Correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie

En matemáticas , la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie permite hacer corresponder un grupo de Lie a un álgebra de Lie o viceversa, y estudiar las condiciones para tal relación. Los grupos de Lie que son isomorfos entre sí tienen álgebras de Lie que son isomorfas entre sí, pero lo inverso no es necesariamente cierto. Un contraejemplo obvio es y (ver el espacio de coordenadas reales y el grupo del círculo respectivamente) que no son isomorfos entre sí como grupos de Lie pero sus álgebras de Lie son isomorfas entre sí. Sin embargo, para grupos de Lie simplemente conexos , la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie es biunívoca . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

En este artículo, un grupo de Lie se refiere a un grupo de Lie real. Para los casos complejos y p -ádicos, véase grupo de Lie complejo y grupo de Lie p -ádico . En este artículo, se supone que las variedades (en particular los grupos de Lie) son de segundo orden numerable ; en particular, tienen como máximo un número numerable de componentes conexos .

Existen varias formas de entender la construcción del álgebra de Lie de un grupo de Lie G . Un enfoque utiliza campos vectoriales invariantes por la izquierda. Se dice que un campo vectorial X en G es invariante bajo traslaciones por la izquierda si, para cualquier g , h en G ,

${\displaystyle (dL_{g})_{h}(X_{h})=X_{gh}}$

donde se define por y es la diferencial de entre espacios tangentes . ${\displaystyle L_{g}:G\to G}$$Estilo de visualización L_{g}(x)=gx$${\displaystyle (dL_{g})_{h}:T_{h}G\to T_{gh}G}$$Estilo de visualización L_{g}$

Sea el conjunto de todos los campos vectoriales invariantes por traslación a la izquierda en G . Es un espacio vectorial real. Además, está cerrado bajo el corchete de Lie ; es decir, es invariante por traslación a la izquierda si X , Y son . Por lo tanto, es una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de todos los campos vectoriales en G y se llama álgebra de Lie de G . Esto se puede entender de forma más concreta identificando el espacio de los campos vectoriales invariantes por la izquierda con el espacio tangente en la identidad, de la siguiente manera: Dado un campo vectorial invariante por la izquierda, se puede tomar su valor en la identidad, y dado un vector tangente en la identidad, se puede extender a un campo vectorial invariante por la izquierda. Esta correspondencia es biyectiva en ambas direcciones, por lo que es biyectiva. Por lo tanto, el álgebra de Lie puede considerarse como el espacio tangente en la identidad y el corchete de X e Y puede calcularse extendiéndolos a campos vectoriales invariantes por la izquierda, tomando el corchete de los campos vectoriales y luego evaluando el resultado en la identidad.${\displaystyle \operatorname {Mentira} (G)}$${\estilo de visualización [X,Y]}$${\displaystyle \operatorname {Mentira} (G)}$$Estilo de visualización T_{e}G$

También existe otra encarnación del álgebra de Lie de elementos primitivos del álgebra de Hopf de distribuciones en G con apoyo en el elemento identidad; para esto, consulte #Construcciones relacionadas a continuación.${\displaystyle \operatorname {Mentira} (G)}$

Supóngase que G es un subgrupo cerrado de GL(n; C ), y por lo tanto un grupo de Lie, según el teorema de subgrupos cerrados . Entonces el álgebra de Lie de G puede calcularse como ^{[2] [3]}

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{ para todo }}t\in \mathbb {R} \right\}.}$

Por ejemplo, se puede utilizar el criterio para establecer la correspondencia para grupos compactos clásicos (cf. la tabla "Grupos de Lie compactos" a continuación).

