Problema de valor límite

En el estudio de ecuaciones diferenciales , un problema de valor en la frontera es una ecuación diferencial sujeta a restricciones llamadas condiciones de frontera . ^[1] Una solución a un problema de valor en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de frontera.

Los problemas de valores en la frontera surgen en varias ramas de la física, como cualquier ecuación diferencial física los tendrá. Los problemas que involucran la ecuación de onda , como la determinación de modos normales , a menudo se plantean como problemas de valores en la frontera. Una gran clase de problemas de valores en la frontera importantes son los problemas de Sturm-Liouville . El análisis de estos problemas, en el caso lineal, involucra las funciones propias de un operador diferencial .

Para que un problema de valor en la frontera sea útil en las aplicaciones, debe estar bien planteado . Esto significa que, dada la entrada del problema, existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de valor en la frontera que surgen de aplicaciones científicas y de ingeniería están, de hecho, bien planteados.

Entre los primeros problemas de valores en la frontera que se estudiaron se encuentra el problema de Dirichlet , que consiste en encontrar las funciones armónicas (soluciones a la ecuación de Laplace ); la solución fue dada por el principio de Dirichlet .

Los problemas de valor límite son similares a los problemas de valor inicial . Un problema de valor límite tiene condiciones especificadas en los extremos ("límites") de la variable independiente en la ecuación, mientras que un problema de valor inicial tiene todas las condiciones especificadas en el mismo valor de la variable independiente (y ese valor está en el límite inferior del dominio, de ahí el término valor "inicial"). Un valor límite es un valor de datos que corresponde a un valor de entrada, interno o de salida mínimo o máximo especificado para un sistema o componente. ^[2]

Por ejemplo, si la variable independiente es el tiempo en el dominio [0,1], un problema de valor límite especificaría valores para en y , mientras que un problema de valor inicial especificaría un valor de y en el tiempo .${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle t=0}$

Encontrar la temperatura en todos los puntos de una barra de hierro con un extremo mantenido en cero absoluto y el otro extremo en el punto de congelación del agua sería un problema de valor límite.

Si el problema depende tanto del espacio como del tiempo, se podría especificar el valor del problema en un punto dado para todo el tiempo o en un tiempo dado para todo el espacio.

Concretamente, un ejemplo de un problema de valor límite (en una dimensión espacial) es

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

Para resolver la función desconocida con las condiciones de contorno${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

Sin las condiciones de contorno, la solución general de esta ecuación es

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

De la condición de contorno se obtiene${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

lo que implica que a partir de la condición de contorno se encuentra${\displaystyle B=0.}$${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

y así se ve que la imposición de condiciones de contorno permitió determinar una solución única, que en este caso es ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

Una condición de contorno que especifica el valor de la función en sí es una condición de contorno de Dirichlet o condición de contorno de primer tipo. Por ejemplo, si un extremo de una barra de hierro se mantiene en cero absoluto, entonces el valor del problema se conocería en ese punto del espacio.

Una condición de contorno que especifica el valor de la derivada normal de la función es una condición de contorno de Neumann o condición de contorno de segundo tipo. Por ejemplo, si hay un calentador en un extremo de una barra de hierro, se agregaría energía a una tasa constante, pero no se conocería la temperatura real.

Si el límite tiene la forma de una curva o superficie que da un valor a la derivada normal y a la variable misma, entonces es una condición de límite de Cauchy .

Resumen de las condiciones de contorno para la función desconocida, , constantes y especificadas por las condiciones de contorno, y funciones escalares conocidas y especificadas por las condiciones de contorno.${\displaystyle y}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Nombre	Formulario sobre la 1ª parte del límite	Formulario sobre la 2da parte del límite
Dirichlet	${\displaystyle y=f}$
Neumann	${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$
Petirrojo	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
Mezclado	${\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=g}$
Cauchy	ambos y${\displaystyle y=f}$${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=g}$

Además de la condición de contorno, los problemas de valor de contorno también se clasifican según el tipo de operador diferencial involucrado. Para un operador elíptico , se analizan los problemas de valor de contorno elípticos . Para un operador hiperbólico , se analizan los problemas de valor de contorno hiperbólicos. Estas categorías se subdividen a su vez en tipos lineales y varios tipos no lineales.

En electrostática , un problema común es encontrar una función que describa el potencial eléctrico de una región dada. Si la región no contiene carga, el potencial debe ser una solución a la ecuación de Laplace (una llamada función armónica ). Las condiciones de contorno en este caso son las condiciones de interfase para campos electromagnéticos . Si no hay densidad de corriente en la región, también es posible definir un potencial escalar magnético utilizando un procedimiento similar.

• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª edición) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 . 
• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 . 

• "Problemas de valores de contorno en la teoría del potencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Problema de valor límite, métodos de variables complejas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones diferenciales parciales lineales: soluciones exactas y problemas de valores en la frontera en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Problema de valor límite". Scholarpedia .