Espacio LP

En matemáticas , los espacios L ^p son espacios funcionales definidos mediante una generalización natural de la p -norma para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se los llama espacios de Lebesgue , en honor a Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), aunque según el grupo de Bourbaki (Bourbaki 1987) fueron introducidos por primera vez por Frigyes Riesz (Riesz 1910).

Los espacios ^{de Lebesgue} forman una clase importante de espacios de Banach en el análisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue también se utilizan en la discusión teórica de problemas en física, estadística, economía, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.

En estadística, las medidas de tendencia central y dispersión estadística , como la media , la mediana y la desviación estándar , pueden definirse en términos de métricas, y las medidas de tendencia central pueden caracterizarse como soluciones a problemas variacionales .$Estilo de visualización L^{p}}$

En la regresión penalizada , la "penalización L1" y la "penalización L2" se refieren a penalizar la norma del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma al cuadrado (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan las soluciones dispersas (donde los muchos parámetros son cero). ^[1] La regularización de red elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma y la norma al cuadrado del vector de parámetros.$Estilo de visualización L^{1}}$$Estilo de visualización L2$ $Estilo de visualización L^{1}}$$Estilo de visualización L2$

La transformada de Fourier para la línea real (o, para funciones periódicas , véase serie de Fourier ), se asigna a (o a ) respectivamente, donde y Esto es una consecuencia del teorema de interpolación de Riesz-Thorin , y se precisa con la desigualdad de Hausdorff-Young .${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$${\displaystyle \ell ^{q}}$${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

Por el contrario, si la transformada de Fourier no se corresponde con${\displaystyle p>2,}$${\displaystyle L^{q}.}$

Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios y son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert , es decir, un subconjunto ortonormal máximo de o cualquier espacio de Hilbert, se ve que cada espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a (igual que arriba), es decir, un espacio de Hilbert de tipo$Estilo de visualización L2$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\estilo de visualización E,}$$Estilo de visualización L2$${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle \ell ^{2}.}$

La longitud euclidiana de un vector en el espacio vectorial real -dimensional viene dada por la norma euclidiana :${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\puntos ,x_{n})}$${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

La distancia euclidiana entre dos puntos y es la longitud de la línea recta entre los dos puntos. En muchas situaciones, la distancia euclidiana es apropiada para capturar las distancias reales en un espacio dado. Por el contrario, considere a los taxistas en un plano de calles en cuadrícula que deben medir la distancia no en términos de la longitud de la línea recta hasta su destino, sino en términos de la distancia rectilínea , que tiene en cuenta que las calles son ortogonales o paralelas entre sí. La clase de -normas generaliza estos dos ejemplos y tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchas partes de las matemáticas , la física y la informática .${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$$estilo de visualización {\displaystyle \|xy\|_{2}}$${\estilo de visualización p}$

Para un número real, la -norma o -norma de se define por Las barras de valor absoluto se pueden eliminar cuando es un número racional con un numerador par en su forma reducida, y se extrae del conjunto de números reales, o uno de sus subconjuntos.${\displaystyle p\geq 1,}$${\estilo de visualización p}$$Estilo de visualización L^{p}}$${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización x}$

La norma euclidiana desde arriba cae en esta clase y es la -norma, y ​​la -norma es la norma que corresponde a la distancia rectilínea .${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización 1}$

La -norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de las -normas para Resulta que este límite es equivalente a la siguiente definición:${\displaystyle L^{\infty}}$$Estilo de visualización L^{p}}$${\displaystyle p\to \infty .}$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

Ver L -infinito .

Porque todas las -normas y la norma máxima definidas anteriormente satisfacen de hecho las propiedades de una "función de longitud" (o norma ), que son:${\displaystyle p\geq 1,}$${\estilo de visualización p}$

• sólo el vector cero tiene longitud cero,
• la longitud del vector es homogénea positiva con respecto a la multiplicación por un escalar ( homogeneidad positiva ), y
• la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores ( desigualdad triangular ).

