Subgrupo normal

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Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En álgebra abstracta , un subgrupo normal (también conocido como subgrupo invariante o subgrupo autoconjugado ) ^[1] es un subgrupo que es invariante bajo la conjugación de los miembros del grupo del que forma parte. En otras palabras, un subgrupo del grupo es normal en si y solo si para todos y . La notación habitual para esta relación es .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gng^{-1}\in N}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle N\triangleleft G}$

Los subgrupos normales son importantes porque ellos (y solo ellos) pueden usarse para construir grupos cocientes del grupo dado. Además, los subgrupos normales de son precisamente los núcleos de homomorfismos de grupo con dominio , lo que significa que pueden usarse para clasificar internamente esos homomorfismos.${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Évariste Galois fue el primero en darse cuenta de la importancia de la existencia de subgrupos normales. ^[2]

Un subgrupo de un grupo se denomina subgrupo normal de si es invariante bajo conjugación ; es decir, la conjugación de un elemento de por un elemento de siempre está en . ^[3] La notación habitual para esta relación es .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\triangleleft G}$

Para cualquier subgrupo de , las siguientes condiciones son equivalentes a ser un subgrupo normal de . Por lo tanto, cualquiera de ellas puede tomarse como definición.${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

• La imagen de conjugación de por cualquier elemento de es un subconjunto de , ^[4] es decir, para todo .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$${\displaystyle g\in G}$
• La imagen de conjugación de por cualquier elemento de es igual a ^[4] es decir, para todo .${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle gNg^{-1}=N}$${\displaystyle g\in G}$
• Para todos , las clases laterales izquierda y derecha y son iguales. ^[4]${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle Ng}$
• Los conjuntos de clases laterales izquierda y derecha de in coinciden. ^[4]${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$
• La multiplicación en conserva la relación de equivalencia "está en la misma clase lateral izquierda que". Es decir, para cada y que satisface , tenemos .${\displaystyle G}$${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$${\displaystyle gN=g'N}$${\displaystyle hN=h'N}$${\displaystyle (gh)N=(g'h')N}$
• Existe un grupo en el conjunto de clases laterales izquierdas de donde la multiplicación de cualesquiera dos clases laterales izquierdas y da como resultado la clase lateral izquierda (este grupo se llama grupo cociente de módulo , denotado ).${\displaystyle N}$${\displaystyle gN}$${\displaystyle hN}$${\displaystyle (gh)N}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$
• ${\displaystyle N}$es una unión de clases de conjugación de . ^[2]${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle N}$se conserva por los automorfismos internos de . ^[5]${\displaystyle G}$
• Existe algún homomorfismo de grupo cuyo núcleo es . ^[2]${\displaystyle G\to H}$${\displaystyle N}$
• Existe un homomorfismo de grupo cuyas fibras forman un grupo donde el elemento identidad es una multiplicación de dos fibras cualesquiera y da como resultado la fibra (este grupo es el mismo grupo mencionado anteriormente).${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$${\displaystyle G/N}$
• Existe alguna relación de congruencia en para la cual la clase de equivalencia del elemento identidad es .${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$
• Para todos y . el conmutador está en . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$${\displaystyle N}$
• Dos elementos cualesquiera conmutan módulo la relación de pertenencia a un subgrupo normal. Es decir, para todo , si y sólo si . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle g,h\in G}$${\displaystyle gh\in N}$${\displaystyle hg\in N}$

Para cualquier grupo , el subgrupo trivial que consiste únicamente en el elemento identidad de es siempre un subgrupo normal de . Asimismo, sí mismo es siempre un subgrupo normal de (si estos son los únicos subgrupos normales, entonces se dice que es simple ). ^[6] Otros subgrupos normales nombrados de un grupo arbitrario incluyen el centro del grupo (el conjunto de elementos que conmutan con todos los demás elementos) y el subgrupo conmutador . ^{[7] [8]} De manera más general, dado que la conjugación es un isomorfismo, cualquier subgrupo característico es un subgrupo normal. ^[9]${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G]}$

Si es un grupo abeliano entonces cada subgrupo de es normal, porque . De manera más general, para cualquier grupo , cada subgrupo del centro de es normal en (en el caso especial que es abeliano, el centro es todo de , de ahí el hecho de que todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales). Un grupo que no es abeliano pero para el cual cada subgrupo es normal se llama grupo hamiltoniano . ^[10]${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Un ejemplo concreto de un subgrupo normal es el subgrupo del grupo simétrico , que consiste en la identidad y ambos triciclos. En particular, se puede comprobar que cada clase lateral de es igual a sí misma o es igual a . Por otro lado, el subgrupo no es normal en ya que . ^[11] Esto ilustra el hecho general de que cualquier subgrupo de índice dos es normal.${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$ ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}}$${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123)}$${\displaystyle H\leq G}$

Como ejemplo de un subgrupo normal dentro de un grupo de matrices , considere el grupo lineal general de todas las matrices invertibles con entradas reales bajo la operación de multiplicación de matrices y su subgrupo de todas las matrices de determinante 1 (el grupo lineal especial ). Para ver por qué el subgrupo es normal en , considere cualquier matriz en y cualquier matriz invertible . Luego, utilizando las dos identidades importantes y , se tiene que , y así también. Esto significa que está cerrado bajo conjugación en , por lo que es un subgrupo normal. ^[a]${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$

En el grupo del Cubo de Rubik , los subgrupos que consisten en operaciones que solo afectan las orientaciones de las piezas de las esquinas o de las piezas del borde son normales. ^[12]

El grupo de traslación es un subgrupo normal del grupo euclidiano en cualquier dimensión. ^[13] Esto significa que: aplicar una transformación rígida, seguida de una traslación y luego la transformación rígida inversa, tiene el mismo efecto que una sola traslación. Por el contrario, el subgrupo de todas las rotaciones sobre el origen no es un subgrupo normal del grupo euclidiano, siempre que la dimensión sea al menos 2: primero trasladar, luego rotar sobre el origen y luego trasladar de vuelta normalmente no fijará el origen y, por lo tanto, no tendrá el mismo efecto que una sola rotación sobre el origen.

