Media geométrica

En matemáticas, la media geométrica es una media o promedio que indica una tendencia central de un conjunto finito de números reales positivos mediante el producto de sus valores (a diferencia de la media aritmética que utiliza su suma). La media geométrica se define como la raíz n del producto de n números, es decir, para un conjunto de números a ₁ , a ₂ , ..., a _n , la media geométrica se define como

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}$

o, equivalentemente, como la media aritmética en escala logarítmica :

${\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\suma \límites _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}}$

La media geométrica de dos números, por ejemplo 2 y 8, es la raíz cuadrada de su producto, es decir, . La media geométrica de los tres números 4, 1 y 1/32 es la raíz cúbica de su producto (1/8), que es 1/2, es decir, .${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2}$

La media geométrica se utiliza en una escala de proporciones , como las tasas de crecimiento de la población humana o las tasas de interés de una inversión financiera a lo largo del tiempo. También se aplica a la evaluación comparativa , donde es particularmente útil para calcular las medias de las proporciones de aceleración : dado que la media de 0,5x (la mitad de velocidad) y 2x (el doble de velocidad) será 1 (es decir, no habrá aceleración en general).

Supongamos, por ejemplo, que una persona invierte 1000 dólares en acciones y obtiene rendimientos anuales de +10%, -12%, +90%, -30% y +25% durante 5 años consecutivos, lo que da un valor final de inversión de 1609 dólares. La media aritmética de los cambios porcentuales anuales es 16,6%. Sin embargo, este valor no es representativo. Si la inversión inicial creciera un 16,6% anual, valdría 2155 dólares después de 5 años. De hecho, para encontrar el crecimiento porcentual promedio es necesario calcular la media geométrica de los índices de crecimiento anual sucesivos (1,1, 0,88, 1,9, 0,7, 1,25). Esto da un valor de 1,0998 que corresponde a un crecimiento promedio anual de 9,98%. Se puede comprobar fácilmente que una inversión de 1.000 dólares que crece un 9,98% en cinco años alcanzaría un valor de inversión final de 1.609 dólares. En este caso, la media geométrica es apropiada porque el crecimiento de la inversión es multiplicativo y no aditivo.

La media geométrica se puede entender en términos de geometría . La media geométrica de dos números, y , es la longitud de un lado de un cuadrado cuya área es igual al área de un rectángulo con lados de longitudes y . De manera similar, la media geométrica de tres números, , , y , es la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es el mismo que el de un cuboide con lados cuyas longitudes son iguales a los tres números dados.${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$

La media geométrica es una de las tres medias pitagóricas clásicas , junto con la media aritmética y la media armónica . Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores desiguales, la media armónica es siempre la menor de las tres medias, mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres y la media geométrica siempre está entre ambas (véase Desigualdad de las medias aritmética y geométrica ).

La media geométrica de un conjunto de datos viene dada por:${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}$^[3]

La figura anterior utiliza la notación pi mayúscula para mostrar una serie de multiplicaciones. Cada lado del signo igual muestra que un conjunto de valores se multiplica en sucesión (el número de valores se representa por "n") para dar un producto total del conjunto, y luego se toma la raíz n -ésima del producto total para dar la media geométrica del conjunto original. Por ejemplo, en un conjunto de cuatro números , el producto de es , y la media geométrica es la raíz cuarta de 24, o ~ 2,213. El exponente en el lado izquierdo es equivalente a tomar la raíz n- ésima. Por ejemplo, .${\textstyle \{1,2,3,4\}}$${\textstyle 1\veces 2\veces 3\veces 4}$${\textstyle 24}$${\textstyle {\frac {1}{n}}}$${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$

La media geométrica también se puede expresar como la exponencial de la media aritmética de los logaritmos. ^[4] Al utilizar identidades logarítmicas para transformar la fórmula, las multiplicaciones se pueden expresar como una suma y la potencia como una multiplicación:

Cuando${\displaystyle a_{1},a_{2},\puntos ,a_{n}>0}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];}$

Como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}&={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\&=e^{\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}\right)}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\\{\text{media geométrica(}}a{\text{)}}&=e^{{\text{aritmética media(ln(}}a{\text{))}}}\end{alineado}}}$

Como alternativa, utilice cualquier base numérica real positiva, tanto para los logaritmos como para el número que está elevando a la potencia de la media aritmética de los logaritmos individuales en esa misma base.

