Módulo de Young

El módulo de Young (o módulo de Young ) es una propiedad mecánica de los materiales sólidos que mide la rigidez a la tracción o compresión cuando la fuerza se aplica longitudinalmente. Es el módulo de elasticidad para tracción o compresión axial . El módulo de Young se define como la relación entre la tensión (fuerza por unidad de área) aplicada al objeto y la deformación axial resultante (desplazamiento o deformación) en la región elástica lineal del material.

Aunque el módulo de Young recibe su nombre del científico británico del siglo XIX Thomas Young , el concepto fue desarrollado en 1727 por Leonhard Euler . Los primeros experimentos que utilizaron el concepto de módulo de Young en su forma moderna fueron realizados por el científico italiano Giordano Riccati en 1782, 25 años antes del trabajo de Young. ^[1] El término módulo se deriva de la raíz latina modus , que significa medida .

El módulo de Young, , cuantifica la relación entre la tensión de tracción o compresión (fuerza por unidad de área) y la deformación axial (deformación proporcional) en la región elástica lineal de un material: ^[2]${\estilo de visualización E}$ ${\estilo de visualización \sigma}$ ${\estilo de visualización \varepsilon}$$${\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}$$

El módulo de Young se mide comúnmente en el Sistema Internacional de Unidades (SI) en múltiplos del pascal (Pa) y los valores comunes están en el rango de gigapascales (GPa).

Ejemplos:

• Caucho (presión creciente: la longitud aumenta rápidamente, lo que significa baja${\estilo de visualización E}$ )
• Aluminio (presión creciente: la longitud aumenta lentamente, lo que significa alto${\estilo de visualización E}$ )

Un material sólido sufre una deformación elástica cuando se le aplica una pequeña carga en compresión o extensión. La deformación elástica es reversible, lo que significa que el material vuelve a su forma original después de que se retira la carga.

En condiciones de tensión y deformación cercanas a cero, la curva de tensión-deformación es lineal y la relación entre tensión y deformación se describe mediante la ley de Hooke , que establece que la tensión es proporcional a la deformación. El coeficiente de proporcionalidad es el módulo de Young. Cuanto mayor sea el módulo, más tensión se necesita para crear la misma cantidad de deformación; un cuerpo rígido idealizado tendría un módulo de Young infinito. Por el contrario, un material muy blando (como un fluido) se deformaría sin fuerza y ​​tendría un módulo de Young cero.

La rigidez del material es una propiedad distinta de las siguientes:

• Resistencia : cantidad máxima de tensión que el material puede soportar mientras permanece en el régimen de deformación elástica (reversible);
• Rigidez geométrica: característica global del cuerpo que depende de su forma, y ​​no sólo de las propiedades locales del material; por ejemplo, una viga en I tiene una rigidez a la flexión mayor que una varilla del mismo material para una masa por longitud dada;
• Dureza : resistencia relativa de la superficie del material a la penetración de un cuerpo más duro;
• Tenacidad : cantidad de energía que un material puede absorber antes de fracturarse.
• El punto E es el límite elástico o el punto de rendimiento del material dentro del cual la tensión es proporcional a la deformación y el material recupera su forma original después de eliminar la fuerza externa.

El módulo de Young permite calcular el cambio de dimensión de una barra de un material elástico isótropo bajo cargas de tracción o compresión. Por ejemplo, predice cuánto se alarga una muestra de material bajo tensión o cuánto se acorta bajo compresión. El módulo de Young se aplica directamente a casos de tensión uniaxial, es decir, tensión de tracción o compresión en una dirección y ninguna tensión en las otras direcciones. El módulo de Young también se utiliza para predecir la deflexión que se producirá en una viga estáticamente determinada cuando se aplica una carga en un punto entre los apoyos de la viga.

