Distribución log-normal

Distribución log-normal

Función de densidad de probabilidad Parámetros idénticos pero con parámetros diferentes${\displaystyle \ \mu \ }$${\estilo de visualización \sigma}$
Función de distribución acumulativa ${\displaystyle \ \mu = 0\ }$
Notación	${\displaystyle \ \operatorname {Lognormal} \left(\ \mu ,\,\sigma ^{2}\ \right)\ }$
Parámetros	${\displaystyle \ \mu \in (\ -\infty ,+\infty \ )\ }$(logaritmo de ubicación ), (logaritmo de escala ) ${\displaystyle \ \sigma >0\ }$
Apoyo	${\displaystyle \ x\in (\ 0,+\infty \ )\ }$
PDF	${\displaystyle \ {\frac {1}{\ x\sigma {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \ \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
CDF	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma {\sqrt {2\ }}}}\right)\right]=\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)}$
Cuantil	${\displaystyle \ \exp \left(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)\right)\ }$ ${\displaystyle =\exp(\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p))}$
Significar	${\displaystyle \ \exp \izquierda(\ \mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\ \derecha)\ }$
Mediana	${\displaystyle \ \exp(\ \mu \ )\ }$
Modo	${\displaystyle \ \exp \izquierda(\ \mu -\sigma ^{2}\ \derecha)\ }$
Diferencia	${\displaystyle \ \left[\ \exp(\sigma ^{2})-1\ \right]\ \exp \left(2\ \mu +\sigma ^{2}\right)\ }$
Oblicuidad	${\displaystyle \ \left[\ \exp \left(\sigma ^{2}\right)+2\ \right]{\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1\;}}}$
Exceso de curtosis	${\displaystyle \ 1\ \exp \left(4\ \sigma ^{2}\right)+2\ \exp \left(3\ \sigma ^{2}\right)+3\ \exp \left(2\sigma ^{2}\right)-6\ }$
Entropía	${\displaystyle \ \log _{2}\left(\ {\sqrt {2\pi \ }}\ \sigma \ e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}\ \right)\ }$
MGF	definido solo para números con una  parte real no positiva, ver texto
CF	La representación  es asintóticamente divergente, pero adecuada  para la mayoría de los propósitos numéricos.${\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ (i\ t)^{n}\ }{n!}}e^{\ n\mu +n^{2 }\sigma ^{2}/2}\ }$
Información de Fisher	${\displaystyle \ {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\ \sigma ^{2}\ }}&0\\0&{\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\end{pmatrix}}\ }$
Método de momentos	${\displaystyle \ \mu =\log \left({\frac {\nombre_operador {\mathbb {E} } [X]\ }{\ {\sqrt {{\frac {\ \nombre_operador {Var} [X]~~}{\ \nombre_operador {\mathbb {E} } [X]^{2}\ }}+1\ }}\ }}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma ={\sqrt {\log \left({\frac {\ \operatorname {Var} [X]~~}{\ \operatorname {\mathbb {E} } [X]^{2}\ }}+1\ \right)\ }}}$
Déficit esperado	${\displaystyle \ {\frac {1}{2}}e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}{\frac {\ 1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}+\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)\right)\ }{p}}}$[1] ${\displaystyle \ =e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}{\frac {1}{1-p}}(1-\Phi (\Phi ^{-1}(p)-\sigma ))}$

En teoría de probabilidad , una distribución log-normal (o lognormal ) es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo se distribuye normalmente . Por lo tanto, si la variable aleatoria X tiene una distribución log-normal, entonces Y = ln( X ) tiene una distribución normal. ^{[2] [3]} De manera equivalente, si Y tiene una distribución normal, entonces la función exponencial de Y , X = exp( Y ) , tiene una distribución log-normal. Una variable aleatoria que tiene una distribución log-normal solo toma valores reales positivos. Es un modelo conveniente y útil para mediciones en ciencias exactas y de ingeniería , así como en medicina , economía y otros temas (por ejemplo, energías, concentraciones, longitudes, precios de instrumentos financieros y otras métricas).

