Fractal
Estructura matemática infinitamente detallada
Alfombra de Sierpiński : perímetro infinito y área cero
Mandelbrot situado en las islas
El conjunto de Mandelbrot : su límite es una curva fractal con dimensión de Hausdorff 2. (Tenga en cuenta que las secciones coloreadas de la imagen no son en realidad parte del conjunto de Mandelbrot, sino que se basan en la rapidez con la que diverge la función que lo produce).
Conjunto de Mandelbrot con 12 circunferencias

Acercándose al límite del conjunto de Mandelbrot

En matemáticas , un fractal es una forma geométrica que contiene una estructura detallada en escalas arbitrariamente pequeñas, que usualmente tiene una dimensión fractal que excede estrictamente la dimensión topológica . Muchos fractales parecen similares en varias escalas, como se ilustra en aumentos sucesivos del conjunto de Mandelbrot . [1] [2] [3] [4] Esta exhibición de patrones similares en escalas cada vez más pequeñas se llama autosimilitud , también conocida como simetría en expansión o simetría de despliegue; si esta réplica es exactamente la misma en cada escala, como en la esponja de Menger , la forma se llama autosimilar afín . [5] La geometría fractal se encuentra dentro de la rama matemática de la teoría de la medida .

Una forma en que los fractales se diferencian de las figuras geométricas finitas es su escala . Al duplicar las longitudes de los bordes de un polígono relleno , se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y la antigua) elevado a la potencia de dos (la dimensión convencional del polígono relleno). Del mismo modo, si se duplica el radio de una esfera rellena, su volumen se escala por ocho, que es dos (la relación entre el radio nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de tres (la dimensión convencional de la esfera rellena). Sin embargo, si se duplican todas las longitudes unidimensionales de un fractal, el contenido espacial del fractal se escala por una potencia que no es necesariamente un número entero y es, en general, mayor que su dimensión convencional. [1] Esta potencia se denomina dimensión fractal del objeto geométrico, para distinguirla de la dimensión convencional (que formalmente se denomina dimensión topológica ). [6]

Analíticamente, muchos fractales no son diferenciables en ninguna parte . [1] [4] Una curva fractal infinita puede ser concebida como si serpenteara a través del espacio de manera diferente a una línea ordinaria: aunque todavía es topológicamente unidimensional , su dimensión fractal indica que llena localmente el espacio de manera más eficiente que una línea ordinaria. [1] [6]

Alfombra de Sierpinski (hasta el nivel 6), un fractal con una dimensión topológica de 1 y una dimensión de Hausdorff de 1,893
Un segmento de línea es similar a una parte propia de sí mismo, pero difícilmente un fractal.

A partir del siglo XVII con las nociones de recursión , los fractales han pasado a un tratamiento matemático cada vez más riguroso hasta el estudio de funciones continuas pero no diferenciables en el siglo XIX con el trabajo seminal de Bernard Bolzano , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , [7] y hasta la acuñación de la palabra fractal en el siglo XX con un posterior auge del interés en los fractales y el modelado basado en computadora en el siglo XX. [8] [9]

Existe cierto desacuerdo entre los matemáticos sobre cómo se debe definir formalmente el concepto de fractal. El propio Mandelbrot lo resumió como "hermoso, muy difícil, cada vez más útil. Eso son los fractales". [10] Más formalmente, en 1982 Mandelbrot definió fractal de la siguiente manera: "Un fractal es por definición un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica ". [11] Más tarde, al ver que esto era demasiado restrictivo, simplificó y amplió la definición a esto: "Un fractal es una forma geométrica rugosa o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo". [1] Más tarde, Mandelbrot propuso "utilizar fractal sin una definición pedante, utilizar dimensión fractal como un término genérico aplicable a todas las variantes". [12]

El consenso entre los matemáticos es que los fractales teóricos son construcciones matemáticas iteradas y detalladas infinitamente autosimilares , de las cuales se han formulado y estudiado muchos ejemplos . [1] [2] [3] Los fractales no se limitan a patrones geométricos, sino que también pueden describir procesos en el tiempo. [5] [4] [13] [14] [15] [16] Se han representado o estudiado patrones fractales con varios grados de autosimilitud en medios visuales, físicos y auditivos [17] y se han encontrado en la naturaleza, [18] [19] [20] [21] la tecnología, [22] [23] [24] [25] el arte, [26] [27] y la arquitectura . [28] Los fractales son de particular relevancia en el campo de la teoría del caos porque aparecen en las representaciones geométricas de la mayoría de los procesos caóticos (normalmente como atractores o como límites entre cuencas de atracción). [29]

