un sistema de coordenadas esféricas, se debe designar un punto de origen en el espacio, O , y dos direcciones ortogonales: la dirección de referencia cenital y la dirección de referencia acimutal . Estas opciones determinan un plano de referencia que normalmente se define como el que contiene el punto de origen y los ejes x e y , cualquiera de los cuales puede designarse como la dirección de referencia acimutal . El plano de referencia es perpendicular (ortogonal) a la dirección cenital y normalmente se designa "horizontal" a la "vertical" de la dirección cenital. Las coordenadas esféricas de un punto P se definen de la siguiente manera:

• El radio o distancia radial es la distancia euclidiana del origen O a P.
• La inclinación (o ángulo polar ) es el ángulo firmado desde la dirección de referencia del cenit hasta el segmento de línea OP . ( Se puede utilizar la elevación como ángulo polar en lugar de la inclinación ; consulte a continuación).
• El acimut (o ángulo acimutal ) es el ángulo con signo medido desde la dirección de referencia del acimut hasta la proyección ortogonal del segmento de línea radial OP en el plano de referencia.

El signo del acimut se determina designando la rotación, que es el sentido positivo del giro alrededor del cenit. Esta elección es arbitraria y forma parte de la definición del sistema de coordenadas. (Si la inclinación es cero o 180 grados (= π radianes), el acimut es arbitrario. Si el radio es cero, tanto el acimut como la inclinación son arbitrarios).

La elevación es el ángulo con signo desde el plano de referencia xy hasta el segmento de línea radial OP , donde los ángulos positivos se designan como hacia arriba, hacia la referencia cenital. La elevación es de 90 grados (= ⁠π/2⁠ radianes) menos la inclinación . Por lo tanto, si la inclinación es de 60 grados (= ⁠π/3⁠ radianes), entonces la elevación es de 30 grados (= ⁠π/6⁠ radianes).

En álgebra lineal , el vector desde el origen O hasta el punto P a menudo se denomina vector de posición de P.

Existen varias convenciones diferentes para representar coordenadas esféricas y prescribir el orden de denominación de sus símbolos. El conjunto de números de 3 tuplas denota la distancia radial, el ángulo polar ("inclinación" o, como alternativa, "elevación") y el ángulo azimutal. Es la práctica común dentro de la convención de física, como se especifica en la norma ISO 80000-2:2019 y anteriormente en la norma ISO 31-11 (1992). ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Como se indicó anteriormente, este artículo describe la "convención de física" ISO, a menos que se indique lo contrario.

Sin embargo, algunos autores (incluidos los matemáticos) utilizan el símbolo ρ (rho) para el radio o la distancia radial, φ para la inclinación (o elevación) y θ para el acimut, mientras que otros mantienen el uso de r para el radio; todo lo cual "proporciona una extensión lógica de la notación habitual de coordenadas polares". ^[3] En cuanto al orden, algunos autores enumeran el acimut antes del ángulo de inclinación (o elevación). Algunas combinaciones de estas opciones dan como resultado un sistema de coordenadas para zurdos . El conjunto de 3-tuplas de la "convención de física" estándar entra en conflicto con la notación habitual para coordenadas polares bidimensionales y coordenadas cilíndricas tridimensionales , donde θ se utiliza a menudo para el acimut. ^[3]${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

Los ángulos se miden normalmente en grados (°) o en radianes (rad), donde 360° = 2 π rad. El uso de grados es más común en geografía, astronomía e ingeniería, donde los radianes se utilizan comúnmente en matemáticas y física teórica. La unidad para la distancia radial suele estar determinada por el contexto, como ocurre en las aplicaciones de la "esfera unitaria", consulte Aplicaciones.

Cuando el sistema se utiliza para designar espacios físicos tridimensionales, se acostumbra a asignar valores positivos a los ángulos acimutales medidos en sentido antihorario desde la dirección de referencia en el plano de referencia, visto desde el lado "cenital" del plano. Esta convención se utiliza en particular para coordenadas geográficas, donde la dirección "cenital" es el norte y los ángulos acimutales (longitud) positivos se miden hacia el este desde algún meridiano principal .

Nota: Este ( E ), Norte ( N ) , Ascendente ( U ) . En el caso de ( U , S , E ), el ángulo acimutal local se mediría en sentido antihorario de S a E.

