Grupo de mentiras

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Grupos de Lie y álgebras de Lie
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico
Grupos de mentiras simples Clásico Un​ Bn​ C n Dn​ Excepcional G2​ F4​ E6​ E7​ E8​
Otros grupos de Lie Círculo Lorentz Poincaré Grupo conforme Difeomorfismo Bucle Euclidiano
Álgebras de Lie Correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matar Índice Álgebra de Lie simple Álgebra de bucles Álgebra de Lie afín
Álgebra de Lie semisimple Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raíces Grupo Weyl Forma real Complejización Álgebra de Lie dividida Álgebra de Lie compacta
Teoría de la representación Representación del grupo Lie Representación del álgebra de Lie Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

Algebraic structure → Group theory Group theory
Basic notions Subgroup Normal subgroup Group action Quotient group (Semi-)direct product Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En matemáticas , un grupo de Lie (pronunciado / l iː / LEE ) es un grupo que también es una variedad diferenciable , de modo que la multiplicación de grupos y la toma de inversas son ambas diferenciables.

Una variedad es un espacio que localmente se asemeja al espacio euclidiano , mientras que los grupos definen el concepto abstracto de una operación binaria junto con las propiedades adicionales que debe tener para ser considerada como una "transformación" en el sentido abstracto, por ejemplo, la multiplicación y la toma de inversas (división), o equivalentemente, el concepto de adición y la toma de inversas (resta). Combinando estas dos ideas, se obtiene un grupo continuo donde la multiplicación de puntos y sus inversas es continua. Si la multiplicación y la toma de inversas también son suaves (diferenciables), se obtiene un grupo de Lie.

Los grupos de Lie proporcionan un modelo natural para el concepto de simetría continua , un ejemplo célebre del cual es el grupo circular . La rotación de un círculo es un ejemplo de simetría continua. Para cualquier rotación del círculo, existe la misma simetría, ^[1] y la concatenación de dichas rotaciones las convierte en el grupo circular, un ejemplo arquetípico de un grupo de Lie. Los grupos de Lie se utilizan ampliamente en muchas partes de las matemáticas y la física modernas .

Los grupos de Lie se encontraron por primera vez estudiando los subgrupos de matrices contenidos en o , los grupos de matrices invertibles sobre o . Estos ahora se denominan grupos clásicos , ya que el concepto se ha extendido mucho más allá de estos orígenes. Los grupos de Lie reciben su nombre del matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . La motivación original de Lie para introducir los grupos de Lie fue modelar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales , de la misma manera que los grupos finitos se utilizan en la teoría de Galois para modelar las simetrías discretas de las ecuaciones algebraicas .${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sophus Lie consideró el invierno de 1873-1874 como la fecha de nacimiento de su teoría de los grupos continuos. ^[2] Thomas Hawkins, sin embargo, sugiere que fue "la prodigiosa actividad de investigación de Lie durante el período de cuatro años desde el otoño de 1869 hasta el otoño de 1873" lo que llevó a la creación de la teoría. ^[2] Algunas de las primeras ideas de Lie se desarrollaron en estrecha colaboración con Felix Klein . Lie se reunió con Klein todos los días desde octubre de 1869 hasta 1872: en Berlín desde fines de octubre de 1869 hasta fines de febrero de 1870, y en París, Gotinga y Erlangen en los dos años posteriores. ^[3] Lie afirmó que todos los resultados principales se obtuvieron en 1884. Pero durante la década de 1870 todos sus artículos (excepto la primera nota) se publicaron en revistas noruegas, lo que impidió el reconocimiento de su trabajo en el resto de Europa. ^[4] En 1884, un joven matemático alemán, Friedrich Engel , empezó a trabajar con Lie en un tratado sistemático para exponer su teoría de los grupos continuos. De este esfuerzo surgió la obra en tres volúmenes Theorie der Transformationsgruppen , publicada en 1888, 1890 y 1893. El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del alumno de Lie, Arthur Tresse. ^[5]

Las ideas de Lie no se mantuvieron aisladas del resto de las matemáticas. De hecho, su interés en la geometría de las ecuaciones diferenciales fue motivado en primer lugar por el trabajo de Carl Gustav Jacobi , sobre la teoría de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y sobre las ecuaciones de la mecánica clásica . Gran parte del trabajo de Jacobi se publicó póstumamente en la década de 1860, generando un enorme interés en Francia y Alemania. ^[6] La idea fija de Lie era desarrollar una teoría de simetrías de ecuaciones diferenciales que lograra para ellas lo que Évariste Galois había hecho para las ecuaciones algebraicas: es decir, clasificarlas en términos de teoría de grupos. Lie y otros matemáticos demostraron que las ecuaciones más importantes para funciones especiales y polinomios ortogonales tienden a surgir de simetrías teóricas de grupos. En el trabajo temprano de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos , para complementar la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de formas modulares , en manos de Felix Klein y Henri Poincaré . La aplicación inicial que Lie tenía en mente era la teoría de ecuaciones diferenciales . Sobre el modelo de la teoría de Galois y las ecuaciones polinómicas , la concepción impulsora era la de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría , todo el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Sin embargo, la esperanza de que la teoría de Lie unificara todo el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias no se cumplió. Los métodos de simetría para EDO continúan estudiándose, pero no dominan el tema. Existe una teoría diferencial de Galois , pero fue desarrollada por otros, como Picard y Vessiot, y proporciona una teoría de cuadraturas , las integrales indefinidas requeridas para expresar soluciones.

El impulso adicional para considerar los grupos continuos provino de las ideas de Bernhard Riemann , sobre los fundamentos de la geometría, y su posterior desarrollo en manos de Klein. De este modo, Lie combinó tres temas principales de las matemáticas del siglo XIX para crear su nueva teoría:

• La idea de simetría, ejemplificada por Galois a través de la noción algebraica de grupo ;
• Teoría geométrica y soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales de la mecánica, elaboradas por Poisson y Jacobi;
• La nueva comprensión de la geometría que surgió en las obras de Plücker , Möbius , Grassmann y otros, y que culminó en la visión revolucionaria de Riemann sobre el tema.