A la distribución se la denomina ocasionalmente distribución de Galton o distribución de Galton , en honor a Francis Galton . ^[4] La distribución log-normal también se ha asociado con otros nombres, como McAlister , Gibrat y Cobb–Douglas . ^[4]

Un proceso log-normal es la realización estadística del producto multiplicativo de muchas variables aleatorias independientes , cada una de las cuales es positiva. Esto se justifica considerando el teorema del límite central en el dominio logarítmico (a veces llamado ley de Gibrat ). La distribución log-normal es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variable aleatoria X —para la cual se especifican la media y la varianza de ln( X ) . ^[5]

Sea una variable normal estándar y sean y dos números reales, con . Entonces, la distribución de la variable aleatoria${\displaystyle \ Z\ }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

Se denomina distribución log-normal con parámetros y . Estos son el valor esperado (o media ) y la desviación estándar del logaritmo natural de la variable , no la expectativa y la desviación estándar de la misma.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ X\ }$

Esta relación es verdadera independientemente de la base de la función logarítmica o exponencial: Si se distribuye normalmente, entonces también lo es para cualesquiera dos números positivos. Del mismo modo, si se distribuye log-normalmente, entonces también lo es para donde .${\displaystyle \ \log _{a}(X)\ }$${\displaystyle \ \log _{b}(X)\ }$${\displaystyle \ a,b\neq 1~.}$${\displaystyle \ e^{Y}\ }$${\displaystyle \ a^{Y}\ ,}$${\displaystyle 0<a\neq 1}$

Para producir una distribución con la media y varianza deseadas, se utiliza y${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle \ \sigma _{X}^{2}\ ,}$${\displaystyle \ \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\ {\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}\ }}\ }}\right)\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\ \sigma _{X}^{2}\ }{\mu _{X}^{2}}}\right)~.}$

Alternativamente, se pueden utilizar los parámetros "multiplicativos" o "geométricos" . Tienen una interpretación más directa: es la mediana de la distribución y es útil para determinar intervalos de "dispersión", véase más abajo.${\displaystyle \ \mu ^{*}=e^{\mu }\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{*}=e^{\sigma }\ }$${\displaystyle \ \mu ^{*}\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{*}\ }$

Una variable aleatoria positiva tiene una distribución log-normal (es decir, ), si el logaritmo natural de se distribuye normalmente con media y varianza${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\ \mu ,\sigma ^{2}\ \right)\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}\ :}$

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

Sean y respectivamente la función de distribución de probabilidad acumulada y la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar, entonces tenemos que ^{[2] [4]} la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal está dada por:${\displaystyle \ \Phi \ }$${\displaystyle \ \varphi \ }$${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(\ 0,1\ )\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ X\leq x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ \ln X\leq \ln x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {\Phi } \!\!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right){\frac {1}{\ \sigma \ x\ }}\\[6pt]&={\frac {1}{\ x\ \sigma {\sqrt {2\ \pi \ }}\ }}\exp \left(-{\frac {\ (\ln x-\mu )^{2}\ }{2\ \sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)}$

donde es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar (es decir, ).${\displaystyle \ \Phi \ }$${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {N}} (\ 0,\ 1)\ }$

Esto también puede expresarse de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

donde erfc es la función de error complementaria .

Si es una distribución normal multivariante , entonces tiene una distribución log-normal multivariante. ^{[6] [7]} La ​​exponencial se aplica elemento por elemento al vector aleatorio . La media de es${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$

y su matriz de covarianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).}$

Dado que la distribución log-normal multivariada no se utiliza ampliamente, el resto de esta entrada solo trata de la distribución univariante .

Todos los momentos de la distribución log-normal existen y

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Esto se puede derivar dejando dentro de la integral. Sin embargo, la distribución log-normal no está determinada por sus momentos. ^[8] Esto implica que no puede tener una función generadora de momentos definida en un entorno de cero. ^[9] De hecho, el valor esperado no está definido para ningún valor positivo del argumento , ya que la integral definitoria diverge.${\displaystyle z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}}$${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$${\displaystyle t}$

La función característica está definida para valores reales de t , pero no está definida para ningún valor complejo de t que tenga una parte imaginaria negativa, y por lo tanto la función característica no es analítica en el origen. En consecuencia, la función característica de la distribución log-normal no puede representarse como una serie convergente infinita. ^[10] En particular, su serie formal de Taylor diverge:${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Sin embargo, se han obtenido varias representaciones alternativas de series divergentes . ^{[10] [11] [12] [13]}

No se conoce una fórmula cerrada para la función característica en el dominio de convergencia. Existe una fórmula de aproximación relativamente simple en forma cerrada, que se proporciona en ^[14].${\displaystyle \varphi (t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}}$

donde es la función W de Lambert . Esta aproximación se deriva a través de un método asintótico, pero se mantiene precisa en todo el dominio de convergencia de .${\displaystyle W}$${\displaystyle \varphi }$

