Atractor

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En el campo matemático de los sistemas dinámicos , un atractor es un conjunto de estados hacia los cuales tiende a evolucionar un sistema, ^[2] para una amplia variedad de condiciones iniciales del sistema. Los valores del sistema que se acercan lo suficiente a los valores del atractor permanecen cerca incluso si se alteran ligeramente.

En sistemas de dimensión finita, la variable evolutiva puede representarse algebraicamente como un vector de dimensión n . El atractor es una región en un espacio de dimensión n . En sistemas físicos , las dimensiones n pueden ser, por ejemplo, dos o tres coordenadas posicionales para cada una de una o más entidades físicas; en sistemas económicos , pueden ser variables separadas como la tasa de inflación y la tasa de desempleo . ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

Si la variable evolutiva es bidimensional o tridimensional, el atractor del proceso dinámico puede representarse geométricamente en dos o tres dimensiones (como por ejemplo en el caso tridimensional representado a la derecha). Un atractor puede ser un punto , un conjunto finito de puntos, una curva , una variedad o incluso un conjunto complicado con una estructura fractal conocido como atractor extraño (véase atractor extraño más abajo). Si la variable es un escalar , el atractor es un subconjunto de la línea de números reales. Describir los atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los logros de la teoría del caos .

Una trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna restricción especial, excepto la de permanecer en el atractor, hacia adelante en el tiempo. La trayectoria puede ser periódica o caótica . Si un conjunto de puntos es periódico o caótico, pero el flujo en la vecindad se aleja del conjunto, el conjunto no es un atractor, sino que se denomina repulsor (o repelente ).

Un sistema dinámico se describe generalmente mediante una o más ecuaciones diferenciales o de diferencias . Las ecuaciones de un sistema dinámico determinado especifican su comportamiento durante un período de tiempo breve determinado. Para determinar el comportamiento del sistema durante un período más largo, a menudo es necesario integrar las ecuaciones, ya sea por medios analíticos o mediante iteración , a menudo con la ayuda de computadoras.

Los sistemas dinámicos del mundo físico tienden a surgir de sistemas disipativos : si no fuera por alguna fuerza impulsora, el movimiento cesaría. (La disipación puede provenir de fricción interna , pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre muchas causas). La disipación y la fuerza impulsora tienden a equilibrarse, eliminando los transitorios iniciales y asentando el sistema en su comportamiento típico. El subconjunto del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor, también conocido como sección de atracción o atraído.

Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son similares al concepto de atractor. Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo bajo la dinámica. ^[3] Los atractores pueden contener conjuntos invariantes. Un conjunto límite es un conjunto de puntos tales que existe algún estado inicial que termina arbitrariamente cerca del conjunto límite (es decir, a cada punto del conjunto) a medida que el tiempo tiende al infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que algunos puntos de un sistema converjan a un conjunto límite, pero diferentes puntos, cuando se perturban ligeramente fuera del conjunto límite, pueden salirse y nunca volver a la proximidad del conjunto límite.

Por ejemplo, el péndulo amortiguado tiene dos puntos invariantes: el punto x ₀ de altura mínima y el punto x ₁ de altura máxima. El punto x ₀ también es un conjunto límite, ya que las trayectorias convergen hacia él; el punto x ₁ no es un conjunto límite. Debido a la disipación debida a la resistencia del aire, el punto x ₀ también es un atractor. Si no hubiera disipación, x ₀ no sería un atractor. Aristóteles creía que los objetos se movían solo mientras eran empujados, lo que es una formulación temprana de un atractor disipativo.

Se sabe que algunos atractores son caóticos (ver atractor extraño), en cuyo caso la evolución de dos puntos distintos del atractor da como resultado trayectorias exponencialmente divergentes , lo que complica la predicción cuando incluso el ruido más pequeño está presente en el sistema. ^[4]

Sea t el tiempo y sea t una función que especifica la dinámica del sistema. Es decir, si t es un punto en un espacio de fases de dimensión , que representa el estado inicial del sistema, entonces t y , para un valor positivo de , es el resultado de la evolución de este estado después de unidades de tiempo. Por ejemplo, si el sistema describe la evolución de una partícula libre en una dimensión, entonces el espacio de fases es el plano de coordenadas t , donde t es la posición de la partícula, t es su velocidad, t y la evolución está dada por${\estilo de visualización t}$${\displaystyle f(t,\cdot )}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle f(0,a)=a}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle f(t,a)}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\estilo de visualización (x,v)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización v}$${\displaystyle a=(x,v)}$