Aunque hoy en día se reconoce con razón a Sophus Lie como el creador de la teoría de los grupos continuos, un gran paso en el desarrollo de su teoría estructural, que tendría una profunda influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas, fue realizado por Wilhelm Killing , quien en 1888 publicó el primer artículo de una serie titulada Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( La composición de los grupos de transformación finitos continuos ). ^[7] El trabajo de Killing, posteriormente refinado y generalizado por Élie Cartan , condujo a la clasificación de las álgebras de Lie semisimples , la teoría de los espacios simétricos de Cartan y la descripción de Hermann Weyl de las representaciones de grupos de Lie compactos y semisimples utilizando los pesos más altos .

En 1900, David Hilbert desafió a los teóricos de Lie con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.

Weyl llevó a buen término el período inicial del desarrollo de la teoría de los grupos de Lie, ya que no solo clasificó las representaciones irreducibles de los grupos de Lie semisimples y conectó la teoría de grupos con la mecánica cuántica, sino que también puso la teoría de Lie en una base más firme al enunciar claramente la distinción entre los grupos infinitesimales de Lie (es decir, las álgebras de Lie) y los grupos de Lie propiamente dichos, y comenzó las investigaciones sobre la topología de los grupos de Lie. ^[8] La teoría de los grupos de Lie fue reelaborada sistemáticamente en lenguaje matemático moderno en una monografía de Claude Chevalley .

Los grupos de Lie son variedades diferenciables suaves y, como tales, pueden estudiarse mediante cálculo diferencial , en contraste con el caso de los grupos topológicos más generales . Una de las ideas clave en la teoría de los grupos de Lie es reemplazar el objeto global , el grupo, por su versión local o linealizada, que el propio Lie llamó su "grupo infinitesimal" y que desde entonces se conoce como su álgebra de Lie .

Los grupos de Lie juegan un papel enorme en la geometría moderna , en varios niveles diferentes. Felix Klein argumentó en su programa de Erlangen que uno puede considerar varias "geometrías" especificando un grupo de transformación apropiado que deje invariantes ciertas propiedades geométricas . Así, la geometría euclidiana corresponde a la elección del grupo E(3) de transformaciones que preservan la distancia del espacio euclidiano , la geometría conforme corresponde a la ampliación del grupo al grupo conforme , mientras que en la geometría proyectiva uno está interesado en las propiedades invariantes bajo el grupo proyectivo . Esta idea condujo más tarde a la noción de una G-estructura , donde G es un grupo de Lie de simetrías "locales" de una variedad.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Los grupos de Lie (y sus álgebras de Lie asociadas) desempeñan un papel importante en la física moderna, y el grupo de Lie suele desempeñar el papel de simetría de un sistema físico. En este sentido, las representaciones del grupo de Lie (o de su álgebra de Lie ) son especialmente importantes. La teoría de representaciones se utiliza ampliamente en física de partículas . Entre los grupos cuyas representaciones son de particular importancia se encuentran el grupo de rotación SO(3) (o su doble recubrimiento SU(2) ), el grupo unitario especial SU(3) y el grupo de Poincaré .

En un nivel "global", siempre que un grupo de Lie actúa sobre un objeto geométrico, como una variedad riemanniana o simpléctica , esta acción proporciona una medida de rigidez y produce una estructura algebraica rica. La presencia de simetrías continuas expresadas a través de una acción de grupo de Lie sobre una variedad impone fuertes restricciones a su geometría y facilita el análisis sobre la variedad. Las acciones lineales de los grupos de Lie son especialmente importantes y se estudian en la teoría de la representación .

En las décadas de 1940 y 1950, Ellis Kolchin , Armand Borel y Claude Chevalley se dieron cuenta de que muchos resultados fundamentales relativos a los grupos de Lie se pueden desarrollar de forma completamente algebraica, dando lugar a la teoría de grupos algebraicos definidos sobre un cuerpo arbitrario . Esta idea abrió nuevas posibilidades en el álgebra pura, al proporcionar una construcción uniforme para la mayoría de los grupos simples finitos , así como en la geometría algebraica . La teoría de formas automórficas , una rama importante de la teoría de números moderna , trata extensamente con análogos de los grupos de Lie sobre anillos de Adele ; los grupos de Lie p -ádicos desempeñan un papel importante, a través de sus conexiones con las representaciones de Galois en la teoría de números.

Un grupo de Lie real es un grupo que es también una variedad real suave de dimensión finita , en la que las operaciones de grupo de multiplicación e inversión son aplicaciones suaves . Suavidad de la multiplicación de grupos

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

significa que μ es una aplicación suave de la variedad de productos G × G en G . Los dos requisitos se pueden combinar en el único requisito de que la aplicación

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

sea ​​un mapeo suave de la variedad de productos en G .