En términos abstractos, esto significa que junto con la norma es un espacio vectorial normado . Además, resulta que este espacio es completo, por lo que es un espacio de Banach . Este espacio de Banach es el espacio sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización p}$$Estilo de visualización L^{p}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

La distancia de cuadrícula o distancia rectilínea (a veces llamada " distancia de Manhattan ") entre dos puntos nunca es menor que la longitud del segmento de línea que los separa (distancia euclidiana o "distancia en línea recta"). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está limitada por su norma 1:$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

Este hecho se generaliza a las -normas en el sentido de que la -norma de cualquier vector dado no crece con :${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle \|x\|_{p}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$para cualquier vector y números reales y (de hecho, esto sigue siendo cierto para y ).${\estilo de visualización x}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle a\geq 0.}$${\estilo de visualización 0<p<1}$${\displaystyle a\geq 0}$

Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la -norma y la -norma:${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 2}$$${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

Esta desigualdad depende de la dimensión del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz .${\estilo de visualización n}$

En general, para los vectores en donde${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle 0<r<p:}$$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

Esto es una consecuencia de la desigualdad de Hölder .

En la fórmula se define una función absolutamente homogénea para , sin embargo, la función resultante no define una norma, porque no es subaditiva . Por otra parte, la fórmula define una función subaditiva a costa de perder la homogeneidad absoluta. Sin embargo, sí define una F-norma , que es homogénea de grado${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n>1,}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$${\displaystyle 0<p<1;}$$${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$${\displaystyle p.}$

Por lo tanto, la función define una métrica . El espacio métrico se denota por$${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$${\displaystyle \ell _{n}^{p}.}$

Aunque la bola unitaria alrededor del origen en esta métrica es "cóncava", la topología definida por la métrica es la topología de espacio vectorial habitual de por lo tanto es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Más allá de esta afirmación cualitativa, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de es denotar por la constante más pequeña tal que el múltiplo escalar de la bola unitaria contenga la envoltura convexa de la cual es igual a El hecho de que para fijo tenemos muestra que el espacio de secuencia de dimensión infinita definido a continuación, ya no es localmente convexo. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle B_{n}^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$${\displaystyle C_{p}(n)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B_{n}^{p},}$${\displaystyle B_{n}^{1}.}$${\displaystyle p<1}$$${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$${\displaystyle \ell ^{p}}$

Hay una norma y otra función llamada "norma" (entre comillas).${\displaystyle \ell _{0}}$${\displaystyle \ell _{0}}$

La definición matemática de la norma fue establecida por la Teoría de Operaciones Lineales de Banach . El espacio de sucesiones tiene una topología métrica completa proporcionada por la F-norma que es discutida por Stefan Rolewicz en Metric Linear Spaces . ^[2] El espacio -normado se estudia en análisis funcional, teoría de probabilidad y análisis armónico.${\displaystyle \ell _{0}}$$${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$$${\displaystyle \ell _{0}}$

Otra función que David Donoho denominó "norma" (cuyas comillas advierten que esta función no es una norma propiamente dicha) es el número de entradas distintas de cero del vector ^{[ cita requerida ]} Muchos autores abusan de la terminología omitiendo las comillas. Definir la "norma" cero de es igual a${\displaystyle \ell _{0}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle 0^{0}=0,}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

Esto no es una norma porque no es homogéneo . Por ejemplo, escalar el vector por una constante positiva no cambia la "norma". A pesar de estos defectos como norma matemática, la "norma" de conteo distinto de cero tiene usos en computación científica , teoría de la información y estadística , en particular en detección comprimida en procesamiento de señales y análisis armónico computacional . A pesar de no ser una norma, la métrica asociada, conocida como distancia de Hamming , es una distancia válida, ya que no se requiere homogeneidad para las distancias.${\displaystyle x}$

La -norma se puede extender a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio Esto contiene como casos especiales:${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$el espacio de sucesiones cuyas series son absolutamente convergentes ,
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$el espacio de secuencias cuadradas sumables , que es un espacio de Hilbert , y
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$el espacio de secuencias acotadas .