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

Un atractor es un subconjunto del espacio de fases caracterizado por las siguientes tres condiciones:${\estilo de visualización A}$

• ${\estilo de visualización A}$es invariante hacia adelante bajo : si es un elemento de entonces también lo es , para todo .${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle f(t,a)}$${\displaystyle t>0}$
• Existe un entorno de , llamado cuenca de atracción para y denotado , que consta de todos los puntos que "entran" en el límite . Más formalmente, es el conjunto de todos los puntos en el espacio de fases con la siguiente propiedad:${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$$Estilo de visualización B(A)$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle t\to \infty}$$Estilo de visualización B(A)$${\estilo de visualización b}$

Para cualquier vecindario abierto de , existe una constante positiva tal que para todos los reales .${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle f(t,b)\en N}$${\estilo de visualización t>T}$

• No existe un subconjunto propio (no vacío) que tenga las dos primeras propiedades.${\estilo de visualización A}$

Dado que la cuenca de atracción contiene un conjunto abierto que contiene , cada punto que está suficientemente cerca de es atraído por . La definición de un atractor utiliza una métrica en el espacio de fases, pero la noción resultante generalmente depende solo de la topología del espacio de fases. En el caso de , se utiliza típicamente la norma euclidiana.${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En la literatura aparecen muchas otras definiciones de atractor. Por ejemplo, algunos autores exigen que un atractor tenga una medida positiva (lo que impide que un punto sea un atractor), mientras que otros flexibilizan el requisito de que sea un vecindario. ^[5]$Estilo de visualización B(A)$

Los atractores son porciones o subconjuntos del espacio de fases de un sistema dinámico . Hasta la década de 1960, se pensaba que los atractores eran subconjuntos geométricos simples del espacio de fases, como puntos , líneas , superficies y regiones simples del espacio tridimensional . En ese momento se conocían atractores más complejos que no se pueden categorizar como subconjuntos geométricos simples, como los conjuntos topológicamente salvajes, pero se pensaba que eran anomalías frágiles. Stephen Smale pudo demostrar que su mapa de herradura era robusto y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor .

Dos atractores simples son un punto fijo y el ciclo límite . Los atractores pueden adoptar muchas otras formas geométricas (subconjuntos del espacio de fases). Pero cuando estos conjuntos (o los movimientos dentro de ellos) no pueden describirse fácilmente como combinaciones simples (por ejemplo, intersección y unión ) de objetos geométricos fundamentales (por ejemplo , líneas , superficies , esferas , toroides , variedades ), entonces el atractor se denomina atractor extraño .

Un punto fijo de una función o transformación es un punto que se proyecta sobre sí mismo mediante la función o transformación. Si consideramos la evolución de un sistema dinámico como una serie de transformaciones, entonces puede haber o no un punto que permanezca fijo bajo cada transformación. El estado final hacia el que evoluciona un sistema dinámico corresponde a un punto fijo de atracción de la función de evolución para ese sistema, como la posición inferior central de un péndulo amortiguado , el nivel y la línea de agua plana de un vaso que se agita o el centro inferior de un recipiente que contiene una canica rodando. Pero el punto o los puntos fijos de un sistema dinámico no son necesariamente un atractor del sistema. Por ejemplo, si el recipiente que contiene una canica rodando se invirtiera y la canica se equilibrara sobre el recipiente, el centro inferior (ahora superior) del recipiente es un estado fijo, pero no un atractor. Esto es equivalente a la diferencia entre equilibrios estables e inestables . En el caso de una canica sobre un cuenco invertido (una colina), ese punto en la parte superior del cuenco (colina) es un punto fijo (equilibrio), pero no un atractor (equilibrio inestable).