Etimología

El término "fractal" fue acuñado por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. [30] Mandelbrot lo basó en el latín frāctus , que significa "roto" o "fracturado", y lo utilizó para extender el concepto de dimensiones fraccionarias teóricas a los patrones geométricos en la naturaleza . [1] [31] [32]

Introducción

Un árbol fractal simple
Un "árbol" fractal de once iteraciones

La palabra "fractal" suele tener connotaciones diferentes para el público en general que para los matemáticos, que suelen estar más familiarizados con el arte fractal que con el concepto matemático. El concepto matemático es difícil de definir formalmente, incluso para los matemáticos, pero las características clave se pueden entender con un poco de conocimiento matemático.

La característica de "autosimilitud", por ejemplo, se entiende fácilmente por analogía con hacer zoom con una lente u otro dispositivo que amplía imágenes digitales para descubrir una nueva estructura más fina, previamente invisible. Sin embargo, si esto se hace en fractales, no aparece ningún detalle nuevo; nada cambia y el mismo patrón se repite una y otra vez, o para algunos fractales, casi el mismo patrón reaparece una y otra vez. La autosimilitud en sí misma no es necesariamente contraintuitiva (por ejemplo, la gente ha reflexionado sobre la autosimilitud de manera informal, como en la regresión infinita en espejos paralelos o el homúnculo , el hombrecito dentro de la cabeza del hombrecito dentro de la cabeza ...). La diferencia para los fractales es que el patrón reproducido debe ser detallado. [1] : 166, 18  [2] [31]

Esta idea de ser detallado se relaciona con otra característica que se puede entender sin muchos conocimientos matemáticos: tener una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica, por ejemplo, se refiere a cómo se escala un fractal en comparación con cómo se perciben habitualmente las formas geométricas . Una línea recta, por ejemplo, se entiende convencionalmente como unidimensional; si dicha figura se vuelve a dividir en piezas cada una de 1/3 de la longitud de la original, entonces siempre hay tres piezas iguales. Un cuadrado sólido se entiende como bidimensional; si dicha figura se vuelve a dividir en piezas cada una de las cuales se reduce por un factor de 1/3 en ambas dimensiones, hay un total de 3 2 = 9 piezas.

Vemos que para los objetos comunes autosimilares, ser n-dimensional significa que cuando se los vuelve a dividir en piezas, cada una de ellas reducida por un factor de escala de 1/ r , hay un total de r n piezas. Ahora, considere la curva de Koch . Se puede volver a dividir en cuatro subcopias, cada una reducida por un factor de escala de 1/3. Entonces, estrictamente por analogía, podemos considerar la "dimensión" de la curva de Koch como el único número real D que satisface 3 D = 4. Este número se llama la dimensión fractal de la curva de Koch; no es la dimensión convencionalmente percibida de una curva. En general, una propiedad clave de los fractales es que la dimensión fractal difiere de la dimensión convencionalmente entendida (formalmente llamada la dimensión topológica).

Fractal tridimensional generado por computadora

Esto también nos lleva a entender una tercera característica, que los fractales como ecuaciones matemáticas no son " diferenciables en ninguna parte ". En un sentido concreto, esto significa que los fractales no pueden medirse de manera tradicional. [1] [4] [33] Para explicarlo mejor, al intentar encontrar la longitud de una curva ondulada no fractal, uno podría encontrar segmentos rectos de alguna herramienta de medición lo suficientemente pequeños como para colocarlos de extremo a extremo sobre las ondas, donde los trozos podrían volverse lo suficientemente pequeños como para ser considerados como que se ajustan a la curva de la manera normal de medir con una cinta métrica. Pero al medir una curva fractal infinitamente "ondulada" como el copo de nieve de Koch, uno nunca encontraría un segmento recto lo suficientemente pequeño como para ajustarse a la curva, porque el patrón irregular siempre reaparecería, en escalas arbitrariamente pequeñas, esencialmente tirando un poco más de la cinta métrica hacia la longitud total medida cada vez que uno intentara ajustarla cada vez más a la curva. El resultado es que uno debe necesitar una cinta infinita para cubrir perfectamente toda la curva, es decir, el copo de nieve tiene un perímetro infinito. [1]