• Las matrices reales invertibles de 2×2 forman un grupo bajo multiplicación, llamado grupo lineal general de grado 2 y denotado por o por :${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

Este es un grupo de Lie real no compacto de cuatro dimensiones ; es un subconjunto abierto de . Este grupo es desconectado ; tiene dos componentes conexos correspondientes a los valores positivos y negativos del determinante .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Las matrices de rotación forman un subgrupo de , denotado por . Es un grupo de Lie por derecho propio: específicamente, un grupo de Lie compacto conexo unidimensional que es difeomorfo al círculo . Usando el ángulo de rotación como parámetro, este grupo puede parametrizarse de la siguiente manera:${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$

La suma de los ángulos corresponde a la multiplicación de los elementos de , y la toma del ángulo opuesto corresponde a la inversión. Por lo tanto, tanto la multiplicación como la inversión son funciones diferenciables.${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$

• El grupo afín de una dimensión es un grupo de Lie matricial bidimensional, que consta de matrices reales triangulares superiores, donde la primera entrada diagonal es positiva y la segunda entrada diagonal es 1. Por lo tanto, el grupo consta de matrices de la forma${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

Presentamos ahora un ejemplo de un grupo con un número incontable de elementos que no es un grupo de Lie bajo una topología determinada. El grupo dado por

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

con un número irracional fijo , es un subgrupo del toro que no es un grupo de Lie cuando se da la topología del subespacio . ^[9] Si tomamos cualquier vecindad pequeña de un punto en , por ejemplo, la porción de en está desconectada. El grupo gira repetidamente alrededor del toro sin alcanzar nunca un punto previo de la espiral y, por lo tanto, forma un subgrupo denso de .${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

Sin embargo, al grupo se le puede dar una topología diferente, en la que la distancia entre dos puntos se define como la longitud del camino más corto en el grupo que une a . En esta topología, se identifica homeomórficamente con la línea real identificando cada elemento con el número en la definición de . Con esta topología, es simplemente el grupo de números reales bajo adición y, por lo tanto, es un grupo de Lie.${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

El grupo es un ejemplo de un "subgrupo de Lie" de un grupo de Lie que no está cerrado. Véase el análisis de los subgrupos de Lie que aparece a continuación en la sección sobre conceptos básicos.${\displaystyle H}$

Sea el grupo de matrices invertibles con entradas en . Cualquier subgrupo cerrado de es un grupo de Lie; ^[10] Los grupos de Lie de este tipo se denominan grupos de Lie matriciales. Dado que la mayoría de los ejemplos interesantes de grupos de Lie se pueden realizar como grupos de Lie matriciales, algunos libros de texto restringen la atención a esta clase, incluidos los de Hall, ^[11] Rossmann, ^[12] y Stillwell. ^[13] Restringir la atención a los grupos de Lie matriciales simplifica la definición del álgebra de Lie y la función exponencial. Los siguientes son ejemplos estándar de grupos de Lie matriciales.${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

• Los grupos lineales especiales sobre y , y , que consisten en matrices con determinante uno y entradas en o${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Los grupos unitarios y los grupos unitarios especiales, y , que consisten en matrices complejas que satisfacen (y también en el caso de )${\displaystyle U(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SU(n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle \det(U)=1}$${\displaystyle SU(n)}$
• Los grupos ortogonales y los grupos ortogonales especiales, y , que consisten en matrices reales que satisfacen (y también en el caso de )${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$${\displaystyle \det(R)=1}$${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$

Todos los ejemplos anteriores caen bajo el título de grupos clásicos .

Un grupo de Lie complejo se define de la misma manera utilizando variedades complejas en lugar de variedades reales (ejemplo: ) y aplicaciones holomorfas. De manera similar, utilizando una terminación métrica alternativa de , se puede definir un grupo de Lie p -ádico sobre los números p -ádicos , un grupo topológico que también es una variedad analítica p -ádica, de modo que las operaciones del grupo son analíticas. En particular, cada punto tiene un vecindario p -ádico.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El quinto problema de Hilbert planteaba la pregunta de si la sustitución de variedades diferenciables por variedades topológicas o analíticas podía dar lugar a nuevos ejemplos. La respuesta a esta pregunta resultó ser negativa: en 1952, Gleason , Montgomery y Zippin demostraron que si G es una variedad topológica con operaciones de grupo continuas, entonces existe exactamente una estructura analítica en G que la convierte en un grupo de Lie (véase también la conjetura de Hilbert-Smith ). Si se permite que la variedad subyacente sea de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Hilbert ), entonces se llega a la noción de un grupo de Lie de dimensión infinita. Es posible definir análogos de muchos grupos de Lie sobre cuerpos finitos , y estos proporcionan la mayoría de los ejemplos de grupos simples finitos .

El lenguaje de la teoría de categorías proporciona una definición concisa de los grupos de Lie: un grupo de Lie es un objeto grupo en la categoría de variedades lisas. Esto es importante, porque permite la generalización de la noción de grupo de Lie a los supergrupos de Lie . Este punto de vista categórico conduce también a una generalización diferente de los grupos de Lie, a saber, los grupoides de Lie , que son objetos grupoides en la categoría de variedades lisas con un requisito adicional.

Un grupo de Lie se puede definir como un grupo topológico ( Hausdorff ) que, cerca del elemento identidad, parece un grupo de transformación, sin referencia a variedades diferenciables. ^[14] Primero, definimos un grupo de Lie inmersivamente lineal como un subgrupo G del grupo lineal general tal que${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. para algún vecindario V del elemento identidad e en G , la topología en V es la topología del subespacio de y V está cerrado en .${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. G tiene como máximo un número contable de componentes conectados.

(Por ejemplo, un subgrupo cerrado de ; es decir, un grupo de Lie de matrices satisface las condiciones anteriores).${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Entonces, un grupo de Lie se define como un grupo topológico que (1) es localmente isomorfo cerca de las identidades a un grupo de Lie inmersamente lineal y (2) tiene como máximo una cantidad contable de componentes conexos. Demostrar que la definición topológica es equivalente a la habitual es técnico (y los lectores principiantes deberían omitir lo siguiente), pero se hace aproximadamente de la siguiente manera:

1. Dado un grupo de Lie G en el sentido habitual de variedad, la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie (o una versión del tercer teorema de Lie ) construye un subgrupo de Lie inmerso tal que comparte el mismo álgebra de Lie; por lo tanto, son localmente isomorfos. Por lo tanto, G satisface la definición topológica anterior.${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G,G'}$
2. Por el contrario, sea G un grupo topológico que es un grupo de Lie en el sentido topológico anterior y elijamos un grupo de Lie inmersivamente lineal que sea localmente isomorfo a G . Entonces, por una versión del teorema de subgrupo cerrado , es una variedad real-analítica y luego, a través del isomorfismo local, G adquiere una estructura de una variedad cerca del elemento identidad. Luego se muestra que la ley de grupo sobre G puede darse por series de potencias formales ; ^[a] por lo que las operaciones de grupo son real-analíticas y G en sí mismo es una variedad real-analítica.${\displaystyle G'}$${\displaystyle G'}$

La definición topológica implica la afirmación de que si dos grupos de Lie son isomorfos como grupos topológicos, entonces son isomorfos como grupos de Lie. De hecho, establece el principio general de que, en gran medida, la topología de un grupo de Lie junto con la ley del grupo determina la geometría del grupo.