Si

${\displaystyle f:G\to H}$

es un homomorfismo de grupo de Lie , entonces su diferencial en el elemento identidad

${\displaystyle df=df_{e}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}$

es un homomorfismo del álgebra de Lie (los corchetes van a los corchetes), que tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \exp(df(X))=f(\exp(X))}$para todo X en Lie( G ), donde "exp" es la función exponencial
• ${\displaystyle \operatorname {Mentira} (\ker(f))=\ker(df)}$. ^[4]
• Si la imagen de f es cerrada, ^[5] entonces ^[6] y el primer teorema de isomorfismo se cumplen: f induce el isomorfismo de los grupos de Lie:${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {im} (f))=\operatorname {im} (df)}$

  ${\displaystyle G/\ker(f)\to \operatorname {im} (f).}$

• La regla de la cadena es válida: si y son homomorfismos del grupo de Lie, entonces .${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle g:H\to K}$${\displaystyle d(g\circ f)=(dg)\circ (df)}$

En particular, si H es un subgrupo cerrado ^[7] de un grupo de Lie G , entonces es una subálgebra de Lie de . Además, si f es inyectiva, entonces f es una inmersión y por lo tanto se dice que G es un subgrupo inmerso (de Lie) de H . Por ejemplo, es un subgrupo inmerso de H . Si f es sobreyectiva, entonces f es una inmersión y si, además, G es compacto, entonces f es un fibrado principal con el grupo de estructura como núcleo. ( Lema de Ehresmann )${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$${\displaystyle G/\ker(f)}$

Sea un producto directo de grupos de Lie y proyecciones. Entonces las diferenciales dan la identificación canónica:${\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}}$${\displaystyle p_{i}:G\to G_{i}}$${\displaystyle dp_{i}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (G_{i})}$

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{1}\times \cdots \times G_{r})=\operatorname {Lie} (G_{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Lie} (G_{r}).}$

Si son subgrupos de Lie de un grupo de Lie, entonces${\displaystyle H,H'}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').}$

Sea G un grupo de Lie conexo. Si H es un grupo de Lie, entonces cualquier homomorfismo de grupo de Lie está determinado de forma única por su diferencial . Precisamente, existe la función exponencial (y una para H ) tal que y, puesto que G es conexo, esto determina f de forma única. ^[8] En general, si U es una vecindad del elemento identidad en un grupo topológico conexo G , entonces coincide con G , ya que el primero es un subgrupo abierto (por lo tanto cerrado). Ahora, define un homeomorfismo local desde una vecindad del vector cero hasta la vecindad del elemento identidad. Por ejemplo, si G es el grupo de Lie de matrices cuadradas reales invertibles de tamaño n ( grupo lineal general ), entonces es el álgebra de Lie de matrices cuadradas reales de tamaño n y .${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}$${\displaystyle f(\exp(X))=\exp(df(X))}$${\textstyle \bigcup _{n>0}U^{n}}$${\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$${\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!}}$

La correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie incluye los siguientes tres resultados principales.

• Tercer teorema de Lie : Toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie simplemente conexo . ^[9]
• Teorema de homomorfismos : Si es un homomorfismo de álgebra de Lie y si G es simplemente conexo, entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie (único) tal que . ^[10]${\displaystyle \phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle \phi =df}$
• Teorema de subgrupos-subálgebras : si G es un grupo de Lie y es una subálgebra de Lie de , entonces existe un único subgrupo de Lie conexo (no necesariamente cerrado) H de G con álgebra de Lie . ^[11]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

En la segunda parte de la correspondencia, no se puede omitir el supuesto de que G es simplemente conexo. Por ejemplo, las álgebras de Lie de SO(3) y SU(2) son isomorfas, ^[12] pero no hay un homomorfismo correspondiente de SO(3) en SU(2). ^[13] Más bien, el homomorfismo va del grupo simplemente conexo SU(2) al grupo no simplemente conexo SO(3). ^[14] Si G y H son ambos simplemente conexos y tienen álgebras de Lie isomorfas, el resultado anterior permite demostrar que G y H son isomorfas. ^[15] Un método para construir f es utilizar la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff . ^[16]

Para los lectores familiarizados con la teoría de categorías, la correspondencia se puede resumir de la siguiente manera: primero, la operación de asociar a cada grupo de Lie conexo su álgebra de Lie y a cada homomorfismo de grupos de Lie el diferencial correspondiente en el elemento neutro, es un funtor (covariante) de la categoría de grupos de Lie conexos (reales) a la categoría de álgebras de Lie (reales) de dimensión finita. Este funtor tiene un funtor adjunto izquierdo de álgebras de Lie (de dimensión finita) a grupos de Lie (que es necesariamente único salvo isomorfismo canónico). En otras palabras, existe un isomorfismo natural de bifuntores.${\displaystyle G}$${\displaystyle Lie(G)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Lie(f)=df_{e}}$ ${\displaystyle Lie}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{CLGrp}(\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} _{LAlg}({\mathfrak {g}},Lie(H)).}$