Historia

Un copo de nieve de Koch es un fractal que comienza con un triángulo equilátero y luego reemplaza el tercio medio de cada segmento de línea con un par de segmentos de línea que forman una protuberancia equilátera.
Conjunto cantor (ternario)

La historia de los fractales traza un camino desde estudios principalmente teóricos hasta aplicaciones modernas en gráficos de computadora , con varias personas notables que contribuyeron con formas fractales canónicas a lo largo del camino. [8] [9] Un tema común en la arquitectura africana tradicional es el uso de escala fractal, por el cual pequeñas partes de la estructura tienden a verse similares a partes más grandes, como un pueblo circular hecho de casas circulares. [34] Según Pickover , las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII cuando el matemático y filósofo Gottfried Leibniz reflexionó sobre la autosimilitud recursiva (aunque cometió el error de pensar que solo la línea recta era autosimilar en este sentido). [35]

En sus escritos, Leibniz utilizó el término "exponentes fraccionarios", pero lamentó que la "Geometría" aún no los conociera. [1] : 405  De hecho, según varios relatos históricos, después de ese punto pocos matemáticos abordaron los problemas y el trabajo de los que lo hicieron permaneció en la oscuridad en gran parte debido a la resistencia a esos conceptos emergentes tan desconocidos, a los que a veces se hacía referencia como "monstruos" matemáticos. [33] [8] [9] Por lo tanto, no fue hasta que pasaron dos siglos que el 18 de julio de 1872 Karl Weierstrass presentó la primera definición de una función con un gráfico que hoy se consideraría un fractal, que tiene la propiedad no intuitiva de ser continua en todas partes pero en ninguna parte diferenciable en la Real Academia Prusiana de Ciencias. [8] : 7  [9]

Además, la diferencia de cociente se vuelve arbitrariamente grande a medida que aumenta el índice de suma. [36] No mucho después de eso, en 1883, Georg Cantor , que asistió a las conferencias de Weierstrass, [9] publicó ejemplos de subconjuntos de la línea real conocidos como conjuntos de Cantor , que tenían propiedades inusuales y ahora se reconocen como fractales. [8] : 11–24  También en la última parte de ese siglo, Felix Klein y Henri Poincaré introdujeron una categoría de fractal que ha llegado a llamarse fractales "autoinversos". [1] : 166 

Un conjunto de Julia , un fractal relacionado con el conjunto de Mandelbrot
Una junta de Sierpinski se puede generar mediante un árbol fractal.

Uno de los siguientes hitos se produjo en 1904, cuando Helge von Koch , ampliando las ideas de Poincaré e insatisfecho con la definición abstracta y analítica de Weierstrass, dio una definición más geométrica que incluía imágenes dibujadas a mano de una función similar, que ahora se llama el copo de nieve de Koch . [8] : 25  [9] Otro hito se produjo una década después, en 1915, cuando Wacław Sierpiński construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra . En 1918, dos matemáticos franceses, Pierre Fatou y Gaston Julia , aunque trabajaban de forma independiente, llegaron esencialmente de forma simultánea a resultados que describen lo que ahora se considera un comportamiento fractal asociado con el mapeo de números complejos y funciones iterativas y que conducen a nuevas ideas sobre atractores y repelentes (es decir, puntos que atraen o repelen otros puntos), que se han vuelto muy importantes en el estudio de los fractales. [4] [8] [9]

Muy poco después de que se presentara ese trabajo, en marzo de 1918, Felix Hausdorff amplió la definición de "dimensión", de manera significativa para la evolución de la definición de fractales, para permitir que los conjuntos tuvieran dimensiones no enteras. [9] La idea de las curvas autosimilares fue desarrollada más a fondo por Paul Lévy , quien, en su artículo de 1938 Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole , describió una nueva curva fractal, la curva C de Lévy . [notas 1]

Un atractor extraño que exhibe escala multifractal
Fractal triangular con centro de masa uniforme
2x 120 grados recursivo IFS