Los grupos de Lie aparecen en abundancia en las matemáticas y la física. Los grupos matriciales o grupos algebraicos son (a grandes rasgos) grupos de matrices (por ejemplo, grupos ortogonales y simplécticos ), y estos son los ejemplos más comunes de grupos de Lie.

Los únicos grupos de Lie conexos con dimensión uno son la línea real (cuya operación de grupo es la suma) y el grupo circular de números complejos con valor absoluto uno (cuya operación de grupo es la multiplicación). El grupo se suele denominar , el grupo de matrices unitarias.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle 1\times 1}$

En dos dimensiones, si restringimos la atención a los grupos simplemente conexos, entonces se clasifican por sus álgebras de Lie. Existen (salvo isomorfismo) sólo dos álgebras de Lie de dimensión dos. Los grupos de Lie simplemente conexos asociados son (siendo la operación de grupo la suma de vectores) y el grupo afín de dimensión uno, descrito en la subsección anterior en "primeros ejemplos".${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• El grupo SU(2) es el grupo de matrices unitarias con determinante . Topológicamente, es la -esfera ; como grupo, puede identificarse con el grupo de cuaterniones unitarios .${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S^{3}}$
• El grupo de Heisenberg es un grupo de Lie nilpotente conexo de dimensión , que desempeña un papel clave en la mecánica cuántica .${\displaystyle 3}$
• El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de 6 dimensiones de isometrías lineales del espacio de Minkowski .
• El grupo de Poincaré es un grupo de Lie de 10 dimensiones de isometrías afines del espacio de Minkowski.
• Los grupos de Lie excepcionales de los tipos G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ tienen dimensiones 14, 52, 78, 133 y 248. Junto con la serie ABCD de grupos de Lie simples , los grupos excepcionales completan la lista de grupos de Lie simples.
• El grupo simpléctico está formado por todas las matrices que conservan una forma simpléctica en . Es un grupo de Lie conexo de dimensión .${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n^{2}+n}$

Existen varias formas estándar de formar nuevos grupos de Lie a partir de los antiguos:

• El producto de dos grupos de Lie es un grupo de Lie.
• Cualquier subgrupo topológicamente cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie. Esto se conoce como teorema del subgrupo cerrado o teorema de Cartan .
• El cociente de un grupo de Lie por un subgrupo normal cerrado es un grupo de Lie.
• El recubrimiento universal de un grupo de Lie conexo es un grupo de Lie. Por ejemplo, el grupo es el recubrimiento universal del grupo circular . De hecho, cualquier recubrimiento de una variedad diferenciable es también una variedad diferenciable, pero al especificar el recubrimiento universal , se garantiza una estructura de grupo (compatible con sus otras estructuras).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

Algunos ejemplos de grupos que no son grupos de Lie (excepto en el sentido trivial de que cualquier grupo que tenga como máximo un número contable de elementos puede verse como un grupo de Lie de dimensión 0, con la topología discreta ), son:

• Grupos de dimensión infinita, como el grupo aditivo de un espacio vectorial real de dimensión infinita, o el espacio de funciones suaves de una variedad a un grupo de Lie , . Estos no son grupos de Lie ya que no son variedades de dimensión finita .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• Algunos grupos totalmente desconectados , como el grupo de Galois de una extensión infinita de cuerpos, o el grupo aditivo de los números p -ádicos. Estos no son grupos de Lie porque sus espacios subyacentes no son variedades reales. (Algunos de estos grupos son "grupos de Lie p -ádicos".) En general, solo los grupos topológicos que tienen propiedades locales similares a R ⁿ para algún entero positivo n pueden ser grupos de Lie (por supuesto, también deben tener una estructura diferenciable).

A cada grupo de Lie podemos asociar un álgebra de Lie cuyo espacio vectorial subyacente es el espacio tangente del grupo de Lie en el elemento identidad y que captura completamente la estructura local del grupo. De manera informal, podemos pensar en los elementos del álgebra de Lie como elementos del grupo que están " infinitesimalmente cerca" de la identidad, y el corchete de Lie del álgebra de Lie está relacionado con el conmutador de dos de esos elementos infinitesimales. Antes de dar la definición abstracta, daremos algunos ejemplos:

• El álgebra de Lie del espacio vectorial R ⁿ es simplemente R ⁿ con el corchete de Lie dado por
      [ A ,  B ] = 0.
  (En general, el corchete de Lie de un grupo de Lie conexo siempre es 0 si y solo si el grupo de Lie es abeliano).
• El álgebra de Lie del grupo lineal general GL( n , C ) de matrices invertibles es el espacio vectorial M( n , C ) de matrices cuadradas con el corchete de Lie dado por
      [ A ,  B ] = AB  −  BA .
• Si G es un subgrupo cerrado de GL( n , C ) entonces el álgebra de Lie de G puede considerarse informalmente como las matrices m de M( n , C ) tales que 1 + ε m está en G , donde ε es un número positivo infinitesimal con ε ²  = 0 (por supuesto, no existe tal número real ε ). Por ejemplo, el grupo ortogonal O( n , R ) consiste en matrices A con AA ^T  = 1, por lo que el álgebra de Lie consiste en las matrices m con (1 + ε m )(1 + ε m ) ^T  = 1, que es equivalente a m  +  m ^T  = 0 porque ε ²  = 0.
• La descripción anterior se puede hacer más rigurosa de la siguiente manera. El álgebra de Lie de un subgrupo cerrado G de GL( n , C ), se puede calcular como