El espacio de sucesiones tiene una estructura natural de espacio vectorial al aplicar la suma y la multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para sucesiones infinitas de números reales (o complejos ) vienen dadas por:$${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

Defina la -norma:${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

Aquí surge una complicación, y es que la serie de la derecha no siempre es convergente, por lo que, por ejemplo, la sucesión formada sólo por unos, tendrá una -norma infinita para El espacio se define entonces como el conjunto de todas las sucesiones infinitas de números reales (o complejos) tales que la -norma es finita.${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p}$

Se puede comprobar que, a medida que aumenta, el conjunto se hace más grande. Por ejemplo, la sucesión no está en pero sí en para ya que la serie diverge para (la serie armónica ), pero es convergente para${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$$${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle p>1,}$$${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p>1.}$

También se define la -norma utilizando el supremo : y el espacio correspondiente de todas las sucesiones acotadas. Resulta que ^[3] si el lado derecho es finito, o el lado izquierdo es infinito. Por lo tanto, consideraremos espacios para${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

La -norma así definida es, en efecto, una norma, y ​​junto con esta norma es un espacio de Banach . El espacio totalmente general se obtiene, como se ve a continuación, considerando vectores, no sólo con un número finito o numerable-infinito de componentes, sino con " un número arbitrario de componentes "; en otras palabras, funciones . Se utiliza una integral en lugar de una suma para definir la -norma.${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$

En completa analogía con la definición precedente, se puede definir el espacio sobre un conjunto índice general (y ) como donde la convergencia a la derecha significa que solo un número contable de sumandos son distintos de cero (véase también Convergencia incondicional ). Con la norma, el espacio se convierte en un espacio de Banach. En el caso en que es finito con elementos, esta construcción da como resultado la -norma definida anteriormente. Si es contablemente infinito, este es exactamente el espacio de sucesiones definido anteriormente. Para conjuntos incontables , este es un espacio de Banach no separable que puede verse como el límite directo localmente convexo de los espacios de sucesiones. ^[4]${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$$${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Porque la -norma es incluso inducida por un producto interno canónico llamado${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$Producto interno euclidiano , lo que significa quese cumple para todos los vectores.Este producto interno se puede expresar en términos de la norma utilizando laidentidad de polarización. Ense puede definir por mientras que para el espacioasociado con unespacio de medidaque consta de todaslas funciones integrables al cuadrado, es ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \ell ^{2},}$$${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$

Consideremos ahora el caso Definir ^{[nota 1]} donde para todo ^{[5] [nota 2]}${\displaystyle p=\infty .}$$${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

El conjunto de índices se puede convertir en un espacio de medida si se le asigna la σ-álgebra discreta y la medida de conteo . En ese caso, el espacio es simplemente un caso especial del espacio más general (definido a continuación).${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle L^{p}}$

Un espacio puede definirse como un espacio de funciones mensurables para las cuales la potencia -ésima del valor absoluto es integrable según Lebesgue , donde se identifican funciones que concuerdan casi en todas partes. De manera más general, sea un espacio de medida y ^{[nota 3]} Cuando , considere el conjunto de todas las funciones mensurables desde hasta o cuyo valor absoluto elevado a la potencia -ésima tiene una integral finita, o en símbolos:${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$${\displaystyle p\neq \infty }$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

Para definir el conjunto recordemos que dos funciones y definidas en se dice que son iguales casi en todas partes , escrito ae , si el conjunto es medible y tiene medida cero. De manera similar, una función medible (y su valor absoluto ) está acotada (o dominada ) casi en todas partes por un número real escrito ae , si el conjunto (necesariamente) medible tiene medida cero. El espacio es el conjunto de todas las funciones mesurables que están acotadas casi en todas partes (por algún número real ) y se define como el ínfimo de estos límites: Cuando entonces este es el mismo que el supremo esencial del valor absoluto de : ^{[nota 4]}${\displaystyle p=\infty ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle |f|\leq C}$${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

Por ejemplo, si es una función medible que es igual a casi todas partes ^{[nota 5]} entonces para cada y por lo tanto para todos${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p.}$

Para cada positivo el valor bajo de una función medible y su valor absoluto son siempre los mismos (es decir, para todo ) y por lo tanto una función medible pertenece a si y solo si su valor absoluto lo es. Debido a esto, muchas fórmulas que involucran -normas se establecen solo para funciones de valor real no negativo. Consideremos por ejemplo la identidad que se cumple siempre que es medible, es real y (aquí cuando ). El requisito de no negatividad se puede eliminar sustituyendo en por lo que da Nótese en particular que cuando es finito entonces la fórmula relaciona la -norma con la -norma.${\displaystyle p,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle 0<p\leq \infty }$${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$${\displaystyle p=r}$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$