Diferentes investigadores han postulado que sin la ayuda de los gráficos de computadora modernos, los primeros investigadores estaban limitados a lo que podían representar en dibujos manuales, por lo que carecían de los medios para visualizar la belleza y apreciar algunas de las implicaciones de muchos de los patrones que habían descubierto (el conjunto de Julia, por ejemplo, solo podía visualizarse a través de unas pocas iteraciones como dibujos muy simples). [1] : 179  [33] [9] Sin embargo, eso cambió en la década de 1960, cuando Benoit Mandelbrot comenzó a escribir sobre la autosimilitud en artículos como How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension , [37] [38] que se basaba en trabajos anteriores de Lewis Fry Richardson .

En 1975, [31] Mandelbrot consolidó cientos de años de pensamiento y desarrollo matemático al acuñar la palabra "fractal" e ilustró su definición matemática con sorprendentes visualizaciones construidas por computadora. Estas imágenes, como la de su conjunto canónico de Mandelbrot , capturaron la imaginación popular; muchas de ellas se basaban en la recursión, lo que dio lugar al significado popular del término "fractal". [39] [33] [8] [35]

En 1980, Loren Carpenter realizó una presentación en SIGGRAPH donde presentó su software para generar y renderizar paisajes generados fractalmente. [40]

Definición y características

Una descripción que Mandelbrot publicó para describir los fractales geométricos y que se cita con frecuencia es "una forma geométrica áspera o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo"; [1] esto es generalmente útil pero limitado. Los autores no están de acuerdo con la definición exacta de fractal , pero la mayoría suele desarrollar las ideas básicas de autosimilitud y la relación inusual que tienen los fractales con el espacio en el que están incrustados. [1] [5] [2] [4] [41]

Un punto en el que se está de acuerdo es que los patrones fractales se caracterizan por dimensiones fractales , pero mientras que estos números cuantifican la complejidad (es decir, el cambio de detalle con el cambio de escala), no describen de forma única ni especifican detalles de cómo construir patrones fractales particulares. [42] En 1975, cuando Mandelbrot acuñó la palabra "fractal", lo hizo para denotar un objeto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica . [31] Sin embargo, este requisito no se cumple con las curvas que llenan el espacio, como la curva de Hilbert . [notas 2]

Debido a la dificultad que supone encontrar una definición única de fractales, algunos sostienen que no deberían definirse estrictamente. Según Falconer , los fractales deberían caracterizarse en general sólo por una serie de las siguientes características: [2]

  • Autosimilitud, que puede incluir:
  • Autosimilitud exacta: idéntico en todas las escalas, como el copo de nieve de Koch
  • Cuasi autosimilitud: aproxima el mismo patrón en diferentes escalas; puede contener pequeñas copias del fractal completo en formas distorsionadas y degeneradas; por ejemplo, los satélites del conjunto de Mandelbrot son aproximaciones del conjunto completo, pero no copias exactas.
  • Autosimilitud estadística: repite un patrón estocásticamente de modo que las medidas numéricas o estadísticas se conservan en todas las escalas; por ejemplo, fractales generados aleatoriamente como el conocido ejemplo de la costa de Gran Bretaña para el cual uno no esperaría encontrar un segmento escalado y repetido tan prolijamente como la unidad repetida que define fractales como el copo de nieve de Koch. [4]
  • Autosimilitud cualitativa: como en una serie temporal [13]
  • Escala multifractal : caracterizada por más de una dimensión fractal o regla de escala
  • Estructura fina o detallada a escalas arbitrariamente pequeñas. Una consecuencia de esta estructura es que los fractales pueden tener propiedades emergentes [43] (relacionadas con el siguiente criterio de esta lista).
  • Irregularidad local y global que no puede describirse fácilmente en el lenguaje de la geometría euclidiana tradicional , salvo como el límite de una secuencia de etapas definida recursivamente . Para las imágenes de patrones fractales, esto se ha expresado mediante frases como "superficies que se acumulan suavemente" y "remolinos sobre remolinos"; [6] véase Técnicas comunes para generar fractales .