• Si es un subgrupo normal de , y es un subgrupo de que contiene a , entonces es un subgrupo normal de . ^[14]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$
• Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no necesita ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva . El grupo más pequeño que exhibe este fenómeno es el grupo diedro de orden 8. ^[15] Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. ^[16] Un grupo en el que la normalidad es transitiva se llama grupo T. ^[17]
• Los dos grupos y son subgrupos normales de su producto directo .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H}$
• Si el grupo es un producto semidirecto , entonces es normal en , aunque no necesita ser normal en .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=N\rtimes H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$
• Si y son subgrupos normales de un grupo aditivo tales que y , entonces . ^[18]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=M+N}$${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$${\displaystyle G=M\oplus N}$
• La normalidad se conserva bajo homomorfismos sobreyectivos; ^[19] es decir, si es un homomorfismo de grupo sobreyectivo y es normal en , entonces la imagen es normal en .${\displaystyle G\to H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(N)}$${\displaystyle H}$
• La normalidad se conserva tomando imágenes inversas ; ^[19] es decir, si es un homomorfismo de grupo y es normal en , entonces la imagen inversa es normal en .${\displaystyle G\to H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f^{-1}(N)}$${\displaystyle G}$
• La normalidad se conserva al tomar productos directos ; ^[20] es decir, si y , entonces .${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2}}$${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}}$
• Todo subgrupo de índice 2 es normal. En términos más generales, un subgrupo, , de índice finito, , en contiene un subgrupo, normal en y de índice que divide a , llamado núcleo normal . En particular, si es el primo más pequeño que divide el orden de , entonces todo subgrupo de índice es normal. ^[21]${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$
• El hecho de que los subgrupos normales de sean precisamente los núcleos de los homomorfismos de grupo definidos en explica parte de la importancia de los subgrupos normales; son una forma de clasificar internamente todos los homomorfismos definidos en un grupo. Por ejemplo, un grupo finito no identidad es simple si y solo si es isomorfo a todas sus imágenes homomórficas no identidades, ^[22] un grupo finito es perfecto si y solo si no tiene subgrupos normales de índice primo , y un grupo es imperfecto si y solo si el subgrupo derivado no se complementa con ningún subgrupo normal propio.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Dados dos subgrupos normales, y , de , su intersección y su producto también son subgrupos normales de . ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\cap M}$${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}}$${\displaystyle G}$

Los subgrupos normales de forman una red bajo la inclusión de subconjuntos con el menor elemento , , y el mayor elemento , . El punto de encuentro de dos subgrupos normales, y , en esta red es su intersección y la unión es su producto.${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

La red es completa y modular . ^[20]

Si es un subgrupo normal, podemos definir una multiplicación sobre clases laterales de la siguiente manera: Esta relación define una aplicación . Para demostrar que esta aplicación está bien definida, es necesario demostrar que la elección de elementos representativos no afecta al resultado. Para ello, considérese otros elementos representativos . Entonces existen tales que . De ello se deduce que donde también utilizamos el hecho de que es un subgrupo normal y, por lo tanto, existe tal que . Esto demuestra que este producto es una aplicación bien definida entre clases laterales.${\displaystyle N}$$${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N}$$${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N}$${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}}$$${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle n_{1}'\in N}$${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'}$

Con esta operación, el conjunto de clases laterales es en sí mismo un grupo, llamado grupo cociente y denotado con Existe un homomorfismo natural , , dado por . Este homomorfismo se asigna al elemento identidad de , que es la clase lateral , ^[23] es decir, .${\displaystyle G/N.}$${\displaystyle f:G\to G/N}$${\displaystyle f(a)=aN}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle eN=N}$${\displaystyle \ker(f)=N}$

En general, un homomorfismo de grupo, envía subgrupos de a subgrupos de . Además, la preimagen de cualquier subgrupo de es un subgrupo de . Llamamos a la preimagen del grupo trivial en el núcleo del homomorfismo y la denotamos por . Como resulta, el núcleo es siempre normal y la imagen de , es siempre isomorfa a (el primer teorema de isomorfismo ). ^[24] De hecho, esta correspondencia es una biyección entre el conjunto de todos los grupos cocientes de , , y el conjunto de todas las imágenes homomórficas de ( hasta el isomorfismo). ^[25] También es fácil ver que el núcleo de la función cociente, , es él mismo, por lo que los subgrupos normales son precisamente los núcleos de homomorfismos con dominio . ^[26]${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle G,f(G)}$${\displaystyle G/\ker f}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f:G\to G/N}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

• IN Herstein , Temas de álgebra. Segunda edición. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

• Weisstein, Eric W. "subgrupo normal". MathWorld .
• Subgrupo normal en la Enciclopedia de Matemáticas de Springer
• Robert Ash: Fundamentos de grupos en álgebra abstracta. El año de posgrado básico
• Timothy Gowers, Subgrupos normales y grupos cociente
• John Baez, ¿Qué es un subgrupo normal?