Cualquier triplete (o tupla) de coordenadas esféricas especifica un único punto del espacio tridimensional. En la vista inversa, cualquier punto único tiene infinitas coordenadas esféricas equivalentes. Es decir, el usuario puede sumar o restar cualquier número de vueltas completas a las medidas angulares sin cambiar los ángulos en sí y, por lo tanto, sin cambiar el punto. En muchos contextos es conveniente utilizar distancias radiales negativas, siendo la convención , que es equivalente a o para cualquier r , θ y φ . Además, es equivalente a .${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (-r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )}$${\displaystyle (r,90^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$${\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}$

Cuando sea necesario definir un conjunto único de coordenadas esféricas para cada punto, el usuario debe restringir el rango, también conocido como intervalo , de cada coordenada. Una opción común es:

Pero en lugar del intervalo [0°, 360°) , el acimut φ normalmente se restringe al intervalo semiabierto (−180°, +180°] , o (− π , + π ] radianes, que es la convención estándar para la longitud geográfica.

Para el ángulo polar θ , el rango (intervalo) de inclinación es [0°, 180°] , que es equivalente al rango (intervalo) de elevación [−90°, +90°] . En geografía, la latitud es la elevación.

Incluso con estas restricciones, si el ángulo polar (inclinación) es 0° o 180° (la elevación es −90° o +90°), entonces el ángulo acimutal es arbitrario; y si r es cero, tanto el ángulo acimutal como el polar son arbitrarios. Para definir las coordenadas como únicas, el usuario puede afirmar la convención de que (en estos casos) las coordenadas arbitrarias se establecen en cero.

Para trazar cualquier punto a partir de sus coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) , donde θ es la inclinación, el usuario debe: moverse r unidades desde el origen en la dirección de referencia del cenit (eje z); luego rotar por la cantidad del ángulo acimutal ( φ ) sobre el origen desde la dirección de referencia acimutal designada (es decir, el eje x o y, consulte la Definición, más arriba); y luego rotar desde el eje z por la cantidad del ángulo θ .

Así como el sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales es útil (tiene un amplio conjunto de aplicaciones) en una superficie plana, un sistema de coordenadas esféricas bidimensionales es útil en la superficie de una esfera. Por ejemplo, una esfera que se describe en coordenadas cartesianas con la ecuación x ² + y ² + z ² = c ² se puede describir en coordenadas esféricas mediante la ecuación simple r = c . (En este sistema , que se muestra aquí en la convención matemática , la esfera se adapta como una esfera unitaria , donde el radio se establece en la unidad y luego generalmente se puede ignorar, vea el gráfico).

Esta simplificación (de esfera unitaria) también es útil cuando se trabaja con objetos como matrices rotacionales . Las coordenadas esféricas también son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría respecto de un punto, incluidos: integrales de volumen dentro de una esfera; el campo de energía potencial que rodea una masa o carga concentrada; o simulación del clima global en la atmósfera de un planeta.

El modelado tridimensional de los patrones de salida de los altavoces se puede utilizar para predecir su rendimiento. Se requieren varios diagramas polares, tomados en una amplia selección de frecuencias, ya que el patrón cambia mucho con la frecuencia. Los diagramas polares ayudan a mostrar que muchos altavoces tienden a la omnidireccionalidad en frecuencias más bajas.

Una aplicación importante de las coordenadas esféricas es la separación de variables en dos ecuaciones diferenciales parciales (las ecuaciones de Laplace y de Helmholtz ) que surgen en muchos problemas físicos. Las partes angulares de las soluciones de dichas ecuaciones toman la forma de armónicos esféricos . Otra aplicación es el diseño ergonómico , donde r es la longitud del brazo de una persona estacionaria y los ángulos describen la dirección del brazo cuando se extiende. El sistema de coordenadas esféricas también se utiliza comúnmente en el desarrollo de juegos en 3D para rotar la cámara alrededor de la posición del jugador ^[4].

En lugar de la inclinación, el sistema de coordenadas geográficas utiliza el ángulo de elevación (o latitud ), en el rango (también conocido como dominio ) −90° ≤ φ ≤ 90° y rotado hacia el norte desde el plano del ecuador . La latitud (es decir, el ángulo de latitud) puede ser la latitud geocéntrica , medida (rotada) desde el centro de la Tierra, y designada de diversas formas por ψ , q , φ ′, φ _c , φ _g —o la latitud geodésica , medida (rotada) desde la vertical local del observador , y típicamente designada φ . El ángulo polar (inclinación), que es 90° menos la latitud y varía de 0 a 180°, se llama colatitud en geografía.