En conjunto, estos criterios forman pautas para excluir ciertos casos, como aquellos que pueden ser autosimilares sin tener otras características típicamente fractales. Una línea recta, por ejemplo, es autosimilar pero no fractal porque carece de detalles y se describe fácilmente en lenguaje euclidiano sin necesidad de recursión. [1] [4]

Técnicas comunes para generar fractales

Patrón de ramificación autosimilar modelado in silico utilizando principios de sistemas L [21]

Se pueden crear imágenes de fractales mediante programas generadores de fractales . Debido al efecto mariposa , un pequeño cambio en una sola variable puede tener un resultado impredecible .

Un fractal generado por una regla de subdivisión finita para un enlace alterno

Aplicaciones

Fractales simulados

Los patrones fractales se han modelado ampliamente, aunque dentro de un rango de escalas en lugar de infinitas, debido a los límites prácticos del tiempo y el espacio físicos. Los modelos pueden simular fractales teóricos o fenómenos naturales con características fractales. Los resultados del proceso de modelado pueden ser representaciones altamente artísticas, resultados para investigación o puntos de referencia para el análisis fractal . Algunas aplicaciones específicas de los fractales a la tecnología se enumeran en otra parte. Las imágenes y otros resultados del modelado normalmente se denominan "fractales" incluso si no tienen características estrictamente fractales, como cuando es posible hacer zoom en una región de la imagen fractal que no exhibe ninguna propiedad fractal. Además, estos pueden incluir artefactos de cálculo o visualización que no son característicos de los fractales verdaderos.

Los fractales modelados pueden ser sonidos, [17] imágenes digitales, patrones electroquímicos, ritmos circadianos , [49] etc. Los patrones fractales se han reconstruido en el espacio físico tridimensional [24] : 10  y virtualmente, a menudo llamado modelado " in silico ". [46] Los modelos de fractales generalmente se crean utilizando software de generación de fractales que implementa técnicas como las descritas anteriormente. [4] [13] [24] Como una ilustración, los árboles, helechos, células del sistema nervioso, [21] la vasculatura sanguínea y pulmonar, [46] y otros patrones de ramificación en la naturaleza se pueden modelar en una computadora utilizando algoritmos recursivos y técnicas de sistemas L. [21]

La naturaleza recursiva de algunos patrones es obvia en ciertos ejemplos: una rama de un árbol o una fronda de un helecho es una réplica en miniatura del conjunto: no son idénticos, pero son de naturaleza similar. De manera similar, los fractales aleatorios se han utilizado para describir o crear muchos objetos del mundo real sumamente irregulares, como costas y montañas. Una limitación del modelado de fractales es que la semejanza de un modelo fractal con un fenómeno natural no prueba que el fenómeno que se modela se forme mediante un proceso similar a los algoritmos de modelado.

Fenómenos naturales con características fractales.

Los fractales aproximados que se encuentran en la naturaleza muestran autosimilitud en rangos de escala extensos, pero finitos. La conexión entre los fractales y las hojas, por ejemplo, se está utilizando actualmente para determinar cuánto carbono contienen los árboles. [50] Los fenómenos que se sabe que tienen características fractales incluyen:

Fractales en biología celular

Los fractales aparecen a menudo en el reino de los organismos vivos, donde surgen a través de procesos de ramificación y otras formaciones de patrones complejos. Ian Wong y sus colaboradores han demostrado que las células migratorias pueden formar fractales mediante agrupamiento y ramificación . [72] Las células nerviosas funcionan a través de procesos en la superficie celular, con fenómenos que se mejoran al aumentar en gran medida la relación superficie-volumen. Como consecuencia, se observa que las células nerviosas a menudo forman patrones fractales. [73] Estos procesos son cruciales en la fisiología celular y diferentes patologías . [74]

También se ha descubierto que múltiples estructuras subcelulares se ensamblan en fractales. Diego Krapf ha demostrado que a través de procesos de ramificación los filamentos de actina en las células humanas se ensamblan en patrones fractales. [75] De manera similar, Matthias Weiss demostró que el retículo endoplasmático muestra características fractales. [76] La comprensión actual es que los fractales son omnipresentes en la biología celular, desde las proteínas hasta los orgánulos y las células completas.