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[16] [11]} donde exp( tX ) se define utilizando la matriz exponencial . Se puede demostrar entonces que el álgebra de Lie de G es un espacio vectorial real que está cerrado bajo la operación de corchete, . ^[17]${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

La definición concreta dada anteriormente para los grupos de matrices es fácil de usar, pero tiene algunos problemas menores: para usarla primero necesitamos representar un grupo de Lie como un grupo de matrices, pero no todos los grupos de Lie pueden representarse de esta manera, y ni siquiera es obvio que el álgebra de Lie sea independiente de la representación que usemos. ^[18] Para evitar estos problemas damos la definición general del álgebra de Lie de un grupo de Lie (en 4 pasos):

1. Los campos vectoriales en cualquier variedad suave M pueden considerarse como derivaciones X del anillo de funciones suaves en la variedad y, por lo tanto, forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie [ X ,  Y ] =  XY  −  YX , porque el corchete de Lie de cualesquiera dos derivaciones es una derivación.
2. Si G es cualquier grupo que actúa suavemente sobre la variedad M , entonces actúa sobre los campos vectoriales, y el espacio vectorial de los campos vectoriales fijados por el grupo está cerrado bajo el corchete de Lie y, por lo tanto, también forma un álgebra de Lie.
3. Aplicamos esta construcción al caso en el que la variedad M es el espacio subyacente de un grupo de Lie  G , con G actuando sobre G  =  M por traslaciones izquierdas L _g ( h ) =  gh . Esto muestra que el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda (campos vectoriales que satisfacen L _{g *} X _h =  X _gh para cada h en G , donde L _{g *} denota la diferencial de L _g ) en un grupo de Lie es un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie de campos vectoriales.
4. Cualquier vector tangente en la identidad de un grupo de Lie se puede extender a un campo vectorial invariante por la izquierda trasladando por la izquierda el vector tangente a otros puntos de la variedad. Específicamente, la extensión invariante por la izquierda de un elemento v del espacio tangente en la identidad es el campo vectorial definido por v ^ _g  =  L _{g *} v . Esto identifica el espacio tangente T _e G en la identidad con el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda y, por lo tanto, convierte al espacio tangente en la identidad en un álgebra de Lie, llamada álgebra de Lie de G , usualmente denotada por una Fraktur Por lo tanto, el corchete de Lie en está dado explícitamente por [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e .${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Esta álgebra de Lie es de dimensión finita y tiene la misma dimensión que la variedad G . El álgebra de Lie de G determina G hasta el "isomorfismo local", donde dos grupos de Lie se denominan localmente isomorfos si parecen iguales cerca del elemento identidad. Los problemas sobre grupos de Lie se resuelven a menudo resolviendo primero el problema correspondiente para las álgebras de Lie, y el resultado para los grupos suele seguirse fácilmente. Por ejemplo, los grupos de Lie simples suelen clasificarse clasificando primero las álgebras de Lie correspondientes.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

También podríamos definir una estructura de álgebra de Lie en T _e utilizando campos vectoriales invariantes por la derecha en lugar de campos vectoriales invariantes por la izquierda. Esto conduce a la misma álgebra de Lie, porque la función inversa en G se puede utilizar para identificar campos vectoriales invariantes por la izquierda con campos vectoriales invariantes por la derecha, y actúa como −1 en el espacio tangente T _e .

La estructura del álgebra de Lie en T _e también se puede describir de la siguiente manera: la operación del conmutador

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

en G × G envía ( e ,  e ) a e , por lo que su derivada produce una operación bilineal en T _e G . Esta operación bilineal es en realidad la función cero, pero la segunda derivada, bajo la identificación adecuada de los espacios tangentes, produce una operación que satisface los axiomas de un corchete de Lie , y es igual al doble de la definida a través de campos vectoriales invariantes por la izquierda.

Si G y H son grupos de Lie, entonces un homomorfismo de grupo de Lie f  : G → H es un homomorfismo de grupo suave . En el caso de grupos de Lie complejos, se requiere que dicho homomorfismo sea una función holomorfa . Sin embargo, estos requisitos son un poco estrictos; todo homomorfismo continuo entre grupos de Lie reales resulta ser analítico (real) . ^{[19] [b]}

La composición de dos homomorfismos de Lie es nuevamente un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie, junto con estos morfismos, forma una categoría . Además, cada homomorfismo de grupo de Lie induce un homomorfismo entre las álgebras de Lie correspondientes. Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea su derivada en la identidad. Si identificamos las álgebras de Lie de G y H con sus espacios tangentes en los elementos identidad, entonces es una función entre las álgebras de Lie correspondientes:${\displaystyle \phi \colon G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

que resulta ser un homomorfismo de álgebra de Lie (lo que significa que es una función lineal que conserva el corchete de Lie ). En el lenguaje de la teoría de categorías , tenemos entonces un funtor covariante de la categoría de grupos de Lie a la categoría de álgebras de Lie que envía un grupo de Lie a su álgebra de Lie y un homomorfismo de grupo de Lie a su derivada en la identidad.

Dos grupos de Lie se denominan isomorfos si existe entre ellos un homomorfismo biyectivo cuyo inverso es también un homomorfismo de grupo de Lie. Equivalentemente, se trata de un difeomorfismo que es también un homomorfismo de grupo. Obsérvese que, por lo anterior, un homomorfismo continuo de un grupo de Lie a un grupo de Lie es un isomorfismo de grupos de Lie si y sólo si es biyectivo.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

Los grupos de Lie isomorfos necesariamente tienen álgebras de Lie isomorfas; es razonable entonces preguntar cómo se relacionan las clases de isomorfismo de los grupos de Lie con las clases de isomorfismo de las álgebras de Lie.