${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})}$es el grupo de Lie simplemente conexo (salvo isomorfismo único) con álgebra de Lie . Los morfismos unitarios naturales asociados de la adjunción son isomorfismos, lo que corresponde a ser completamente fiel (parte del segundo enunciado anterior). La counidad correspondiente es la proyección canónica a partir de la cubierta simplemente conexa ; su sobreyectividad corresponde a ser un funtor fiel.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \epsilon \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow Lie(\Gamma ({\mathfrak {g}}))}$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (Lie(H))\rightarrow H}$${\displaystyle {\widetilde {H}}\rightarrow H}$${\displaystyle Lie}$

Tal vez la prueba más elegante del primer resultado anterior utiliza el teorema de Ado , que dice que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita (sobre un cuerpo de cualquier característica) es una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de matrices cuadradas. La prueba es la siguiente: por el teorema de Ado, suponemos que es una subálgebra de Lie. Sea G el subgrupo cerrado (sin tomar la clausura se puede obtener un ejemplo patológico denso como en el caso del enrollamiento irracional del toro) de generado por y sea un recubrimiento simplemente conexo de G ; no es difícil demostrar que es un grupo de Lie y que el mapa de recubrimiento es un homomorfismo de grupo de Lie. Como , esto completa la prueba.${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))}$${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle e^{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\widetilde {G}}}$${\displaystyle {\widetilde {G}}}$${\displaystyle T_{e}{\widetilde {G}}=T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

Ejemplo: Cada elemento X en el álgebra de Lie da lugar al homomorfismo del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {g}},\,t\mapsto tX.}$

Por el tercer teorema de Lie, como y exp para es la identidad, este homomorfismo es la diferencial del homomorfismo de grupo de Lie para algún subgrupo inmerso H de G . Este homomorfismo de grupo de Lie, llamado subgrupo de un parámetro generado por X , es precisamente la función exponencial y H su imagen. Lo anterior se puede resumir diciendo que hay una correspondencia biyectiva canónica entre y el conjunto de subgrupos de un parámetro de G . ^[17]${\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=T_{0}\mathbb {R} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to H}$${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un enfoque para demostrar la segunda parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie (el teorema de homomorfismos) es utilizar la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff , como en la Sección 5.7 del libro de Hall. ^[18] Específicamente, dado el homomorfismo del álgebra de Lie de a , podemos definir localmente (es decir, en un entorno de la identidad) por la fórmula ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$${\displaystyle f:G\to H}$

${\displaystyle f(e^{X})=e^{\phi (X)},}$

donde es la función exponencial de G , que tiene una inversa definida cerca de la identidad. Ahora argumentamos que f es un homomorfismo local. Por lo tanto, dados dos elementos cerca de la identidad y (con X e Y pequeños), consideramos su producto . De acuerdo con la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff, tenemos , donde ${\displaystyle e^{X}}$${\displaystyle e^{X}}$${\displaystyle e^{Y}}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,}$

con indicación de otros términos expresados ​​como conmutadores repetidos que involucran a X e Y. Por lo tanto, ${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },}$

porque es un homomorfismo del álgebra de Lie. Usando nuevamente la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff , esta vez para el grupo H , vemos que esta última expresión se convierte en , y por lo tanto tenemos${\displaystyle \phi }$${\displaystyle e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}}$

${\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}=f\left(e^{X}\right)f\left(e^{Y}\right).}$

Por lo tanto, f tiene la propiedad de homomorfismo, al menos cuando X e Y son suficientemente pequeños. Este argumento es sólo local, ya que la función exponencial sólo es invertible en un pequeño entorno de la identidad en G y dado que la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff sólo se cumple si X e Y son pequeños. El supuesto de que G es simplemente conexo aún no se ha utilizado.

La siguiente etapa del argumento es extender f de un homomorfismo local a uno global. La extensión se realiza definiendo f a lo largo de un camino y luego utilizando la simple conexidad de G para demostrar que la definición es independiente de la elección del camino.