En obras creativas

Desde 1999, numerosos grupos científicos han realizado análisis fractales en más de 50 pinturas creadas por Jackson Pollock vertiendo pintura directamente sobre lienzos horizontales. [77] [78] [79]

Recientemente, se ha utilizado el análisis fractal para lograr una tasa de éxito del 93% en la distinción entre Pollocks reales y falsos. [80] Los neurocientíficos cognitivos han demostrado que los fractales de Pollock inducen la misma reducción del estrés en los observadores que los fractales generados por computadora y los fractales de la naturaleza. [81]

La decalcomanía , una técnica utilizada por artistas como Max Ernst , puede producir patrones similares a fractales. [82] Implica presionar pintura entre dos superficies y separarlas.

El cibernético Ron Eglash ha sugerido que la geometría fractal y las matemáticas son frecuentes en el arte , los juegos, la adivinación , el comercio y la arquitectura africanos. Las casas circulares aparecen en círculos de círculos, las casas rectangulares en rectángulos de rectángulos, y así sucesivamente. Estos patrones de escala también se pueden encontrar en los textiles, las esculturas e incluso los peinados africanos con trenzas africanas. [27] [83] Hokky Situngkir también sugirió propiedades similares en el arte tradicional indonesio, el batik y los adornos que se encuentran en las casas tradicionales. [84] [85]

El etnomatemático Ron Eglash ha analizado el diseño planificado de la ciudad de Benín utilizando fractales como base, no sólo en la ciudad misma y en los pueblos, sino incluso en las habitaciones de las casas. Comentó que "cuando los europeos llegaron por primera vez a África, consideraron que la arquitectura era muy desorganizada y, por lo tanto, primitiva. Nunca se les ocurrió que los africanos podrían haber estado utilizando una forma de matemáticas que ni siquiera habían descubierto todavía". [86]

En una entrevista de 1996 con Michael Silverblatt , David Foster Wallace explicó que la estructura del primer borrador de La broma infinita que le dio a su editor Michael Pietsch estaba inspirada en fractales, específicamente en el triángulo de Sierpinski (también conocido como junta de Sierpinski), pero que la novela editada es "más como una junta de Sierpinski desequilibrada". [26]

Algunas obras del artista holandés MC Escher , como Circle Limit III , contienen formas repetidas hasta el infinito que se hacen cada vez más pequeñas a medida que se acercan a los bordes, en un patrón que siempre parecería igual si se amplía.

Estética y efectos psicológicos del diseño basado en fractales: [87] Los patrones fractales, muy comunes en la naturaleza, poseen componentes autosimilares que se repiten en distintas escalas de tamaño. La experiencia perceptiva de los entornos creados por el hombre puede verse afectada con la inclusión de estos patrones naturales. Trabajos anteriores han demostrado tendencias consistentes en la preferencia por los patrones fractales y en las estimaciones de complejidad de los mismos. Sin embargo, se ha recopilado información limitada sobre el impacto de otros juicios visuales. Aquí examinamos la experiencia estética y perceptiva de los diseños fractales de "bosque global" ya instalados en espacios creados por el hombre y demostramos cómo los componentes de los patrones fractales están asociados con experiencias psicológicas positivas que pueden utilizarse para promover el bienestar de los ocupantes. Estos diseños son patrones fractales compuestos que consisten en "semillas de árboles" fractales individuales que se combinan para crear un "bosque fractal global". Los patrones locales de "semillas de árboles", la configuración global de las ubicaciones de las semillas de árboles y los patrones "bosque global" resultantes en general tienen cualidades fractales. Estos diseños abarcan múltiples medios, pero todos están destinados a reducir el estrés de los ocupantes sin restar valor a la función y al diseño general del espacio. En esta serie de estudios, primero establecemos relaciones divergentes entre varios atributos visuales, con la complejidad de los patrones, la preferencia y las calificaciones de participación que aumentan con la complejidad fractal en comparación con las calificaciones de refresco y relajación que se mantienen iguales o disminuyen con la complejidad. Posteriormente, determinamos que los patrones fractales constituyentes locales ("semilla de árbol") contribuyen a la percepción del diseño fractal general y abordamos cómo equilibrar los efectos estéticos y psicológicos (como las experiencias individuales de participación y relajación percibidas) en las instalaciones de diseño fractal. Este conjunto de estudios demuestra que la preferencia fractal está impulsada por un equilibrio entre una mayor excitación (deseo de participación y complejidad) y una menor tensión (deseo de relajación o refresco). Las instalaciones de estos patrones compuestos de "bosque global" de complejidad media-alta que consisten en componentes de "semilla de árbol" equilibran estas necesidades contrastantes y pueden servir como una implementación práctica de patrones biofílicos en entornos creados por el hombre para promover el bienestar de los ocupantes.