El primer resultado en esta dirección es el tercer teorema de Lie , que establece que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie (lineal). Una forma de demostrar el tercer teorema de Lie es utilizar el teorema de Ado , que dice que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es isomorfa a un álgebra de Lie matricial. Mientras tanto, para cada álgebra de Lie matricial de dimensión finita, existe un grupo lineal (grupo de Lie matricial) con esta álgebra como su álgebra de Lie. ^[20]

Por otra parte, los grupos de Lie con álgebras de Lie isomorfas no necesitan ser isomorfas. Además, este resultado sigue siendo cierto incluso si asumimos que los grupos están conectados. Dicho de otro modo, la estructura global de un grupo de Lie no está determinada por su álgebra de Lie; por ejemplo, si Z es cualquier subgrupo discreto del centro de G , entonces G y G / Z tienen la misma álgebra de Lie (véase la tabla de grupos de Lie para ver ejemplos). Un ejemplo de importancia en física son los grupos SU(2) y SO(3) . Estos dos grupos tienen álgebras de Lie isomorfas, ^[21] pero los grupos en sí mismos no son isomorfos, porque SU(2) es simplemente conectado pero SO(3) no lo es. ^[22]

Por otra parte, si requerimos que el grupo de Lie sea simplemente conexo , entonces la estructura global está determinada por su álgebra de Lie: dos grupos de Lie simplemente conexos con álgebras de Lie isomorfas son isomorfos. ^[23] (Véase la siguiente subsección para más información sobre los grupos de Lie simplemente conexos). A la luz del tercer teorema de Lie, podemos decir por tanto que existe una correspondencia biunívoca entre las clases de isomorfismo de las álgebras de Lie reales de dimensión finita y las clases de isomorfismo de los grupos de Lie simplemente conexos.

Se dice que un grupo de Lie está simplemente conexo si cada bucle en puede reducirse continuamente hasta un punto en . Esta noción es importante debido al siguiente resultado que tiene la conexidad simple como hipótesis:${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Teorema : ^[24] Supóngase que y son grupos de Lie con álgebras de Lie y y que es un homomorfismo de álgebra de Lie. Si es simplemente conexo, entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie único tal que , donde es la diferencial de en la identidad.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$${\displaystyle \phi _{*}=f}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi }$

El tercer teorema de Lie dice que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Del tercer teorema de Lie y del resultado precedente se deduce que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un único grupo de Lie simplemente conexo.

Un ejemplo de un grupo simplemente conexo es el grupo unitario especial SU(2) , que como variedad es la 3-esfera. El grupo de rotación SO(3) , por otro lado, no es simplemente conexo. (Véase Topología de SO(3) .) El hecho de que SO(3) no sea simplemente conexo está íntimamente relacionado con la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica. Otros ejemplos de grupos de Lie simplemente conexos incluyen el grupo unitario especial SU(n) , el grupo de espín (doble cobertura del grupo de rotación) Spin(n) para , y el grupo simpléctico compacto Sp(n) . ^[25]${\displaystyle n\geq 3}$

Los métodos para determinar si un grupo de Lie está simplemente conexo o no se analizan en el artículo sobre grupos fundamentales de grupos de Lie .

La función exponencial del álgebra de Lie del grupo lineal general a está definida por la matriz exponencial , dada por la serie de potencias habitual:${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

para matrices . Si es un subgrupo cerrado de , entonces la función exponencial lleva el álgebra de Lie de a ; por lo tanto, tenemos una función exponencial para todos los grupos de matrices. Cada elemento de que esté suficientemente cerca de la identidad es la exponencial de una matriz en el álgebra de Lie. ^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

La definición anterior es fácil de usar, pero no está definida para grupos de Lie que no sean grupos matriciales, y no está claro que la función exponencial de un grupo de Lie no dependa de su representación como grupo matricial. Podemos resolver ambos problemas utilizando una definición más abstracta de la función exponencial que funcione para todos los grupos de Lie, como se muestra a continuación.

Para cada vector en el álgebra de Lie de (es decir, el espacio tangente a en la identidad), se demuestra que existe un único subgrupo de un parámetro tal que . Decir que es un subgrupo de un parámetro significa simplemente que es una función suave en y que ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

para todos y . La operación del lado derecho es la multiplicación de grupos en . La similitud formal de esta fórmula con la válida para la función exponencial justifica la definición${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\ }$

Esto se llama el mapa exponencial y mapea el álgebra de Lie en el grupo de Lie . Proporciona un difeomorfismo entre un entorno de 0 en y un entorno de en . Este mapa exponencial es una generalización de la función exponencial para números reales (porque es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números reales positivos con multiplicación), para números complejos (porque es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números complejos distintos de cero con multiplicación) y para matrices (porque con el conmutador regular es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todas las matrices invertibles).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Como la función exponencial es sobreyectiva en algún entorno de , es común llamar a los elementos del álgebra de Lie generadores infinitesimales del grupo . El subgrupo de generado por es el componente identidad de .${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

El mapa exponencial y el álgebra de Lie determinan la estructura del grupo local de cada grupo de Lie conexo, debido a la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff : existe un vecindario del elemento cero de , tal que para tenemos${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

donde los términos omitidos son conocidos e involucran corchetes de Lie de cuatro o más elementos. En el caso de y conmuta, esta fórmula se reduce a la conocida ley exponencial${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

La función exponencial relaciona homomorfismos de grupos de Lie. Es decir, si es un homomorfismo de grupos de Lie y la función inducida en las álgebras de Lie correspondientes, entonces para todos tenemos${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,}$

En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta , ^[27]

(En resumen, exp es una transformación natural del funtor Lie al funtor identidad en la categoría de grupos de Lie).

