Duoprisma

Conjunto de duoprismas pq uniformes
Tipo	Politopos prismáticos uniformes de 4
Símbolo de Schläfli	{ p }×{ q }
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Células	prismas pq -gonales , prismas qp -gonales
Caras	cuadrados pq , pq -gonos, qp -gonos
Bordes	2 piezas
Vértices	pq
Figura de vértice	disfenoide
Simetría	[ p ,2, q ] , orden 4 pq
Dual	pq duopirámide
Propiedades	convexo , uniforme en los vértices
Conjunto de duoprismas pp uniformes
Tipo	Politopo prismático uniforme de 4 elementos
Símbolo de Schläfli	{ p }×{ p }
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Células	2 prismas p p -gonales
Caras	p 2 cuadrados , 2 p p -gonos
Bordes	2 pág. 2
Vértices	pág. 2
Simetría	[ p ,2, p ] = [2 p ,2 + ,2 p ], orden 8 p 2
Dual	pp duopirámide
Propiedades	convexo , uniforme en los vértices , faceta-transitivo

En geometría de 4 dimensiones o más, un prisma doble ^[1] o duoprisma es un politopo resultante del producto cartesiano de dos politopos, cada uno de dos dimensiones o más. El producto cartesiano de un n -politopo y un m -politopo es un ( n + m ) -politopo, donde n y m son dimensiones de 2 ( polígono ) o más.

Los duoprismas de menor dimensión existen en el espacio de cuatro dimensiones como 4-politopos que son el producto cartesiano de dos polígonos en el espacio euclidiano de dos dimensiones . Más precisamente, es el conjunto de puntos:

${\displaystyle P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,z,w)|(x,y)\en P_{1},(z,w)\en P_{2}\}}$

donde P ₁ y P ₂ son los conjuntos de puntos contenidos en los respectivos polígonos. Un duoprisma de este tipo es convexo si ambas bases son convexas y está limitado por celdas prismáticas .

Los duoprismas cuatridimensionales se consideran 4-politopos prismáticos. Un duoprisma construido a partir de dos polígonos regulares con la misma longitud de arista es un duoprisma uniforme .

Un duoprisma formado por n -polígonos y m -polígonos se nombra prefijando 'duoprisma' con los nombres de los polígonos base, por ejemplo: un duoprisma triangular-pentagonal es el producto cartesiano de un triángulo y un pentágono.

Una forma alternativa, más concisa, de especificar un duoprisma particular es prefijándolo con números que denotan los polígonos base, por ejemplo: 3,5-duoprisma para el duoprisma triangular-pentagonal.

Otros nombres alternativos:

• q -gonal- p -prisma gonal
• q -gonal- p -gonal prisma doble
• q -gonal- p -gonal hiperprisma

El término duoprisma fue acuñado por George Olshevsky, abreviado de prisma doble . John Horton Conway propuso un nombre similar, proprisma, para prisma producto , un producto cartesiano de dos o más politopos de dimensión al menos dos. Los duoprismas son proprismas formados a partir de exactamente dos politopos.

Diagrama de Schlegel Se muestran la proyección desde el centro de un prisma de 16 gonales y todos los prismas de 16 gonales opuestos, excepto uno.

neto Se muestran los dos conjuntos de prismas de 16 caras. Las caras superior e inferior del cilindro vertical se conectan cuando se doblan juntas en 4D.

Un duoprisma uniforme de 4 dimensiones se crea mediante el producto de un polígono regular de n lados y un polígono regular de m lados con la misma longitud de arista. Está limitado por n prismas m -gonales y m prismas n -gonales. Por ejemplo, el producto cartesiano de un triángulo y un hexágono es un duoprisma limitado por 6 prismas triangulares y 3 prismas hexagonales.

• Cuando m y n son idénticos, el duoprisma resultante está acotado por 2 n prismas n -gonales idénticos . Por ejemplo, el producto cartesiano de dos triángulos es un duoprisma acotado por 6 prismas triangulares.
• Cuando m y n son idénticamente 4, el duoprisma resultante está limitado por 8 prismas cuadrados ( cubos ), y es idéntico al teseracto .

Los prismas m -gonales están unidos entre sí por sus caras m -gonales y forman un bucle cerrado. De manera similar, los prismas n -gonales están unidos entre sí por sus caras n -gonales y forman un segundo bucle perpendicular al primero. Estos dos bucles están unidos entre sí por sus caras cuadradas y son mutuamente perpendiculares.

A medida que m y n se aproximan al infinito, los duoprismas correspondientes se aproximan al duocilindro . Por lo tanto, los duoprismas son útiles como aproximaciones no cuádricas del duocilindro.

3-3
3-4	4-4
3-5	4-5	5-5
3-6	4-6	5-6	6-6
3-7	4-7	5-7	6-7	7-7
3-8	4-8	5-8	6-8	7-8	8-8
3-9	4-9	5-9	6-9	7-9	8-9	9-9
3-10	4-10	5-10	6-10	7-10	8-10	9-10	10-10

Una proyección en perspectiva centrada en la celda hace que un duoprisma parezca un toro , con dos conjuntos de celdas ortogonales, prismas p-gonales y q-gonales.

Diagramas de Schlegel

6 prismas	Duoprisma 6-6
Un prisma hexagonal , proyectado en el plano mediante perspectiva, centrado en una cara hexagonal, parece un doble hexágono conectado por cuadrados (distorsionados) . De manera similar, un duoprisma 6-6 proyectado en 3D se aproxima a un toro , hexagonal tanto en planta como en sección.

