Grupo de simetría

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En teoría de grupos , el grupo de simetría de un objeto geométrico es el grupo de todas las transformaciones bajo las cuales el objeto es invariante , dotado con la operación de grupo de composición . Tal transformación es una aplicación invertible del espacio ambiente que lleva al objeto hacia sí mismo, y que preserva toda la estructura relevante del objeto. Una notación frecuente para el grupo de simetría de un objeto X es G = Sym( X ).

Para un objeto en un espacio métrico , sus simetrías forman un subgrupo del grupo de isometría del espacio circundante. Este artículo considera principalmente los grupos de simetría en la geometría euclidiana , pero el concepto también puede estudiarse para tipos más generales de estructura geométrica.

Consideramos que los "objetos" que poseen simetría son figuras geométricas, imágenes y patrones, como un patrón de papel tapiz . Para la simetría de objetos físicos, también se puede tomar su composición física como parte del patrón. (Un patrón puede especificarse formalmente como un campo escalar , una función de posición con valores en un conjunto de colores o sustancias; como un campo vectorial ; o como una función más general sobre el objeto). El grupo de isometrías del espacio induce una acción grupal sobre los objetos en él, y el grupo de simetría Sym( X ) consiste en aquellas isometrías que mapean X a sí mismo (así como mapean cualquier otro patrón a sí mismo). Decimos que X es invariante bajo tal mapeo, y el mapeo es una simetría de X .

Lo anterior a veces se denomina grupo de simetría completo de X para enfatizar que incluye isometrías de inversión de orientación (reflexiones, reflexiones de deslizamiento y rotaciones impropias ), siempre que esas isometrías asignen este X particular a sí mismo. El subgrupo de simetrías que preservan la orientación (traslaciones, rotaciones y composiciones de estas) se denomina su grupo de simetría propio . Un objeto es quiral cuando no tiene simetrías de inversión de orientación , de modo que su grupo de simetría propio es igual a su grupo de simetría completo.

Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tengan un punto fijo común , lo cual es cierto si el grupo es finito o la figura está acotada, se puede representar como un subgrupo del grupo ortogonal O( n ) eligiendo el origen como un punto fijo. El grupo de simetría propio es entonces un subgrupo del grupo ortogonal especial SO( n ), y se denomina grupo de rotación de la figura.

En un grupo de simetría discreto , los puntos simétricos respecto de un punto dado no se acumulan hacia un punto límite . Es decir, cada órbita del grupo (las imágenes de un punto dado bajo todos los elementos del grupo) forma un conjunto discreto . Todos los grupos de simetría finitos son discretos.

Los grupos de simetría discretos se dividen en tres tipos: (1) grupos puntuales finitos , que incluyen solo rotaciones, reflexiones, inversiones y rotoinversiones , es decir, los subgrupos finitos de O( n ); (2) grupos reticulares infinitos , que incluyen solo traslaciones; y (3) grupos espaciales infinitos que contienen elementos de ambos tipos anteriores, y quizás también transformaciones adicionales como desplazamientos de tornillo y reflexiones de deslizamiento. También hay grupos de simetría continuos ( grupos de Lie ), que contienen rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños o traslaciones de distancias arbitrariamente pequeñas. Un ejemplo es O(3) , el grupo de simetría de una esfera. Los grupos de simetría de objetos euclidianos pueden clasificarse completamente como los subgrupos del grupo euclidiano E( n ) (el grupo de isometría de R ⁿ ).

Dos figuras geométricas tienen el mismo tipo de simetría cuando sus grupos de simetría son subgrupos conjugados del grupo euclidiano: es decir, cuando los subgrupos H ₁ , H ₂ están relacionados por H ₁ = g ⁻¹ H ₂ g para algún g en E( n ). Por ejemplo:

• Dos figuras 3D tienen simetría especular, pero con respecto a diferentes planos especulares.
• Dos figuras 3D tienen simetría rotacional triple , pero con respecto a ejes diferentes.
• dos patrones 2D tienen simetría traslacional, cada uno en una dirección; los dos vectores de traslación tienen la misma longitud pero una dirección diferente.

En las siguientes secciones, sólo consideramos grupos de isometría cuyas órbitas están topológicamente cerradas , incluidos todos los grupos de isometría discretos y continuos. Sin embargo, esto excluye, por ejemplo, el grupo 1D de traslaciones por un número racional ; una figura no cerrada de este tipo no puede dibujarse con una precisión razonable debido a su nivel de detalle arbitrario.