Otros cálculos elásticos suelen requerir el uso de una propiedad elástica adicional, como el módulo de corte , el módulo volumétrico y el coeficiente de Poisson . Dos de estos parámetros son suficientes para describir completamente la elasticidad en un material isotrópico. Por ejemplo, se ha medido el cálculo de las propiedades físicas del tejido cutáneo canceroso y se ha descubierto que el coeficiente de Poisson es de 0,43 ± 0,12 y el módulo de Young medio de 52 KPa. La definición de las propiedades elásticas de la piel puede convertirse en el primer paso para convertir la elasticidad en una herramienta clínica. ^[3] Para los materiales isotrópicos homogéneos existen relaciones simples entre las constantes elásticas que permiten calcularlas todas siempre que se conozcan dos:${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización K}$ ${\estilo de visualización \nu}$

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).}$

El módulo de Young representa el factor de proporcionalidad en la ley de Hooke , que relaciona el esfuerzo y la deformación. Sin embargo, la ley de Hooke solo es válida bajo el supuesto de una respuesta elástica y lineal . Cualquier material real eventualmente fallará y se romperá cuando se lo estire sobre una distancia muy grande o con una fuerza muy grande; sin embargo, todos los materiales sólidos exhiben un comportamiento casi hookeano para deformaciones o tensiones lo suficientemente pequeñas. Si el rango en el que es válida la ley de Hooke es lo suficientemente grande en comparación con el esfuerzo típico que uno espera aplicar al material, se dice que el material es lineal. De lo contrario (si el esfuerzo típico que uno aplicaría está fuera del rango lineal), se dice que el material es no lineal.

El acero , la fibra de carbono y el vidrio, entre otros, suelen considerarse materiales lineales, mientras que otros materiales como el caucho y los suelos son no lineales. Sin embargo, esta no es una clasificación absoluta: si se aplican tensiones o deformaciones muy pequeñas a un material no lineal, la respuesta será lineal, pero si se aplican tensiones o deformaciones muy altas a un material lineal, la teoría lineal no será suficiente. Por ejemplo, como la teoría lineal implica reversibilidad , sería absurdo utilizar la teoría lineal para describir el fallo de un puente de acero bajo una carga elevada; aunque el acero es un material lineal para la mayoría de las aplicaciones, no lo es en un caso de fallo catastrófico como éste.

En mecánica de sólidos , la pendiente de la curva de esfuerzo-deformación en cualquier punto se denomina módulo tangente . Se puede determinar experimentalmente a partir de la pendiente de una curva de esfuerzo-deformación creada durante pruebas de tracción realizadas en una muestra del material.

El módulo de Young no siempre es el mismo en todas las orientaciones de un material. La mayoría de los metales y cerámicas, junto con muchos otros materiales, son isotrópicos y sus propiedades mecánicas son las mismas en todas las orientaciones. Sin embargo, los metales y cerámicas pueden tratarse con ciertas impurezas y los metales pueden trabajarse mecánicamente para hacer que sus estructuras de grano sean direccionales. Estos materiales luego se vuelven anisotrópicos y el módulo de Young cambiará dependiendo de la dirección del vector de fuerza. ^[4] La anisotropía también se puede ver en muchos compuestos. Por ejemplo, la fibra de carbono tiene un módulo de Young mucho más alto (es mucho más rígida) cuando la fuerza se carga paralela a las fibras (a lo largo de la fibra). Otros materiales similares incluyen madera y hormigón armado . Los ingenieros pueden usar este fenómeno direccional a su favor en la creación de estructuras.

El módulo de Young de los metales varía con la temperatura y se puede realizar a través del cambio en el enlace interatómico de los átomos, y por lo tanto se encuentra que su cambio depende del cambio en la función de trabajo del metal. Aunque clásicamente, este cambio se predice a través del ajuste y sin un mecanismo subyacente claro (por ejemplo, la fórmula de Watchman), el modelo de Rahemi-Li ^[5] demuestra cómo el cambio en la función de trabajo del electrón conduce al cambio en el módulo de Young de los metales y predice esta variación con parámetros calculables, utilizando la generalización del potencial de Lennard-Jones a sólidos. En general, a medida que aumenta la temperatura, el módulo de Young disminuye a través de donde la función de trabajo del electrón varía con la temperatura como y es una propiedad calculable del material que depende de la estructura cristalina (por ejemplo, BCC, FCC). es la función de trabajo del electrón en T = 0 y es constante durante todo el cambio.${\displaystyle E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}}$${\displaystyle \varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \varphi _{0}}$${\estilo de visualización \beta}$

El módulo de Young se calcula dividiendo la tensión de tracción , , por la deformación extensional de ingeniería , , en la porción elástica (inicial, lineal) de la curva física de tensión-deformación :${\displaystyle \sigma (\varepsilon)}$${\estilo de visualización \varepsilon}$

$${\displaystyle E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0) }}{A\,\Delta L}}}$$dónde