El ángulo acimutal (o longitud ) de una posición dada en la Tierra, comúnmente denotado por λ , se mide en grados al este u oeste desde algún meridiano de referencia convencional (más comúnmente el Meridiano de Referencia IERS ); por lo tanto, su dominio (o rango) es −180° ≤ λ ≤ 180° y una lectura dada generalmente se designa como "Este" u "Oeste". Para posiciones en la Tierra u otro cuerpo celeste sólido , el plano de referencia generalmente se toma como el plano perpendicular al eje de rotación .

En lugar de la distancia radial r, los geógrafos suelen utilizar la altitud por encima o por debajo de alguna superficie de referencia local ( datum vertical ), que, por ejemplo, puede ser el nivel medio del mar . Cuando es necesario, la distancia radial se puede calcular a partir de la altitud sumando el radio de la Tierra , que es aproximadamente 6.360 ± 11 km (3.952 ± 7 millas).

Sin embargo, los sistemas de coordenadas geográficas modernos son bastante complejos y las posiciones que se deducen de estas fórmulas simples pueden tener una inexactitud de varios kilómetros. Los significados estándar precisos de latitud, longitud y altitud están definidos actualmente por el Sistema Geodésico Mundial (WGS), y tienen en cuenta el achatamiento de la Tierra en los polos (unos 21 km o 13 millas) y muchos otros detalles.

Los sistemas de coordenadas planetarias utilizan formulaciones análogas al sistema de coordenadas geográficas.

Se utilizan una serie de sistemas de coordenadas astronómicas para medir el ángulo de elevación desde varios planos fundamentales . Estos planos de referencia incluyen: el horizonte del observador , el ecuador galáctico (definido por la rotación de la Vía Láctea ), el ecuador celeste (definido por la rotación de la Tierra), el plano de la eclíptica (definido por la órbita de la Tierra alrededor del Sol ) y el plano del terminador terrestre (normal a la dirección instantánea al Sol ).

Como el sistema de coordenadas esféricas es sólo uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales, existen ecuaciones para convertir coordenadas entre el sistema de coordenadas esféricas y otros.

Las coordenadas esféricas de un punto en la convención ISO (es decir, para física: radio r , inclinación θ , acimut φ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas ( x , y , z ) mediante las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

La tangente inversa denotada en φ = arctan ⁠y/incógnita⁠ debe definirse adecuadamente, teniendo en cuenta el cuadrante correcto de ( x , y ) , como se hizo en las ecuaciones anteriores. Consulte el artículo sobre atan2 .

Alternativamente, la conversión puede considerarse como dos conversiones rectangulares a polares secuenciales : la primera en el plano cartesiano xy de ( x , y ) a ( R , φ ) , donde R es la proyección de r sobre el plano xy , y la segunda en el plano cartesiano zR de ( z , R ) a ( r , θ ) . Los cuadrantes correctos para φ y θ están implícitos por la corrección de las conversiones rectangulares planas a polares.

Estas fórmulas suponen que los dos sistemas tienen el mismo origen, que el plano de referencia esférico es el plano cartesiano xy , que θ es la inclinación desde la dirección z y que los ángulos acimutales se miden desde el eje cartesiano x (de modo que el eje y tiene φ = +90° ). Si θ mide la elevación desde el plano de referencia en lugar de la inclinación desde el cenit, el arco coseno de arriba se convierte en un arco seno, y el coseno θ y el seno θ de abajo se intercambian.

Por el contrario, las coordenadas cartesianas se pueden recuperar a partir de las coordenadas esféricas ( radio r , inclinación θ , acimut φ ), donde r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π ] , φ ∈ [0, 2 π ) , por$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Las coordenadas cilíndricas ( radio axial ρ , acimut φ , elevación z ) se pueden convertir en coordenadas esféricas ( radio central r , inclinación θ , acimut φ ), mediante las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, las coordenadas esféricas se pueden convertir en coordenadas cilíndricas mediante las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Estas fórmulas suponen que los dos sistemas tienen el mismo origen y el mismo plano de referencia, miden el ángulo acimutal φ en los mismos sentidos desde el mismo eje y que el ángulo esférico θ es la inclinación respecto del eje cilíndrico z .