Los grupos de isometría en una dimensión son:

• El grupo cíclico trivial C ₁
• los grupos de dos elementos generados por una reflexión; son isomorfos con C ₂
• los grupos discretos infinitos generados por una traslación; son isomorfos con Z , el grupo aditivo de los números enteros
• los grupos discretos infinitos generados por una traslación y una reflexión; son isomorfos con el grupo diedro generalizado de Z , Dih( Z ), también denotado por D _∞ (que es un producto semidirecto de Z y C ₂ ).
• el grupo generado por todas las traslaciones (isomorfo con el grupo aditivo de los números reales R ); este grupo no puede ser el grupo de simetría de una figura euclidiana, incluso si está dotada de un patrón: tal patrón sería homogéneo, por lo tanto también podría ser reflejado. Sin embargo, un campo vectorial unidimensional constante tiene este grupo de simetría.
• el grupo generado por todas las traslaciones y reflexiones en puntos; son isomorfos con el grupo diedro generalizado Dih( R ).

Hasta la conjugación los grupos puntuales discretos en el espacio bidimensional son las siguientes clases:

• grupos cíclicos C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , ... donde C _n consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo por múltiplos del ángulo 360°/ n
• grupos diedros D ₁ , D ₂ , D ₃ , D ₄ , ..., donde D _n (de orden 2 n ) consiste en las rotaciones en C _n junto con las reflexiones en n ejes que pasan por el punto fijo.

C ₁ es el grupo trivial que contiene únicamente la operación de identidad, que se da cuando la figura es asimétrica, por ejemplo la letra "F". C ₂ es el grupo de simetría de la letra "Z", C ₃ el de un triskelion , C ₄ el de una esvástica , y C ₅ , C ₆ , etc. son los grupos de simetría de figuras similares a esvásticas con cinco, seis, etc. brazos en lugar de cuatro.

D ₁ es el grupo de 2 elementos que contiene la operación identidad y una única reflexión, que ocurre cuando la figura tiene un solo eje de simetría bilateral , por ejemplo la letra "A".

D ₂ , que es isomorfo al cuatrigrupo de Klein , es el grupo de simetría de un rectángulo no equilátero. Esta figura tiene cuatro operaciones de simetría: la operación de identidad, un doble eje de rotación y dos planos de simetría no equivalentes.

D ₃ , D ₄ etc. son los grupos de simetría de los polígonos regulares .

Dentro de cada uno de estos tipos de simetría, existen dos grados de libertad para el centro de rotación, y en el caso de los grupos diedros, uno más para las posiciones de los espejos.

Los restantes grupos de isometría en dos dimensiones con un punto fijo son:

• grupo ortogonal especial SO(2) que consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo; también se llama grupo del círculo S ¹ , el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto 1. Es el grupo de simetría propio de un círculo y el equivalente continuo de C _n . No existe ninguna figura geométrica que tenga como grupo de simetría completo el grupo del círculo, pero para un cuerpo vectorial puede aplicarse (véase el caso tridimensional a continuación).
• el grupo ortogonal O(2) que consiste en todas las rotaciones alrededor de un punto fijo y las reflexiones en cualquier eje que pase por ese punto fijo. Este es el grupo de simetría de un círculo. También se llama Dih(S ¹ ) ya que es el grupo diedro generalizado de S ¹ .

Las figuras no acotadas pueden tener grupos de isometría que incluyen traslaciones; estos son:

• Los 7 grupos de frisos
• Los 17 grupos de fondos de pantalla
• Para cada uno de los grupos de simetría en una dimensión, la combinación de todas las simetrías en ese grupo en una dirección y el grupo de todas las traslaciones en la dirección perpendicular.
• Lo mismo ocurre con los reflejos en una línea en la primera dirección.

Hasta la conjugación, el conjunto de grupos puntuales tridimensionales consta de 7 series infinitas y otros 7 grupos individuales. En cristalografía , solo se consideran aquellos grupos puntuales que conservan alguna red cristalina (por lo que sus rotaciones solo pueden tener orden 1, 2, 3, 4 o 6). Esta restricción cristalográfica de las familias infinitas de grupos puntuales generales da como resultado 32 grupos puntuales cristalográficos (27 grupos individuales de las 7 series y 5 de los otros 7 individuos).