Además, los sistemas dinámicos físicos con al menos un punto fijo invariablemente tienen múltiples puntos fijos y atractores debido a la realidad de la dinámica en el mundo físico, incluida la dinámica no lineal de la fricción , la rugosidad de la superficie , la deformación (tanto elástica como plasticidad ) e incluso la mecánica cuántica . ^[6] En el caso de una canica sobre un cuenco invertido, incluso si el cuenco parece perfectamente hemisférico , y la forma esférica de la canica , son superficies mucho más complejas cuando se examinan bajo un microscopio, y sus formas cambian o se deforman durante el contacto. Se puede ver que cualquier superficie física tiene un terreno accidentado de múltiples picos, valles, puntos de silla de montar, crestas, barrancos y llanuras. ^[7] Hay muchos puntos en este terreno de superficie (y el sistema dinámico de una canica igualmente rugosa rodando sobre este terreno microscópico) que se consideran puntos estacionarios o fijos, algunos de los cuales se clasifican como atractores.

En un sistema de tiempo discreto , un atractor puede tomar la forma de un número finito de puntos que se visitan en secuencia. Cada uno de estos puntos se denomina punto periódico . Esto se ilustra mediante el mapa logístico , que, según el valor de su parámetro específico, puede tener un atractor que consta de 1 punto, 2 puntos, 2 ⁿ puntos, 3 puntos, 3 × 2 ⁿ puntos, 4 puntos, 5 puntos o cualquier número entero positivo dado de puntos.

Un ciclo límite es una órbita periódica de un sistema dinámico continuo que está aislada . Se trata de un atractor cíclico . Algunos ejemplos son las oscilaciones de un reloj de péndulo y el latido del corazón en reposo. El ciclo límite de un péndulo ideal no es un ejemplo de atractor de ciclo límite porque sus órbitas no están aisladas: en el espacio de fases del péndulo ideal, cerca de cualquier punto de una órbita periódica hay otro punto que pertenece a una órbita periódica diferente, por lo que la órbita anterior no es atractiva. Para un péndulo físico bajo fricción, el estado de reposo será un atractor de punto fijo. La diferencia con el péndulo de un reloj es que allí, el mecanismo de escape inyecta energía para mantener el ciclo.

Puede haber más de una frecuencia en la trayectoria periódica del sistema a través del estado de un ciclo límite. Por ejemplo, en física, una frecuencia puede dictar la velocidad a la que un planeta orbita una estrella mientras que una segunda frecuencia describe las oscilaciones en la distancia entre los dos cuerpos. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, son inconmensurables ), la trayectoria ya no está cerrada y el ciclo límite se convierte en un toro límite . Este tipo de atractor se llama N _t -toro si hay N _t frecuencias inconmensurables. Por ejemplo, aquí hay un 2-toro:

Una serie temporal correspondiente a este atractor es una serie cuasiperiódica : una suma discretamente muestreada de N _t funciones periódicas (no necesariamente ondas sinusoidales ) con frecuencias inconmensurables. Una serie temporal de este tipo no tiene una periodicidad estricta, pero su espectro de potencia todavía consiste únicamente en líneas nítidas. ^{[ cita requerida ]}

Un atractor se llama extraño si tiene una estructura fractal , es decir, si tiene una dimensión de Hausdorff no entera . Este suele ser el caso cuando la dinámica en él es caótica , pero también existen atractores extraños no caóticos . Si un atractor extraño es caótico, exhibiendo una dependencia sensible de las condiciones iniciales , entonces dos puntos iniciales alternativos arbitrariamente cercanos en el atractor, después de cualquiera de varios números de iteraciones, conducirán a puntos que están arbitrariamente alejados (sujetos a los confines del atractor), y después de cualquiera de varios otros números de iteraciones conducirán a puntos que están arbitrariamente próximos entre sí. Por lo tanto, un sistema dinámico con un atractor caótico es localmente inestable pero globalmente estable: una vez que algunas secuencias han entrado en el atractor, los puntos cercanos divergen entre sí pero nunca se apartan del atractor. ^[8]

El término atractor extraño fue acuñado por David Ruelle y Floris Takens para describir el atractor resultante de una serie de bifurcaciones de un sistema que describe el flujo de fluidos. ^[9] Los atractores extraños suelen ser diferenciables en algunas direcciones, pero algunos son como un polvo de Cantor y, por lo tanto, no diferenciables. Los atractores extraños también pueden encontrarse en presencia de ruido, donde se puede demostrar que respaldan medidas de probabilidad aleatoria invariante del tipo Sinai–Ruelle–Bowen. ^[10]

Algunos ejemplos de atractores extraños incluyen el atractor de doble desplazamiento , el atractor de Hénon , el atractor de Rössler y el atractor de Lorenz .