Un caso especial de correspondencia de Lie es una correspondencia entre representaciones de dimensión finita de un grupo de Lie y representaciones del álgebra de Lie asociada.

El grupo lineal general es un grupo de Lie (real) y cualquier homomorfismo de grupo de Lie${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \pi :G\to GL_{n}(\mathbb {C} )}$

se llama una representación del grupo de Lie G . La diferencial

${\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} ),}$

es entonces un homomorfismo del álgebra de Lie llamado representación del álgebra de Lie . (La diferencial a menudo se denota simplemente por .)${\displaystyle d\pi }$${\displaystyle \pi '}$

El teorema de homomorfismos (mencionado anteriormente como parte de la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie) dice entonces que si es el grupo de Lie simplemente conexo cuya álgebra de Lie es , cada representación de proviene de una representación de G . La suposición de que G sea simplemente conexo es esencial. Consideremos, por ejemplo, el grupo de rotación SO(3) , que no es simplemente conexo. Hay una representación irreducible del álgebra de Lie en cada dimensión, pero solo las representaciones de dimensión impar del álgebra de Lie provienen de representaciones del grupo. ^[19] (Esta observación está relacionada con la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica). Por otro lado, el grupo SU(2) está simplemente conexo con el álgebra de Lie isomorfo al de SO(3), por lo que cada representación del álgebra de Lie de SO(3) da lugar a una representación de SU(2) . ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un ejemplo de una representación de grupo de Lie es la representación adjunta de un grupo de Lie G ; cada elemento g en un grupo de Lie G define un automorfismo de G por conjugación: ; la diferencial es entonces un automorfismo del álgebra de Lie . De esta manera, obtenemos una representación , llamada representación adjunta. El homomorfismo del álgebra de Lie correspondiente se llama representación adjunta de y se denota por . Se puede demostrar , lo que en particular implica que el corchete de Lie de está determinado por la ley de grupo en G .${\displaystyle c_{g}(h)=ghg^{-1}}$${\displaystyle dc_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto dc_{g}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por el tercer teorema de Lie, existe un subgrupo de cuya álgebra de Lie es . ( en general no es un subgrupo cerrado; solo un subgrupo inmerso). Se llama grupo adjunto de . ^[20] Si G está conexo, encaja en la secuencia exacta:${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle GL({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to Z(G)\to G\xrightarrow {\operatorname {Ad} } \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})\to 0}$

donde está el centro de G. Si el centro de G es discreto, entonces Ad aquí es una función de cobertura.${\displaystyle Z(G)}$

Sea G un grupo de Lie conexo. Entonces G es unimodular si y sólo si para todo g en G . ^[21]${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} (g))=1}$

Sea G un grupo de Lie que actúa sobre una variedad X y G _x el estabilizador de un punto x en X . Sea . Entonces${\displaystyle \rho (x):G\to X,\,g\mapsto g\cdot x}$

• ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{x})=\ker(d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X).}$
• Si la órbita está localmente cerrada, entonces la órbita es una subvariedad de X y . ^[22]${\displaystyle G\cdot x}$${\displaystyle T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)}$

Para un subconjunto A de o G , sea${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)=\{X\in {\mathfrak {g}}\mid \operatorname {ad} (a)X=0{\text{ or }}\operatorname {Ad} (a)X=0{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}}$

${\displaystyle Z_{G}(A)=\{g\in G\mid \operatorname {Ad} (g)a=0{\text{ or }}ga=ag{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}}$

sea ​​el centralizador del álgebra de Lie y el centralizador del grupo de Lie de A . Entonces .${\displaystyle \operatorname {Lie} (Z_{G}(A))={\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)}$

Si H es un subgrupo cerrado y conexo de G , entonces H es normal si y sólo si es un ideal y en tal caso .${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$${\displaystyle \operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)}$

Sea G un grupo de Lie conexo. Puesto que el álgebra de Lie del centro de G es el centro del álgebra de Lie de G (cf. el § anterior), G es abeliano si y solo si su álgebra de Lie es abeliana.