• ${\estilo de visualización E}$es el módulo de Young (módulo de elasticidad)
• ${\estilo de visualización F}$es la fuerza ejercida sobre un objeto bajo tensión;
• ${\estilo de visualización A}$es el área de la sección transversal real, que es igual al área de la sección transversal perpendicular a la fuerza aplicada;
• ${\displaystyle \Delta L}$es la cantidad en la que cambia la longitud del objeto ( es positiva si el material se estira y negativa cuando el material se comprime);${\displaystyle \Delta L}$
• $Estilo de visualización L_{0}$es la longitud original del objeto.

El módulo de Young de un material se puede utilizar para calcular la fuerza que ejerce bajo una deformación específica.

${\displaystyle F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}}$

donde es la fuerza ejercida por el material cuando se contrae o se estira por .${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \Delta L}$

La ley de Hooke para un cable estirado se puede derivar de esta fórmula:

${\displaystyle F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx}$

Donde entra en saturación

${\displaystyle k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,}$y${\displaystyle x\equiv \Delta L.}$

Pero tenga en cuenta que la elasticidad de los resortes helicoidales proviene del módulo de corte , no del módulo de Young. ^{[ cita requerida ]}

La energía potencial elástica almacenada en un material elástico lineal viene dada por la integral de la ley de Hooke:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Ahora explicando las variables intensivas:

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}}$

Esto significa que la densidad de energía potencial elástica (es decir, por unidad de volumen) viene dada por:

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={ \frac {1}{2}}\times {\frac {E\,{\Delta L}}{L_{0}}}\times {\frac {\Delta L}{L_{0}}}={ \frac {1}{2}}\times \sigma (\varepsilon )\times \varepsilon }$

o, en notación simple, para un material elástico lineal: , ya que la deformación está definida .${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$

En un material elástico no lineal, el módulo de Young es una función de la deformación, por lo que la segunda equivalencia ya no se cumple y la energía elástica no es una función cuadrática de la deformación:

${\displaystyle u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}}$

El módulo de Young puede variar un poco debido a las diferencias en la composición de la muestra y el método de prueba. La velocidad de deformación tiene el mayor impacto en los datos recopilados, especialmente en polímeros . Los valores que se muestran aquí son aproximados y solo se utilizan para realizar comparaciones relativas.

