Sistema de álgebra computacional

Un sistema de álgebra computacional ( CAS ) o sistema de álgebra simbólica ( SAS ) es cualquier software matemático con la capacidad de manipular expresiones matemáticas de una manera similar a los cálculos manuales tradicionales de los matemáticos y científicos . El desarrollo de los sistemas de álgebra computacional en la segunda mitad del siglo XX se enmarca en la disciplina del " álgebra computacional " o "computación simbólica", que ha impulsado el trabajo en algoritmos sobre objetos matemáticos como los polinomios .

Los sistemas de álgebra computacional pueden dividirse en dos clases: especializados y de propósito general. Los especializados se dedican a una parte específica de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de grupos o la enseñanza de las matemáticas elementales .

Los sistemas de álgebra computacional de propósito general tienen como objetivo ser útiles para un usuario que trabaja en cualquier campo científico que requiera la manipulación de expresiones matemáticas. Para ser útil, un sistema de álgebra computacional de propósito general debe incluir varias características, como:

• una interfaz de usuario que permite al usuario ingresar y mostrar fórmulas matemáticas, generalmente desde un teclado, selecciones de menú, mouse o lápiz.
• un lenguaje de programación y un intérprete (el resultado de un cálculo suele tener una forma y un tamaño impredecibles; por lo tanto, con frecuencia se necesita la intervención del usuario),
• un simplificador , que es un sistema de reescritura para simplificar fórmulas matemáticas,
• un administrador de memoria , incluido un recolector de basura , necesario debido al gran tamaño de los datos intermedios que pueden aparecer durante un cálculo,
• una aritmética de precisión arbitraria , necesaria debido al enorme tamaño de los números enteros que pueden existir,
• una gran biblioteca de algoritmos matemáticos y funciones especiales .

La biblioteca no sólo debe satisfacer las necesidades de los usuarios, sino también las de quienes simplifican. Por ejemplo, el cálculo del máximo común divisor de polinomios se utiliza sistemáticamente para simplificar expresiones que incluyen fracciones.

Esta gran cantidad de capacidades informáticas necesarias explica el reducido número de sistemas de álgebra computacional de propósito general. Entre los sistemas más importantes se incluyen Axiom , GAP , Maxima , Magma , Maple , Mathematica y SageMath .

Los sistemas de álgebra computacional comenzaron a aparecer en la década de 1960 y evolucionaron a partir de dos fuentes bastante diferentes: los requisitos de los físicos teóricos y la investigación en inteligencia artificial .

Un excelente ejemplo del primer desarrollo fue el trabajo pionero realizado por el más tarde Premio Nobel de Física Martinus Veltman , quien diseñó un programa para matemáticas simbólicas, especialmente física de alta energía, llamado Schoonschip (en holandés, "barco limpio") en 1963. Otro sistema temprano fue FORMAC .

Utilizando Lisp como base de programación, Carl Engelman creó MATHLAB en 1964 en MITRE dentro de un entorno de investigación de inteligencia artificial. Más tarde, MATHLAB se puso a disposición de los usuarios en los sistemas PDP-6 y PDP-10 que ejecutaban TOPS-10 o TENEX en las universidades. Hoy en día todavía se puede utilizar en emulaciones SIMH del PDP-10. MATHLAB (" laboratorio matemático " ) no debe confundirse con MATLAB (" laboratorio de matrices "), que es un sistema de cálculo numérico creado 15 años después en la Universidad de Nuevo México .

En 1987, Hewlett-Packard presentó la primera calculadora portátil CAS con la serie HP-28 . ^[1] Otras calculadoras portátiles tempranas con capacidades de álgebra simbólica incluyeron la calculadora de la serie Texas Instruments TI-89 y TI-92 , y la Casio CFX-9970G . ^[2]

Los primeros sistemas populares de álgebra computacional fueron muMATH , Reduce , Derive (basado en muMATH) y Macsyma ; una versión copyleft de Macsyma se llama Maxima . Reduce se convirtió en software libre en 2008. ^[3] Los sistemas comerciales incluyen Mathematica ^[4] y Maple , que son comúnmente utilizados por investigadores matemáticos, científicos e ingenieros. Las alternativas disponibles gratuitamente incluyen SageMath (que puede actuar como interfaz para varios otros CAS gratuitos y no libres). Otros sistemas importantes incluyen Axiom , GAP , Maxima y Magma .

El movimiento hacia aplicaciones basadas en la web a principios de la década de 2000 vio el lanzamiento de WolframAlpha , un motor de búsqueda en línea y CAS que incluye las capacidades de Mathematica . ^[5]

Más recientemente, se han implementado sistemas de álgebra computacional utilizando redes neuronales artificiales , aunque a partir de 2020 no están disponibles comercialmente. ^[6]

Las manipulaciones simbólicas admitidas normalmente incluyen:

• simplificación a una expresión más pequeña o alguna forma estándar , incluida la simplificación automática con suposiciones y la simplificación con restricciones
• sustitución de símbolos o valores numéricos para ciertas expresiones
• cambio de forma de expresiones: expansión de productos y potencias, factorización parcial y total , reescritura como fracciones parciales , satisfacción de restricciones , reescritura de funciones trigonométricas como exponenciales, transformación de expresiones lógicas, etc.
• diferenciación parcial y total
• Algunas integraciones indefinidas y definidas (ver integración simbólica ), incluidas las integrales multidimensionales
• Optimización global simbólica restringida y no restringida
• Solución de ecuaciones lineales y algunas no lineales en varios dominios.
• Solución de algunas ecuaciones diferenciales y de diferencias
• tomando algunos límites
• transformaciones integrales
• Operaciones en serie como expansión, suma y productos.
• operaciones matriciales incluyendo productos , inversas , etc.
• cálculo estadístico
• Demostración y verificación de teoremas , lo cual es muy útil en el área de las matemáticas experimentales.
• Generación de código optimizada

En lo anterior, la palabra algunos indica que la operación no siempre se puede realizar.