Espacio semirregulado de funciones integrables de potencia -ésima${\displaystyle p}$

Cada conjunto de funciones forma un espacio vectorial cuando la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente. ^{[nota 6]} Que la suma de dos funciones integrables a la potencia -ésima y es a su vez integrable a la potencia -ésima se deduce de ^{[prueba 1]} aunque también es una consecuencia de la desigualdad de Minkowski que establece que satisface la desigualdad triangular para (la desigualdad triangular no se cumple para ). Que sea cerrado bajo la multiplicación escalar se debe a que es absolutamente homogéneo , lo que significa que para cada escalar y cada función${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle p}$${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$ $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f.}$

La homogeneidad absoluta , la desigualdad triangular y la no negatividad son las propiedades definitorias de una seminorma . Por lo tanto, es una seminorma y el conjunto de funciones integrables de potencia -ésima junto con la función define un espacio vectorial seminormado . En general, la seminorma no es una norma porque podrían existir funciones mensurables que satisfacen pero no son idénticamente iguales a ^{[nota 5]} ( es una norma si y solo si no existe tal ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle f}$

Conjuntos cero de seminormas${\displaystyle p}$

Si es medible e igual a ae entonces para todo positivo Por otro lado, si es una función medible para la cual existe alguna tal que entonces casi en todas partes. Cuando es finito entonces esto se sigue del caso y de la fórmula mencionada anteriormente. ${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle p\leq \infty .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0<p\leq \infty }$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

Por lo tanto, si es positivo y es cualquier función medible, entonces si y solo si casi en todas partes . Dado que el lado derecho ( ae ) no menciona , se deduce que todos tienen el mismo conjunto cero (no depende de ). Por lo tanto, denote este conjunto común por Este conjunto es un subespacio vectorial de para cada positivo${\displaystyle p\leq \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle p\leq \infty .}$

Espacio vectorial cociente

Al igual que cada seminorma , la seminorma induce una norma (definida en breve) en el espacio vectorial cociente canónico de por su subespacio vectorial. Este espacio vectorial cociente normado se denomina espacio de Lebesgue y es el tema de este artículo. Comenzamos definiendo el espacio vectorial cociente.${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

Dado cualquier coconjunto , consta de todas las funciones medibles que son iguales a casi en todas partes . El conjunto de todos los coconjuntos, normalmente denotado por forma un espacio vectorial con origen cuando la suma vectorial y la multiplicación escalar se definen por y Este espacio vectorial cociente particular se denotará por${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$

Dos clases laterales son iguales si y solo si (o equivalentemente, ), lo que sucede si y solo si casi en todas partes; si este es el caso, entonces y se identifican en el espacio cociente. ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

La -norma en el espacio vectorial cociente${\displaystyle p}$

Dado cualquier valor de la seminorma en la clase lateral es constante e igual a denotar este valor único por de modo que: Esta asignación define un mapa, que también será denotado por en el espacio vectorial cociente. Este mapa es una norma en llamada${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$${\displaystyle \|f\|_{p};}$${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$$${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ $${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle p}$-norma . El valorde una clase laterales independiente de la función particularque se eligió para representarla, lo que significa que sies cualquier clase lateral entoncespara cada(ya quepara cada). ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

El espacio Lebesgue${\displaystyle L^{p}}$

El espacio vectorial normado se denomina espacio o espacio de Lebesgue de funciones integrables de potencia -ésima y es un espacio de Banach para cada (lo que significa que es un espacio métrico completo , un resultado que a veces se denomina teorema de Riesz-Fischer ). Cuando se entiende el espacio de medida subyacente , a menudo se abrevia o incluso simplemente Dependiendo del autor, la notación de subíndice puede denotar uno o${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle S}$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$${\displaystyle L^{p}.}$${\displaystyle L_{p}}$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

Si la seminorma de resulta ser una norma (lo que sucede si y sólo si ), entonces el espacio normado será linealmente isométrico isomorfo al espacio cociente normado a través de la función canónica (ya que ); en otras palabras, serán, hasta una isometría lineal , el mismo espacio normado y, por lo tanto, ambos pueden llamarse " espacio".${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$${\displaystyle L^{p}}$

Las definiciones anteriores se generalizan a los espacios de Bochner .