Los duoprismas pq son idénticos a los duoprismas qp, pero se ven diferentes en estas proyecciones porque se proyectan en el centro de celdas diferentes.

Diagramas de Schlegel

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Las proyecciones ortogonales centradas en los vértices de los duoprismas pp se proyectan en simetría [2n] para los grados impares y [n] para los grados pares. Hay n vértices proyectados en el centro. Para 4,4, representa el plano de Coxeter A ₃ del teseracto . La proyección 5,5 es idéntica al triacontaedro rómbico 3D .

Proyecciones ortogonales de duoprismas pp

Extraño
3-3			5-5			7-7			9-9
[3]		[6]	[5]		[10]	[7]		[14]	[9]		[18]
Incluso
4-4 (teseracto)			6-6			8-8			10-10
[4]		[8]	[6]		[12]	[8]		[16]	[10]		[20]

El poliedro oblicuo regular , {4,4|n}, existe en el espacio 4 como las n ² caras cuadradas de un duoprisma nn , utilizando todas las 2n ² aristas y n ² vértices. Las 2 n n caras -gonales pueden verse como eliminadas. (Los poliedros oblicuos pueden verse de la misma manera por un duoprisma nm, pero estos no son regulares ).

Al igual que los antiprismas como prismas alternados , existe un conjunto de duoantiprismas de 4 dimensiones: 4-politopos que pueden crearse mediante una operación de alternancia aplicada a un duoprisma. Los vértices alternados crean celdas tetraédricas no regulares, excepto en el caso especial del duoprisma 4-4 ( teseracto ), que crea el duoprisma uniforme (y regular) de 16 celdas . El duoantiprisma de 16 celdas es el único duoantiprisma uniforme convexo.

Los duoprismas, t _0,1,2,3 {p,2,q}, se puede alternar en, ht _0,1,2,3 {p,2,q}, los "duoantiprismas", que no pueden hacerse uniformes en general. La única solución uniforme convexa es el caso trivial de p=q=2, que es una construcción de simetría inferior del teseracto. , t _0,1,2,3 {2,2,2}, con su alternancia como la de 16 celdas ,, s{2}s{2}.

La única solución uniforme no convexa es p=5, q=5/3, ht _0,1,2,3 {5,2,5/3},, construido a partir de 10 antiprismas pentagonales , 10 antiprismas cruzados pentagrámicos y 50 tetraedros, conocido como el gran duoantiprisma (gudap). ^{[2] [3]}

También están relacionados los ditetragoltriados u octagoltriados, formados al llevar el octógono (considerado como un ditetragono o un cuadrado truncado) a un p-gono. El octógono de un p-gono se puede definir claramente si se supone que el octógono es la envoltura convexa de dos rectángulos perpendiculares ; entonces el ditetragoltriado p-gonal es la envoltura convexa de dos duoprismas pp (donde los p-gonos son similares pero no congruentes, teniendo diferentes tamaños) en orientaciones perpendiculares. El policoron resultante es isogonal y tiene 2p prismas p-gonales y p ² trapezoprismas rectangulares (un cubo con simetría D _2d ) pero no se puede hacer uniforme. La figura del vértice es una bipirámide triangular .

Al igual que los duoantiprismas como duoprismas alternados, existe un conjunto de antiprismoides dobles p-gonales creados alternando los ditetragoltriatos 2p-gonales, creando antiprismas y tetraedros p-gonales mientras se reinterpretan los espacios bipiramidales triangulares no coreálmicos como dos tetraedros. La figura resultante generalmente no es uniforme excepto en dos casos: el gran antiprisma y su conjugado, el antiprismoide doble pentagrammico (con p = 5 y 5/3 respectivamente), representados como la alternancia de un ditetragoltriato decagonal o decagrammico. La figura del vértice es una variante de la esfenocorona .

El duoprisma 3-3 , -1 ₂₂ , es el primero de una serie dimensional de politopos uniformes, expresado por Coxeter como la serie k _{22 . El duoprisma 3-3 es la figura de vértice para el segundo, el} 5-símplex birectificado . La cuarta figura es un panal euclidiano, 2 ₂₂ , y la final es un panal hiperbólico paracompacto, 3 ₂₂ , con el grupo de Coxeter [3 ^2,2,3 ], . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .${\displaystyle {\bar {T}}_{7}}$

k ₂₂ figuras en n dimensiones

Espacio	Finito			Euclidiano	Hiperbólico
norte	4	5	6	7	8
Grupo Coxeter	Un 2 Un 2	E6​	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$=E 6 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{7}}$= E6 ++
Diagrama de Coxeter
Simetría	[[3 2,2,-1 ]]	[[3 2,2,0 ]]	[[3 2,2,1 ]]	[[3 2,2,2 ]]	[[3 2,2,3 ]]
Orden	72	1440	103.680	∞
Gráfico				∞	∞
Nombre	-1 22	0 22	1 22	2 22	3 22

• Politopo y 4-politopo
• Politopo cuatripartito regular convexo
• Duocilindro
• Teseracto

• Politopos regulares , HSM Coxeter , Dover Publications, Inc., 1973, Nueva York, pág. 124.
• Coxeter , La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN  0-486-40919-8 (Capítulo 5: Poliedros regulares oblicuos en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos)
  • Coxeter, HSM Poliedros oblicuos regulares en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26) 
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966