Módulo de Young aproximado para varios materiales

Material	Módulo de Young ( GPa )	Megalibra por pulgada cuadrada ( M psi ) [6]	Árbitro.
Aluminio ( 13 Al)	68	9.86	[7] [8] [9] [10] [11] [12]
Cristales moleculares de aminoácidos	21–44	3,05–6,38	[13]
Aramida (por ejemplo, Kevlar )	70,5–112,4	10.2–16.3	[14]
Nanoesferas de péptidos aromáticos	230–275	33,4–39,9	[15]
Nanotubos de péptidos aromáticos	19–27	2,76–3,92	[16] [17]
Cápsides de bacteriófagos	1–3	0,145–0,435	[18]
Berilio ( 4 Be)	287	41.6	[19]
Hueso cortical humano	14	2.03	[20]
Latón	106	15.4	[21]
Bronce	112	16.2	[22]
Nitruro de carbono (CN 2 )	822	119	[23]
Plástico reforzado con fibra de carbono (CFRP), 50/50 fibra/matriz, tejido biaxial	30–50	4.35–7.25	[24]
Plástico reforzado con fibra de carbono (CFRP), 70/30 fibra/matriz, unidireccional, a lo largo de la fibra	181	26.3	[25]
Cobalto-cromo (CoCr)	230	33.4	[26]
Cobre (Cu), recocido	110	16	[27]
Diamante (C), sintético	1050–1210	152–175	[28]
Frustulas de diatomeas , principalmente ácido silícico	0,35–2,77	0,051–0,058	[29]
Fibra de lino	58	8.41	[30]
Vidrio flotado	47,7–83,6	6,92–12,1	[31]
Poliéster reforzado con fibra de vidrio (PRFV)	17.2	2.49	[32]
Oro	77.2	11.2	[33]
Grafeno	1050	152	[34]
Fibra de cáñamo	35	5.08	[35]
Polietileno de alta densidad (HDPE)	0,97–1,38	0,141–0,2	[36]
Hormigón de alta resistencia	30	4.35	[37]
Plomo ( 82 Pb), químico	13	1,89	[12]
Polietileno de baja densidad (LDPE), moldeado	0,228	0,0331	[38]
Aleación de magnesio	45.2	6.56	[39]
Tablero de fibra de densidad media (MDF)	4	0,58	[40]
Molibdeno (Mo), recocido	330	47,9	[41] [8] [9] [10] [11] [12]
Monel	180	26.1	[12]
Nácar (principalmente carbonato de calcio )	70	10.2	[42]
Níquel ( 28 Ni), comercial	200	29	[12]
Nailon 66	2.93	0,425	[43]
Osmio ( 76 Os)	525–562	76,1–81,5	[44]
Nitruro de osmio (OsN 2 )	194,99–396,44	28,3–57,5	[45]
Policarbonato (PC)	2.2	0,319	[46]
Tereftalato de polietileno (PET), sin reforzar	3.14	0,455	[47]
Polipropileno (PP), moldeado	1.68	0,244	[48]
Poliestireno , cristal	2,5–3,5	0,363–0,508	[49]
Poliestireno , espuma	0,0025–0,007	0,000363–0,00102	[50]
Politetrafluoroetileno (PTFE), moldeado	0,564	0,0818	[51]
Caucho , pequeña tensión	0,01–0,1	0,00145–0,0145	[13]
Silicio , monocristal, diferentes direcciones	130–185	18,9–26,8	[52]
Carburo de silicio (SiC)	90–137	13.1–19.9	[53]
Nanotubo de carbono de pared simple	${\displaystyle >}$1000	${\displaystyle >}$140	[54] [55]
Acero , A36	200	29	[56]
Fibra de ortiga	87	12.6	[30]
Titanio ( 22 Ti)	116	16.8	[57] [58] [8] [10] [9] [12] [11]
Aleación de titanio , grado 5	114	16.5	[59]
Esmalte dental , en gran parte fosfato de calcio.	83	12	[60]
Carburo de tungsteno (WC)	600–686	87–99,5	[61]
Madera , haya americana	9,5–11,9	1,38–1,73	[62]
Madera , cerezo negro	9–10.3	1,31–1,49	[62]
Madera , arce rojo	9.6–11.3	1,39–1,64	[62]
Hierro forjado	193	28	[63]
Granate de itrio y hierro (YIG), policristalino	193	28	[64]
Granate de itrio y hierro (YIG), monocristal	200	29	[65]
Zinc ( 30Zn )	108	15.7	[66]
Circonio ( 40 Zr), comercial	95	13.8	[12]

• Rigidez a la flexión
• Desviación
• Deformación
• Módulo de flexión
• Técnica de excitación por impulsos
• Lista de propiedades de los materiales
• Rendimiento (ingeniería)

• ASTM E 111, "Método de prueba estándar para el módulo de Young, el módulo tangente y el módulo de cuerda"
• El Manual de ASM (varios volúmenes) contiene el módulo de Young para diversos materiales e información sobre cálculos. Versión en línea (se requiere suscripción)

• Matweb: base de datos gratuita de propiedades de ingeniería para más de 175.000 materiales
• Módulo de Young para grupos de materiales y su costo

Fórmulas de conversión
Los materiales elásticos lineales isótropos homogéneos tienen sus propiedades elásticas determinadas únicamente por cualesquiera dos módulos entre estos; por lo tanto, dados dos cualesquiera, cualquier otro de los módulos elásticos se puede calcular de acuerdo con estas fórmulas, siempre que se trate tanto de materiales 3D (primera parte de la tabla) como de materiales 2D (segunda parte).
Fórmulas 3D	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle M=\,}$	Notas
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda )}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu )}$		${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Hay dos soluciones válidas. El signo más lleva a .${\displaystyle \nu \geq 0}$ El signo menos lleva a .${\displaystyle \nu \leq 0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	No se puede utilizar cuando${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$
Fórmulas 2D	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle E_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle G_{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,}$	Notas
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })}$			${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$		${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$
${\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$		${\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,}$
${\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	No se puede utilizar cuando${\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}$
${\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}$	${\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}$	${\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,}$		${\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}$