  • Un fractal que modela la superficie de una montaña (animación)
    Un fractal que modela la superficie de una montaña (animación)
  • Imagen recursiva 3D
    Imagen recursiva 3D
  • Imagen de mariposa fractal recursiva
    Imagen de mariposa fractal recursiva
  • Una llama fractal
    Una llama fractal

Respuestas fisiológicas

Los humanos parecen estar especialmente bien adaptados al procesamiento de patrones fractales con una dimensión fractal entre 1,3 y 1,5. [88] Cuando los humanos ven patrones fractales con una dimensión fractal entre 1,3 y 1,5, esto tiende a reducir el estrés fisiológico. [89] [90]

Aplicaciones en tecnología

Véase también

Notas

  1. ^ El artículo original, Lévy, Paul (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les Surfaces composées de Parties semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique : 227–247, 249–291., está traducido en Edgar, páginas 181–239.
  2. ^ El mapa de la curva de Hilbert no es un homeomorfismo , por lo que no conserva la dimensión topológica. La dimensión topológica y la dimensión de Hausdorff de la imagen del mapa de Hilbert en R 2 son ambas 2. Nótese, sin embargo, que la dimensión topológica del gráfico del mapa de Hilbert (un conjunto en R 3 ) es 1.

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  102. ^ Brown, Clifford T.; Witschey, Walter RT; Liebovitch, Larry S. (2005). "El pasado roto: fractales en arqueología". Revista de teoría y método arqueológico . 12 : 37–78. doi :10.1007/s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
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Lectura adicional

  • Barnsley, Michael F.; y Rising, Hawley; Fractals Everywhere . Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0 
  • Duarte, German A.; Narrativa fractal. Sobre la relación entre geometrías y tecnología y su impacto en los espacios narrativos . Bielefeld: Transcripción, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6 
  • Falconer, Kenneth; Técnicas en geometría fractal . John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0 
  • Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto ; y Saupe, Dietmar; Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia . Nueva York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4 
  • Mandelbrot, Benoit B. ; La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9 
  • Peitgen, Heinz-Otto; y Saupe, Dietmar; editores; La ciencia de las imágenes fractales . Nueva York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0 
  • Pickover, Clifford A. ; ed.; Caos y fractales: un viaje gráfico por computadora: una recopilación de 10 años de investigación avanzada . Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2 
  • Jones, Jesse; Fractales para Macintosh , Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8 . 
  • Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures , traducido por Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X , edición impresa. ISBN 0-691-02445-6, edición de bolsillo. "Este libro ha sido escrito para un público amplio..." Incluye programas BASIC de muestra en un apéndice.  
  • Sprott, Julien Clinton (2003). Caos y análisis de series temporales . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850839-7.
  • Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; y Kampman, Eric; Explorando fractales en Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6 
  • Lesmoir-Gordon, Nigel; Los colores del infinito: la belleza, el poder y el sentido de los fractales . 2004. ISBN 1-904555-05-5 (El libro viene con un DVD relacionado con la introducción documental de Arthur C. Clarke al concepto fractal y al conjunto de Mandelbrot ). 
  • Liu, Huajie; Arte fractal , Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348 . 
  • Gouyet, Jean-François; Física y estructuras fractales (prólogo de B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1 , y Nueva York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0 . Agotado. Disponible en versión PDF en. "Física y estructuras fractales" (en francés). Jfgouyet.fr . Consultado el 17 de octubre de 2010 .  
  • Falconer, Kenneth (2013). Fractales: una introducción muy breve . Oxford University Press.
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Fractal.
Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Fractales
  • Fractales en los archivos web de la Biblioteca del Congreso (archivado el 16 de noviembre de 2001)
  • "Hunting the Hidden Dimension", PBS NOVA , primera emisión el 24 de agosto de 2011
  • Benoit Mandelbrot: Fractales y el arte de la rugosidad (archivado el 17 de febrero de 2014 en Wayback Machine ), TED , febrero de 2010
  • Ecuaciones de medida fractal autosimilar basadas en el cálculo de orden fraccionario (2007)
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