Muchos también incluyen:

• un lenguaje de programación que permite a los usuarios implementar sus propios algoritmos
• operaciones numéricas de precisión arbitraria
• Funcionalidad exacta de aritmética de números enteros y teoría de números
• Edición de expresiones matemáticas en forma bidimensional
• Trazar gráficos y diagramas paramétricos de funciones en dos y tres dimensiones, y animarlos.
• dibujar gráficos y diagramas
• API para vincularlo a un programa externo como una base de datos, o usarlo en un lenguaje de programación para utilizar el sistema de álgebra computacional
• manipulación de cadenas, como coincidencias y búsquedas
• complementos para su uso en matemáticas aplicadas como física, bioinformática , química computacional y paquetes para computación física ^[7]
• solucionadores de ecuaciones diferenciales ^{[8] [9] [10] [11]}

Algunos incluyen:

• Producción y edición gráfica , como imágenes generadas por computadora y procesamiento de señales como procesamiento de imágenes.
• síntesis de sonido

Algunos sistemas de álgebra computacional se centran en disciplinas especializadas; por lo general, se desarrollan en el ámbito académico y son gratuitos. Pueden resultar ineficientes para operaciones numéricas en comparación con los sistemas numéricos .

Las expresiones manipuladas por el CAS incluyen típicamente polinomios en múltiples variables; funciones estándar de expresiones ( seno , exponencial , etc.); varias funciones especiales ( Γ , ζ , erf , funciones de Bessel , etc.); funciones arbitrarias de expresiones; optimización; derivadas, integrales, simplificaciones, sumas y productos de expresiones; series truncadas con expresiones como coeficientes, matrices de expresiones, etc. Los dominios numéricos admitidos incluyen típicamente la representación en punto flotante de números reales , números enteros (de tamaño ilimitado), complejos (representación en punto flotante), representación de intervalo de números reales , números racionales (representación exacta) y números algebraicos .

Muchos han abogado por aumentar el uso de sistemas de álgebra computacional en las aulas de primaria y secundaria. La razón principal de tal defensa es que los sistemas de álgebra computacional representan las matemáticas del mundo real más que las matemáticas basadas en papel y lápiz o calculadoras manuales. ^[12] Esta iniciativa para aumentar el uso de computadoras en las aulas de matemáticas ha sido apoyada por algunas juntas educativas. Incluso se ha incluido en el plan de estudios de algunas regiones. ^[13]

Los sistemas de álgebra computacional se han utilizado ampliamente en la educación superior. ^{[14] [15]} Muchas universidades ofrecen cursos específicos para desarrollar su uso o esperan implícitamente que los estudiantes los utilicen en sus trabajos académicos. Las empresas que desarrollan sistemas de álgebra computacional han presionado para aumentar su prevalencia entre los programas universitarios y de nivel superior. ^{[16] [17]}

Las calculadoras equipadas con CAS no están permitidas en el ACT , el PLAN y en algunas aulas ^[18] aunque pueden estar permitidas en todos los exámenes del College Board que permiten el uso de calculadora, incluidos el SAT , algunos exámenes temáticos del SAT y los exámenes AP de cálculo , química , física y estadística . ^[19]

• Algoritmo de finalización de Knuth-Bendix ^[20]
• Algoritmos de búsqueda de raíces ^[20]
• Integración simbólica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Risch o el algoritmo de Risch-Norman
• Suma hipergeométrica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gosper
• Limite el cálculo mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gruntz
• Factorización polinomial mediante, por ejemplo, sobre cuerpos finitos, ^[21] el algoritmo de Berlekamp o el algoritmo de Cantor-Zassenhaus .
• Máximo común divisor a través del algoritmo euclidiano, por ejemplo
• Eliminación gaussiana ^[22]
• Base de Gröbner a través, por ejemplo, del algoritmo de Buchberger ; generalización del algoritmo euclidiano y eliminación gaussiana
• Padé aproximado
• Lema de Schwartz-Zippel y comprobación de identidades polinómicas
• Teorema del resto chino
• Ecuaciones diofánticas
• Algoritmo de Landau (radicales anidados)
• Derivadas de funciones elementales y funciones especiales . (p. ej., ver derivadas de la función gamma incompleta ).
• Descomposición algebraica cilíndrica
• Eliminación de cuantificadores sobre números reales mediante descomposición algebraica cilíndrica

• Lista de sistemas de álgebra computacional
• Computación científica
• Paquete estadístico
• Demostración automática de teoremas
• Lenguaje de modelado algebraico
• Programación lógica de restricciones
• Teorías de satisfacibilidad módulo

• Currículo y evaluación en una era de sistemas de álgebra computacional Archivado el 1 de diciembre de 2009 en Wayback Machine . Del Centro de Información sobre Recursos Educativos para la Ciencia, las Matemáticas y la Educación Ambiental, Columbus, Ohio .
• Richard J. Fateman. "Ensayos sobre simplificación algebraica". Informe técnico MIT-LCS-TR-095, 1972. (De interés histórico, ya que muestra la dirección de la investigación en álgebra computacional. En el sitio web del MIT LCS: [1])