Los parámetros de una ecuación dinámica evolucionan a medida que se itera la ecuación, y los valores específicos pueden depender de los parámetros iniciales. Un ejemplo es el mapa logístico bien estudiado , , cuyas cuencas de atracción para varios valores del parámetro se muestran en la figura. Si , todos los valores iniciales de conducirán rápidamente a valores de función que tienden a infinito negativo; los valores iniciales de también tenderán a infinito negativo. Pero para los valores convergen rápidamente a , es decir, en este valor de , un único valor de es un atractor para el comportamiento de la función. Para otros valores de , se puede visitar más de un valor de : si es 3.2, los valores iniciales de conducirán a valores de función que alternan entre y . En algunos valores de , el atractor es un único punto (un "punto fijo"), en otros valores de se visitan dos valores de a su vez (una bifurcación de duplicación de período ), o, como resultado de una duplicación adicional, cualquier número de valores de ; en otros valores de , se visita a su vez cualquier número dado de valores de ; Finalmente, para algunos valores de , se visitan una infinidad de puntos. Por lo tanto, una misma ecuación dinámica puede tener varios tipos de atractores, dependiendo de sus parámetros.${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle r=2.6}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\approx 0.615}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle x\approx 0.513}$${\displaystyle x\approx 0.799}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k\times 2^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$

La cuenca de atracción de un atractor es la región del espacio de fases sobre la que se definen iteraciones, de modo que cualquier punto (cualquier condición inicial ) en esa región se iterará asintóticamente en el atractor. Para un sistema lineal estable , cada punto en el espacio de fases está en la cuenca de atracción. Sin embargo, en sistemas no lineales , algunos puntos pueden mapearse directa o asintóticamente al infinito, mientras que otros puntos pueden estar en una cuenca de atracción diferente y mapearse asintóticamente en un atractor diferente; otras condiciones iniciales pueden estar en o mapearse directamente en un punto o ciclo no atractivo. ^[11]

Una ecuación diferencial homogénea lineal univariante diverge hasta el infinito si desde todos los puntos iniciales excepto 0 no hay atractor y, por lo tanto, no hay cuenca de atracción. Pero si todos los puntos de la recta numérica se asignan asintóticamente (o directamente en el caso de 0) a 0, 0 es el atractor y toda la recta numérica es la cuenca de atracción.${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$${\displaystyle |a|>1}$${\displaystyle |a|<1}$

De la misma manera, una ecuación diferencial matricial lineal en un vector dinámico , de forma homogénea en términos de matriz cuadrada, tendrá todos los elementos del vector dinámico divergiendo al infinito si el mayor valor propio de es mayor que 1 en valor absoluto; no hay atractor ni cuenca de atracción. Pero si el mayor valor propio es menor que 1 en magnitud, todos los vectores iniciales convergerán asintóticamente al vector cero, que es el atractor; todo el espacio dimensional de vectores iniciales potenciales es la cuenca de atracción.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{t}=AX_{t-1}}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$

Se aplican características similares a las ecuaciones diferenciales lineales . La ecuación escalar hace que todos los valores iniciales de excepto cero diverjan hasta el infinito si pero converjan a un atractor en el valor 0 si , lo que hace que toda la línea numérica sea la cuenca de atracción para 0. Y el sistema matricial da divergencia desde todos los puntos iniciales excepto el vector de ceros si cualquier valor propio de la matriz es positivo; pero si todos los valores propios son negativos, el vector de ceros es un atractor cuya cuenca de atracción es todo el espacio de fases.${\displaystyle dx/dt=ax}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle dX/dt=AX}$${\displaystyle A}$