El contenido de probabilidad de una distribución log-normal en cualquier dominio arbitrario se puede calcular con la precisión deseada transformando primero la variable a normal y luego integrando numéricamente utilizando el método de trazado de rayos. ^[15] (Código Matlab)

Dado que la probabilidad de una función log-normal se puede calcular en cualquier dominio, esto significa que también se puede calcular la función de distribución acumulativa (y, en consecuencia, la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa inversa) de cualquier función de una variable log-normal. ^[15] (Código Matlab)

La media geométrica o multiplicativa de la distribución log-normal es . Es igual a la mediana. La desviación estándar geométrica o multiplicativa es . ^{[16] [17]}${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

Por analogía con la estadística aritmética, se puede definir una varianza geométrica, , y se ha propuesto un coeficiente de variación geométrico , ^{[16] . Este término se pretendía que fuera} análogo al coeficiente de variación, para describir la variación multiplicativa en datos log-normales, pero esta definición de GCV no tiene base teórica como estimación de sí misma (véase también Coeficiente de variación ).${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$${\displaystyle \operatorname {CV} }$

Nótese que la media geométrica es menor que la media aritmética. Esto se debe a la desigualdad AM-GM y es una consecuencia de que el logaritmo es una función cóncava . De hecho,

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$^[18]

En finanzas, el término se interpreta a veces como corrección de convexidad . Desde el punto de vista del cálculo estocástico , se trata del mismo término de corrección que aparece en el lema de Itō para el movimiento browniano geométrico .${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$

Para cualquier número real o complejo n , el momento n - ésimo de una variable X distribuida log-normalmente está dado por ^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$

Específicamente, la media aritmética, el cuadrado esperado, la varianza aritmética y la desviación estándar aritmética de una variable distribuida log-normalmente X se dan respectivamente por: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$

El coeficiente de variación aritmético es el cociente . Para una distribución log-normal es igual a ^[3]${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$

${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$

Esta estimación se denomina a veces "coeficiente de variación geométrico" (GCV), ^{[19] [20]} debido a que utiliza la varianza geométrica. A diferencia de la desviación estándar aritmética, el coeficiente de variación aritmético es independiente de la media aritmética.

Los parámetros μ y σ se pueden obtener si se conocen la media aritmética y la varianza aritmética:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Una distribución de probabilidad no está determinada únicamente por los momentos E[ X ⁿ ] = e ^{nμ + ⁠1/2⁠ n 2 σ 2} para n ≥ 1. Es decir, existen otras distribuciones con el mismo conjunto de momentos.^[4]De hecho, existe toda una familia de distribuciones con los mismos momentos que la distribución log-normal.^{[ cita requerida ]}

La moda es el punto de máximo global de la función de densidad de probabilidad. En particular, al resolver la ecuación , obtenemos que:${\displaystyle (\ln f)'=0}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$

Dado que la variable transformada logarítmicamente tiene una distribución normal y los cuantiles se conservan bajo transformaciones monótonas, los cuantiles de son${\displaystyle Y=\ln X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$

donde es el cuantil de la distribución normal estándar.${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

Específicamente, la mediana de una distribución log-normal es igual a su media multiplicativa, ^[21]

${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$

La esperanza parcial de una variable aleatoria con respecto a un umbral se define como${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx.}$

Alternativamente, utilizando la definición de expectativa condicional , se puede escribir como . Para una variable aleatoria log-normal, la expectativa parcial está dada por:${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)}$

donde es la función de distribución acumulativa normal . La derivación de la fórmula se proporciona en la página de Discusión . La fórmula de expectativa parcial tiene aplicaciones en seguros y economía , se utiliza para resolver la ecuación diferencial parcial que conduce a la fórmula de Black-Scholes .${\displaystyle \Phi }$

La expectativa condicional de una variable aleatoria log-normal —con respecto a un umbral— es su expectativa parcial dividida por la probabilidad acumulada de estar en ese rango:${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$

Además de la caracterización por o , existen varias formas de parametrizar la distribución log-normal. ProbOnto , la base de conocimiento y ontología de distribuciones de probabilidad ^{[22] [23]} enumera siete de estas formas:${\displaystyle \mu ,\sigma }$${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