Los grupos de simetría continua con un punto fijo incluyen los de:

• Simetría cilíndrica sin plano de simetría perpendicular al eje. Esto se aplica, por ejemplo, a una botella o un cono .
• Simetría cilíndrica con un plano de simetría perpendicular al eje.
• simetría esférica

En el caso de los objetos con patrones de campos escalares , la simetría cilíndrica implica también simetría de reflexión vertical. Sin embargo, esto no es cierto en el caso de los patrones de campos vectoriales : por ejemplo, en coordenadas cilíndricas con respecto a algún eje, el campo vectorial tiene simetría cilíndrica con respecto al eje siempre que y tengan esta simetría (sin dependencia de ); y tiene simetría de reflexión solo cuando .${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{ \boldsymbol {\sombrero {z}}}}$${\displaystyle A_{\rho},A_{\phi},}$$Estilo de visualización A_ {z}}$${\estilo de visualización \phi}$${\displaystyle A_{\phi}=0}$

Para la simetría esférica, no existe tal distinción: cualquier objeto con patrones tiene planos de simetría de reflexión.

Los grupos de simetría continua sin un punto fijo incluyen aquellos con un eje en espiral , como una hélice infinita . Véase también subgrupos del grupo euclidiano .

En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformación o grupo de automorfismos . Cada tipo de estructura matemática tiene aplicaciones invertibles que preservan la estructura. Por el contrario, especificar el grupo de simetría puede definir la estructura o, al menos, aclarar el significado de la congruencia o invariancia geométrica; esta es una forma de considerar el programa de Erlangen .

Por ejemplo, los objetos en una geometría hiperbólica no euclidiana tienen grupos de simetría fuchsianos , que son los subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico, que preservan la distancia hiperbólica en lugar de la euclidiana. (Algunos están representados en dibujos de Escher ). De manera similar, los grupos de automorfismos de geometrías finitas preservan familias de conjuntos de puntos (subespacios discretos) en lugar de subespacios euclidianos, distancias o productos internos. Al igual que para las figuras euclidianas, los objetos en cualquier espacio geométrico tienen grupos de simetría que son subgrupos de las simetrías del espacio circundante.

Otro ejemplo de un grupo de simetría es el de un grafo combinatorio : la simetría de un grafo es una permutación de los vértices que lleva aristas a aristas. Cualquier grupo finitamente presentado es el grupo de simetría de su grafo de Cayley ; el grupo libre es el grupo de simetría de un grafo de árbol infinito .

El teorema de Cayley establece que cualquier grupo abstracto es un subgrupo de las permutaciones de algún conjunto X y, por lo tanto, puede considerarse como el grupo de simetría de X con alguna estructura adicional. Además, muchas características abstractas del grupo (definidas puramente en términos de la operación de grupo) pueden interpretarse en términos de simetrías.

Por ejemplo, sea G = Sym( X ) el grupo de simetría finito de una figura X en un espacio euclidiano , y sea H ⊂ G un subgrupo. Entonces H puede interpretarse como el grupo de simetría de X ⁺ , una versión "decorada" de X . Tal decoración puede construirse de la siguiente manera. Agregue algunos patrones como flechas o colores a X para romper toda simetría, obteniendo una figura X ^# con Sym( X ^# ) = {1}, el subgrupo trivial; es decir, gX ^# ≠ X ^{# para todo} g ∈ G no trivial . Ahora obtenemos:

${\displaystyle X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{satisface}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).}$

Los subgrupos normales también pueden caracterizarse en este marco. El grupo de simetría de la traslación gX ⁺ es el subgrupo conjugado gHg ⁻¹ . Por lo tanto, H es normal siempre que:

${\displaystyle \mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{para todos}}\ g\in G;}$

es decir, siempre que la decoración de X ⁺ pueda dibujarse en cualquier orientación, con respecto a cualquier lado o característica de X , y aún así producir el mismo grupo de simetría gHg ⁻¹ = H .

Como ejemplo, considere el grupo diedro G = D ₃ = Sym( X ), donde X es un triángulo equilátero. Podemos decorarlo con una flecha en un borde, obteniendo una figura asimétrica X ^# . Dejando que τ ∈ G sea la reflexión del borde con flecha, la figura compuesta X ⁺ = X ^# ∪ τ X ^# tiene una flecha bidireccional en ese borde, y su grupo de simetría es H = {1, τ}. Este subgrupo no es normal, ya que gX ⁺ puede tener la bi-flecha en un borde diferente, dando un grupo de simetría de reflexión diferente.

Sin embargo, si H = {1, ρ, ρ ² } ⊂ D ₃ es el subgrupo cíclico generado por una rotación, la figura decorada X ⁺ consiste en un 3-ciclo de flechas con orientación consistente. Entonces H es normal, ya que dibujar un ciclo de este tipo con cualquier orientación produce el mismo grupo de simetría H .

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• Weisstein, Eric W. "Grupo tetraédrico". MathWorld .
• Descripción general de los 32 grupos puntuales cristalográficos: forman las primeras partes (aparte de omitir n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos puntuales 3D separados