En general, este proceso no se puede revertir: no hay una manera consistente de definir un representante "canónico" de cada clase lateral de en . Sin embargo, existe una teoría de ascensores que permite dicha recuperación.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle L^{p}.}$${\displaystyle L^{\infty },}$

Similar a los espacios, es el único espacio de Hilbert entre los espacios. En el caso complejo, el producto interno de se define por${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

La estructura de producto interno adicional permite una teoría más rica, con aplicaciones, por ejemplo, a las series de Fourier y a la mecánica cuántica . Las funciones en a veces se denominan funciones integrables al cuadrado , funciones integrables cuadráticamente o funciones sumables al cuadrado , pero a veces estos términos se reservan para funciones que son integrables al cuadrado en algún otro sentido, como en el sentido de una integral de Riemann (Titchmarsh 1976).${\displaystyle L^{2}}$

Si utilizamos funciones de valor complejo, el espacio es un álgebra C* conmutativa con multiplicación y conjugación puntuales. Para muchos espacios de medida, incluidos todos los sigma-finitos, es de hecho un álgebra de von Neumann conmutativa . Un elemento de define un operador acotado en cualquier espacio por multiplicación .${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle L^{p}}$

Los espacios son un caso especial de espacios, cuando consisten en los números naturales y es la medida de conteo en De manera más general , si se considera cualquier conjunto con la medida de conteo, el espacio resultante se denota Por ejemplo, el espacio es el espacio de todas las secuencias indexadas por los números enteros, y al definir la -norma en dicho espacio, se suma sobre todos los números enteros. El espacio donde es el conjunto con elementos, es con su -norma como se definió anteriormente. Como cualquier espacio de Hilbert, cada espacio es linealmente isométrico a un adecuado donde la cardinalidad del conjunto es la cardinalidad de una base hilbertiana arbitraria para este particular${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle S=\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {N} .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$${\displaystyle I}$${\displaystyle L^{2}.}$

Al igual que en el caso discreto, si existe tal que entonces ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle q<\infty }$${\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}$$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$$

Desigualdad de Hölder

Supóngase que se satisface (donde ). Si y entonces y ^[6]${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}$${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

Esta desigualdad, llamada desigualdad de Hölder , es en cierto sentido óptima ^[6] ya que si (por lo que ) y es una función medible tal que donde el supremo se toma sobre la bola unitaria cerrada de entonces y${\displaystyle r=1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$$${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

Desigualdad de Minkowski

La desigualdad de Minkowski , que establece que satisface la desigualdad triangular , se puede generalizar: Si la función medible no es negativa (donde y son espacios de medida), entonces para todos los ^[7]${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$${\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (M,\mu )}$${\displaystyle (N,\nu )}$${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$$${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .}$$

Si entonces cada no negativo tiene una descomposición atómica , ^[8] lo que significa que existe una secuencia de números reales no negativos y una secuencia de funciones no negativas llamadas átomos , cuyos soportes son conjuntos de medida disjuntos por pares tales que y para cada entero y y donde además, la secuencia de funciones depende solo de (es independiente de ). ^[8] Estas desigualdades garantizan que para todos los enteros mientras que los soportes de ser disjuntos por pares implica ^[8]${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$$${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

Una descomposición atómica se puede dar explícitamente definiendo primero para cada entero ^[8] (este ínfimo se alcanza mediante es decir, se cumple) y luego dejando donde denota la medida del conjunto y denota la función indicadora del conjunto. La secuencia es decreciente y converge a como ^[8] En consecuencia, si entonces y por lo que es idénticamente igual a (en particular, la división por no causa problemas). ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$${\displaystyle t_{n};}$${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$$${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle t_{n}=0}$${\displaystyle t_{n+1}=0}$${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$${\displaystyle r_{n}=0}$