La función exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie no siempre es sobreyectiva , incluso si el grupo está conexo (aunque sí se aplica al grupo de Lie para grupos conexos que son compactos o nilpotentes). Por ejemplo, la función exponencial de SL(2, R ) no es sobreyectiva. Además, la función exponencial no es ni sobreyectiva ni inyectiva para grupos de Lie de dimensión infinita (ver más abajo) modelados en el espacio de Fréchet C ^∞ , incluso desde un entorno arbitrario pequeño de 0 hasta el entorno correspondiente de 1.

Un subgrupo de Lie de un grupo de Lie es un grupo de Lie que es un subconjunto de y tal que la función de inclusión de a es una inmersión inyectiva y un homomorfismo de grupo . Según el teorema de Cartan , un subgrupo cerrado de admite una estructura suave única que lo convierte en un subgrupo de Lie embebido de —es decir, un subgrupo de Lie tal que la función de inclusión es una incrustación suave.${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Hay muchos ejemplos de subgrupos no cerrados; por ejemplo, tomemos un toro de dimensión 2 o mayor, y sea un subgrupo de un parámetro con pendiente irracional , es decir, uno que gira en G . Entonces hay un homomorfismo de grupo de Lie con . El cierre de será un subtoro en .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

La función exponencial proporciona una correspondencia biunívoca entre los subgrupos de Lie conexos de un grupo de Lie conexo y las subálgebras del álgebra de Lie de . ^[28] Normalmente, el subgrupo correspondiente a una subálgebra no es un subgrupo cerrado. No existe ningún criterio basado únicamente en la estructura de la cual se determine qué subálgebras corresponden a subgrupos cerrados.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Un aspecto importante del estudio de los grupos de Lie son sus representaciones, es decir, la forma en que pueden actuar (linealmente) en espacios vectoriales. En física, los grupos de Lie a menudo codifican las simetrías de un sistema físico. La forma en que se hace uso de esta simetría para ayudar a analizar el sistema es a menudo a través de la teoría de la representación. Consideremos, por ejemplo, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en mecánica cuántica, . Supongamos que el sistema en cuestión tiene el grupo de rotación SO(3) como simetría, lo que significa que el operador hamiltoniano conmuta con la acción de SO(3) en la función de onda . (Un ejemplo importante de un sistema de este tipo es el átomo de hidrógeno , que tiene un solo orbital esférico). Esta suposición no significa necesariamente que las soluciones sean funciones invariantes rotacionalmente. Más bien, significa que el espacio de soluciones a es invariante bajo rotaciones (para cada valor fijo de ). Este espacio, por lo tanto, constituye una representación de SO(3). Estas representaciones se han clasificado y la clasificación conduce a una simplificación sustancial del problema , convirtiendo esencialmente una ecuación diferencial parcial tridimensional en una ecuación diferencial ordinaria unidimensional.${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle E}$

El caso de un grupo de Lie compacto conexo K (incluido el caso recién mencionado de SO(3)) es particularmente manejable. ^[29] En ese caso, cada representación de dimensión finita de K se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. Las representaciones irreducibles, a su vez, fueron clasificadas por Hermann Weyl . La clasificación se realiza en términos del "peso más alto" de la representación. La clasificación está estrechamente relacionada con la clasificación de representaciones de un álgebra de Lie semisimple .

También se pueden estudiar representaciones unitarias (en general de dimensión infinita) de un grupo de Lie arbitrario (no necesariamente compacto). Por ejemplo, es posible dar una descripción explícita relativamente simple de las representaciones del grupo SL(2,R) y las representaciones del grupo de Poincaré .

Los grupos de Lie pueden considerarse familias de simetrías que varían suavemente. Entre los ejemplos de simetrías se incluyen las rotaciones sobre un eje. Lo que debe entenderse es la naturaleza de las transformaciones "pequeñas", por ejemplo, las rotaciones en ángulos diminutos, que vinculan transformaciones cercanas. El objeto matemático que captura esta estructura se denomina álgebra de Lie ( el propio Lie los llamó "grupos infinitesimales"). Puede definirse porque los grupos de Lie son variedades suaves, por lo que tienen espacios tangentes en cada punto.

El álgebra de Lie de cualquier grupo de Lie compacto (a grandes rasgos: aquel cuyas simetrías forman un conjunto acotado) se puede descomponer como una suma directa de un álgebra de Lie abeliana y un cierto número de álgebras simples . La estructura de un álgebra de Lie abeliana no es matemáticamente interesante (ya que el corchete de Lie es idénticamente cero); el interés está en los sumandos simples. De ahí que surja la pregunta: ¿cuáles son las álgebras de Lie simples de los grupos compactos? Resulta que en su mayoría se dividen en cuatro familias infinitas, las "álgebras de Lie clásicas" A _n , B _n , C _n y D _n , que tienen descripciones simples en términos de simetrías del espacio euclidiano. Pero también hay solo cinco "álgebras de Lie excepcionales" que no se dividen en ninguna de estas familias. E ₈ es la mayor de ellas.

Los grupos de Lie se clasifican según sus propiedades algebraicas ( simples , semisimples , resolubles , nilpotentes , abelianos ), su conectividad ( conexos o simplemente conexos ) y su compacidad .

Un primer resultado clave es la descomposición de Levi , que dice que cada grupo de Lie simplemente conexo es el producto semidirecto de un subgrupo normal resoluble y un subgrupo semisimple.