Esto a veces se denomina promedio logarítmico (no debe confundirse con el promedio logarítmico ). Simplemente se calcula la media aritmética de los valores transformados en logaritmo de (es decir, la media aritmética en la escala logarítmica) y luego se usa la exponenciación para devolver el cálculo a la escala original, es decir, es la media f generalizada con . Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 8 se puede calcular de la siguiente manera, donde es cualquier base de un logaritmo (comúnmente 2 o 10):$Estilo de visualización ai$${\displaystyle f(x)=\log x}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización e}$

${\displaystyle b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4}$

En relación con lo anterior, se puede observar que para una muestra dada de puntos , la media geométrica es el minimizador de ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f(a)=\suma _{i=1}^{n}(\log(a_{i})-\log(a))^{2}=\suma _{i=1}^{n}(\log(a_{i}/a))^{2}}$,

mientras que la media aritmética es el minimizador de

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}}$.

Así, la media geométrica proporciona un resumen de las muestras cuyo exponente mejor coincide con los exponentes de las muestras (en el sentido de mínimos cuadrados).

La forma logarítmica de la media geométrica es generalmente la alternativa preferida para la implementación en lenguajes informáticos porque calcular el producto de muchos números puede provocar un desbordamiento aritmético o un desbordamiento aritmético insuficiente . Esto es menos probable que ocurra con la suma de los logaritmos de cada número.

La media geométrica de un conjunto de datos es menor que la media aritmética del conjunto de datos a menos que todos los miembros del conjunto de datos sean iguales, en cuyo caso las medias geométrica y aritmética son iguales. Esto permite la definición de la media aritmético-geométrica , una intersección de las dos que siempre se encuentra en el medio.

La media geométrica es también la media aritmético-armónica en el sentido de que si se definen dos secuencias ( ) y ( ):${\textstyle a_{n}}$${\textstyle h_{n}}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

y

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}$

donde es la media armónica de los valores anteriores de las dos secuencias, entonces y convergerán a la media geométrica de y . Las secuencias convergen a un límite común y la media geométrica se conserva:${\textstyle h_{n+1}}$${\textstyle a_{n}}$${\textstyle h_{n}}$${\textstyle x}$${\textstyle y}$

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$

Reemplazar la media aritmética y armónica por un par de medias generalizadas de exponentes finitos opuestos produce el mismo resultado.

La media geométrica de un conjunto de datos no vacío de números positivos es siempre, como máximo, su media aritmética. La igualdad solo se obtiene cuando todos los números del conjunto de datos son iguales; de lo contrario, la media geométrica es menor. Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 3 es 2,45, mientras que su media aritmética es 2,5. En particular, esto significa que cuando un conjunto de números no idénticos se somete a una dispersión que preserva la media (es decir, los elementos del conjunto se "separan" más entre sí mientras que la media aritmética permanece inalterada), su media geométrica disminuye. ^[5]

Si es una función continua positiva de valor real, su media geométrica en este intervalo es${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$

${\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$

Por ejemplo, tomar la función identidad sobre el intervalo unitario muestra que la media geométrica de los números positivos entre 0 y 1 es igual a .${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$

En muchos casos, la media geométrica es la mejor medida para determinar la tasa de crecimiento promedio de una determinada cantidad. Por ejemplo, si las ventas aumentan un 80% en un año y el año siguiente un 25%, el resultado es el mismo que el de una tasa de crecimiento constante del 50%, ya que la media geométrica de 1,80 y 1,25 es 1,50. Para determinar la tasa de crecimiento promedio, no es necesario tomar el producto de las tasas de crecimiento medidas en cada paso. Sea la cantidad dada como la secuencia , donde es el número de pasos desde el estado inicial al final. La tasa de crecimiento entre mediciones sucesivas y es . La media geométrica de estas tasas de crecimiento es entonces simplemente:${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle a_{k+1}}$${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

La propiedad fundamental de la media geométrica, que no se cumple para ninguna otra media, es que para dos secuencias y de igual longitud,${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}$.