Si G es abeliano, entonces la función exponencial es un homomorfismo de grupo sobreyectivo. ^[23] Su núcleo es un grupo discreto (ya que la dimensión es cero) llamado red entera de G y se denota por . Por el primer teorema de isomorfismo, se induce el isomorfismo .${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Gamma \to G}$

Por el argumento de rigidez, el grupo fundamental de un grupo de Lie conexo G es un subgrupo central de una cubierta simplemente conexa de G ; en otras palabras, G encaja en la extensión central${\displaystyle \pi _{1}(G)}$${\displaystyle {\widetilde {G}}}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde {G}}{\overset {p}{\to }}G\to 1.}$

De manera equivalente, dada un álgebra de Lie y un grupo de Lie simplemente conexo cuya álgebra de Lie es , existe una correspondencia biunívoca entre cocientes de por subgrupos centrales discretos y grupos de Lie conexos que tienen álgebra de Lie .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\widetilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\widetilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para el caso complejo, los toros complejos son importantes; consulte el grupo de Lie complejo para este tema.

Sea G un grupo de Lie conexo con centro finito. Entonces los siguientes son equivalentes.

• G es compacto.
• (Weyl) La cubierta simplemente conexa de G es compacta.${\displaystyle {\widetilde {G}}}$
• El grupo adjunto es compacto.${\displaystyle \operatorname {Int} {\mathfrak {g}}}$
• Existe una incrustación como subgrupo cerrado.${\displaystyle G\hookrightarrow O(n,\mathbb {R} )}$
• La forma de matar es definida negativamente.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Para cada X en , es diagonalizable y tiene valores propios cero o puramente imaginarios.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$
• Existe un producto interno invariante en .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Es importante destacar que la equivalencia de las condiciones anteriores se cumple solo bajo el supuesto de que G tiene centro finito. Así, por ejemplo, si G es compacto con centro finito , la cubierta universal también es compacta. Claramente, esta conclusión no se cumple si G tiene centro infinito, por ejemplo, si . Las últimas tres condiciones anteriores son de naturaleza puramente algebraica de Lie.${\displaystyle {\widetilde {G}}}$${\displaystyle G=S^{1}}$

Grupo de Lie compacto	Complejización del álgebra de Lie asociada	Sistema de raíces
SU( n +1) ${\displaystyle =\left\{A\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\mid {\overline {A}}^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle =\{X\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\mid \operatorname {tr} X=0\}}$	Un​
SO( 2n +1) ${\displaystyle =\left\{A\in M_{2n+1}(\mathbb {R} )\mid A^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle =\left\{X\in M_{2n+1}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\right\}}$	Bn​
Sp( n ) ${\displaystyle =\left\{A\in U(2n)\mid A^{\mathrm {T} }JA=J\right\},\,J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle =\left\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }J+JX=0\right\}}$	C n
SO( 2n ) ${\displaystyle =\left\{A\in M_{2n}(\mathbb {R} )\mid A^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle =\left\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\right\}}$	Dn​

Si G es un grupo de Lie compacto, entonces

${\displaystyle H^{k}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )=H_{\text{dR}}(G)}$

donde el lado izquierdo es la cohomología del álgebra de Lie de y el lado derecho es la cohomología de De Rham de G . (A grandes rasgos, esto es una consecuencia del hecho de que cualquier forma diferencial en G puede hacerse invariante por la izquierda mediante el argumento de promedio).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea G un grupo de Lie. El álgebra de Lie asociada de G puede definirse alternativamente de la siguiente manera. Sea el álgebra de distribuciones en G con apoyo en el elemento identidad con la multiplicación dada por convolución . es de hecho un álgebra de Hopf . El álgebra de Lie de G es entonces , el álgebra de Lie de elementos primitivos en . ^[24] Por el teorema de Milnor-Moore , existe el isomorfismo canónico entre el álgebra envolvente universal de y .${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$${\displaystyle A(G)}$${\displaystyle A(G)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=P(A(G))}$${\displaystyle A(G)}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=A(G)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle A(G)}$

• Álgebra de Lie compacta
• Teorema de Milnor-Moore
• Grupo formal
• Álgebra de Lie de Malcev
• Distribución en un grupo algebraico lineal

• Notas para la clase de matemáticas 261A Grupos de Lie y álgebras de Lie
• Popov, VL (2001) [1994], "Álgebra de Lie de un grupo analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Teoría de Lie formal en característica cero, una publicación de blog de Akhil Mathew