• LogNormal1(μ,σ) con media , μ y desviación estándar , σ, ambas en escala logarítmica ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal2(μ,υ) con media, μ y varianza, υ, ambas en escala logarítmica

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$

• LogNormal3(m,σ) con mediana , m, en la escala natural y desviación estándar, σ, en la escala logarítmica ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal4(m,cv) con mediana, m, y coeficiente de variación , cv, ambos en escala natural

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$

• LogNormal5(μ,τ) con media, μ, y precisión, τ, ambas en escala logarítmica ^[25]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$

• LogNormal6(m,σ _g ) con mediana, m, y desviación estándar geométrica , σ _g , ambas en la escala natural ^[26]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$

• LogNormal7(μ _N , σ _N ) con media, μ _N y desviación estándar, σ _N , ambas en escala natural ^[27]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)}$

Consideremos la situación en la que se desea ejecutar un modelo utilizando dos herramientas de diseño óptimo diferentes, por ejemplo, PFIM ^[28] y PopED ^[29] . La primera admite la parametrización LN2 y la segunda LN7, respectivamente. Por lo tanto, se requiere la re-parametrización, de lo contrario las dos herramientas producirían resultados diferentes.

Para la transición se cumplen las siguientes fórmulas y .${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

Para la transición se cumplen las siguientes fórmulas y .${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$${\textstyle \mu =\ln \left(\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}\right)}$${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

Todas las fórmulas de parametrización restantes se pueden encontrar en el documento de especificaciones en el sitio web del proyecto. ^[30]

• Multiplicación por una constante: Si entonces para${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})}$${\displaystyle a>0.}$
• Recíproco: Si entonces${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}$
• Poder: Si entonces para${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$${\displaystyle a\neq 0.}$

Si se multiplican [dividen] dos variables independientes log-normales y , el producto [ratio] es nuevamente log-normal, con parámetros [ ] y , donde . Esto se generaliza fácilmente al producto de dichas variables.${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$${\displaystyle n}$

De manera más general, si son variables independientes distribuidas log-normalmente, entonces${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

La media geométrica o multiplicativa de variables aleatorias positivas, independientes e idénticamente distribuidas muestra, para , aproximadamente una distribución log-normal con parámetros y , asumiendo que es finito.${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

De hecho, las variables aleatorias no tienen por qué estar distribuidas de forma idéntica. Basta con que las distribuciones de tengan todas varianza finita y satisfagan las demás condiciones de cualquiera de las muchas variantes del teorema del límite central .${\displaystyle \ln(X_{i})}$

Esta ley se conoce comúnmente como la ley de Gibrat .

Un conjunto de datos que surge de la distribución log-normal tiene una curva de Lorenz simétrica (véase también coeficiente de asimetría de Lorenz ). ^[31]

Las medias armónica , geométrica y aritmética de esta distribución están relacionadas; ^[32] dicha relación está dada por${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Las distribuciones log-normales son infinitamente divisibles , ^[33] pero no son distribuciones estables , de las que se pueden extraer conclusiones fácilmente. ^[34]

• Si es una distribución normal , entonces${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• Si se distribuye log-normalmente, entonces es una variable aleatoria normal.${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• Sean variables independientes distribuidas log-normalmente con parámetros y posiblemente variables, y . La distribución de no tiene una expresión de forma cerrada, pero puede aproximarse razonablemente mediante otra distribución log-normal en la cola derecha. ^[35] Su función de densidad de probabilidad en la vecindad de 0 ha sido caracterizada ^[34] y no se parece a ninguna distribución log-normal. Una aproximación comúnmente utilizada debido a LF Fenton (pero previamente establecida por RI Wilkinson y justificada matemáticamente por Marlow ^[36] ) se obtiene haciendo coincidir la media y la varianza de otra distribución log-normal: En el caso de que todas tengan el mismo parámetro de varianza , estas fórmulas se simplifican a${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

Para una aproximación más precisa, se puede utilizar el método de Monte Carlo para estimar la función de distribución acumulativa, la función de densidad de probabilidad y la cola derecha. ^{[37] [38]}

La suma de variables aleatorias distribuidas log-normalmente y correlacionadas también se puede aproximar mediante una distribución log-normal ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}}$$

• Si entonces se dice que tiene una distribución log-normal de tres parámetros con soporte . ^[39] , .${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X+c}$${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• La distribución log-normal es un caso especial de la distribución SU de Johnson semiacotada . ^[40]
• Si con , entonces (distribución de Suzuki).${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• Se puede obtener un sustituto de la log-normal cuya integral se puede expresar en términos de funciones más elementales ^{[41] basándose en la} distribución logística para obtener una aproximación para la CDF . Esta es una distribución log-logística .$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$