Esto hace que la media geométrica sea la única media correcta cuando se promedian resultados normalizados ; es decir, resultados que se presentan como proporciones de valores de referencia. ^[6] Este es el caso cuando se presenta el rendimiento de una computadora con respecto a una computadora de referencia, o cuando se calcula un único índice promedio a partir de varias fuentes heterogéneas (por ejemplo, esperanza de vida, años de educación y mortalidad infantil). En este escenario, el uso de la media aritmética o armónica cambiaría la clasificación de los resultados dependiendo de lo que se use como referencia. Por ejemplo, tomemos la siguiente comparación del tiempo de ejecución de programas de computadora:

Tabla 1

Las medias aritmética y geométrica "concuerdan" en que el ordenador C es el más rápido. Sin embargo, al presentar valores normalizados de forma adecuada y utilizar la media aritmética, podemos demostrar que cualquiera de los otros dos ordenadores es el más rápido. Al normalizar por el resultado de A, obtenemos que A es el ordenador más rápido según la media aritmética:

Tabla 2

mientras que la normalización por el resultado de B da a B como la computadora más rápida según la media aritmética pero a A como la más rápida según la media armónica:

Tabla 3

y normalizando por el resultado de C obtenemos que C es el ordenador más rápido según la media aritmética pero A como el más rápido según la media armónica:

Tabla 4

En todos los casos, la clasificación dada por la media geométrica sigue siendo la misma que la obtenida con valores no normalizados.

Sin embargo, este razonamiento ha sido cuestionado. ^[7] Dar resultados consistentes no siempre es igual a dar los resultados correctos. En general, es más riguroso asignar pesos a cada uno de los programas, calcular el tiempo de ejecución promedio ponderado (usando la media aritmética) y luego normalizar ese resultado para una de las computadoras. Las tres tablas anteriores simplemente dan un peso diferente a cada uno de los programas, lo que explica los resultados inconsistentes de las medias aritmética y armónica (la Tabla 4 da el mismo peso a ambos programas, la Tabla 2 da un peso de 1/1000 al segundo programa, y ​​la Tabla 3 da un peso de 1/100 al segundo programa y 1/10 al primero). El uso de la media geométrica para agregar números de rendimiento debe evitarse si es posible, porque multiplicar los tiempos de ejecución no tiene un significado físico, en contraste con sumar tiempos como en la media aritmética. Las métricas que son inversamente proporcionales al tiempo (aceleración, IPC ) deben promediarse utilizando la media armónica.

La media geométrica se puede derivar de la media generalizada como su límite cuando tiende a cero. De manera similar, esto es posible para la media geométrica ponderada.${\displaystyle p}$

La media geométrica es más apropiada que la media aritmética para describir el crecimiento proporcional, tanto el crecimiento exponencial (crecimiento proporcional constante) como el crecimiento variable; en el ámbito empresarial, la media geométrica de las tasas de crecimiento se conoce como tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR). La media geométrica del crecimiento a lo largo de períodos arroja la tasa de crecimiento constante equivalente que daría como resultado la misma cantidad final.

Supongamos que un naranjo produce 100 naranjas un año y luego 180, 210 y 300 los años siguientes, por lo que el crecimiento es del 80%, 16,6666% y 42,8571% para cada año respectivamente. Utilizando la media aritmética se calcula un crecimiento medio (lineal) del 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, esa suma luego dividida por 3). Sin embargo, si empezamos con 100 naranjas y dejamos que crezca un 46,5079% cada año, el resultado son 314 naranjas, no 300, por lo que el promedio lineal sobreestima el crecimiento interanual.