Las ecuaciones o sistemas que no son lineales pueden dar lugar a una variedad más rica de comportamientos que los sistemas lineales. Un ejemplo es el método de Newton de iteración hasta una raíz de una expresión no lineal. Si la expresión tiene más de una raíz real , algunos puntos de partida para el algoritmo iterativo conducirán a una de las raíces de manera asintótica, y otros puntos de partida conducirán a otra. Las cuencas de atracción para las raíces de la expresión generalmente no son simples: no se trata simplemente de que todos los puntos más cercanos a una raíz se mapeen allí, dando una cuenca de atracción que consiste en puntos cercanos. Las cuencas de atracción pueden ser infinitas en número y arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo, ^[12] para la función No se pudo analizar (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle f(x)=x^3-2x^2-11x+12} , las siguientes condiciones iniciales están en cuencas de atracción sucesivas:

2.35287527 converge a 4;

2.35284172 converge a −3;

2.35283735 converge a 4;

2,352836327 converge a −3;

2.352836323 converge a 1.

El método de Newton también se puede aplicar a funciones complejas para encontrar sus raíces. Cada raíz tiene una cuenca de atracción en el plano complejo ; estas cuencas se pueden representar como en la imagen que se muestra. Como se puede ver, la cuenca de atracción combinada para una raíz particular puede tener muchas regiones desconectadas. Para muchas funciones complejas, los límites de las cuencas de atracción son fractales .

Las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas pueden tener atractores de dimensión finita. La parte difusiva de la ecuación amortigua las frecuencias más altas y en algunos casos conduce a un atractor global. Se sabe que las ecuaciones de Ginzburg–Landau , Kuramoto–Sivashinsky y las ecuaciones de Navier–Stokes forzadas bidimensionales tienen atractores globales de dimensión finita.

Para la ecuación de Navier-Stokes tridimensional e incompresible con condiciones de contorno periódicas , si tiene un atractor global, entonces este atractor será de dimensiones finitas. ^[13]

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Atractor.

• Detección de ciclos
• Conjunto hiperbólico
• Variedad estable
• Estado estable
• Cuenca de Wada
• Oscilación oculta
• Atractor de Rössler
• Distribución estable
• Evolución convergente

• John Milnor (ed.). "Atractor". Scholarpedia .
• David Ruelle ; Floris Takens (1971). "Sobre la naturaleza de la turbulencia". Communications in Mathematical Physics . 20 (3): 167–192. Bibcode :1971CMaPh..20..167R. doi :10.1007/BF01646553. S2CID  17074317.
• D. Ruelle (1981). "Pequeñas perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos y la definición de atractores" (PDF) . Communications in Mathematical Physics . 82 (1): 137–151. Bibcode :1981CMaPh..82..137R. doi :10.1007/BF01206949. S2CID  55827557.
• David Ruelle (1989). Elementos de dinámica diferenciable y teoría de la bifurcación . Academic Press. ISBN 978-0-12-601710-6.
• Ruelle, David (agosto de 2006). "¿Qué es... un atractor extraño?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (7): 764–765 . Consultado el 16 de enero de 2008 .
• Celso Grebogi ; Edward Ott ; Pelikan; Yorke (1984). "Atractores extraños que no son caóticos". Physica D . 13 (1–2): 261–268. Bibcode :1984PhyD...13..261G. doi :10.1016/0167-2789(84)90282-3.
• Chekroun, MD; E. Simonnet; M. Ghil (2011). "Dinámica climática estocástica: Atractores aleatorios y medidas invariantes dependientes del tiempo". Physica D . 240 (21): 1685–1700. Bibcode :2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX  10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005.
• Edward N. Lorenz (1996) La esencia del caos ISBN 0-295-97514-8 
• James Gleick (1988) Caos: la creación de una nueva ciencia ISBN 0-14-009250-1 

• Cuenca de atracción en Scholarpedia
• Una galería de atractores extraños trigonométricos
• Simulación del circuito de Chua con atractor de doble desplazamiento
• Una galería de atractores extraños polinomiales
• Chaoscope, un software gratuito de renderización de atractores extraños en 3D
• Resumen de investigación y laboratorio de software Archivado el 28 de junio de 2022 en Wayback Machine.
• Generador de atractores extraños en línea
• Generador interactivo de atractores trigonométricos
• Atractivo económico