Para determinar los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros de distribución log-normal μ y σ , podemos utilizar el mismo procedimiento que para la distribución normal . Nótese que donde es la función de densidad de la distribución normal . Por lo tanto, la función log-verosimilitud es$${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

Dado que el primer término es constante con respecto a μ y σ , ambas funciones de verosimilitud logarítmicas, y , alcanzan su máximo con el mismo y . Por lo tanto, los estimadores de máxima verosimilitud son idénticos a los de una distribución normal para las observaciones ,${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell _{N}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$$${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.}$$

Para un número finito de n , el estimador para es insesgado, pero el de es sesgado. En cuanto a la distribución normal, se puede obtener un estimador insesgado para reemplazando el denominador n por n −1 en la ecuación para .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

Cuando no se dispone de los valores individuales, pero sí de la media y la desviación típica de la muestra , se puede utilizar el método de los momentos . Los parámetros correspondientes se determinan mediante las siguientes fórmulas, obtenidas a partir de la solución de las ecuaciones de esperanza y varianza para y :${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).}$$

La forma más eficiente de obtener estimaciones de intervalo al analizar datos distribuidos log-normalmente consiste en aplicar los métodos conocidos basados ​​en la distribución normal a los datos transformados logarítmicamente y luego transformar de nuevo los resultados si es apropiado.

Un ejemplo básico lo proporcionan los intervalos de predicción : para la distribución normal, el intervalo contiene aproximadamente dos tercios (68 %) de la probabilidad (o de una muestra grande) y contiene el 95 %. Por lo tanto, para una distribución log-normal, contiene 2/3 y contiene el 95 % de la probabilidad. Si se utilizan parámetros estimados, entonces aproximadamente los mismos porcentajes de los datos deberían estar contenidos en estos intervalos.${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$$${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$$$${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$$

Usando el principio, note que un intervalo de confianza para es , donde es el error estándar y q es el cuartil del 97,5 % de una distribución t con n-1 grados de libertad. La transformación inversa conduce a un intervalo de confianza para (la mediana), es: con${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

En la literatura se analizan varias opciones para calcular el intervalo de confianza para (la media de la distribución log-normal). Entre ellas se incluyen el método bootstrap y otros métodos. ^{[42] [43]}${\displaystyle \mu }$

El método de Cox ^[a] propone conectar los estimadores${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad S^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n-1}}}$

y utilizarlos para construir intervalos de confianza aproximados de la siguiente manera:${\displaystyle CI(E(X)):e^{\left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}}$

Olsson 2005, propuso un "método de Cox modificado" reemplazando con , que parecía proporcionar mejores resultados de cobertura para tamaños de muestra pequeños. ^{[42] : Sección 3.4}${\displaystyle z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}$${\displaystyle t_{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}}$

Comparar dos distribuciones log-normales puede ser a menudo de interés, por ejemplo, de un grupo de tratamiento y de control (por ejemplo, en una prueba A/B ). Tenemos muestras de dos distribuciones log-normales independientes con parámetros y , con tamaños de muestra y respectivamente.${\displaystyle (\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$${\displaystyle (\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

La comparación de las medianas de ambos se puede realizar fácilmente tomando el logaritmo de cada uno y luego construyendo intervalos de confianza sencillos y transformándolos nuevamente a la escala exponencial.

${\displaystyle CI(e^{\mu _{1}-\mu _{2}}):e^{\left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n}}}}\right)}}$

Estos IC son los que se utilizan a menudo en epidemiología para calcular el IC para el riesgo relativo y la razón de probabilidades . ^[46] La forma en que se hace allí es que tenemos dos distribuciones aproximadamente normales (por ejemplo, p1 y p2, para RR), y deseamos calcular su razón. ^[b]

Sin embargo, la relación entre las expectativas (medias) de las dos muestras también podría ser de interés, aunque requiere más trabajo para desarrollarla. La relación entre sus medias es:

${\displaystyle {\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})}}$

Al incorporar los estimadores a cada uno de estos parámetros también se obtiene una distribución logarítmica normal, lo que significa que el método de Cox, analizado anteriormente, también podría utilizarse para este caso de uso:

${\displaystyle CI\left({\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}\right):e^{\left(({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}}$