En su lugar, podemos utilizar la media geométrica. Crecer con un 80% corresponde a multiplicar por 1,80, por lo que tomamos la media geométrica de 1,80, 1,166666 y 1,428571, es decir ; por lo tanto, el crecimiento "promedio" por año es 44,2249%. Si comenzamos con 100 naranjas y dejamos que el número crezca con un 44,2249% cada año, el resultado son 300 naranjas.${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}$

La media geométrica se ha utilizado de vez en cuando para calcular índices financieros (el promedio se realiza sobre los componentes del índice). Por ejemplo, en el pasado, el índice FT 30 utilizaba una media geométrica. ^[8] También se utiliza en el cálculo del IPC ^[9] y recientemente se introdujo la medida de inflación " RPIJ " en el Reino Unido y en la Unión Europea.

Esto tiene el efecto de subestimar los movimientos del índice en comparación con el uso de la media aritmética. ^[8]

Aunque la media geométrica ha sido relativamente poco frecuente en el cálculo de las estadísticas sociales, a partir de 2010 el Índice de Desarrollo Humano de las Naciones Unidas adoptó este modo de cálculo, con el argumento de que reflejaba mejor la naturaleza no sustituible de las estadísticas que se compilaban y comparaban:

La media geométrica disminuye el nivel de sustituibilidad entre las dimensiones [que se comparan] y al mismo tiempo garantiza que una disminución del 1% en, por ejemplo, la esperanza de vida al nacer tenga el mismo impacto en el IDH que una disminución del 1% en la educación o los ingresos. Por lo tanto, como base para las comparaciones de logros, este método también es más respetuoso de las diferencias intrínsecas entre las dimensiones que un simple promedio. ^[10]

No todos los valores utilizados para calcular el IDH (Índice de Desarrollo Humano) están normalizados; algunos de ellos tienen la forma . Esto hace que la elección de la media geométrica sea menos obvia de lo que cabría esperar de la sección "Propiedades" anterior.${\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}$

El ingreso equivalente de bienestar distribuido equitativamente asociado con un índice de Atkinson con un parámetro de aversión a la desigualdad de 1,0 es simplemente la media geométrica de los ingresos. Para valores distintos de uno, el valor equivalente es una norma Lp dividida por el número de elementos, donde p es igual a uno menos el parámetro de aversión a la desigualdad.

En el caso de un triángulo rectángulo , su altura es la longitud de una línea que se extiende perpendicularmente desde la hipotenusa hasta su vértice de 90°. Si imaginamos que esta línea divide la hipotenusa en dos segmentos, la media geométrica de las longitudes de estos segmentos es la longitud de la altura. Esta propiedad se conoce como el teorema de la media geométrica .

En una elipse , el semieje menor es la media geométrica de las distancias máxima y mínima de la elipse a un foco ; también es la media geométrica del semieje mayor y del semilato recto . El semieje mayor de una elipse es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia desde el centro a cualquiera de las directrices .

Otra forma de pensarlo es la siguiente:

Consideremos un círculo con radio . Ahora tomemos dos puntos diametralmente opuestos en el círculo y apliquemos presión desde ambos extremos para deformarlo en una elipse con semiejes mayor y semieje menor de longitudes y .${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Como el área del círculo y de la elipse permanece igual, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}}$

El radio del círculo es la media geométrica de los semiejes mayor y menor de la elipse formada al deformar el círculo.

La distancia al horizonte de una esfera (ignorando el efecto de la refracción atmosférica cuando hay atmósfera) es igual a la media geométrica de la distancia al punto más cercano de la esfera y la distancia al punto más lejano de la esfera.

La media geométrica se utiliza tanto en la aproximación de la cuadratura del círculo de SA Ramanujan ^[11] como en la construcción del heptadecágono con "medias proporcionales". ^[12]

La media geométrica se ha utilizado para elegir una relación de aspecto intermedia en cine y vídeo: dadas dos relaciones de aspecto, la media geométrica de ellas proporciona un compromiso entre ellas, distorsionando o recortando ambas en cierto sentido por igual. Concretamente, dos rectángulos de igual área (con el mismo centro y lados paralelos) de diferentes relaciones de aspecto se intersecan en un rectángulo cuya relación de aspecto es la media geométrica, y su envoltura (el rectángulo más pequeño que los contiene a ambos) tiene asimismo la relación de aspecto de su media geométrica.