También es posible tratar elipsoides en coordenadas cartesianas utilizando una versión modificada de las coordenadas esféricas.

Sea P un elipsoide especificado por el conjunto de niveles

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$$

Las coordenadas esféricas modificadas de un punto en P en la convención ISO (es decir, para física: radio r , inclinación θ , acimut φ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas ( x , y , z ) mediante las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$$

Un elemento de volumen infinitesimal está dado por

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

El factor de raíz cuadrada proviene de la propiedad del determinante que permite extraer una constante de una columna:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

Las siguientes ecuaciones (Iyanaga 1977) suponen que la colatitud θ es la inclinación desde el eje z positivo , como en la convención física analizada.

El elemento de línea para un desplazamiento infinitesimal de ( r , θ , φ ) a ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) es donde son los vectores unitarios ortogonales locales en las direcciones de aumento de r , θ y φ , respectivamente, y x̂ , ŷ y ẑ son los vectores unitarios en coordenadas cartesianas. La transformación lineal a este triplete de coordenadas de la mano derecha es una matriz de rotación ,$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

Esto da la transformación de la cartesiana a la esférica, la inversa viene dada por su inversa. Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .

Los vectores unitarios cartesianos están entonces relacionados con los vectores unitarios esféricos por:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}$$

La forma general de la fórmula para demostrar el elemento de línea diferencial, es ^[5] es decir, el cambio en se descompone en cambios individuales correspondientes a cambios en las coordenadas individuales. $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Para aplicar esto al caso presente, es necesario calcular cómo cambia con cada una de las coordenadas. En las convenciones utilizadas, ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}$$

De este modo,$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

Los coeficientes deseados son las magnitudes de estos vectores: ^[5]$${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

El elemento de superficie que abarca desde θ hasta θ + d θ y φ hasta φ + d φ en una superficie esférica con un radio (constante) r es entonces$${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

Por lo tanto el ángulo sólido diferencial es$${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

El elemento de superficie en una superficie de ángulo polar θ constante (un cono con vértice en el origen) es$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

El elemento de superficie en una superficie de acimut φ constante (un semiplano vertical) es$${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

El elemento de volumen que abarca desde r hasta r + d r , θ hasta θ + d θ y φ hasta φ + d φ se especifica mediante el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales , es decir $${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

Así, por ejemplo, una función f ( r , θ , φ ) puede integrarse sobre cada punto en R ³ mediante la integral triple$${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para el gradiente y el laplaciano para campos escalares, y conduce a las siguientes expresiones para la divergencia y el rizo de campos vectoriales ,$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

Además, el jacobiano inverso en coordenadas cartesianas es El tensor métrico en el sistema de coordenadas esféricas es .$${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle g=J^{T}J}$

En coordenadas esféricas, dados dos puntos con φ como coordenada azimutal, la distancia entre los dos puntos se puede expresar como ^[6]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$$

En coordenadas esféricas, la posición de un punto o partícula (aunque mejor escrita como triple ) se puede escribir como ^[7] Su velocidad es entonces ^[7] y su aceleración es ^[7]${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}$$

El momento angular es donde es la masa. En el caso de una constante φ o bien θ = ⁠$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$${\displaystyle m}$π/2⁠ , esto se reduce al cálculo vectorial en coordenadas polares .

El operador de momento angular correspondiente se desprende entonces de la reformulación del espacio de fases de lo anterior,$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

El par se expresa como ^[7]$${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

La energía cinética se expresa como ^[7]$${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

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• Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi (1977). Diccionario enciclopédico de matemáticas . Prensa del MIT. ISBN 978-0262090162.
• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág. 658. ISBN 0-07-043316-X. Código LCCN  52011515.
• Margenau H , Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 177-178. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 174-175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. págs. 95–96. LCCN  67025285.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Coordenadas esféricas (r, θ, ψ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª edición corregida, 3.ª edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 24-27 (tabla 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Astronomía práctica con calculadora u hoja de cálculo, 4.ª edición . Nueva York: Cambridge University Press. pág. 34. ISBN 978-0521146548.

• "Coordenadas esféricas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Descripción de las coordenadas esféricas en MathWorld
• Conversor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas