Logaritmo natural

Logaritmo natural
Gráfica de parte de la función logaritmo natural. La función crece lentamente hasta el infinito positivo a medida que x aumenta, y lentamente va hasta el infinito negativo a medida que x se acerca a 0 ("lentamente" en comparación con cualquier ley de potencia de x ).
información general
Definición general	ln ⁡ x = log e ⁡ x {\displaystyle \ln x=\log _{e}x}
Motivación de la invención	cuadratura de hipérbola
Campos de aplicación	Matemáticas puras y aplicadas
Dominio, codominio e imagen
Dominio	${\displaystyle \mathbb {R} _ {>0}}$
Codominio	${\displaystyle \mathbb {R}}$
Imagen	${\displaystyle \mathbb {R}}$
Valores específicos
Valor en +∞	+∞
Valor en  e	1
Características específicas
Asíntota	${\displaystyle x=0}$
Raíz	1
Inverso	${\estilo de visualización \exp x}$
Derivado	${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\ln x={\dfrac {1}{x}},x>0}$
Antiderivada	${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\left(\ln x-1\right)+C}$

Parte de una serie de artículos sobre el
constante matemática e
Propiedades
Logaritmo natural Función exponencial
Aplicaciones
interés compuesto La identidad de Euler Fórmula de Euler vidas medias crecimiento y decrecimiento exponencial
Definiendo e
Prueba de que e es irracional representaciones de e Teorema de Lindemann-Weierstrass
Gente
Juan Napier Leonhard Euler
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en a mi

El logaritmo natural de un número es su logaritmo en base a la constante matemática e , que es un número irracional y trascendental aproximadamente igual a2.718 281 828 459 . ^[1] El logaritmo natural de x se escribe generalmente como ln x , log _e x o, a veces, si la base e está implícita, simplemente log x . ^{[2] [3] A veces se añaden} paréntesis para mayor claridad, dando ln( x ) , log _e ( x ) o log( x ) . Esto se hace particularmente cuando el argumento del logaritmo no es un solo símbolo, para evitar ambigüedades.

El logaritmo natural de x es la potencia a la que e debería elevarse para que fuera igual a x . Por ejemplo, ln 7,5 es 2,0149... , porque e ^2,0149... = 7,5 . El logaritmo natural de e , ln e , es 1 , porque e ¹ = e , mientras que el logaritmo natural de 1 es 0 , ya que e ⁰ = 1 .

El logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo a como el área bajo la curva y = 1/ x desde 1 hasta a ^[4] (siendo el área negativa cuando 0 < a < 1 ). La simplicidad de esta definición, que se refleja en muchas otras fórmulas que involucran el logaritmo natural, conduce al término "natural". La definición del logaritmo natural puede luego extenderse para dar valores de logaritmo para números negativos y para todos los números complejos distintos de cero , aunque esto conduce a una función multivaluada : vea logaritmo complejo para más información.

La función logaritmo natural, si se considera como una función de valor real de una variable real positiva, es la función inversa de la función exponencial , lo que conduce a las identidades:$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

Como todos los logaritmos, el logaritmo natural convierte la multiplicación de números positivos en suma: ^[5]$${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

Los logaritmos se pueden definir para cualquier base positiva distinta de 1, no solo e . Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren solo por un multiplicador constante del logaritmo natural, y se pueden definir en términos de este último, .${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$

Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente de alguna otra cantidad. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para resolver la vida media , la constante de desintegración o el tiempo desconocido en problemas de desintegración exponencial . Son importantes en muchas ramas de las matemáticas y disciplinas científicas, y se utilizan para resolver problemas que involucran interés compuesto .

El concepto de logaritmo natural fue elaborado por Gregoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa antes de 1649. ^[6] Su trabajo implicó la cuadratura de la hipérbola con ecuación xy = 1 , mediante la determinación del área de los sectores hiperbólicos . Su solución generó la función " logaritmo hiperbólico " requerida , que tenía las propiedades ahora asociadas con el logaritmo natural.

Una mención temprana del logaritmo natural fue hecha por Nicholas Mercator en su obra Logarithmotechnia , publicada en 1668, ^[7] aunque el profesor de matemáticas John Speidell ya había compilado una tabla de lo que de hecho eran efectivamente logaritmos naturales en 1619. ^[8] Se ha dicho que los logaritmos de Speidell eran de base e , pero esto no es del todo cierto debido a complicaciones con los valores expresados ​​como números enteros . ^{[8] : 152}

Las notaciones ln x y log _e x se refieren inequívocamente al logaritmo natural de x , y log x sin una base explícita también puede referirse al logaritmo natural. Este uso es común en matemáticas, junto con algunos contextos científicos, así como en muchos lenguajes de programación . ^{[nb 1]} Sin embargo, en otros contextos como la química , log x se puede utilizar para denotar el logaritmo común (base 10) . También puede referirse al logaritmo binario (base 2) en el contexto de la informática , particularmente en el contexto de la complejidad temporal .

El logaritmo natural se puede definir de varias formas equivalentes.

La definición más general es como la función inversa de , de modo que . Debido a que es positiva e invertible para cualquier entrada real , esta definición de está bien definida para cualquier x positiva . Para los números complejos , no es invertible, por lo que es una función multivaluada . Para hacer una función de salida única adecuada , por lo tanto, necesitamos restringirla a una rama principal particular , a menudo denotada por . Como la función inversa de , se puede definir invirtiendo la definición habitual de : Al hacerlo, se obtiene: Esta definición, por lo tanto, deriva su propia rama principal de la rama principal de las raíces n ésimas.${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle \ln(z)}$${\displaystyle \ln(z)}$${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle \ln(z)}$${\displaystyle e^{z}}$$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$$${\displaystyle \ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)}$$

El logaritmo natural de un número real positivo a puede definirse como el área bajo el gráfico de la hipérbola con ecuación y = 1/ x entre x = 1 y x = a . Esta es la integral ^[4] Si a está en , entonces la región tiene área negativa y el logaritmo es negativo.$${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$${\displaystyle (0,1)}$

Esta función es un logaritmo porque satisface la propiedad multiplicativa fundamental de un logaritmo: ^[5]$${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$$

Esto se puede demostrar dividiendo la integral que define ln ab en dos partes y luego haciendo la sustitución de variable x = at (entonces dx = a dt ) en la segunda parte, de la siguiente manera:$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$$

En términos elementales, esto es simplemente escalar por 1/ a en la dirección horizontal y por a en la dirección vertical. El área no cambia bajo esta transformación, pero la región entre a y ab se reconfigura. Como la función a /( ax ) es igual a la función 1/ x , el área resultante es precisamente ln b .

El número e puede entonces definirse como el único número real a tal que ln a = 1 .

El logaritmo natural también tiene una representación integral impropia, ^[9] que se puede derivar con el teorema de Fubini de la siguiente manera:$${\displaystyle \ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt}$$

El logaritmo natural tiene las siguientes propiedades matemáticas:

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln({\sqrt[{y}]{x}})=(\ln x)/y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y\neq 0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

La derivada del logaritmo natural como función de valores reales en los reales positivos está dada por ^[4]$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

La manera de establecer esta derivada del logaritmo natural depende de cómo se defina de primera mano. Si el logaritmo natural se define como la integral , entonces la derivada se desprende inmediatamente de la primera parte del teorema fundamental del cálculo .$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$$

Por otro lado, si el logaritmo natural se define como la inversa de la función exponencial (natural), entonces la derivada (para x > 0 ) se puede encontrar utilizando las propiedades del logaritmo y una definición de la función exponencial.

A partir de la definición del número la función exponencial se puede definir como donde${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$$${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},}$$${\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}$

La derivada puede entonces encontrarse a partir de los primeros principios.$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$$

Además, contamos con:$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

Entonces, a diferencia de su función inversa , una constante en la función no altera el diferencial.${\displaystyle e^{ax}}$

Como el logaritmo natural no está definido en 0, no tiene una serie de Maclaurin , a diferencia de muchas otras funciones elementales. En cambio, se buscan desarrollos de Taylor alrededor de otros puntos. Por ejemplo, si entonces ^[10]${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Esta es la serie de Taylor para alrededor de 1. Un cambio de variables produce la serie de Mercator : válida para y${\displaystyle \ln x}$$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$${\displaystyle |x|\leq 1}$${\displaystyle x\neq -1.}$

Leonhard Euler , ^[11] sin tener en cuenta , aplicó no obstante esta serie a para demostrar que la serie armónica es igual al logaritmo natural de ; es decir, el logaritmo del infinito. Hoy en día, de manera más formal, se puede demostrar que la serie armónica truncada en N es cercana al logaritmo de N , cuando N es grande, con la diferencia convergiendo a la constante de Euler-Mascheroni .${\displaystyle x\neq -1}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}$

La figura es un gráfico de ln(1 + x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de 0. Estas aproximaciones convergen a la función solo en la región −1 < x ≤ 1 ; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado evolucionan a aproximaciones peores para la función.

Un caso especial útil para números enteros positivos n , tomando , es:${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

Si entonces${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Ahora, tomando como enteros positivos n , obtenemos:${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

Si entonces Como llegamos a Usando nuevamente la sustitución para números enteros positivos n , obtenemos: ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$$${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Esta es, por lejos, la convergencia más rápida de la serie descrita aquí.

El logaritmo natural también puede expresarse como un producto infinito: ^[12]$${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

Dos ejemplos podrían ser:$${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$$${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

A partir de esta identidad, podemos obtener fácilmente que:$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

Por ejemplo:$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

El logaritmo natural permite la integración sencilla de funciones de la forma : una antiderivada de g ( x ) está dada por . Esto es así debido a la regla de la cadena y al siguiente hecho:${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

En otras palabras, al integrar sobre un intervalo de la línea real que no incluye , entonces donde C es una constante arbitraria de integración . ^[13]${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$

De la misma manera, cuando la integral está sobre un intervalo donde , ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

Por ejemplo, considere la integral de sobre un intervalo que no incluye puntos donde es infinito:${\displaystyle \tan(x)}$${\displaystyle \tan(x)}$$${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

El logaritmo natural se puede integrar mediante integración por partes :$${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

Sea: entonces:$${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$$${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

Para donde x > 1 , cuanto más cercano sea el valor de x a 1, más rápida será la tasa de convergencia de su serie de Taylor centrada en 1. Las identidades asociadas con el logaritmo se pueden aprovechar para explotar esto:${\displaystyle \ln(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$$

Estas técnicas se utilizaban antes de las calculadoras, haciendo referencia a tablas numéricas y realizando manipulaciones como las mencionadas anteriormente.

El logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a2.302 585 09 , ^[14] juega un papel, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica , como una mantisa multiplicada por una potencia de 10:$${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

Esto significa que uno puede calcular efectivamente los logaritmos de números con magnitud muy grande o muy pequeña usando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango [1, 10) .

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, el método de la serie de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Especialmente si x está cerca de 1, una buena alternativa es utilizar el método de Halley o el método de Newton para invertir la función exponencial, porque la serie de la función exponencial converge más rápidamente. Para encontrar el valor de y para obtener utilizando el método de Halley, o equivalentemente para obtener utilizando el método de Newton, la iteración se simplifica a que tiene convergencia cúbica a .${\displaystyle \exp(y)-x=0}$${\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0}$$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$${\displaystyle \ln(x)}$

Otra alternativa para un cálculo de precisión extremadamente alta es la fórmula ^{[15] [16]} donde M denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4/ s , y con m elegido de modo que se alcance una precisión de p bits. (Para la mayoría de los propósitos, el valor de 8 para m es suficiente.) De hecho, si se utiliza este método, la inversión de Newton del logaritmo natural puede utilizarse a la inversa para calcular la función exponencial de manera eficiente. (Las constantes y π pueden calcularse previamente con la precisión deseada utilizando cualquiera de varias series conocidas de rápida convergencia.) O bien, se puede utilizar la siguiente fórmula:$${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$$${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$${\displaystyle \ln 2}$$${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

¿Dónde están las funciones theta de Jacobi ? ^[17]$${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$

Basado en una propuesta de William Kahan e implementada por primera vez en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C en 1979 (mencionada bajo "LN1" en la pantalla, solamente), algunas calculadoras, sistemas operativos (por ejemplo Berkeley UNIX 4.3BSD ^[18] ), sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación (por ejemplo C99 ^[19] ) proporcionan una función especial de logaritmo natural más 1 , alternativamente llamada LNP1 , ^{[20] [21]} o log1p ^[19] para dar resultados más precisos para logaritmos cercanos a cero al pasar argumentos x , también cercanos a cero, a una función log1p( x ) , que devuelve el valor ln(1+ x ) , en lugar de pasar un valor y cercano a 1 a una función que devuelve ln( y ) . ^{[19] [20] [21]} La función log1p evita en la aritmética de punto flotante una cancelación casi total del término absoluto 1 con el segundo término de la expansión de Taylor del logaritmo natural. Esto mantiene el argumento, el resultado y los pasos intermedios cerca de cero, donde pueden representarse con mayor precisión como números de punto flotante. ^{[20] [21]}

Además de la base e , el estándar IEEE 754-2008 define funciones logarítmicas similares cercanas a 1 para logaritmos binarios y decimales : log ₂ (1 + x ) y log ₁₀ (1 + x ) .

También existen funciones inversas similares llamadas " expm1 ", ^[19] "expm" ^{[20] [21] o "exp1m", todas con el significado de} expm1( x ) = exp( x ) − 1 . ^{[nb 2]}

Una identidad en términos de la tangente hiperbólica inversa , proporciona un valor de alta precisión para valores pequeños de x en sistemas que no implementan log1p( x ) .$${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$

La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural utilizando la media aritmético-geométrica (para ambos métodos anteriores) es . Aquí, n es el número de dígitos de precisión con el que se debe evaluar el logaritmo natural, y M ( n ) es la complejidad computacional de multiplicar dos números de n dígitos.${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$

Si bien no existen fracciones continuas simples , existen varias fracciones continuas generalizadas , entre ellas:$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Estas fracciones continuas, especialmente la última, convergen rápidamente para valores cercanos a 1. Sin embargo, los logaritmos naturales de números mucho mayores se pueden calcular fácilmente sumando repetidamente los de números menores, con una convergencia igualmente rápida.

Por ejemplo, dado que 2 = 1,25 ³ × 1,024, el logaritmo natural de 2 se puede calcular como:$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

Además, dado que 10 = 1,25 ¹⁰ × 1,024 ³ , incluso el logaritmo natural de 10 se puede calcular de manera similar como: El recíproco del logaritmo natural también se puede escribir de esta manera:$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }$$

Por ejemplo:$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }$$

La función exponencial se puede extender a una función que dé un número complejo como e ^z para cualquier número complejo arbitrario z ; simplemente use la serie infinita con x = z complejo. Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo que exhibe la mayoría de las propiedades del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades involucradas: ninguna x tiene e ^x = 0 ; y resulta que e ^{2 iπ} = 1 = e ⁰ . Dado que la propiedad multiplicativa todavía funciona para la función exponencial compleja, e ^z = e ^{z +2 kiπ} , para todos los complejos z y enteros  k .

Por lo tanto, el logaritmo no se puede definir para todo el plano complejo , e incluso entonces es multivaluado : cualquier logaritmo complejo se puede convertir en un logaritmo "equivalente" agregando cualquier múltiplo entero de 2 iπ a voluntad. El logaritmo complejo solo puede tener un solo valor en el plano de corte . Por ejemplo, ln i = ⁠yo π/2⁠ o ⁠5 yo π/2⁠ o - ⁠3 yo π/2⁠ , etc.; y aunque i ⁴ = 1, 4 ln i puede definirse como 2 iπ , o 10 iπ o −6 iπ , y así sucesivamente.

• Gráficas de la función logaritmo natural en el plano complejo ( rama principal )
• 
  z = Re(ln( x + yi ))
• 
  z = | (Im(ln( x + yi ))) |
• 
  z = | (ln( x + yi )) |
• 
  Superposición de los tres gráficos anteriores

• Logaritmo iterado
• Logaritmo neperiano
• Lista de identidades logarítmicas
• Logaritmo de una matriz
• Coordenadas logarítmicas de un elemento de un grupo de Lie.
• Diferenciación logarítmica
• Función integral logarítmica
• Nicholas Mercator , el primero en utilizar el término logaritmo natural
• Polilogaritmo
• Función de von Mangoldt