En la elección de la relación de aspecto 16:9 por parte de la SMPTE , equilibrando 2,35 y 4:3, la media geométrica es , y por lo tanto se eligió ... . Esto fue descubierto empíricamente por Kerns Powers, quien recortó rectángulos con áreas iguales y les dio forma para que coincidieran con cada una de las relaciones de aspecto populares. Cuando se superpusieron con sus puntos centrales alineados, descubrió que todos esos rectángulos de relación de aspecto encajaban dentro de un rectángulo exterior con una relación de aspecto de 1,77:1 y todos ellos también cubrían un rectángulo interior común más pequeño con la misma relación de aspecto 1,77:1. ^[13] El valor encontrado por Powers es exactamente la media geométrica de las relaciones de aspecto extremas, 4:3 (1,33:1) y CinemaScope (2,35:1), que casualmente está cerca de ( ). Las relaciones intermedias no tienen efecto en el resultado, solo las dos relaciones extremas.${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$  ${\textstyle 16:9}$${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$

Aplicando la misma técnica de media geométrica a 16:9 y 4:3 se obtiene aproximadamente la relación de aspecto 14:9 ( ...), que también se utiliza como un compromiso entre estas relaciones. ^[14] En este caso, 14:9 es exactamente la media aritmética de y , ya que 14 es el promedio de 16 y 12, mientras que la media geométrica precisa es pero las dos medias diferentes , aritmética y geométrica, son aproximadamente iguales porque ambos números están suficientemente cerca uno del otro (una diferencia de menos del 2%).${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$${\textstyle 16:9}$${\textstyle 4:3=12:9}$${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$

La media geométrica también se utiliza para calcular los formatos de papel de las series B y C. El formato tiene un área que es la media geométrica de las áreas de y . Por ejemplo, el área de un papel B1 es , porque es la media geométrica de las áreas de un papel A0 ( ) y un papel A1 ( ) ( ).${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n-1}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$${\displaystyle 1\mathrm {m} ^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$

El mismo principio se aplica a la serie C, cuyo área es la media geométrica de las series A y B. Por ejemplo, el formato C4 tiene un área que es la media geométrica de las áreas de A4 y B4.

Una ventaja que se deriva de esta relación es que un papel A4 cabe dentro de un sobre C4, y ambos caben dentro de un sobre B4.

• Planitud espectral : en el procesamiento de señales , la planitud espectral , una medida de qué tan plano o irregular es un espectro, se define como la relación entre la media geométrica del espectro de potencia y su media aritmética.
• Recubrimientos antirreflectantes : En recubrimientos ópticos, donde es necesario minimizar la reflexión entre dos medios de índices de refracción n ₀ y n ₂ , el índice de refracción óptimo n ₁ del recubrimiento antirreflectante viene dado por la media geométrica: .${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$
• Mezcla de colores sustractiva : la curva de reflectancia espectral para mezclas de pinturas (de igual intensidad de color , opacidad y dilución ) es aproximadamente la media geométrica de las curvas de reflectancia individuales de las pinturas calculadas en cada longitud de onda de sus espectros . ^[15]
• Procesamiento de imágenes : El filtro de media geométrica se utiliza como filtro de ruido en el procesamiento de imágenes .
• Compensación laboral : La media geométrica de un salario de subsistencia y el valor de mercado del trabajo que utiliza el capital del empleador fue sugerida como el salario natural por Johann von Thünen en 1875. ^[16]

• Cálculo de la media geométrica de dos números en comparación con la solución aritmética
• Medias aritméticas y geométricas
• Cuándo utilizar la media geométrica
• Soluciones prácticas para calcular la media geométrica con diferentes tipos de datos Archivado el 12 de noviembre de 2010 en Wayback Machine
• Media geométrica en MathWorld
• Significado geométrico de la media geométrica
• Calculadora de media geométrica para conjuntos de datos más grandes
• Cálculo de la distribución de escaños en el Congreso mediante la media geométrica
• Sitio web sobre cálculo no newtoniano
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• ¿La media geométrica?