• Los grupos de Lie compactos conexos son todos conocidos: son cocientes centrales finitos de un producto de copias del grupo circular S ¹ y grupos de Lie compactos simples (que corresponden a diagramas de Dynkin conexos ).
• Cualquier grupo de Lie resoluble simplemente conexo es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles de algún rango, y cualquier representación irreducible de dimensión finita de dicho grupo es unidimensional. Los grupos resolubles son demasiado desordenados para clasificarlos, excepto en unas pocas dimensiones pequeñas.
• Cualquier grupo de Lie nilpotente simplemente conexo es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles con 1 en la diagonal de algún rango, y cualquier representación irreducible de dimensión finita de dicho grupo es unidimensional. Al igual que los grupos resolubles, los grupos nilpotentes son demasiado desordenados para clasificarlos, excepto en unas pocas dimensiones pequeñas.
• Los grupos de Lie simples se definen a veces como aquellos que son simples como grupos abstractos y, a veces, como grupos de Lie conectados con un álgebra de Lie simple. Por ejemplo, SL(2, R ) es simple según la segunda definición, pero no según la primera. Todos han sido clasificados (para cualquiera de las dos definiciones).
• Los grupos de Lie semisimples son grupos de Lie cuya álgebra de Lie es un producto de álgebras de Lie simples. ^[30] Son extensiones centrales de productos de grupos de Lie simples.

El componente identidad de cualquier grupo de Lie es un subgrupo normal abierto y el grupo cociente es un grupo discreto . La cobertura universal de cualquier grupo de Lie conexo es un grupo de Lie simplemente conexo y, a la inversa, cualquier grupo de Lie conexo es un cociente de un grupo de Lie simplemente conexo por un subgrupo normal discreto del centro. Cualquier grupo de Lie G se puede descomponer en grupos discretos, simples y abelianos de manera canónica de la siguiente manera. Escribe

G _con para el componente conectado de la identidad

G _sol para el subgrupo resoluble normal conectado más grande

G _nil para el subgrupo nilpotente normal conectado más grande

De manera que tenemos una secuencia de subgrupos normales.

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

Entonces

G / G _con es discreto

G _con / G _sol es una extensión central de un producto de grupos de Lie conexos simples .

G _sol / G _nil es abeliano. Un grupo de Lie abeliano conexo es isomorfo a un producto de copias de R y el grupo circular S ¹ .

G _nil /1 es nilpotente, y por tanto su serie central ascendente tiene todos los cocientes abelianos.

Esto se puede utilizar para reducir algunos problemas sobre grupos de Lie (como encontrar sus representaciones unitarias) a los mismos problemas para grupos simples conexos y subgrupos nilpotentes y resolubles de menor dimensión.

• El grupo de difeomorfismo de un grupo de Lie actúa transitivamente sobre el grupo de Lie
• Todo grupo de Lie es paralelizable y, por lo tanto, una variedad orientable (existe un isomorfismo de fibrado entre su fibrado tangente y el producto de sí mismo con el espacio tangente en la identidad).

Los grupos de Lie suelen definirse como de dimensión finita, pero hay muchos grupos que se parecen a los grupos de Lie, excepto por su dimensión infinita. La forma más sencilla de definir grupos de Lie de dimensión infinita es modelarlos localmente en espacios de Banach (en oposición al espacio euclidiano en el caso de dimensión finita), y en este caso gran parte de la teoría básica es similar a la de los grupos de Lie de dimensión finita. Sin embargo, esto es inadecuado para muchas aplicaciones, porque muchos ejemplos naturales de grupos de Lie de dimensión infinita no son variedades de Banach . En su lugar, es necesario definir grupos de Lie modelados en espacios vectoriales topológicos localmente convexos más generales . En este caso, la relación entre el álgebra de Lie y el grupo de Lie se vuelve bastante sutil, y varios resultados sobre los grupos de Lie de dimensión finita ya no se sostienen.

La literatura no es completamente uniforme en su terminología en cuanto a exactamente qué propiedades de los grupos de dimensión infinita califican al grupo para el prefijo Lie en el grupo de Lie . Desde el punto de vista del álgebra de Lie, las cosas son más simples ya que los criterios de calificación para el prefijo Lie en el álgebra de Lie son puramente algebraicos. Por ejemplo, un álgebra de Lie de dimensión infinita puede tener o no un grupo de Lie correspondiente. Es decir, puede haber un grupo correspondiente al álgebra de Lie, pero podría no ser lo suficientemente agradable como para ser llamado un grupo de Lie, o la conexión entre el grupo y el álgebra de Lie podría no ser lo suficientemente agradable (por ejemplo, el fracaso de la función exponencial para estar en un vecindario de la identidad). Es el "suficientemente agradable" lo que no está definido universalmente.

Algunos de los ejemplos que se han estudiado incluyen:

• El grupo de difeomorfismos de una variedad. Se sabe bastante acerca del grupo de difeomorfismos del círculo. Su álgebra de Lie es (más o menos) el álgebra de Witt , cuya extensión central , el álgebra de Virasoro (véase álgebra de Virasoro a partir del álgebra de Witt para una derivación de este hecho), es el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme bidimensional . Los grupos de difeomorfismos de variedades compactas de mayor dimensión son grupos de Lie regulares de Fréchet ; se sabe muy poco acerca de su estructura.
• El grupo de difeomorfismo del espacio-tiempo aparece a veces en los intentos de cuantificar la gravedad.
• El grupo de aplicaciones suaves de una variedad a un grupo de Lie de dimensión finita es un ejemplo de un grupo de calibración (con operación de multiplicación puntual ), y se utiliza en la teoría cuántica de campos y la teoría de Donaldson . Si la variedad es un círculo, estos se denominan grupos de bucles y tienen extensiones centrales cuyas álgebras de Lie son (más o menos) álgebras de Kac-Moody .
• Existen análogos de dimensión infinita de grupos lineales generales, grupos ortogonales, etc. ^[31] Un aspecto importante es que estos pueden tener propiedades topológicas más simples : véase, por ejemplo, el teorema de Kuiper . En la teoría M , por ejemplo, una teoría de calibración SU( N ) de 10 dimensiones se convierte en una teoría de 11 dimensiones cuando N se vuelve infinito.

• Medios relacionados con los grupos de Lie en Wikimedia Commons
• Revista de teoría de mentiras